सेंट पीटर्सबर्ग राज्य विश्वविद्यालय

अनुप्रयुक्त गणित के संकाय - नियंत्रण प्रक्रियाओं

ए पी इवानोव

संख्यात्मक विधियों पर कार्यशाला

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान

दिशा-निर्देश

सेंट पीटर्सबर्ग

अध्याय 1. सहायक जानकारी

पर कार्यप्रणाली गाइड SLAE को हल करने के तरीकों और उनके आवेदन के लिए एल्गोरिदम का वर्गीकरण दिया गया है। विधियों को एक ऐसे रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो अन्य स्रोतों के संदर्भ के बिना उनके उपयोग की अनुमति देता है। यह माना जाता है कि प्रणाली का मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, अर्थात डीईटी ए 6 = 0।

§एक। वैक्टर और मेट्रिसेस के मानदंड

याद रखें कि तत्वों x के एक रैखिक स्थान Ω को सामान्यीकृत कहा जाता है यदि इसमें एक फ़ंक्शन k · kΩ होता है, जो अंतरिक्ष Ω के सभी तत्वों के लिए परिभाषित होता है और निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. kxk Ω ≥ 0, और kxkΩ = 0 x = 0Ω;

2. kλxk Ω = |λ| केएक्सकेΩ;

3. kx + ykΩ ≤ kxkΩ + kykΩ ।

भविष्य में, हम सदिशों को छोटे लैटिन अक्षरों से निरूपित करने के लिए सहमत होंगे, और हम उन्हें स्तंभ सदिशों पर विचार करेंगे, हम आव्यूहों को बड़े लैटिन अक्षरों से निरूपित करेंगे, और हम अदिश राशियों को ग्रीक अक्षरों से निरूपित करेंगे (अक्षरों के पीछे पूर्णांकों के पदनामों को ध्यान में रखते हुए) आई, जे, के, एल, एम, एन)।

सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले वेक्टर मानदंडों में निम्नलिखित शामिल हैं:

2. केएक्सके2 = यू एक्स2; टी

3. kxk∞ = मैक्सी |xi |।

ध्यान दें कि स्थान Rn में सभी मानदंड समतुल्य हैं, अर्थात, किन्हीं भी दो मानदंडों kxki और kxkj से संबंधित हैं:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj ,

क क ≤ क क ≤ ˜ क क

α˜ आईजे एक्स आई एक्स जे बी आई जे एक्स आई,

इसके अलावा, αij , βij , α˜ij , βij x पर निर्भर नहीं करते हैं। इसके अलावा, एक परिमित-आयामी स्थान में, कोई भी दो मानदंड समतुल्य हैं।

मैट्रिसेस का स्थान एक संख्या द्वारा जोड़ और गुणा के स्वाभाविक रूप से शुरू किए गए संचालन के साथ एक रेखीय स्थान बनाता है जिसमें एक मानक की धारणा को कई तरीकों से पेश किया जा सकता है। हालाँकि, तथाकथित अधीनस्थ मानदंडों को सबसे अधिक बार माना जाता है, अर्थात। संबंधों द्वारा वैक्टर के मानदंडों से संबंधित मानदंड:

मैट्रिसेस के अधीनस्थ मानदंडों को समान सूचकांकों के साथ वैक्टर के संबंधित मानदंडों के रूप में चिह्नित करते हुए, हम इसे स्थापित कर सकते हैं

यहां, λi (एटी ए) मैट्रिक्स एटी ए के आइगेनवैल्यू को दर्शाता है, जहां एटी मैट्रिक्स को ए में स्थानांतरित किया गया है। ऊपर उल्लिखित मानदंड के तीन मुख्य गुणों के अलावा, हम यहां दो और नोट करते हैं:

केएबीके ≤ केएके केबीके,

काक्स ≤ काक केएक्सके,

इसके अलावा, अंतिम असमानता में, मैट्रिक्स मानदंड संबंधित वेक्टर मानदंड के अधीन है। आइए हम इसका उपयोग करने के लिए सहमत हों जो केवल वैक्टर के मानदंडों के अधीनस्थ मैट्रिक्स के मानदंडों का पालन करता है। ध्यान दें कि ऐसे मानदंडों के लिए समानता रखती है: यदि ई पहचान मैट्रिक्स है, तो kEk = 1,।

§2। विकर्ण प्रभुत्व के साथ मेट्रिसेस

परिभाषा 2.1। तत्वों (aij )n i,j=1 के साथ एक मैट्रिक्स ए को विकर्ण प्रभुत्व (मूल्य δ) के साथ एक मैट्रिक्स कहा जाता है यदि असमानताएं

|ऐ | - |अज| ≥ δ > 0, i = 1, n।

§3। सकारात्मक निश्चित मेट्रिसेस

परिभाषा 3.1। सममित मैट्रिक्स ए कहा जाएगा

सकारात्मक निश्चित अगर द्विघात रूप xT Ax इस मैट्रिक्स के साथ किसी भी वेक्टर x 6 = 0 के लिए केवल सकारात्मक मान लेता है।

एक मैट्रिक्स की सकारात्मक निश्चितता की कसौटी उसके eigenvalues ​​​​की सकारात्मकता या उसके प्रमुख नाबालिगों की सकारात्मकता हो सकती है।

§चार। SLAE की स्थिति संख्या

किसी भी समस्या को हल करते समय, जैसा कि ज्ञात है, तीन प्रकार की त्रुटियाँ होती हैं: घातक त्रुटि, पद्धतिगत त्रुटि और गोलाई त्रुटि। आइए हम SLAE के समाधान पर प्रारंभिक डेटा की घातक त्रुटि के प्रभाव पर विचार करें, राउंडिंग त्रुटि की उपेक्षा करें और एक पद्धति संबंधी त्रुटि की अनुपस्थिति को ध्यान में रखें।

मैट्रिक्स ए सटीक रूप से जाना जाता है, और दाईं ओर बी में एक अपरिवर्तनीय त्रुटि δb है।

फिर समाधान के सापेक्ष त्रुटि के लिए kδxk/kxk

जहाँ ν(A) = kAkkA−1k.

संख्या ν(ए) को सिस्टम की स्थिति संख्या (4.1) (या मैट्रिक्स ए) कहा जाता है। यह पता चला है कि किसी भी मैट्रिक्स ए के लिए हमेशा ν(ए) ≥ 1। चूंकि स्थिति संख्या का मान मैट्रिक्स मानदंड की पसंद पर निर्भर करता है, जब एक विशिष्ट मानदंड चुनते हैं, तो हम क्रमशः ν(ए) को अनुक्रमित करेंगे: ν1 ( ए), ν2 (ए), या ν ∞(ए)।

मामले में ν(ए) 1, सिस्टम (4.1) या मैट्रिक्स ए को खराब स्थिति कहा जाता है। इस मामले में, अनुमान से निम्नानुसार है

(4.2), सिस्टम (4.1) के समाधान में त्रुटि अस्वीकार्य रूप से बड़ी हो सकती है। किसी त्रुटि की स्वीकार्यता या अस्वीकार्यता की अवधारणा समस्या के निर्माण से निर्धारित होती है।

विकर्ण प्रभुत्व वाले मैट्रिक्स के लिए, इसकी स्थिति संख्या का ऊपरी अनुमान प्राप्त करना आसान है। घटित होना

प्रमेय 4.1। मान लीजिए A δ > 0 के विकर्ण प्रभुत्व वाला एक मैट्रिक्स है। तब यह गैर-एकवचन है और ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ।

§5। लचर व्यवस्था का उदाहरण।

SLAE (4.1) पर विचार करें, जिसमें

इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है x = (0, 0, ..., 0, 1)T। सिस्टम के दाईं ओर त्रुटि δb = (0, 0, ..., 0, ε), ε> 0 होने दें। फिर

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, । . . , δx1 = 2n−2ε.

फलस्वरूप,

ν∞ (ए) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 । केएक्सके ∞ केबीके ∞

चूँकि kAk∞ = n, तब kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2 , हालाँकि det(A−1 ) = (det A)−1 = 1. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, n = 102। फिर ν( ए) ≥ 2100> 1030। इसके अलावा, भले ही ε = 10−15 हमें kδxk∞ > 1015 मिलता है। और वह नहीं है

परिभाषा।

यदि मैट्रिक्स के तत्व हैं तो हम एक प्रणाली को पंक्ति विकर्ण प्रभुत्व वाली प्रणाली कहते हैंअसमानताओं को संतुष्ट करें:

,

असमानताओं का मतलब है कि मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में विकर्ण तत्व हाइलाइट किया गया है: इसका मापांक एक ही पंक्ति के अन्य सभी तत्वों के मापांक के योग से अधिक है।

प्रमेय

विकर्ण प्रभुत्व वाली प्रणाली हमेशा हल करने योग्य होती है और इसके अलावा, विशिष्ट रूप से।

इसी सजातीय प्रणाली पर विचार करें:

,

आइए मान लें कि इसका एक गैर-तुच्छ समाधान है इस समाधान के घटक को सूचकांक के अनुरूप होने दें, जिसमें सबसे बड़ा मापांक है
, अर्थात।

,
,
.

चलो लिखो सिस्टम के वें समीकरण के रूप में

और इस समानता के दोनों पक्षों का मापांक लें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

.

एक कारक द्वारा असमानता को कम करना
, जो, के अनुसार, शून्य के बराबर नहीं है, हम विकर्ण प्रभुत्व को व्यक्त करने वाली असमानता के साथ एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं। परिणामी विरोधाभास हमें तीन कथनों को लगातार बताने की अनुमति देता है:

उनमें से अंतिम का अर्थ है कि प्रमेय का प्रमाण पूर्ण है।

1. त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम। स्वीप विधि।

कई समस्याओं को हल करते समय, किसी को रैखिक समीकरणों के रूप के सिस्टम से निपटना पड़ता है:

,
,

,
,

जहां गुणांक
, दाईं ओर
संख्या के साथ जाना जाता है तथा . अतिरिक्त संबंधों को अक्सर सिस्टम के लिए सीमा की स्थिति कहा जाता है। कई मामलों में, उनका स्वरूप अधिक जटिल हो सकता है। उदाहरण के लिए:

;
,

कहाँ पे
नंबर दिए गए हैं। हालाँकि, प्रस्तुति को जटिल नहीं करने के लिए, हम स्वयं को अतिरिक्त शर्तों के सरलतम रूप तक सीमित रखते हैं।

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि मान तथा दिए गए, हम सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखते हैं:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स में एक त्रिकोणीय संरचना है:

यह स्वीप विधि नामक एक विशेष विधि के कारण सिस्टम के समाधान को बहुत सरल करता है।

विधि इस धारणा पर आधारित है कि वांछित अज्ञात है तथा
पुनरावृत्ति संबंध से संबंधित

,
.

यहाँ मात्राएँ
,
, जिसे स्वीप गुणांक कहा जाता है, समस्या की स्थितियों के आधार पर निर्धारित किया जाना है। वास्तव में, ऐसी प्रक्रिया का अर्थ है अज्ञात की प्रत्यक्ष परिभाषा को बदलना मात्राओं की बाद की गणना के साथ स्वीप गुणांक निर्धारित करने का कार्य .

वर्णित कार्यक्रम को लागू करने के लिए, हम संबंध का उपयोग करके व्यक्त करते हैं
के माध्यम से
:

और स्थानापन्न
तथा के माध्यम से व्यक्त किया
, मूल समीकरणों में। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

.

अंतिम संबंध निश्चित रूप से संतुष्ट होंगे और इसके अलावा, समाधान की परवाह किए बिना, यदि आवश्यक हो तो
समानताएं हुईं:

यहाँ से स्वीप गुणांकों के लिए पुनरावर्ती संबंधों का पालन करें:

,
,
.

वाम सीमा स्थिति
और अनुपात
अगर हम रखें तो सुसंगत हैं

.

स्वीप गुणांक के अन्य मूल्य
तथा
हम स्वीप गुणांक की गणना के चरण को किसके साथ और पूरा करते हैं।

.

यहां से आप बाकी अज्ञात का पता लगा सकते हैं
एक पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके बैकवर्ड स्वीप की प्रक्रिया में।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करके एक सामान्य प्रणाली को हल करने के लिए आवश्यक संक्रियाओं की संख्या बढ़ने के साथ बढ़ती है अनुपात में . स्वीप विधि दो चक्रों तक कम हो जाती है: सबसे पहले, स्वीप गुणांक की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, फिर उनका उपयोग करके सिस्टम समाधान के घटकों को पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है . इसका मतलब यह है कि जैसे-जैसे सिस्टम का आकार बढ़ता है, अंकगणितीय परिचालनों की संख्या आनुपातिक रूप से बढ़ेगी , लेकिन नहीं . इस प्रकार, इसके संभावित अनुप्रयोग के दायरे में स्वीप विधि काफी अधिक किफायती है। इसमें कंप्यूटर पर इसके सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की विशेष सादगी को जोड़ा जाना चाहिए।

कई अनुप्रयुक्त समस्याओं में जो त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ SLAE की ओर ले जाती हैं, इसके गुणांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

,

जो विकर्ण प्रभुत्व गुण को व्यक्त करते हैं। विशेष रूप से, हम तीसरे और पाँचवें अध्यायों में ऐसी प्रणालियों से मिलेंगे।

पिछले खंड के प्रमेय के अनुसार, ऐसी प्रणालियों का समाधान हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। उनके पास एक बयान भी है जो स्वीप विधि का उपयोग करके समाधान की वास्तविक गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

लेम्मा

यदि एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाली प्रणाली के लिए विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति संतुष्ट है, तो स्वीप गुणांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

.

हम इंडक्शन द्वारा प्रूफ करेंगे। के अनुसार
, मैं खाता हूँ
लेम्मा का दावा सत्य है। आइए अब मान लें कि यह के लिए सच है और विचार करें
:

.

तो से प्रेरण प्रति
न्यायोचित, जो लेम्मा के प्रमाण को पूरा करता है।

स्वीप गुणांक के लिए असमानता रन को स्थिर बनाता है। दरअसल, मान लीजिए कि समाधान घटक राउंडिंग प्रक्रिया के परिणामस्वरूप कुछ त्रुटि के साथ गणना की जाती है। फिर अगले घटक की गणना करते समय
पुनरावर्ती सूत्र के अनुसार, असमानता के कारण यह त्रुटि नहीं बढ़ेगी।

मैट्रिक्स की असमानता और विकर्ण प्रभुत्व की संपत्ति1

एल. केवेटकोविच, वी. कास्टिक, और एल.ए. बदमाश

Cvetkovic Liliana - प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, ओब्राडोविका 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

कोस्टिक व्लादिमीर - सहायक प्रोफेसर, डॉक्टर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, ओब्राडोविका 4, 21000, नोवी सैड, सर्बिया, ईमेल: [ईमेल संरक्षित]

क्रुकियर लेव अब्रामोविच - भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर, उच्च-प्रदर्शन कंप्यूटिंग और सूचना और संचार प्रौद्योगिकी विभाग के प्रमुख, दक्षिण रूसी सूचना के लिए दक्षिण रूसी क्षेत्रीय केंद्र के निदेशक संघीय विश्वविद्यालय, स्टैचकी एवेन्यू 200/1, बिल्डिंग। 2, रोस्तोव-ऑन-डॉन, 344090, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]आरयू।

Cvetkovic Ljiljana - प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, डी. ओब्राडोविका 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

कोस्टिक व्लादिमीर - सहायक प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, डी. ओब्राडोविका 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

क्रुकियर लेव अब्रामोविच - भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर, उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग और सूचना और संचार प्रौद्योगिकी विभाग के प्रमुख, दक्षिणी संघीय विश्वविद्यालय के कंप्यूटर केंद्र के निदेशक, स्टैचकी एवेन्यू, 200/1, बिल्ड। 2, रोस्तोव-ऑन-डॉन, रूस, 344090, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]आरयू।

मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है साधारण स्थिति, इसकी nondegeneracy सुनिश्चित करना। विकर्ण प्रभुत्व की धारणा को सामान्यीकृत करने वाले मैट्रिक्स गुण हमेशा उच्च मांग में होते हैं। उन्हें विकर्ण प्रभुत्व प्रकार की स्थितियों के रूप में माना जाता है और मैट्रिसेस (जैसे एच-मैट्रिसेस) के उपवर्गों को परिभाषित करने में मदद करता है जो इन शर्तों के तहत नॉनडीजेनरेट रहते हैं। इस पत्र में, हम गैर-एकवचन मेट्रिसेस के नए वर्गों का निर्माण करते हैं जो विकर्ण प्रभुत्व के लाभों को बरकरार रखते हैं लेकिन एच-मैट्रिसेस के वर्ग के बाहर रहते हैं। ये गुण विशेष रूप से सुविधाजनक हैं क्योंकि कई अनुप्रयोग इस वर्ग में मैट्रिसेस की ओर ले जाते हैं, और मैट्रिसेस की गैर-अपघटन के सिद्धांत जो कि एच-मैट्रिसेस नहीं हैं, को अब बढ़ाया जा सकता है।

कीवर्ड: विकर्ण प्रभुत्व, गैर अध: पतन, स्केलिंग।

जबकि मैट्रिसेस की निरर्थकता सुनिश्चित करने वाली सरल स्थितियों का हमेशा बहुत स्वागत किया जाता है, जिनमें से कई को एक प्रकार के विकर्ण प्रभुत्व के रूप में माना जा सकता है जो एक प्रसिद्ध एच-मैट्रिसेस के उपवर्गों का उत्पादन करते हैं। इस पेपर में हम नॉनसिंगुलर मैट्रिसेस के एक नए वर्ग का निर्माण करते हैं जो विकर्ण प्रभुत्व की उपयोगिता को बनाए रखते हैं, लेकिन एच-मैट्रिसेस के वर्ग के साथ एक सामान्य संबंध में खड़े होते हैं। यह संपत्ति विशेष रूप से अनुकूल है, क्योंकि एच-मैट्रिक्स सिद्धांत से उत्पन्न होने वाले कई अनुप्रयोगों को अब बढ़ाया जा सकता है।

कीवर्ड: विकर्ण प्रभुत्व, निरर्थकता, स्केलिंग तकनीक।

गणितीय भौतिकी की सीमा मान समस्याओं का संख्यात्मक समाधान आमतौर पर मूल समस्या को रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के समाधान में कम कर देता है। समाधान एल्गोरिदम चुनते समय, हमें यह जानने की आवश्यकता है कि मूल मैट्रिक्स गैर-एकवचन है या नहीं? इसके अलावा, एक मैट्रिक्स के गैर-अपक्षय का प्रश्न प्रासंगिक है, उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त विधियों के अभिसरण के सिद्धांत में, आइगेनवेल्यूज़ का स्थानीयकरण, निर्धारकों, एप्रन जड़ों, वर्णक्रमीय त्रिज्या, एक के एकवचन मूल्यों का अनुमान लगाने में मैट्रिक्स, आदि

ध्यान दें कि सबसे सरल, लेकिन अत्यंत उपयोगी स्थितियों में से एक, जो एक मैट्रिक्स की गैर-अध: पतन सुनिश्चित करती है, सख्त विकर्ण प्रभुत्व (और उनके संदर्भ) की प्रसिद्ध संपत्ति है।

प्रमेय 1। मान लीजिए कि एक आव्यूह A = e Cnxn दिया गया है

एस> आर (ए): = एस के एल, (1)

सबके लिए i e N:= (1,2,...n).

फिर मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।

गुण (1) वाले आव्यूह सख्त विकर्ण प्रभुत्व वाले आव्यूह कहलाते हैं

(8बीबी मेट्रिसेस)। उनका प्राकृतिक सामान्यीकरण सामान्यीकृत विकर्ण प्रभुत्व (GBD) के साथ मेट्रिसेस का वर्ग है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा 1. एक मैट्रिक्स ए = [ए^] ई सीएक्सएन को एसबीबी मैट्रिक्स कहा जाता है यदि वहां एक गैर-एकवचन विकर्ण मैट्रिक्स डब्ल्यू मौजूद है जैसे कि एडब्ल्यू एक 8बीबी मैट्रिक्स है।

हम मैट्रिक्स के लिए कई परिभाषाएँ पेश करते हैं

ए \u003d [एय] ई एसपीएक्सपी।

परिभाषा 2

(ए) = ई सीएन

मैट्रिक्स ए की तुलना मैट्रिक्स कहा जाता है।

परिभाषा 3. मैट्रिक्स ए = ई सी

\üj > 0, i = j

एक एम-मैट्रिक्स है अगर

ए जे< 0, i * j,

रिवर्स मैट-

मैट्रिक्स ए">0, यानी इसके सभी तत्व सकारात्मक हैं।

जाहिर है, डब्ल्यूबीबी वर्ग के मेट्रिसेस भी नॉनसिंगुलर मैट्रिसेस हैं और हो सकते हैं

1यह काम सर्बिया के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा आंशिक रूप से समर्थित था, 174019 अनुदान, और वोज्वोडिना के विज्ञान और तकनीकी विकास मंत्रालय, अनुदान 2675 और 01850।

गैर-पतित एच-मैट्रिसेस के नाम से साहित्य में पाया जाता है। उन्हें निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:

प्रमेय 2। मैट्रिक्स A \u003d [ay ]e xi

मैट्रिक्स अगर और केवल अगर इसकी तुलना मैट्रिक्स एक गैर-डीजेनरेट एम-मैट्रिक्स है।

अब तक, नॉनडिजेनरेट एच-मैट्रिसेस के कई उपवर्गों का पहले ही अध्ययन किया जा चुका है, लेकिन उन सभी को सख्ती से विकर्ण प्रभुत्व संपत्ति के सामान्यीकरण के दृष्टिकोण से माना जाता है (इसमें संदर्भ भी देखें)।

इस पत्र में, हम एसबीबी वर्ग को एक अलग तरीके से सामान्यीकृत करके एच-मैट्रिसेस के वर्ग से आगे जाने की संभावना पर विचार करते हैं। मुख्य विचार स्केलिंग दृष्टिकोण का उपयोग करना जारी रखना है, लेकिन मेट्रिसेस के साथ जो विकर्ण नहीं हैं।

मैट्रिक्स A \u003d [ay ] e spxn और सूचकांक पर विचार करें

हम मैट्रिक्स का परिचय देते हैं

आर (ए): = £ ए आर (ए): = £

ßk (ए) := £ और yk (ए) := एयू - ^

यह जांचना आसान है कि मैट्रिक्स bk Abk के तत्वों के निम्नलिखित रूप हैं:

ßk (ए), वाई के (ए), एकेजे,

मैं = जे = के, मैं = जे * के,

आई = के, जे * के, आई * के, जे = के,

एक इनोएइयूओ नियो^अयो.

यदि हम प्रमेय 1 को ऊपर वर्णित आव्यूह bk Abk1 और इसके स्थानान्तरित आव्यूह पर लागू करते हैं, तो हमें दो मुख्य प्रमेय प्राप्त होते हैं।

प्रमेय 3। किसी भी मैट्रिक्स को दिया जाने दें

ए \u003d [आय ] ई spxn गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ। यदि वहाँ k e N ऐसा मौजूद है कि > Rk (A), और प्रत्येक i e N \ (k) के लिए,

तो मैट्रिक्स ए गैर-डीजेनरेट है।

प्रमेय 4। किसी भी मैट्रिक्स को दिया जाए

ए \u003d [आय ] ई spxn गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ। यदि वहाँ k e N ऐसा मौजूद है कि> Jk (A), और प्रत्येक i e N \ (k) के लिए,

फिर मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है। के बीच संबंध के बारे में एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है

पिछले दो प्रमेयों से आव्यूह: L^ - BOO - आव्यूह ( सूत्र द्वारा परिभाषित(5)) और

बीके - बीओओ-मैट्रिसेस (सूत्र (6) द्वारा परिभाषित) और एच-मैट्रिसेस की कक्षा। निम्नलिखित सरल उदाहरण इसे स्पष्ट करता है।

उदाहरण। निम्नलिखित 4 मैट्रिक्स पर विचार करें:

और मूल A के समान एक मैट्रिक्स bk Abk, k e N पर विचार करें। आइए उन शर्तों को खोजें जब इस मैट्रिक्स में SDD-मैट्रिक्स का गुण होगा (पंक्तियों या स्तंभों द्वारा)।

पूरे लेख में, r,k eN:= (1,2,.../?) के लिए हम संकेतन का प्रयोग करेंगे:

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

गैर अध: पतन पर प्रमेय

ये सभी गैर-पतित हैं:

A1 b - BOO है, इस तथ्य के बावजूद कि यह किसी k = (1,2,3) के लिए bk - BOO नहीं है। यह एच-मैट्रिक्स भी नहीं है, क्योंकि (ए^1 गैर-नकारात्मक नहीं है;

A2, समरूपता के कारण, एक साथ LH - BOO और L है<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

बी<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 b9 - BOO है, लेकिन इनमें से कोई भी नहीं है

Lr एक SDD है (k = (1,2,3) के लिए), और न ही H- मैट्रिक्स के बाद से (A3 ^ भी पतित है;

ए4 एक एच-मैट्रिक्स है क्योंकि (ए^ नॉनसिंगुलर है, और ^ए4) 1> 0 है, हालांकि यह किसी भी के = (1,2,3) के लिए न तो एलआर-एसडीडी है और न ही एलके-एसडीडी है।

आंकड़ा के बीच सामान्य संबंध दिखाता है

एलआर - एसडीडी, एलके - एसडीडी और एच-मैट्रिसेस पिछले उदाहरण से मैट्रिक्स के साथ।

आईआर - एसडीडी, एलसी - एसडीडी और के बीच संचार

नर्क मिन(|एयू - आर (ए)|) "

असमानता से शुरू

और इस परिणाम को मैट्रिक्स bk ab ^ पर लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

प्रमेय 5। गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ एक मनमानी मैट्रिक्स ए = [ए--] ई सीएक्सएन दें।

पुलिस। यदि A वर्ग - BOO से संबंधित है, तो

1 + मैक्स^ i*k \acc\

एच-मैट्रिसेस

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि हालांकि हमारे पास है

मैट्रिक्स LC AL^1 को स्थानांतरित करके प्राप्त मैट्रिक्स में प्रमेय 1 को लागू करके LC BOO-मैट्रिसेस का वर्ग, यह वर्ग मैट्रिक्स Am पर प्रमेय 2 को लागू करने से प्राप्त वर्ग के साथ मेल नहीं खाता है।

हम परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 4। मैट्रिक्स ए को कहा जाता है (बीके -बू पंक्तियों द्वारा) यदि एटी (बीके -बू)।

परिभाषा 5। मैट्रिक्स ए को कहा जाता है ( bsk -boo पंक्तियों द्वारा) यदि AT ( bsk -boo )।

उदाहरण दिखाते हैं कि वर्ग W - BOO,

बीसी-बू, (बीके-बू बाय रो) और (बी^-बू बाय रो) एक दूसरे से संबंधित हैं। इस प्रकार, हमने एच-मेट्रिसेस की कक्षा को चार अलग-अलग तरीकों से बढ़ाया है।

नए प्रमेयों का अनुप्रयोग

आइए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के सी-नॉर्म का अनुमान लगाने में नए परिणामों की उपयोगिता को स्पष्ट करें।

सख्त विकर्ण प्रभुत्व वाले एक मनमाना मैट्रिक्स ए के लिए, प्रसिद्ध वराह प्रमेय (वराह) अनुमान देता है

मिन[|पीएफ(ए)| - mk (A), min(|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (Фf ​​​​ii)

इसी तरह, हम मैट्रिसेस Lk - SDD के लिए कॉलम द्वारा निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं।

प्रमेय 6। एक मनमाना मैट्रिक्स A = e xi गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ दिया जाना चाहिए। यदि ए कॉलम द्वारा बीके-एसडीडी वर्ग से संबंधित है, तो

इक-llll<_ie#|akk|_

" "एमएलएन[|पीएफ(ए)| - आरएफ (एटी), एमएलएन(|यूके (ए)|- क्यूके (एटी)- |आफ्ट |)]"

इस परिणाम का महत्व इस तथ्य में निहित है कि गैर-एकवचन एच-मैट्रिसेस के कई उपवर्गों के लिए इस प्रकार के प्रतिबंध हैं, लेकिन उन गैर-एकवचन मैट्रिक्स के लिए जो एच-मैट्रिसेस नहीं हैं, यह एक गैर-तुच्छ समस्या है। इसलिए, इस तरह के प्रतिबंध, पिछले प्रमेय की तरह, बहुत मांग में हैं।

साहित्य

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संपादक द्वारा प्राप्त किया गया

परिभाषा।

यदि मैट्रिक्स के तत्व हैं तो हम एक प्रणाली को पंक्ति विकर्ण प्रभुत्व वाली प्रणाली कहते हैंअसमानताओं को संतुष्ट करें:

,

असमानताओं का मतलब है कि मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में विकर्ण तत्व हाइलाइट किया गया है: इसका मापांक एक ही पंक्ति के अन्य सभी तत्वों के मापांक के योग से अधिक है।

प्रमेय

विकर्ण प्रभुत्व वाली प्रणाली हमेशा हल करने योग्य होती है और इसके अलावा, विशिष्ट रूप से।

इसी सजातीय प्रणाली पर विचार करें:

,

आइए मान लें कि इसका एक गैर-तुच्छ समाधान है इस समाधान के घटक को सूचकांक के अनुरूप होने दें, जिसमें सबसे बड़ा मापांक है
, अर्थात।

,
,
.

चलो लिखो सिस्टम के वें समीकरण के रूप में

और इस समानता के दोनों पक्षों का मापांक लें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

.

एक कारक द्वारा असमानता को कम करना
, जो, के अनुसार, शून्य के बराबर नहीं है, हम विकर्ण प्रभुत्व को व्यक्त करने वाली असमानता के साथ एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं। परिणामी विरोधाभास हमें तीन कथनों को लगातार बताने की अनुमति देता है:

उनमें से अंतिम का अर्थ है कि प्रमेय का प्रमाण पूर्ण है।

1. त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम। स्वीप विधि।

कई समस्याओं को हल करते समय, किसी को रैखिक समीकरणों के रूप के सिस्टम से निपटना पड़ता है:

,
,

,
,

जहां गुणांक
, दाईं ओर
संख्या के साथ जाना जाता है तथा . अतिरिक्त संबंधों को अक्सर सिस्टम के लिए सीमा की स्थिति कहा जाता है। कई मामलों में, उनका स्वरूप अधिक जटिल हो सकता है। उदाहरण के लिए:

;
,

कहाँ पे
नंबर दिए गए हैं। हालाँकि, प्रस्तुति को जटिल नहीं करने के लिए, हम स्वयं को अतिरिक्त शर्तों के सरलतम रूप तक सीमित रखते हैं।

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि मान तथा दिए गए, हम सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखते हैं:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स में एक त्रिकोणीय संरचना है:

यह स्वीप विधि नामक एक विशेष विधि के कारण सिस्टम के समाधान को बहुत सरल करता है।

विधि इस धारणा पर आधारित है कि वांछित अज्ञात है तथा
पुनरावृत्ति संबंध से संबंधित

,
.

यहाँ मात्राएँ
,
, जिसे स्वीप गुणांक कहा जाता है, समस्या की स्थितियों के आधार पर निर्धारित किया जाना है। वास्तव में, ऐसी प्रक्रिया का अर्थ है अज्ञात की प्रत्यक्ष परिभाषा को बदलना मात्राओं की बाद की गणना के साथ स्वीप गुणांक निर्धारित करने का कार्य .

वर्णित कार्यक्रम को लागू करने के लिए, हम संबंध का उपयोग करके व्यक्त करते हैं
के माध्यम से
:

और स्थानापन्न
तथा के माध्यम से व्यक्त किया
, मूल समीकरणों में। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

.

अंतिम संबंध निश्चित रूप से संतुष्ट होंगे और इसके अलावा, समाधान की परवाह किए बिना, यदि आवश्यक हो तो
समानताएं हुईं:

यहाँ से स्वीप गुणांकों के लिए पुनरावर्ती संबंधों का पालन करें:

,
,
.

वाम सीमा स्थिति
और अनुपात
अगर हम रखें तो सुसंगत हैं

.

स्वीप गुणांक के अन्य मूल्य
तथा
हम स्वीप गुणांक की गणना के चरण को किसके साथ और पूरा करते हैं।

.

यहां से आप बाकी अज्ञात का पता लगा सकते हैं
एक पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके बैकवर्ड स्वीप की प्रक्रिया में।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करके एक सामान्य प्रणाली को हल करने के लिए आवश्यक संक्रियाओं की संख्या बढ़ने के साथ बढ़ती है अनुपात में . स्वीप विधि दो चक्रों तक कम हो जाती है: सबसे पहले, स्वीप गुणांक की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, फिर उनका उपयोग करके सिस्टम समाधान के घटकों को पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है . इसका मतलब यह है कि जैसे-जैसे सिस्टम का आकार बढ़ता है, अंकगणितीय परिचालनों की संख्या आनुपातिक रूप से बढ़ेगी , लेकिन नहीं . इस प्रकार, इसके संभावित अनुप्रयोग के दायरे में स्वीप विधि काफी अधिक किफायती है। इसमें कंप्यूटर पर इसके सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की विशेष सादगी को जोड़ा जाना चाहिए।

कई अनुप्रयुक्त समस्याओं में जो त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ SLAE की ओर ले जाती हैं, इसके गुणांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

,

जो विकर्ण प्रभुत्व गुण को व्यक्त करते हैं। विशेष रूप से, हम तीसरे और पाँचवें अध्यायों में ऐसी प्रणालियों से मिलेंगे।

पिछले खंड के प्रमेय के अनुसार, ऐसी प्रणालियों का समाधान हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। उनके पास एक बयान भी है जो स्वीप विधि का उपयोग करके समाधान की वास्तविक गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

लेम्मा

यदि एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाली प्रणाली के लिए विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति संतुष्ट है, तो स्वीप गुणांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

.

हम इंडक्शन द्वारा प्रूफ करेंगे। के अनुसार
, मैं खाता हूँ
लेम्मा का दावा सत्य है। आइए अब मान लें कि यह के लिए सच है और विचार करें
:

.

तो से प्रेरण प्रति
न्यायोचित, जो लेम्मा के प्रमाण को पूरा करता है।

स्वीप गुणांक के लिए असमानता रन को स्थिर बनाता है। दरअसल, मान लीजिए कि समाधान घटक राउंडिंग प्रक्रिया के परिणामस्वरूप कुछ त्रुटि के साथ गणना की जाती है। फिर अगले घटक की गणना करते समय
पुनरावर्ती सूत्र के अनुसार, असमानता के कारण यह त्रुटि नहीं बढ़ेगी।

$|ए\_(ii)|\; \backslash geqslant\; \backslash sum\_(j\; \backslash neq\; i)\; |a\_(ij)|,\backslash qquad\; i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n,$

और कम से कम एक असमानता सख्त है। यदि सभी असमानताएँ सख्त हैं, तो मैट्रिक्स कहा जाता है $ए\_(एनएन)$ है कठोरविकर्ण प्रभुत्व।

विकर्ण प्रभुत्व वाले मेट्रिसेस अक्सर अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं। उनका मुख्य लाभ यह है कि इस तरह के मैट्रिक्स (सरल पुनरावृति विधि, सेडेल विधि) के साथ SLAE को हल करने के लिए पुनरावृत्त तरीके एक सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाते हैं जो मौजूद है और किसी भी दाहिने हाथ के लिए अद्वितीय है।

गुण

• सख्त विकर्ण प्रभुत्व वाला एक मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है।

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