खैर, काम पर हमने निरीक्षण को सूचना दी, सम्मेलन के लिए लेख घर पर लिखा गया था - अब हम ब्लॉग पर लिख सकते हैं। जब मैं अपना डेटा संसाधित कर रहा था, मुझे एहसास हुआ कि मैं एक्सेल में एक बहुत अच्छे और आवश्यक ऐड-इन के बारे में लिखने से खुद को रोक नहीं सका। तो लेख इस विशेष ऐड-ऑन के लिए समर्पित होगा, और मैं आपको उपयोग के एक उदाहरण का उपयोग करके इसके बारे में बताऊंगा न्यूनतम वर्ग विधि(एलएसएम) प्रयोगात्मक डेटा का वर्णन करते समय अज्ञात समीकरण गुणांकों की खोज करने के लिए।

"समाधान खोजें" ऐड-ऑन कैसे सक्षम करें

सबसे पहले, आइए जानें कि इस ऐड-ऑन को कैसे सक्षम किया जाए।

1. "फ़ाइल" मेनू पर जाएं और "एक्सेल विकल्प" चुनें

2. दिखाई देने वाली विंडो में, "समाधान खोजें" चुनें और "जाएं" पर क्लिक करें।

3. अगली विंडो में, "समाधान खोजें" के बगल में स्थित बॉक्स को चेक करें और "ओके" पर क्लिक करें।

4. ऐड-इन सक्रिय है - अब इसे "डेटा" मेनू आइटम में पाया जा सकता है।

न्यूनतम वर्ग विधि

अब संक्षेप में इसके बारे में न्यूनतम वर्ग विधि (एलएसएम) और इसका उपयोग कहां किया जा सकता है.

मान लीजिए कि हमारे पास किसी प्रकार का प्रयोग करने के बाद डेटा का एक सेट है, जहां हमने मूल्य Y पर मूल्य X के प्रभाव का अध्ययन किया है।

हम इस प्रभाव का गणितीय रूप से वर्णन करना चाहते हैं, ताकि हम इस सूत्र का उपयोग कर सकें और जान सकें कि यदि हम X के मान में इतना परिवर्तन करते हैं, तो हमें Y का मान फलां-फलां प्राप्त होगा...

मैं एक अत्यंत सरल उदाहरण लूँगा (चित्र देखें)।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि बिंदु एक के बाद एक स्थित हैं जैसे कि एक सीधी रेखा में, और इसलिए हम सुरक्षित रूप से मान लेते हैं कि हमारी निर्भरता का वर्णन किया गया है रैखिक प्रकार्य y=kx+b. साथ ही, हमें पूरा यकीन है कि जब X शून्य के बराबर है, तो Y का मान भी शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि निर्भरता का वर्णन करने वाला फ़ंक्शन और भी सरल होगा: y=kx (स्कूल पाठ्यक्रम याद रखें)।

सामान्य तौर पर, हमें गुणांक k ज्ञात करना होता है। हम यही करेंगे बहुराष्ट्रीय कंपनी "समाधान खोज" ऐड-ऑन का उपयोग करना।

विधि यह है कि (यहां - ध्यान: आपको इसके बारे में सोचने की ज़रूरत है) प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त और संबंधित गणना मूल्यों के बीच अंतर के वर्गों का योग न्यूनतम है। अर्थात्, जब X1=1 वास्तविक मापा मान Y1=4.6, और परिकलित y1=f (x1) 4 के बराबर है, तो अंतर का वर्ग (y1-Y1)^2=(4-4.6)^ होगा 2=0.36 . निम्नलिखित के साथ भी ऐसा ही है: जब X2=2, Y2=8.1 का वास्तविक मापा मान, और परिकलित y2 8 है, तो अंतर का वर्ग (y2-Y2)^2=(8-8.1)^2 होगा =0.01. और इन सभी वर्गों का योग यथासंभव छोटा होना चाहिए।

तो, आइए एलएसएम और के उपयोग पर प्रशिक्षण शुरू करें एक्सेल ऐड-इन्स "समाधान खोजें" .

समाधान खोजने के लिए ऐड-इन लागू करना

1. यदि आपने "समाधान खोजें" ऐड-ऑन सक्षम नहीं किया है, तो बिंदु पर वापस जाएं "समाधान खोजें" ऐड-ऑन को कैसे सक्षम करें और इसे कैसे चालू करें 🙂

2. सेल A1 में, मान "1" दर्ज करें। यह इकाई हमारे कार्यात्मक संबंध y=kx के गुणांक (k) के वास्तविक मान का पहला सन्निकटन होगी।

3. कॉलम बी में हमारे पास पैरामीटर X के मान हैं, कॉलम C में हमारे पास पैरामीटर Y के मान हैं। कॉलम D की कोशिकाओं में हम सूत्र दर्ज करते हैं: "गुणांक k को मान X से गुणा किया जाता है। ” उदाहरण के लिए, सेल D1 में हम "=A1*B1" दर्ज करते हैं, सेल D2 में हम "=A1*B2" आदि दर्ज करते हैं।

4. हमारा मानना ​​है कि गुणांक k एक के बराबर है और फ़ंक्शन f (x)=y=1*x हमारे समाधान का पहला सन्निकटन है। हम Y के मापे गए मानों और सूत्र y=1*x का उपयोग करके गणना किए गए मानों के बीच वर्ग अंतर के योग की गणना कर सकते हैं। हम यह सब संबंधित सेल संदर्भों को सूत्र में दर्ज करके मैन्युअल रूप से कर सकते हैं: "=(D2-C2)^2+(D3-C3)^2+(D4-C4)^2... आदि। अंत में हम गलती करें और महसूस करें कि हमने बहुत समय बर्बाद किया है। एक्सेल में, वर्ग अंतरों के योग की गणना करने के लिए, एक विशेष सूत्र है, "SUMQUARRENT", जो हमारे लिए सब कुछ करेगा। इसे सेल A2 में दर्ज करें और सेट करें प्रारंभिक डेटा: मापे गए मानों की सीमा Y (कॉलम C) और परिकलित Y मानों की सीमा (कॉलम D)।

4. वर्गों के अंतर के योग की गणना की गई है - अब "डेटा" टैब पर जाएं और "समाधान खोजें" चुनें।

5. दिखाई देने वाले मेनू में, बदले जाने वाले सेल के रूप में सेल A1 (गुणांक k वाला) का चयन करें।

6. लक्ष्य के रूप में सेल A2 का चयन करें और "न्यूनतम मान के बराबर सेट करें" शर्त सेट करें। हमें याद है कि यह वह सेल है जहां हम परिकलित और मापे गए मानों के बीच अंतर के वर्गों के योग की गणना करते हैं, और यह योग न्यूनतम होना चाहिए। "निष्पादित करें" पर क्लिक करें।

7. गुणांक k का चयन किया गया है। अब आप सत्यापित कर सकते हैं कि परिकलित मान अब मापे गए मानों के बहुत करीब हैं।

पी.एस.

सामान्य तौर पर, बेशक, एक्सेल में प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान लगाने के लिए मौजूद हैं विशेष उपकरण, जो आपको रैखिक, घातीय, शक्ति और बहुपद कार्यों का उपयोग करके डेटा का वर्णन करने की अनुमति देता है, ताकि आप अक्सर उनके बिना काम कर सकें "समाधान खोजें" ऐड-ऑन. मैंने अपनी इन सभी सन्निकटन विधियों के बारे में बात की है, इसलिए यदि आप रुचि रखते हैं, तो एक नज़र डालें। लेकिन जब बात किसी विदेशी फंक्शन की आती है एक अज्ञात गुणांक के साथया अनुकूलन समस्याएँ, तो यहाँ सुपरस्ट्रक्चरइससे बेहतर समय नहीं आ सका.

समाधान खोज ऐड-ऑनअन्य कार्यों के लिए उपयोग किया जा सकता है, मुख्य बात सार को समझना है: एक सेल है जहां हम एक मान का चयन करते हैं, और एक लक्ष्य सेल है जिसमें एक अज्ञात पैरामीटर का चयन करने की स्थिति निर्दिष्ट है।
बस इतना ही! अगले लेख में मैं आपको छुट्टियों के बारे में एक परी कथा सुनाऊंगा, ताकि लेख का प्रकाशन छूट न जाए,

विशेषताओं के बीच स्टोकेस्टिक संबंधों का अध्ययन करने के तरीकों में से एक प्रतिगमन विश्लेषण है।
प्रतिगमन विश्लेषण एक प्रतिगमन समीकरण की व्युत्पत्ति है, जिसकी सहायता से एक यादृच्छिक चर (परिणाम विशेषता) का औसत मूल्य ज्ञात किया जाता है यदि किसी अन्य (या अन्य) चर (कारक-विशेषताएं) का मान ज्ञात किया जाता है। इसमें निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. कनेक्शन के रूप का चयन (विश्लेषणात्मक प्रतिगमन समीकरण का प्रकार);
2. समीकरण मापदंडों का अनुमान;
3. विश्लेषणात्मक प्रतिगमन समीकरण की गुणवत्ता का आकलन।

अक्सर मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है न्यूनतम वर्ग विधि (एलएसएम)।
न्यूनतम वर्ग विधि प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का सर्वोत्तम (सुसंगत, कुशल और निष्पक्ष) अनुमान प्रदान करती है। लेकिन केवल तभी जब यादृच्छिक पद (यू) और स्वतंत्र चर (एक्स) के संबंध में कुछ धारणाएं पूरी होती हैं (ओएलएस धारणाएं देखें)।

न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके एक रैखिक युग्म समीकरण के मापदंडों का अनुमान लगाने की समस्यानिम्नानुसार है: मापदंडों के ऐसे अनुमान प्राप्त करने के लिए, जिस पर परिणामी विशेषता के वास्तविक मूल्यों के वर्ग विचलन का योग - गणना मूल्यों से - न्यूनतम है।
औपचारिक रूप से ओएलएस परीक्षणइस प्रकार लिखा जा सकता है: .

न्यूनतम वर्ग विधियों का वर्गीकरण

1. न्यूनतम वर्ग विधि.
2. अधिकतम संभावना विधि (सामान्य शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल के लिए, प्रतिगमन अवशेषों की सामान्यता निर्धारित की जाती है)।
3. सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग ओएलएस विधि का उपयोग त्रुटियों के स्वत: सहसंबंध और विषमलैंगिकता के मामले में किया जाता है।
4. भारित न्यूनतम वर्ग विधि (हेटेरोसेडैस्टिक अवशेषों के साथ ओएलएस का एक विशेष मामला)।

आइए मुद्दे को स्पष्ट करें ग्राफिक रूप से शास्त्रीय न्यूनतम वर्ग विधि. ऐसा करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अवलोकन संबंधी डेटा (x i, y i, i=1;n) के आधार पर एक स्कैटर प्लॉट का निर्माण करेंगे (ऐसे स्कैटर प्लॉट को सहसंबंध क्षेत्र कहा जाता है)। आइए एक सीधी रेखा का चयन करने का प्रयास करें जो सहसंबंध क्षेत्र के बिंदुओं के सबसे करीब हो। न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार, रेखा का चयन इस प्रकार किया जाता है कि सहसंबंध क्षेत्र के बिंदुओं और इस रेखा के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी के वर्गों का योग न्यूनतम हो।

इस समस्या के लिए गणितीय संकेतन: .
y i और x i =1...n के मान हमें ज्ञात हैं; ये अवलोकन संबंधी डेटा हैं। एस फ़ंक्शन में वे स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस फ़ंक्शन में चर पैरामीटर के आवश्यक अनुमान हैं - , । दो चर वाले किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम पता लगाने के लिए, प्रत्येक पैरामीटर के लिए इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना और उन्हें शून्य के बराबर करना आवश्यक है, अर्थात। .
परिणामस्वरूप, हमें 2 सामान्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:
इस प्रणाली को हल करते हुए, हमें आवश्यक पैरामीटर अनुमान मिलते हैं:

प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों की गणना की शुद्धता को राशियों की तुलना करके जांचा जा सकता है (गणना के पूर्णांकन के कारण कुछ विसंगति हो सकती है)।
पैरामीटर अनुमानों की गणना करने के लिए, आप तालिका 1 बना सकते हैं।
प्रतिगमन गुणांक b का चिह्न संबंध की दिशा को इंगित करता है (यदि b >0, तो संबंध प्रत्यक्ष है, यदि b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
औपचारिक रूप से, पैरामीटर a का मान y का औसत मान है जिसमें x शून्य के बराबर है। यदि विशेषता-कारक का कोई शून्य मान नहीं है और नहीं हो सकता है, तो पैरामीटर a की उपरोक्त व्याख्या का कोई मतलब नहीं है।

विशेषताओं के बीच संबंधों की निकटता का आकलन करना रैखिक युग्म सहसंबंध गुणांक - r x,y का उपयोग करके किया गया। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: . इसके अलावा, रैखिक जोड़ी सहसंबंध गुणांक को प्रतिगमन गुणांक बी के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है: .
रैखिक युग्म सहसंबंध गुणांक के स्वीकार्य मानों की सीमा -1 से +1 तक है। सहसंबंध गुणांक का चिन्ह रिश्ते की दिशा को दर्शाता है। यदि r x, y >0, तो कनेक्शन सीधा है; यदि आर एक्स, वाई<0, то связь обратная.
यदि यह गुणांक परिमाण में एकता के करीब है, तो विशेषताओं के बीच संबंध को काफी करीब रैखिक के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। यदि इसका मॉड्यूल एक ê r x, y ê =1 के बराबर है, तो विशेषताओं के बीच संबंध कार्यात्मक रैखिक है। यदि विशेषताएं x और y रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो r x,y 0 के करीब है।
आर एक्स, वाई की गणना करने के लिए, आप तालिका 1 का भी उपयोग कर सकते हैं।

परिणामी प्रतिगमन समीकरण की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए, निर्धारण के सैद्धांतिक गुणांक की गणना करें - R 2 yx:

,
जहां d 2 प्रतिगमन समीकरण द्वारा समझाया गया y का प्रसरण है;
ई 2 - वाई का अवशिष्ट (प्रतिगमन समीकरण द्वारा अस्पष्टीकृत) विचरण;
s 2 y - y का कुल (कुल) विचरण।
निर्धारण का गुणांक कुल भिन्नता (फैलाव) y में प्रतिगमन (और, परिणामस्वरूप, कारक x) द्वारा समझाए गए परिणामी गुण y की भिन्नता (फैलाव) के अनुपात को दर्शाता है। निर्धारण का गुणांक R 2 yx 0 से 1 तक मान लेता है। तदनुसार, मान 1-R 2 yx मॉडल और विनिर्देश त्रुटियों में ध्यान में नहीं रखे गए अन्य कारकों के प्रभाव के कारण होने वाले विचरण y के अनुपात को दर्शाता है।
युग्मित रैखिक प्रतिगमन के साथ, R 2 yx =r 2 yx।

जिसका विज्ञान और व्यावहारिक गतिविधियों के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापकतम अनुप्रयोग होता है। यह भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान इत्यादि हो सकता है। भाग्य की इच्छा से, मुझे अक्सर अर्थव्यवस्था से निपटना पड़ता है, और इसलिए आज मैं आपके लिए एक अद्भुत देश की यात्रा की व्यवस्था करूंगा जिसे कहा जाता है अर्थमिति=) ...आप इसे कैसे नहीं चाह सकते?! यह वहां बहुत अच्छा है - आपको बस अपना मन बनाने की जरूरत है! ...लेकिन आप निश्चित रूप से यह सीखना चाहेंगे कि समस्याओं को कैसे हल किया जाए न्यूनतम वर्ग विधि. और विशेष रूप से मेहनती पाठक उन्हें न केवल सटीक रूप से, बल्कि बहुत जल्दी हल करना सीखेंगे ;-) लेकिन पहले समस्या का सामान्य विवरण+ साथ में दिया गया उदाहरण:

आइए हम एक निश्चित विषय क्षेत्र में संकेतकों का अध्ययन करें जिनकी मात्रात्मक अभिव्यक्ति होती है। साथ ही, यह मानने का हर कारण है कि संकेतक संकेतक पर निर्भर करता है। यह धारणा या तो वैज्ञानिक परिकल्पना हो सकती है या बुनियादी सामान्य ज्ञान पर आधारित हो सकती है। हालाँकि, आइए विज्ञान को एक तरफ छोड़ दें, और अधिक स्वादिष्ट क्षेत्रों का पता लगाएं - अर्थात् किराना स्टोर। आइए निरूपित करें:

– किराना दुकान का खुदरा क्षेत्र, वर्ग मीटर,
- किराना स्टोर का वार्षिक कारोबार, मिलियन रूबल।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि स्टोर का क्षेत्रफल जितना बड़ा होगा, अधिकांश मामलों में उसका टर्नओवर उतना ही अधिक होगा।

मान लीजिए कि डफ के साथ अवलोकन/प्रयोग/गणना/नृत्य करने के बाद हमारे पास संख्यात्मक डेटा है:

किराने की दुकानों के साथ, मुझे लगता है कि सब कुछ स्पष्ट है: - यह पहली दुकान का क्षेत्र है, - इसका वार्षिक कारोबार, - दूसरी दुकान का क्षेत्र, - इसका वार्षिक कारोबार, आदि। वैसे, वर्गीकृत सामग्रियों तक पहुंच होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - व्यापार कारोबार का काफी सटीक आकलन इसके माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है गणितीय सांख्यिकी. हालाँकि, विचलित न हों, वाणिज्यिक जासूसी पाठ्यक्रम का भुगतान पहले ही किया जा चुका है =)

सारणीबद्ध डेटा को बिंदुओं के रूप में भी लिखा जा सकता है और परिचित रूप में दर्शाया जा सकता है कार्तीय प्रणाली .

आइए एक महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर दें: गुणात्मक अध्ययन के लिए कितने अंक आवश्यक हैं?

जितना बड़ा उतना बेहतर। न्यूनतम स्वीकार्य सेट में 5-6 अंक होते हैं। इसके अलावा, जब डेटा की मात्रा छोटी होती है, तो "विसंगतिपूर्ण" परिणामों को नमूने में शामिल नहीं किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक छोटा संभ्रांत स्टोर "अपने सहयोगियों" से अधिक परिमाण के ऑर्डर अर्जित कर सकता है, जिससे वह सामान्य पैटर्न विकृत हो जाता है जिसे आपको खोजने की आवश्यकता है!

इसे बहुत सरलता से कहें तो, हमें एक फ़ंक्शन का चयन करना होगा, अनुसूचीजो जितना संभव हो सके बिंदुओं के करीब से गुजरता है . इस फ़ंक्शन को कहा जाता है अनुमान करने वाले (अनुमान - सन्निकटन)या सैद्धांतिक कार्य . सामान्यतया, एक स्पष्ट "दावेदार" तुरंत यहां प्रकट होता है - एक उच्च-डिग्री बहुपद, जिसका ग्राफ सभी बिंदुओं से होकर गुजरता है। लेकिन यह विकल्प जटिल है और अक्सर गलत भी होता है। (चूँकि ग्राफ़ हर समय "लूप" करेगा और मुख्य प्रवृत्ति को खराब रूप से प्रतिबिंबित करेगा).

इस प्रकार, मांगा गया कार्य काफी सरल होना चाहिए और साथ ही निर्भरता को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करना चाहिए। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, ऐसे फ़ंक्शंस को खोजने के तरीकों में से एक को कहा जाता है न्यूनतम वर्ग विधि. सबसे पहले, आइए इसके सार को सामान्य शब्दों में देखें। कुछ कार्यों को प्रायोगिक डेटा का अनुमान लगाने दें:


इस सन्निकटन की सटीकता का मूल्यांकन कैसे करें? आइए हम प्रयोगात्मक और कार्यात्मक मूल्यों के बीच अंतर (विचलन) की भी गणना करें (हम ड्राइंग का अध्ययन करते हैं). पहला विचार जो मन में आता है वह यह अनुमान लगाना है कि राशि कितनी बड़ी है, लेकिन समस्या यह है कि अंतर नकारात्मक हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, ) और ऐसे योग के परिणामस्वरूप विचलन एक दूसरे को रद्द कर देंगे। इसलिए, सन्निकटन की सटीकता के अनुमान के रूप में, योग लेना आवश्यक है मॉड्यूलविचलन:

या ढह गया: (यदि किसी को पता नहीं है: - यह योग चिह्न है, और - एक सहायक "काउंटर" चर, जो 1 से मान लेता है).

विभिन्न कार्यों के साथ प्रयोगात्मक बिंदुओं का अनुमान लगाकर, हम अलग-अलग मान प्राप्त करेंगे, और जाहिर है, जहां यह योग छोटा है, वह फ़ंक्शन अधिक सटीक है।

ऐसी एक विधि मौजूद है और इसे कहा जाता है न्यूनतम मापांक विधि. हालाँकि, व्यवहार में यह बहुत अधिक व्यापक हो गया है न्यूनतम वर्ग विधि, जिसमें संभावित नकारात्मक मानों को मॉड्यूल द्वारा नहीं, बल्कि विचलनों का वर्ग करके समाप्त किया जाता है:

, जिसके बाद प्रयासों का उद्देश्य एक फ़ंक्शन का चयन करना है ताकि वर्ग विचलन का योग हो जितना संभव हो उतना छोटा था. दरअसल, यहीं से विधि का नाम आता है।

और अब हम एक और महत्वपूर्ण बिंदु पर लौटते हैं: जैसा कि ऊपर बताया गया है, चयनित फ़ंक्शन काफी सरल होना चाहिए - लेकिन ऐसे कई फ़ंक्शन भी हैं: रेखीय , अतिपरवलिक, घातीय, लघुगणक, द्विघात वगैरह। और, निःसंदेह, यहां मैं तुरंत "गतिविधि के क्षेत्र को कम करना" चाहूंगा। अनुसंधान के लिए मुझे किस श्रेणी के कार्यों का चयन करना चाहिए? एक आदिम लेकिन प्रभावी तकनीक:

– सबसे आसान तरीका है बिंदुओं को चित्रित करना ड्राइंग पर और उनके स्थान का विश्लेषण करें। यदि वे एक सीधी रेखा में चलते हैं, तो आपको तलाश करनी चाहिए एक रेखा का समीकरण इष्टतम मूल्यों के साथ और। दूसरे शब्दों में, कार्य ऐसे गुणांक ढूंढना है ताकि वर्ग विचलन का योग सबसे छोटा हो।

यदि बिंदु स्थित हैं, उदाहरण के लिए, साथ में अतिशयोक्ति, तो यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि रैखिक फ़ंक्शन खराब सन्निकटन देगा। इस मामले में, हम हाइपरबोला समीकरण के लिए सबसे "अनुकूल" गुणांक की तलाश कर रहे हैं - वे जो वर्गों का न्यूनतम योग देते हैं .

अब ध्यान दीजिए कि हम दोनों ही मामलों में किसकी बात कर रहे हैं दो चर के कार्य, किसके तर्क हैं निर्भरता पैरामीटर खोजे गए:

और अनिवार्य रूप से हमें एक मानक समस्या को हल करने की आवश्यकता है - खोजें दो चरों का न्यूनतम कार्य.

आइए अपना उदाहरण याद रखें: मान लीजिए कि "स्टोर" बिंदु एक सीधी रेखा में स्थित होते हैं और ऐसा मानने का हर कारण है रैखिक निर्भरताखुदरा स्थान से कारोबार। आइए ऐसे गुणांक "ए" और "बी" ढूंढें जैसे कि वर्ग विचलन का योग सबसे छोटा था. सब कुछ हमेशा की तरह है - पहला प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न. के अनुसार रैखिकता नियमआप योग चिह्न के ठीक नीचे अंतर कर सकते हैं:

यदि आप इस जानकारी का उपयोग निबंध या टर्म पेपर के लिए करना चाहते हैं, तो मैं स्रोतों की सूची में लिंक के लिए बहुत आभारी रहूंगा; आपको ऐसी विस्तृत गणना कुछ स्थानों पर मिलेगी:

आइए एक मानक प्रणाली बनाएं:

हम प्रत्येक समीकरण को "दो" से कम करते हैं और, इसके अलावा, योग को "विभाजित" करते हैं:

टिप्पणी : स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें कि "ए" और "बी" को योग चिह्न से परे क्यों निकाला जा सकता है। वैसे, औपचारिक तौर पर रकम से ऐसा किया जा सकता है

आइए सिस्टम को "लागू" रूप में फिर से लिखें:

जिसके बाद हमारी समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम उभरना शुरू होता है:

क्या हम बिंदुओं के निर्देशांक जानते हैं? हम जानते हैं। राशियाँ क्या हम इसे ढूंढ सकते हैं? आसानी से। आइए सबसे सरल बनाएं दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली("ए" और "बी")। हम सिस्टम को हल करते हैं, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक स्थिर बिंदु प्राप्त होता है। चेकिंग चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति, हम इस बिंदु पर फ़ंक्शन को सत्यापित कर सकते हैं बिल्कुल पहुंचता है न्यूनतम. जाँच में अतिरिक्त गणनाएँ शामिल हैं और इसलिए हम इसे पर्दे के पीछे छोड़ देंगे (यदि आवश्यक हो, तो लापता फ़्रेम को देखा जा सकता है). हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं:

समारोह सबसे अच्छा तरीका (कम से कम किसी अन्य रैखिक फ़ंक्शन की तुलना में)प्रयोगात्मक बिंदुओं को करीब लाता है . मोटे तौर पर कहें तो इसका ग्राफ जितना संभव हो सके इन बिंदुओं के करीब से गुजरता है। परंपरा में अर्थमितिपरिणामी सन्निकटन फलन को भी कहा जाता है युग्मित रैखिक प्रतिगमन समीकरण .

विचाराधीन समस्या अत्यधिक व्यावहारिक महत्व की है। हमारी उदाहरण स्थिति में, Eq. आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देता है कि व्यापार का टर्नओवर क्या होगा ("इग्रेक")स्टोर में बिक्री क्षेत्र का एक या दूसरा मूल्य होगा ("x" का एक या दूसरा अर्थ). हां, परिणामी पूर्वानुमान केवल पूर्वानुमान ही होगा, लेकिन कई मामलों में यह काफी सटीक साबित होगा।

मैं "वास्तविक" संख्याओं के साथ सिर्फ एक समस्या का विश्लेषण करूंगा, क्योंकि इसमें कोई कठिनाई नहीं है - सभी गणना 7वीं-8वीं कक्षा के स्कूल पाठ्यक्रम के स्तर पर हैं। 95 प्रतिशत मामलों में, आपको केवल एक रैखिक फलन खोजने के लिए कहा जाएगा, लेकिन लेख के अंत में मैं दिखाऊंगा कि इष्टतम हाइपरबोला, घातीय और कुछ अन्य फलनों के समीकरण ढूंढना अधिक कठिन नहीं है।

वास्तव में, जो कुछ बचा है वह वादा किए गए उपहारों को वितरित करना है - ताकि आप ऐसे उदाहरणों को न केवल सटीक रूप से, बल्कि जल्दी से हल करना सीख सकें। हम मानक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं:

काम

दो संकेतकों के बीच संबंध का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए:

न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके, वह रैखिक फ़ंक्शन ढूंढें जो अनुभवजन्य का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है (अनुभव)डेटा। एक चित्र बनाएं जिस पर कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रयोगात्मक बिंदु और अनुमानित फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया जा सके . अनुभवजन्य और सैद्धांतिक मूल्यों के बीच वर्ग विचलन का योग ज्ञात कीजिए। पता करें कि क्या सुविधा बेहतर होगी (न्यूनतम वर्ग विधि की दृष्टि से)प्रायोगिक बिंदुओं को करीब लाएँ।

कृपया ध्यान दें कि "x" अर्थ प्राकृतिक हैं, और इसका एक विशिष्ट अर्थपूर्ण अर्थ है, जिसके बारे में मैं थोड़ी देर बाद बात करूंगा; लेकिन निस्संदेह, वे भिन्नात्मक भी हो सकते हैं। इसके अलावा, किसी विशेष कार्य की सामग्री के आधार पर, "X" और "गेम" दोनों मान पूरी तरह या आंशिक रूप से नकारात्मक हो सकते हैं। खैर, हमें एक "फेसलेस" कार्य दिया गया है, और हम इसे शुरू करते हैं समाधान:

हम सिस्टम के समाधान के रूप में इष्टतम फ़ंक्शन के गुणांक पाते हैं:

अधिक संक्षिप्त रिकॉर्डिंग के प्रयोजन के लिए, "काउंटर" वेरिएबल को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि योग 1 से 1 तक किया जाता है।

आवश्यक राशियों की गणना सारणीबद्ध रूप में करना अधिक सुविधाजनक है:


गणना माइक्रोकैलकुलेटर पर की जा सकती है, लेकिन एक्सेल का उपयोग करना बहुत बेहतर है - तेज और त्रुटियों के बिना; एक छोटा वीडियो देखें:

इस प्रकार, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है प्रणाली:

यहां आप दूसरे समीकरण को 3 से गुणा कर सकते हैं पहले समीकरण से दूसरे को पद दर पद घटाएँ. लेकिन यह भाग्य है - व्यवहार में, सिस्टम अक्सर कोई उपहार नहीं होते हैं, और ऐसे मामलों में यह बचाता है क्रैमर विधि:
, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

की जाँच करें। मैं समझता हूं कि आप ऐसा नहीं करना चाहते, लेकिन उन त्रुटियों को क्यों छोड़ें जहां उन्हें बिल्कुल भी नहीं छोड़ा जा सकता है? आइए हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करें:

संबंधित समीकरणों के दाहिने पक्ष प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है।

इस प्रकार, वांछित सन्निकटन फलन:- से सभी रैखिक कार्यवह वह है जो प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाती है।

भिन्न सीधा स्टोर के टर्नओवर की उसके क्षेत्र पर निर्भरता, पाई गई निर्भरता है रिवर्स (सिद्धांत "जितना अधिक, उतना कम"), और यह तथ्य तुरंत नकारात्मक द्वारा प्रकट हो जाता है ढलान. समारोह हमें बताता है कि एक निश्चित संकेतक में 1 इकाई की वृद्धि के साथ, आश्रित संकेतक का मूल्य घट जाता है औसत 0.65 इकाइयों द्वारा. जैसा कि वे कहते हैं, एक प्रकार का अनाज की कीमत जितनी अधिक होगी, वह उतना ही कम बिकेगा।

अनुमानित फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम इसके दो मान पाते हैं:

और ड्राइंग निष्पादित करें:


निर्मित सीधी रेखा कहलाती है प्रवृत्ति रेखा (अर्थात्, एक रैखिक प्रवृत्ति रेखा, यानी सामान्य स्थिति में, एक प्रवृत्ति जरूरी नहीं कि एक सीधी रेखा हो). हर कोई "प्रवृत्ति में रहना" अभिव्यक्ति से परिचित है और मुझे लगता है कि इस शब्द को अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है।

आइए वर्ग विचलनों के योग की गणना करें अनुभवजन्य और सैद्धांतिक मूल्यों के बीच. ज्यामितीय रूप से, यह "रास्पबेरी" खंडों की लंबाई के वर्गों का योग है (जिनमें से दो इतने छोटे हैं कि दिखाई भी नहीं देते).

आइए एक तालिका में गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें:


फिर, उन्हें मैन्युअल रूप से किया जा सकता है; बस मामले में, मैं पहले बिंदु के लिए एक उदाहरण दूंगा:

लेकिन इसे पहले से ज्ञात तरीके से करना कहीं अधिक प्रभावी है:

हम एक बार फिर दोहराते हैं: प्राप्त परिणाम का क्या अर्थ है?से सभी रैखिक कार्य y फ़ंक्शन सूचक सबसे छोटा है, अर्थात अपने परिवार में यह सबसे अच्छा सन्निकटन है। और यहाँ, वैसे, समस्या का अंतिम प्रश्न आकस्मिक नहीं है: क्या होगा यदि प्रस्तावित घातीय फ़ंक्शन क्या प्रायोगिक बिंदुओं को करीब लाना बेहतर होगा?

आइए वर्ग विचलनों का संगत योग ज्ञात करें - अंतर करने के लिए, मैं उन्हें "एप्सिलॉन" अक्षर से निरूपित करूंगा। तकनीक बिल्कुल वैसी ही है:


और फिर, बस मामले में, पहले बिंदु के लिए गणना:

एक्सेल में हम मानक फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं ऍक्स्प (सिंटैक्स एक्सेल हेल्प में पाया जा सकता है).

निष्कर्ष: , जिसका अर्थ है कि घातांकीय फ़ंक्शन एक सीधी रेखा से भी बदतर प्रयोगात्मक बिंदुओं का अनुमान लगाता है .

लेकिन यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "बदतर" है अभी तक इसका मतलब नहीं है, गलत क्या है। अब मैंने इस घातीय फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया है - और यह बिंदुओं के करीब से भी गुजरता है - इतना कि विश्लेषणात्मक शोध के बिना यह कहना मुश्किल है कि कौन सा फ़ंक्शन अधिक सटीक है।

यह समाधान समाप्त करता है, और मैं तर्क के प्राकृतिक मूल्यों के प्रश्न पर लौटता हूं। विभिन्न अध्ययनों में, आमतौर पर आर्थिक या समाजशास्त्रीय, प्राकृतिक "एक्स" का उपयोग महीनों, वर्षों या अन्य समान समय अंतरालों की संख्या के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

4.1. अंतर्निहित फ़ंक्शंस का उपयोग करना

गणना प्रतिगमन गुणांकफ़ंक्शन का उपयोग करके किया गया

लाइनेस्ट(मान_y; एक्स-मूल्यों; कॉन्स्ट; आंकड़े),

मान_y- y मानों की सरणी,

एक्स-मूल्यों- मानों की वैकल्पिक सारणी एक्स, यदि सरणी एक्सछोड़ दिया गया है, तो यह माना जाता है कि यह उसी आकार की एक सरणी (1;2;3;...) है मान_y,

कॉन्स्ट- एक बूलियन मान जो इंगित करता है कि स्थिरांक की आवश्यकता है या नहीं बी 0 के बराबर था. यदि कॉन्स्टका अर्थ है सत्यया फिर छोड़ दिया गया बीसामान्य तरीके से गणना की जाती है. यदि तर्क कॉन्स्टतो फिर, गलत है बीमान 0 और मान माना जाता है एइसलिए चुना जाता है ताकि रिश्ता निभाया जा सके y=ax.

आंकड़ेएक बूलियन मान है जो इंगित करता है कि अतिरिक्त प्रतिगमन आँकड़े लौटाए जाने की आवश्यकता है या नहीं। यदि तर्क आंकड़ेका अर्थ है सत्य, फिर फ़ंक्शन लाइनेस्टअतिरिक्त प्रतिगमन आँकड़े लौटाता है। यदि तर्क आंकड़ेका अर्थ है झूठया छोड़ दिया गया, तो फ़ंक्शन लाइनेस्टकेवल गुणांक लौटाता है एऔर स्थिर बी.

यह याद रखना चाहिए कि कार्यों का परिणाम लाइनेस्ट()मानों का एक सेट है - एक सरणी।

गणना के लिए सहसंबंध गुणांकफ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है

कोरल(सारणी1;सारणी2),

सहसंबंध गुणांक के मान लौटाना, जहाँ सारणी1- मानों की सारणी य, सारणी2- मानों की सारणी एक्स. सारणी1और सारणी2समान आकार होना चाहिए.

उदाहरण 1. लत य(एक्स) तालिका में प्रस्तुत किया गया है। निर्माण प्रतिगमन लाइनऔर गणना करें सहसंबंध गुणांक.

आइए एमएस एक्सेल शीट में मूल्यों की एक तालिका दर्ज करें और एक स्कैटर प्लॉट बनाएं। वर्कशीट चित्र में दिखाए गए फॉर्म को ले लेगी। 2.

प्रतिगमन गुणांक के मूल्यों की गणना करने के लिए एऔर बीकक्षों का चयन करें ए7:बी7,आइए फ़ंक्शन विज़ार्ड और श्रेणी में जाएं सांख्यिकीयएक फ़ंक्शन चुनें लाइनेस्ट. आइए चित्र में दिखाए अनुसार दिखाई देने वाले संवाद बॉक्स को भरें। 3 और दबाएँ ठीक है.

परिणामस्वरूप, परिकलित मान केवल सेल में दिखाई देगा ए6(चित्र 4)। मान को सेल में प्रदर्शित करने के लिए बी -6आपको संपादन मोड (कुंजी) दर्ज करना होगा F2), और फिर कुंजी संयोजन दबाएँ CTRL+SHIFT+ENTER.

किसी सेल में सहसंबंध गुणांक के मान की गणना करना सी 6निम्नलिखित सूत्र प्रस्तुत किया गया:

C7=CORREL(B3:J3;B2:J2).

प्रतिगमन गुणांक जानना एऔर बीआइए फ़ंक्शन मानों की गणना करें य=कुल्हाड़ी+बीमाफ़ कर दिया एक्स. ऐसा करने के लिए, हम सूत्र प्रस्तुत करते हैं

B5=$A$7*B2+$B$7

और इसे रेंज में कॉपी करें सी5:जे5(चित्र 5)।

आइए आरेख पर समाश्रयण रेखा अंकित करें। ग्राफ़ पर प्रयोगात्मक बिंदुओं का चयन करें, राइट-क्लिक करें और कमांड का चयन करें आरंभिक डेटा. दिखाई देने वाले संवाद बॉक्स में (चित्र 5), टैब का चयन करें पंक्तिऔर बटन पर क्लिक करें जोड़ना. आइए इनपुट फ़ील्ड भरें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 6 और बटन दबाएँ ठीक है. प्रायोगिक डेटा ग्राफ़ में एक प्रतिगमन रेखा जोड़ी जाएगी। डिफ़ॉल्ट रूप से, इसका ग्राफ़ उन बिंदुओं के रूप में खींचा जाएगा जो स्मूथिंग लाइनों से जुड़े नहीं हैं।

चावल। 6

प्रतिगमन रेखा का स्वरूप बदलने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें। लाइन ग्राफ़ को दर्शाने वाले बिंदुओं पर राइट-क्लिक करें और कमांड का चयन करें चार्ट प्रकारऔर स्कैटर आरेख का प्रकार सेट करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 7.

लाइन का प्रकार, रंग और मोटाई निम्नानुसार बदली जा सकती है। आरेख पर एक पंक्ति का चयन करें, राइट-क्लिक करें और संदर्भ मेनू में कमांड का चयन करें डेटा श्रृंखला प्रारूप...इसके बाद, सेटिंग्स करें, उदाहरण के लिए, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 8.

सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हम प्रयोगात्मक डेटा का एक ग्राफ और एक ग्राफिकल क्षेत्र में एक प्रतिगमन रेखा प्राप्त करते हैं (चित्र 9)।

4.2. ट्रेंड लाइन का उपयोग करना.

एमएस एक्सेल में विभिन्न अनुमानित निर्भरताओं का निर्माण एक चार्ट संपत्ति के रूप में कार्यान्वित किया जाता है - प्रवृत्ति रेखा.

उदाहरण 2. प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक निश्चित सारणीबद्ध निर्भरता निर्धारित की गई।

एक अनुमानित निर्भरता का चयन करें और निर्माण करें। सारणीबद्ध और चयनित विश्लेषणात्मक निर्भरता के ग्राफ़ बनाएं।

समस्या के समाधान को निम्नलिखित चरणों में विभाजित किया जा सकता है: प्रारंभिक डेटा दर्ज करना, एक स्कैटर प्लॉट का निर्माण करना और इस ग्राफ़ में एक प्रवृत्ति रेखा जोड़ना।

आइए इस प्रक्रिया को विस्तार से देखें। आइए वर्कशीट में प्रारंभिक डेटा दर्ज करें और प्रयोगात्मक डेटा प्लॉट करें। इसके बाद, ग्राफ़ पर प्रयोगात्मक बिंदुओं का चयन करें, राइट-क्लिक करें और कमांड का उपयोग करें जोड़नाएल प्रवृत्ति रेखा(चित्र 10)।

दिखाई देने वाला संवाद बॉक्स आपको एक अनुमानित संबंध बनाने की अनुमति देता है।

इस विंडो का पहला टैब (चित्र 11) अनुमानित निर्भरता के प्रकार को इंगित करता है।

दूसरे (चित्र 12) पर निर्माण पैरामीटर निर्धारित किए जाते हैं:

· अनुमानित निर्भरता का नाम;

· पूर्वानुमान आगे (पीछे) द्वारा एनइकाइयाँ (यह पैरामीटर निर्धारित करता है कि प्रवृत्ति रेखा को कितनी इकाइयों को आगे (पीछे) बढ़ाने की आवश्यकता है);

क्या एक सीधी रेखा के साथ वक्र का प्रतिच्छेदन बिंदु दिखाना है y= स्थिरांक;

· आरेख पर अनुमानित फ़ंक्शन दिखाएं या नहीं (आरेख पर समीकरण दिखाने का विकल्प);

· मानक विचलन का मान आरेख पर रखना है या नहीं (आरेख पर सन्निकटन विश्वसनीयता का मान रखने का विकल्प)।

आइए हम अनुमानित निर्भरता के रूप में दूसरी डिग्री के बहुपद को चुनें (चित्र 11) और उस समीकरण को प्रदर्शित करें जो इस बहुपद का वर्णन एक ग्राफ पर करता है (चित्र 12)। परिणामी आरेख चित्र में दिखाया गया है। 13.

इसी तरह प्रयोग कर रहे हैं प्रवृत्ति रेखाएँआप इस तरह की निर्भरता के मापदंडों का चयन कर सकते हैं

रेखीय य=a∙x+बी,

लघुगणक य=a∙ln(एक्स)+बी,

· घातीय य=ए∙ई बी,

· बेहोश करना य=ए∙x बी,

बहुपद य=a∙x 2 +b∙x+सी, य=a∙x 3 +b∙x 2 +c∙x+dऔर इसी तरह, 6ठी डिग्री के बहुपद तक,

· रैखिक निस्पंदन.

4.3. सॉल्वर ब्लॉक का उपयोग करना

सॉल्वर ब्लॉक का उपयोग करके कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके मापदंडों का चयन करने के लिए एमएस एक्सेल में महत्वपूर्ण रुचि का कार्यान्वयन है। यह तकनीक आपको किसी भी प्रकार के फ़ंक्शन के पैरामीटर का चयन करने की अनुमति देती है। आइए एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित समस्या का उपयोग करके इस संभावना पर विचार करें।

उदाहरण 3. प्रयोग के परिणामस्वरूप, निर्भरता z(t) प्राप्त हुई, जिसे तालिका में प्रस्तुत किया गया है

निर्भरता गुणांक चुनें Z(t)=4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K परन्यूनतम वर्ग विधि.

यह समस्या पाँच चरों वाले किसी फलन का न्यूनतम ज्ञात करने की समस्या के समतुल्य है

आइए अनुकूलन समस्या को हल करने की प्रक्रिया पर विचार करें (चित्र 14)।

चलो मूल्यों ए, में, साथ, डीऔर कोकोशिकाओं में संग्रहीत ए7:ई7. आइए फ़ंक्शन के सैद्धांतिक मूल्यों की गणना करें जेड(टी)=4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K परमाफ़ कर दिया टी(बी2:जे2). ऐसा करने के लिए, सेल में बी 4पहले बिंदु (सेल) पर फ़ंक्शन का मान दर्ज करें बी2):

B4=$A$7*B2^4+$B$7*B2^3+$C$7*B2^2+$D$7*B2+$E$7.

आइए इस सूत्र को श्रेणी में कॉपी करें सी4:जे4और उन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का अपेक्षित मान प्राप्त करें जिनके एब्सिस्सा कोशिकाओं में संग्रहीत हैं बी2:जे2.

सेल को बी5आइए एक सूत्र प्रस्तुत करें जो प्रयोगात्मक और परिकलित बिंदुओं के बीच अंतर के वर्ग की गणना करता है:

बी5=(बी4-बी3)^2,

और इसे रेंज में कॉपी करें सी5:जे5. एक सेल में एफ7हम कुल चुकता त्रुटि (10) संग्रहीत करेंगे। ऐसा करने के लिए, सूत्र दर्ज करें:

F7 = SUM(B5:J5).

आइए कमांड का उपयोग करें Service®समाधान खोजेंऔर बिना किसी प्रतिबंध के अनुकूलन समस्या का समाधान करें। आइए चित्र में दिखाए गए संवाद बॉक्स में तदनुसार इनपुट फ़ील्ड भरें। 14 और बटन दबाएँ निष्पादित करना. यदि कोई समाधान मिल जाता है, तो चित्र में दिखाई गई विंडो। 15.

निर्णय ब्लॉक का परिणाम कोशिकाओं में आउटपुट होगा ए7:ई7पैरामीटर मानकार्य जेड(टी)=4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K पर. कोशिकाओं में बी4:जे4हम पाते हैं अपेक्षित फ़ंक्शन मानशुरुआती बिंदुओं पर. एक सेल में एफ7संग्रहित किया जाएगा कुल वर्ग त्रुटि.

आप एक श्रेणी का चयन करके एक ग्राफ़िक क्षेत्र में प्रयोगात्मक बिंदु और एक फिट लाइन प्रदर्शित कर सकते हैं बी2:जे4, पुकारना चार्ट विज़ार्ड, और फिर परिणामी ग्राफ़ की उपस्थिति को प्रारूपित करें।

चावल। गणना निष्पादित होने के बाद 17 एमएस एक्सेल वर्कशीट प्रदर्शित करता है।

5. सन्दर्भ

1. अलेक्सेव ई.आर., चेसनोकोवा ओ.वी., Mathcad12, MATLAB7, Maple9 पैकेज में कम्प्यूटेशनल गणित की समस्याओं को हल करना। - एनटी प्रेस, 2006.-596 पी. :il. –(ट्यूटोरियल)

2. अलेक्सेव ई.आर., चेसनोकोवा ओ.वी., ई.ए. रुडचेंको, साइलैब, इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं को हल करते हुए। -एम., बिनोम, 2008.-260 पी.

3. बेरेज़िन आई.एस., झिडकोव एन.पी., गणना के तरीके। - एम.: नौका, 1966. - 632 पी।

4. गार्नेव ए.यू., अर्थशास्त्र और वित्त में एमएस एक्सेल और वीबीए का उपयोग करना। - सेंट पीटर्सबर्ग: बीएचवी - पीटर्सबर्ग, 1999.-332 पी।

5. डेमिडोविच बी.पी., मैरोन आई.ए., शुवालोवा वी.जेड., विश्लेषण के संख्यात्मक तरीके। - एम.: नौका, 1967. - 368 पी।

6. कोर्न जी., कोर्न टी., वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका। - एम., 1970, 720 पी.

7. अलेक्सेव ई.आर., चेसनोकोवा ओ.वी. एमएस एक्सेल में प्रयोगशाला कार्य करने के लिए दिशानिर्देश। सभी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए. डोनेट्स्क, डोनएनटीयू, 2004. 112 पी।

न्यूनतम वर्ग विधि एक रैखिक समीकरण बनाने की एक गणितीय प्रक्रिया है जो संख्याओं की दो श्रृंखलाओं के सेट में सबसे सटीक रूप से फिट होगी। इस पद्धति का उपयोग करने का उद्देश्य कुल वर्ग त्रुटि को कम करना है। एक्सेल में ऐसे उपकरण हैं जो इस पद्धति को आपकी गणनाओं में लागू करने में आपकी सहायता कर सकते हैं। आइए जानें कि यह कैसे किया जाता है।

न्यूनतम वर्ग विधि (एलएसएम) एक चर की दूसरे पर निर्भरता का गणितीय विवरण है। इसका उपयोग पूर्वानुमान के लिए किया जा सकता है।

समाधान खोजें ऐड-ऑन सक्षम करना

एक्सेल में एमएनसी का उपयोग करने के लिए, आपको ऐड-इन सक्षम करना होगा "समाधान ढूँढना", जो डिफ़ॉल्ट रूप से अक्षम है।

अब समारोह समाधान ढूँढनाएक्सेल में सक्रिय है, और इसके उपकरण रिबन पर दिखाई देते हैं।

समस्या की स्थितियाँ

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके एलएसएम के उपयोग का वर्णन करें। हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं एक्स और य , जिसका क्रम नीचे छवि में दिखाया गया है।

इस निर्भरता को फ़ंक्शन द्वारा सबसे सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:

साथ ही यह भी पता चल जाता है कि कब एक्स=0 यभी बराबर 0 . इसलिए, इस समीकरण को निर्भरता द्वारा वर्णित किया जा सकता है y=nx .

हमें अंतर के वर्गों का न्यूनतम योग ज्ञात करना है।

समाधान

आइए विधि के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के विवरण पर आगे बढ़ें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, न्यूनतम वर्ग विधि का अनुप्रयोग एक जटिल गणितीय प्रक्रिया है। हमने इसे एक सरल उदाहरण का उपयोग करके क्रियान्वित करके दिखाया, लेकिन बहुत अधिक जटिल मामले भी हैं। हालाँकि, Microsoft Excel उपकरण गणनाओं को यथासंभव सरल बनाने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।