Շարադրությունն ավարտեց Համայնքային ուսումնական հաստատության թիվ 9 գիմնազիայի 8-րդ դասարանի աշակերտուհի Վերոնիկա Վյուշինան։

Եկատերինբուրգ

1. Ներածություն. Ոսկե հարաբերակցության համամասնությունը. F և φ.

«Երկրաչափությունը երկու մեծ գանձեր ունի. առաջինը Պյութագորասի թեորեմն է, երկրորդը՝ հատվածի բաժանումը ծայրահեղ և միջին հարաբերակցությամբ»:

Յոհաննես Կեպլեր

Կանոնավոր բազմանկյունները գրավել են հին հույն գիտնականների ուշադրությունը Արքիմեդից շատ առաջ։ Պյութագորացիները, ովքեր որպես իրենց միության խորհրդանիշ ընտրել էին հնգագիր՝ հնգաթև աստղ, մեծ նշանակություն էին տալիս շրջանագիծը հավասար մասերի բաժանելու, այսինքն՝ կանոնավոր ներգծված բազմանկյուն կառուցելու խնդրին։ Ալբրեխտ Դյուրերը (1471-1527), որը դարձավ Վերածննդի անձնավորությունը Գերմանիայում, տեսականորեն ճշգրիտ մեթոդ է տալիս կանոնավոր հնգանկյուն կառուցելու համար՝ փոխառված Պտղոմեոսի «Ալմագեստ» մեծ աշխատությունից:

Դյուրերի հետաքրքրությունը կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցելու նկատմամբ արտացոլում է դրանց կիրառումը միջնադարում արաբական և գոթական ձևավորումներում և հրազենի գյուտից հետո ամրոցների նախագծման մեջ։

Կանոնավոր բազմանկյունների կառուցման միջնադարյան մեթոդները մոտավոր էին, բայց պարզ էին (կամ չէին կարող չլինել)՝ նախապատվությունը տրվեց շինարարական մեթոդներին, որոնք նույնիսկ չեն պահանջում փոխել կողմնացույցի բացումը: Լեոնարդո դա Վինչին նույնպես շատ է գրել բազմանկյունների մասին, բայց ոչ թե Լեոնարդոն, այլ Դյուրերն է իր ժառանգներին փոխանցել շինարարության միջնադարյան մեթոդները։ Դյուրերը, իհարկե, ծանոթ էր Էվկլիդեսի «տարրերին», բայց իր «Չափման ձեռնարկում» (կողմնացույցներ և քանոններ օգտագործող կոնստրուկցիաների մասին) չներկայացրեց Էվկլիդեսի առաջարկած մեթոդը կանոնավոր հնգանկյուն կառուցելու համար, որը տեսականորեն ճշգրիտ էր, ինչպես բոլորը։ Էվկլիդյան կոնստրուկցիաներ. Էվկլիդեսը չի փորձում շրջանագծի տրված աղեղը բաժանել երեք հավասար մասերի, և Դյուրերը գիտեր, թեև ապացույցը չի գտնվել մինչև 19-րդ դարը, որ այս խնդիրն անլուծելի է։

Էվկլիդեսի առաջարկած կանոնավոր հնգանկյունի կառուցումը ներառում է ուղիղ գծի հատվածի բաժանումը միջին և ծայրահեղ հարաբերակցությամբ, որը հետագայում կոչվեց ոսկե հատված և մի քանի դար շարունակ գրավեց արվեստագետների և ճարտարապետների ուշադրությունը:

B կետը բաժանում է ABE հատվածը միջին և ծայրահեղ հարաբերակցությամբ կամ կազմում է ոսկե հարաբերակցությունը, եթե հատվածի մեծ մասի և փոքրի հարաբերությունը հավասար է ամբողջ հատվածի և մեծ մասի հարաբերությանը:

Հարաբերությունների հավասարության տեսքով գրված ոսկե հարաբերակցությունն ունի ձևը

AB/BE= AB/AE

Եթե ​​դնենք AB=a, և BE=a/F այնպես, որ ոսկե հարաբերակցությունը հավասար լինի AB/BE=F, ապա կստանանք հարաբերակցությունը.

Այսինքն՝ Ֆ-ն բավարարում է հավասարումը

Այս հավասարումն ունի մեկ դրական արմատ

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Նշենք, որ 1/Ф = (√5 -1)/2, քանի որ (√5-1)(√5+1) =5-1=4: 1/F-ը համարվում է φ=0.618034….

Ф և φ հունարեն «phi» տառի մեծատառ և փոքրատառ ձևերն են։

Այս անվանումն ընդունվել է ի պատիվ հին հույն քանդակագործ Ֆիդիասի (մ.թ.ա. 5-րդ դար), Ֆիդիասը ղեկավարել է Աթենքում Պարթենոնի տաճարի կառուցումը։ Ֆ թիվը բազմիցս առկա է այս տաճարի համամասնություններում:

2. Ոսկե հարաբերակցության պատմություն

Ընդհանրապես ընդունված է, որ ոսկե բաժանման հասկացությունը գիտական ​​կիրառություն է մտցրել հին հույն փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դար): Ենթադրություն կա, որ Պյութագորասը ոսկե բաժանման մասին իր գիտելիքները փոխառել է եգիպտացիներից և բաբելոնացիներից: Իրոք, Քեոպսի բուրգի, տաճարների, խորաքանդակների, կենցաղային իրերի և Թութանհամոնի գերեզմանի զարդերի համամասնությունները ցույց են տալիս, որ եգիպտացի արհեստավորները դրանք ստեղծելիս օգտագործել են ոսկե բաժանման հարաբերակցությունները: Ֆրանսիացի ճարտարապետ Լե Կորբյուզիեն պարզել է, որ Աբիդոսում գտնվող Սեթի I փարավոն տաճարի ռելիեֆում և փարավոն Ռամզեսի ռելիեֆում պատկերների համամասնությունները համապատասխանում են ոսկե բաժանման արժեքներին: Ռելիեֆի վրա պատկերել է ճարտարապետ Խեսիրան փայտե տախտակիր անունը կրող գերեզմանից՝ իր ձեռքերում բռնած չափիչ գործիքներ, որում ամրագրված են ոսկե բաժանման համամասնությունները։

Ոսկե բաժանման մասին գիտեր նաև Պլատոնը (մ.թ.ա. 427... 347 թ.): Նրա «Տիմեոս» երկխոսությունը նվիրված է Պյութագորասի դպրոցի մաթեմատիկական և գեղագիտական ​​հայացքներին և, մասնավորապես, ոսկե բաժանման հարցերին։

Պարթենոնն ունի 8 սյուներ կարճ կողմերում, 17՝ երկար կողմերում։ Շենքի բարձրության և երկարության հարաբերակցությունը 0,618 է։ Եթե ​​Պարթենոնը բաժանենք ըստ «ոսկե հատվածի», ապա կստանանք ճակատի որոշակի ելուստներ։ Նրա պեղումների ընթացքում հայտնաբերվել են կողմնացույցներ, որոնք օգտագործվել են հին աշխարհի ճարտարապետների և քանդակագործների կողմից։ Պոմպեյան կողմնացույցը (թանգարանը Նեապոլում) պարունակում է նաև ոսկե բաժանման համամասնությունները։

Գոյություն ունեցողների մեջ հին գրականությունՈսկե բաժանումն առաջին անգամ հիշատակվել է Էվկլիդեսի տարրերում։ Տարրերի 2-րդ գրքում տրված է ոսկե բաժանման երկրաչափական կառուցվածքը։ Էվկլիդեսից հետո ոսկե բաժանման ուսումնասիրությամբ զբաղվել են Հիպսիկլեսը (Ք.ա. II դ.), Պապպուսը (մ.թ. III դ.) և այլք։ միջնադարյան ԵվրոպաՈսկե բաժանմանը մենք ծանոթացանք Էվկլիդեսի տարրերի արաբերեն թարգմանություններից։ Թարգմանության վերաբերյալ մեկնաբանություններ է արել Նավարայից (III դ.) թարգմանիչ Ջ.Կամպանոն։ Ոսկե բաժանման գաղտնիքները խանդով պահպանվում էին և պահվում խիստ գաղտնիության մեջ։ Նրանք հայտնի էին միայն նախաձեռնողներով։

Վերածննդի դարաշրջանում ոսկե բաժանման նկատմամբ հետաքրքրությունը մեծացավ գիտնականների և արվեստագետների շրջանում, քանի որ այն օգտագործվում էր ինչպես երկրաչափության, այնպես էլ արվեստում, հատկապես ճարտարապետության մեջ: Նկարիչ և գիտնական Լեոնարդո դա Վինչին տեսավ, որ իտալացի արվեստագետները մեծ էմպիրիկ փորձ ունեն, բայց գիտելիքների պակաս: Նա հղիացավ և սկսեց գիրք գրել երկրաչափության մասին, բայց այդ ժամանակ հայտնվեց վանական Լուկա Պաչիոլիի գիրքը, և Լեոնարդոն հրաժարվեց իր գաղափարից: Ըստ գիտության ժամանակակիցների և պատմաբանների, Լուկա Պաչիոլին իսկական լուսատու էր, Իտալիայի ամենամեծ մաթեմատիկոսը Ֆիբոնաչիի և Գալիլեոյի միջև ընկած ժամանակահատվածում:

Լուկա Պաչիոլին հիանալի հասկանում էր գիտության կարևորությունը արվեստի համար։ 1496 թվականին Մորոյի դուքսի հրավերով նա գալիս է Միլան, որտեղ դասախոսություններ է կարդում մաթեմատիկայի վերաբերյալ։ Լեոնարդո դա Վինչին այդ ժամանակ աշխատել է նաև Միլանում՝ Մորո դատարանում։ 1509 թվականին Վենետիկում լույս է տեսել Լուկա Պաչիոլիի «Աստվածային համամասնությունը» գիրքը՝ փայլուն կատարված նկարազարդումներով, այդ իսկ պատճառով ենթադրվում է, որ դրանք արվել են Լեոնարդո դա Վինչիի կողմից։ Գիրքը խանդավառ օրհներգ էր ոսկե հարաբերակցությանը: Ոսկե համամասնության բազմաթիվ առավելությունների թվում վանական Լուկա Պաչիոլին չի զլանում անվանել դրա «աստվածային էությունը» որպես աստվածային երրորդության արտահայտում. Աստված որդի, Աստված հայր և Աստված սուրբ ոգի (ենթադրվում էր, որ փոքր հատվածը Որդի Աստծո անձնավորումն է, ավելի մեծ հատվածը հոր աստվածն է, իսկ ամբողջ հատվածը՝ Սուրբ Հոգու Աստված):

Լեոնարդո դա Վինչին նույնպես մեծ ուշադրություն է դարձրել ոսկե բաժանման ուսումնասիրությանը։ Նա կանոնավոր հնգանկյուններով ձևավորված ստերեոմետրիկ մարմնի հատվածներ պատրաստեց, և ամեն անգամ ոսկե բաժանման մեջ ստացավ ուղղանկյուններ՝ գծերի հարաբերակցությամբ։ Ուստի նա այս բաժանմանը տվել է ոսկե հարաբերակցություն անվանումը։ Այսպիսով, այն դեռ մնում է որպես ամենատարածվածը:

Միաժամանակ Եվրոպայի հյուսիսում՝ Գերմանիայում, Ալբրեխտ Դյուրերն աշխատում էր նույն խնդիրների վրա։ Նա ուրվագծում է համամասնությունների մասին տրակտատի առաջին տարբերակի ներածությունը։ Դյուրերը գրում է. «Անհրաժեշտ է, որ մեկը, ով գիտի, թե ինչպես անել ինչ-որ բան, պետք է սովորեցնի դա ուրիշներին, ովքեր դրա կարիքն ունեն: Սա այն է, ինչ ես որոշել եմ անել»:

Դատելով Դյուրերի նամակներից մեկից՝ նա Իտալիայում գտնվելու ժամանակ հանդիպել է Լուկա Պաչիոլիի հետ։ Ալբրեխտ Դյուրերը մանրամասնորեն մշակում է մարդու մարմնի համամասնությունների տեսությունը։ Դյուրերն իր հարաբերությունների համակարգում կարևոր տեղ հատկացրեց ոսկե հատվածին։ Մարդու հասակը ոսկե համամասնություններով բաժանվում է գոտու գծով, ինչպես նաև իջած ձեռքերի միջնամատների ծայրերով, դեմքի ստորին հատվածով՝ բերանով և այլն: Դյուրերի համամասնական կողմնացույցը հայտնի է։

Ոսկե համամասնության մի շարք հատվածների կառուցումը կարող է կատարվել ինչպես աճի (աճող շարք), այնպես էլ նվազման ուղղությամբ (նվազող շարք):

Այս ներդաշնակությունը աչքի է ընկնում իր մասշտաբով...

Բարև, ընկերներ:

Դուք որևէ բան լսե՞լ եք Աստվածային ներդաշնակության կամ Ոսկե հարաբերակցության մասին: Երբևէ մտածե՞լ եք, թե ինչու է մեզ ինչ-որ բան թվում իդեալական և գեղեցիկ, բայց ինչ-որ բան մեզ վանում է:

Եթե ​​ոչ, ապա դուք հաջողությամբ եկել եք այս հոդվածին, քանի որ դրանում մենք կքննարկենք ոսկե հարաբերակցությունը, կպարզենք, թե ինչ է այն, ինչպիսին է այն բնության մեջ և մարդկանց մեջ: Եկեք խոսենք դրա սկզբունքների մասին, պարզենք, թե որն է Ֆիբոնաչիի շարքը և շատ ավելին, ներառյալ ոսկե ուղղանկյունի և ոսկե պարույրի հայեցակարգը:

Այո, հոդվածը շատ պատկերներ, բանաձեւեր ունի, չէ՞ որ ոսկե հարաբերակցությունը նույնպես մաթեմատիկան է։ Բայց ամեն ինչ բավականաչափ նկարագրված է պարզ լեզվով, հստակ. Իսկ հոդվածի վերջում դուք կիմանաք, թե ինչու են բոլորն այդքան սիրում կատուներին =)

Ո՞րն է ոսկե հարաբերակցությունը:

Պարզ ասած, ոսկե հարաբերակցությունը որոշակի կանոնհամամասնություններ, որոնք ներդաշնակություն են ստեղծում: Այսինքն, եթե մենք չխախտենք այս համամասնությունների կանոնները, ապա շատ ներդաշնակ կոմպոզիցիա ենք ստանում։

Ոսկե հարաբերակցության առավել համապարփակ սահմանումը նշում է, որ փոքր մասը կապված է մեծի հետ, քանի որ մեծ մասը ամբողջի հետ է:

Բայց բացի սրանից, ոսկե հարաբերակցությունը մաթեմատիկան է՝ ունի կոնկրետ բանաձեւ և կոնկրետ թիվ։ Շատ մաթեմատիկոսներ, ընդհանուր առմամբ, այն համարում են աստվածային ներդաշնակության բանաձև և անվանում են «ասիմետրիկ համաչափություն»:

Ոսկե հարաբերակցությունը հասել է մեր ժամանակակիցներին դեռևս ժամանակներից Հին ՀունաստանԱյնուամենայնիվ, կարծիք կա, որ հույներն իրենք արդեն նկատել էին ոսկե հարաբերակցությունը եգիպտացիների մեջ: Քանի որ Հին Եգիպտոսի արվեստի շատ գործեր հստակորեն կառուցված են այս համամասնության կանոնների համաձայն:

Ենթադրվում է, որ Պյութագորասն առաջինն էր, ով ներկայացրեց ոսկե հարաբերակցության հայեցակարգը: Էվկլիդեսի աշխատանքները պահպանվել են մինչ օրս (նա օգտագործել է ոսկե հարաբերակցությունը կանոնավոր հնգանկյուններ կառուցելու համար, այդ իսկ պատճառով նման հնգանկյունը կոչվում է «ոսկե»), իսկ ոսկե հարաբերակցության համարը կոչվում է հին հույն ճարտարապետ Ֆիդիասի անունով։ Այսինքն՝ սա մեր «phi» թիվն է (նշվում է հունարեն φ տառով), և այն հավասար է 1,6180339887498948482... Բնականաբար, այս արժեքը կլորացվում է՝ φ = 1,618 կամ φ = 1,62, իսկ տոկոսային արտահայտությամբ՝ ոսկե հարաբերակցությունը։ կարծես 62% և 38%:

Ի՞նչն է եզակի այս համամասնության մեջ (և հավատացեք ինձ, այն կա): Եկեք նախ փորձենք դա պարզել՝ օգտագործելով հատվածի օրինակ: Այսպիսով, մենք վերցնում ենք հատվածը և այն բաժանում անհավասար մասերի այնպես, որ դրա փոքր մասը առնչվի ավելի մեծին, ինչպես մեծ մասը առնչվում է ամբողջին: Ես հասկանում եմ, դեռ շատ պարզ չէ, թե ինչն է, ես կփորձեմ ավելի հստակ պատկերացնել դա՝ օգտագործելով հատվածների օրինակը.

Այսպիսով, մենք վերցնում ենք մի հատված և այն բաժանում երկու մյուսի, այնպես որ փոքր հատվածը a առնչվում է ավելի մեծ հատվածին, ինչպես b հատվածը վերաբերում է ամբողջին, այսինքն՝ ամբողջ ուղիղին (a + b): Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.

Այս կանոնը գործում է անորոշ ժամանակով, դուք կարող եք բաժանել հատվածները այնքան ժամանակ, որքան ցանկանում եք: Եվ տեսեք, թե որքան պարզ է դա: Հիմնական բանը մեկ անգամ հասկանալն է և վերջ:

Բայց հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք բարդ օրինակ, որը շատ հաճախ է հանդիպում, քանի որ ոսկե հարաբերակցությունը ներկայացված է նաև ոսկե ուղղանկյունի տեսքով (որի հարաբերակցությունը φ = 1,62 է): Սա շատ հետաքրքիր ուղղանկյուն է. եթե դրանից քառակուսի «կտրենք», նորից ոսկե ուղղանկյուն կստանանք։ Եվ այսպես անվերջ։ Տեսնել:

Բայց մաթեմատիկան մաթեմատիկա չէր լինի, եթե չունենար բանաձևեր։ Այնպես որ, ընկերներ, հիմա մի փոքր «կցավի»։ Ես ոսկե հարաբերակցության լուծումը թաքցրեցի սփոյլերի տակ, կան շատ բանաձևեր, բայց ես չեմ ուզում հոդվածը թողնել առանց դրանց:

Ֆիբոնաչիի շարքը և ոսկե հարաբերակցությունը

Մենք շարունակում ենք ստեղծել և դիտարկել մաթեմատիկայի հմայքը և ոսկե հարաբերակցությունը: Միջնադարում կար այդպիսի ընկեր՝ Ֆիբոնաչի (կամ Ֆիբոնաչի, ամեն տեղ տարբեր կերպ են գրում)։ Նա սիրում էր մաթեմատիկա և խնդիրներ, նա նաև հետաքրքիր խնդիր ուներ ճագարների վերարտադրության հետ կապված =) Բայց հարցը դա չէ: Նա հայտնաբերեց թվային հաջորդականություն, որի թվերը կոչվում են «Ֆիբոնաչիի թվեր»:

Հերթականությունն ինքնին այսպիսին է թվում.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... և այդպես անվերջ:

Այլ կերպ ասած, Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը թվերի հաջորդականություն է, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ հավասար է նախորդ երկուսի գումարին:

Ի՞նչ կապ ունի դրա հետ ոսկե հարաբերակցությունը։ Դուք հիմա կտեսնեք:

Ֆիբոնաչի պարույր

Ֆիբոնաչի թվերի շարքի և ոսկե հարաբերակցության ամբողջ կապը տեսնելու և զգալու համար հարկավոր է նորից նայել բանաձևերին։

Այլ կերպ ասած, Ֆիբոնաչիի հաջորդականության 9-րդ անդամից մենք սկսում ենք ստանալ ոսկե հարաբերակցության արժեքները: Եվ եթե պատկերացնենք այս ամբողջ պատկերը, կտեսնենք, թե ինչպես է Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ոսկե ուղղանկյունին ավելի ու ավելի մոտ ուղղանկյուններ ստեղծում: Սա է կապը:

Հիմա խոսենք Ֆիբոնաչիի պարույրի մասին, այն նաև կոչվում է «ոսկե պարույր»:

Ոսկե պարույրը լոգարիթմական պարույր է, որի աճի գործակիցը φ4 է, որտեղ φ ոսկե հարաբերակցությունն է։

Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկական տեսանկյունից ոսկե հարաբերակցությունը իդեալական համամասնություն է։ Բայց սա նրա հրաշքների միայն սկիզբն է։ Գրեթե ամբողջ աշխարհը ենթարկվում է ոսկե հարաբերակցության սկզբունքներին, բնությունն ինքն է ստեղծել այդ համամասնությունը: Նույնիսկ էզոթերիկները դրանում թվային ուժ են տեսնում։ Բայց այս հոդվածում մենք հաստատ չենք խոսի այս մասին, այնպես որ ոչինչ բաց չթողնելու համար կարող եք բաժանորդագրվել կայքի թարմացումներին։

Ոսկե հարաբերակցություն բնության, մարդու, արվեստի

Նախքան սկսելը, ես կցանկանայի պարզաբանել մի շարք անճշտություններ: Նախ, այս համատեքստում ոսկե հարաբերակցության սահմանումը լիովին ճիշտ չէ: Փաստն այն է, որ «հատված» հասկացությունը երկրաչափական տերմին է, որը միշտ նշանակում է հարթություն, բայց ոչ Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականություն:

Եվ, երկրորդ, թվային շարքը և մեկը մյուսի հարաբերակցությունը, իհարկե, վերածվել են մի տեսակ տրաֆարետի, որը կարելի է կիրառել այն ամենի վրա, ինչը կասկածելի է թվում, և կարելի է շատ ուրախանալ, երբ պատահականություններ կան, բայց դեռ. , ողջախոհությունը չպետք է կորչի։

Սակայն «մեր թագավորության մեջ ամեն ինչ խառնվել էր» և մեկը մյուսի հոմանիշն էր։ Այնպես որ, ընդհանրապես, իմաստը սրանից չի կորում։ Հիմա եկեք անցնենք գործին:

Դուք կզարմանաք, բայց ոսկե հարաբերակցությունը, ավելի ճիշտ՝ դրան հնարավորինս մոտ համամասնությունները, կարելի է տեսնել գրեթե ամենուր, նույնիսկ հայելու մեջ։ Չե՞ք հավատում ինձ: Սկսենք սրանից։

Գիտե՞ք, երբ ես սովորում էի նկարել, նրանք մեզ բացատրեցին, թե որքան հեշտ է կառուցել մարդու դեմքը, նրա մարմինը և այլն: Ամեն ինչ պետք է հաշվարկվի այլ բանի համեմատ։

Ամեն ինչ, բացարձակապես ամեն ինչ համաչափ է` ոսկորները, մեր մատները, ափերը, դեմքի հեռավորությունները, պարզած ձեռքերի հեռավորությունը մարմնի նկատմամբ և այլն: Բայց նույնիսկ սա դեռ ամենը չէ, մեր մարմնի ներքին կառուցվածքը, նույնիսկ սա, հավասար է կամ գրեթե հավասար է ոսկե հատվածի բանաձևին։ Ահա հեռավորությունները և համամասնությունները.

ուսերից մինչև թագ մինչև գլխի չափս = 1:1.618

պորտից մինչև պսակը մինչև ուսերից մինչև պսակ հատվածը = 1:1.618

պորտից մինչև ծնկներ և ծնկներից մինչև ոտքեր = 1:1.618

կզակից մինչև վերին շրթունքի ծայրահեղ կետը և դրանից մինչև քիթ = 1:1.618

Սա զարմանալի չէ՞: Ներդաշնակություն մեջ մաքուր ձև, և՛ ներսում, և՛ դրսում։ Եվ դա է պատճառը, որ ենթագիտակցական ինչ-որ մակարդակում որոշ մարդիկ մեզ գեղեցիկ չեն թվում, եթե նույնիսկ ունեն ամուր, տոնավորված մարմին, թավշյա մաշկ, գեղեցիկ մազեր, աչքեր և այլն, և մնացած ամեն ինչ։ Բայց, միևնույն է, մարմնի համամասնությունների չնչին խախտումը և արտաքին տեսքն արդեն թեթևակի «վնասում են աչքերը»։

Մի խոսքով, որքան մարդն ավելի գեղեցիկ է թվում մեզ, այնքան նրա համամասնությունները մոտ են իդեալականին։ Եվ դա, ի դեպ, կարելի է վերագրել ոչ միայն մարդու մարմնին։

Ոսկե հարաբերակցությունը բնության և նրա երևույթների մեջ

Բնության մեջ ոսկե հարաբերակցության դասական օրինակ են Nautilus pompilius փափկամարմինի պատյանը և ամոնիտը: Բայց սա դեռ ամենը չէ, կան ևս շատ օրինակներ.

մարդկային ականջի գանգուրներում մենք կարող ենք տեսնել ոսկե պարույր;

այն նույնն է (կամ դրան մոտ) այն պարույրների մեջ, որոնց երկայնքով պտտվում են գալակտիկաները.

և ԴՆԹ-ի մոլեկուլում;

Ըստ Ֆիբոնաչիի շարքի՝ դասավորված է արևածաղկի կենտրոնը, աճում են կոները, ծաղիկների միջնամասը, արքայախնձորը և շատ այլ մրգեր։

Ընկերներ, օրինակներն այնքան շատ են, որ ես պարզապես տեսանյութը կթողնեմ այստեղ (այն հենց ներքևում է), որպեսզի հոդվածը տեքստով չծանրաբեռնվի: Որովհետև եթե այս թեման փորփրես, կարող ես խորանալ հետևյալ ջունգլիներում՝ նույնիսկ հին հույներն են ապացուցել, որ Տիեզերքը և ընդհանրապես ողջ տարածությունը նախագծված է ոսկե հարաբերակցության սկզբունքով։

Դուք կզարմանաք, բայց այս կանոնները կարելի է գտնել նույնիսկ ձայնի մեջ։ Տեսնել:

Ձայնի ամենաբարձր կետը, որը ցավ և անհանգստություն է առաջացնում մեր ականջներում, 130 դեցիբելն է:

130 համամասնությունը բաժանում ենք φ = 1,62 ոսկե հարաբերակցության թվի վրա և ստանում ենք 80 դեցիբել՝ մարդու ճիչի ձայն։

Մենք շարունակում ենք համամասնորեն բաժանել և ստանալ, ասենք, մարդկային խոսքի նորմալ ծավալը՝ 80 / φ = 50 դեցիբել:

Դե, վերջին ձայնը, որը մենք ստանում ենք բանաձևի շնորհիվ, հաճելի շշուկով ձայն է = 2.618:

Օգտագործելով այս սկզբունքը, հնարավոր է որոշել ջերմաստիճանի, ճնշման և խոնավության օպտիմալ-հարմարավետ, նվազագույն և առավելագույն թվերը: Ես դա չեմ փորձարկել, և չգիտեմ, թե որքանով է ճիշտ այս տեսությունը, բայց պետք է համաձայնեք, որ այն տպավորիչ է թվում:

Բարձրագույն գեղեցկությունն ու ներդաշնակությունը կարելի է կարդալ բացարձակապես ամեն կենդանի և ոչ կենդանի ամեն ինչում։

Գլխավորը սրանով չտարվելն է, քանի որ եթե ուզում ենք ինչ-որ բան տեսնել, կտեսնենք, նույնիսկ եթե այն չկա։ Օրինակ, ես ուշադրություն դարձրի PS4-ի դիզայնին և տեսա այնտեղ ոսկե հարաբերակցությունը =) Այնուամենայնիվ, այս վահանակն այնքան հիանալի է, որ ես չեմ զարմանա, եթե դիզայներն իսկապես այնտեղ ինչ-որ բան խելացի արած լինի:

Ոսկե հարաբերակցությունը արվեստում

Սա նույնպես շատ մեծ ու ծավալուն թեմա է, որն արժե առանձին դիտարկել։ Այստեղ ես պարզապես նշեմ մի քանի հիմնական կետ. Ամենաուշագրավն այն է, որ հնության (և ոչ միայն) բազմաթիվ արվեստի գործեր և ճարտարապետական ​​գլուխգործոցներ արվել են ոսկե հարաբերակցության սկզբունքներով։

Եգիպտական ​​և մայաների բուրգեր, Փարիզի Աստվածամոր տաճար, հունական Պարթենոն և այլն:

Մոցարտի, Շոպենի, Շուբերտի, Բախի և այլոց երաժշտական ​​ստեղծագործություններում։

Գեղանկարչության մեջ (սա հստակ երևում է). հայտնի նկարիչների բոլոր ամենահայտնի նկարներն արված են ոսկե հարաբերակցության կանոններով։

Այս սկզբունքները կարելի է գտնել Պուշկինի բանաստեղծություններում և գեղեցկուհի Նեֆերտիտիի կիսանդրին:

Այժմ էլ օգտագործվում են ոսկե հարաբերակցության կանոնները, օրինակ՝ լուսանկարչության մեջ։ Դե, և իհարկե, մնացած բոլոր արվեստներում, այդ թվում՝ կինոարվեստում և դիզայնում:

Ոսկե Ֆիբոնաչիի կատուներ

Եվ վերջապես, կատուների մասին: Երբևէ մտածե՞լ եք, թե ինչու են բոլորն այդքան սիրում կատուներին: Նրանք գրավել են համացանցը։ Կատուներն ամենուր են, և դա հիանալի է =)

Եվ ամբողջ խնդիրն այն է, որ կատուները կատարյալ են: Չե՞ք հավատում ինձ: Հիմա ես դա ձեզ մաթեմատիկորեն կապացուցեմ:

Տեսնու՞մ ես։ Գաղտնիքը բացահայտված է. Կատուները իդեալական են մաթեմատիկայի, բնության և տիեզերքի տեսանկյունից =)

*Իհարկե կատակում եմ։ Ոչ, կատուներն իսկապես իդեալական են) Բայց ոչ ոք նրանց մաթեմատիկորեն չի չափել, հավանաբար:

Դա հիմնականում այն ​​է, ընկերներ: Մենք ձեզ կտեսնենք հաջորդ հոդվածներում: Հաջողություն քեզ!

P.S.Նկարները վերցված են medium.com կայքից:

Երկրաչափությունը ճշգրիտ և բավականին բարդ գիտություն է, որը միաժամանակ արվեստի տեսակ է։ Գծեր, հարթություններ, համամասնություններ - այս ամենը օգնում է ստեղծել շատ իսկապես գեղեցիկ իրեր: Եվ որքան էլ տարօրինակ է, սա հիմնված է երկրաչափության վրա՝ իր ամենատարբեր ձևերով: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք մեկ շատ անսովոր բանի, որն ուղղակիորեն կապված է դրա հետ: Ոսկե հարաբերակցությունը հենց այն երկրաչափական մոտեցումն է, որը կքննարկվի։

Օբյեկտի ձևը և դրա ընկալումը

Մարդիկ ամենից հաճախ հենվում են օբյեկտի ձևի վրա, որպեսզի ճանաչեն այն միլիոնավոր ուրիշների մեջ: Նրա ձևով է, որ մենք որոշում ենք, թե ինչ բան է ընկած մեր առջև կամ կանգնած հեռու: Մենք մարդկանց առաջին հերթին ճանաչում ենք մարմնի և դեմքի ձևով: Հետևաբար, մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ ձևն ինքնին, դրա չափն ու տեսքը մարդու ընկալման կարևորագույն բաներից են։

Մարդկանց համար ցանկացած բանի ձևը հետաքրքրություն է ներկայացնում երկու հիմնական պատճառով՝ կամ թելադրված է կենսական անհրաժեշտությամբ, կամ պայմանավորված է գեղեցկությունից գեղագիտական ​​հաճույքով։ Ներդաշնակության և գեղեցկության լավագույն տեսողական ընկալումը և զգացումը ամենից հաճախ գալիս է այն ժամանակ, երբ մարդը դիտում է մի ձև, որի կառուցման մեջ օգտագործվել է համաչափություն և հատուկ հարաբերակցություն, որը կոչվում է ոսկե հարաբերակցություն:

Ոսկե հարաբերակցության հայեցակարգը

Այսպիսով, ոսկե հարաբերակցությունը ոսկե հարաբերակցությունն է, որը նույնպես ներդաշնակ բաժանում է: Սա ավելի պարզ բացատրելու համար եկեք տեսնենք ձևի որոշ առանձնահատկություններ: Այսինքն՝ ձևը մի ամբողջ բան է, իսկ ամբողջն իր հերթին միշտ բաղկացած է որոշ մասերից։ Այս մասերը, ամենայն հավանականությամբ, ունեն տարբեր բնութագրեր, առնվազն տարբեր չափերի. Դե, նման չափերը միշտ էլ որոշակի հարաբերությունների մեջ են՝ թե՛ իրենց մեջ, թե՛ ամբողջի նկատմամբ։

Սա նշանակում է, որ, այլ կերպ ասած, կարելի է ասել, որ ոսկե հարաբերակցությունը երկու մեծությունների հարաբերակցություն է, որն ունի իր բանաձեւը. Ձևի ստեղծման ժամանակ այս հարաբերակցության օգտագործումը օգնում է այն հնարավորինս գեղեցիկ և ներդաշնակ դարձնել մարդու աչքի համար:

Ոսկե հարաբերակցության հնագույն պատմությունից

Ոսկե հարաբերակցությունն այսօր հաճախ օգտագործվում է կյանքի տարբեր ոլորտներում: Բայց այս հայեցակարգի պատմությունը գնում է դեպի հին ժամանակներ, երբ այնպիսի գիտություններ, ինչպիսիք են մաթեմատիկան և փիլիսոփայությունը, նոր էին ի հայտ գալիս: Ինչպես գիտական ​​հայեցակարգՈսկե հարաբերակցությունը գործածության մեջ է մտել Պյութագորասի օրոք, մասնավորապես՝ մ.թ.ա. 6-րդ դարում։ Բայց նույնիսկ դրանից առաջ նման հարաբերությունների մասին գիտելիքները գործնականում օգտագործվել են Հայաստանում Հին Եգիպտոսև Բաբելոն։ Դրա վառ վկայությունն են բուրգերը, որոնց կառուցման համար օգտագործվել է հենց այս ոսկե համամասնությունը։

Նոր շրջան

Վերածնունդը նոր շունչ բերեց ներդաշնակ բաժանմանը, հատկապես Լեոնարդո դա Վինչիի շնորհիվ: Այս հարաբերակցությունը գնալով սկսել է կիրառվել ինչպես երկրաչափության, այնպես էլ արվեստում։ Գիտնականներն ու արվեստագետները սկսեցին ավելի խորը ուսումնասիրել ոսկե հարաբերակցությունը և ստեղծել գրքեր, որոնք ուսումնասիրում են այս հարցը:

Ոսկե հատման հետ կապված ամենակարևոր պատմական աշխատություններից է Լուկա Պանչոլիի «Աստվածային համամասնությունը» գիրքը։ Պատմաբանները կասկածում են, որ այս գրքի նկարազարդումները Վինչիից առաջ արել է ինքը՝ Լեոնարդոն։

ոսկե հարաբերակցությունը

Մաթեմատիկան տալիս է համամասնության շատ հստակ սահմանում, որն ասում է, որ դա երկու հարաբերակցության հավասարությունն է։ Մաթեմատիկորեն սա կարող է արտահայտվել հետևյալ հավասարությամբ. a: b = c: d, որտեղ a, b, c, d որոշ հատուկ արժեքներ են:

Եթե ​​դիտարկենք երկու մասի բաժանված հատվածի համամասնությունը, ապա կարող ենք հանդիպել միայն մի քանի իրավիճակների.

• Հատվածը բաժանված է երկու բացարձակապես հավասար մասերի, ինչը նշանակում է AB:AC = AB:BC, եթե AB-ն հատվածի ճշգրիտ սկիզբն ու վերջն է, իսկ C-ն այն կետն է, որը բաժանում է հատվածը երկու հավասար մասերի:
• Հատվածը բաժանված է երկու անհավասար մասերի, որոնք կարող են լինել հենց սկզբում տարբեր հարաբերակցություններիրենց միջև, ինչը նշանակում է, որ այստեղ նրանք բոլորովին անհամաչափ են։
• Հատվածը բաժանված է այնպես, որ AB:AC = AC:BC:

Ինչ վերաբերում է ոսկե հարաբերակցությանը, ապա սա հատվածի համամասնական բաժանումն է անհավասար մասերի, երբ ամբողջ հատվածը վերաբերում է ավելի մեծ մասին, ինչպես որ մեծ մասը ինքնին առնչվում է փոքրին: Կա ևս մեկ ձևակերպում. փոքր հատվածը կապված է ավելի մեծի հետ, ինչպես մեծն է ամբողջ հատվածի հետ: Մաթեմատիկական առումով այն ունի հետևյալ տեսքը՝ a:b = b:c կամ c:b = b:a: Հենց այսպիսի տեսք ունի ոսկե հարաբերակցության բանաձևը։

Ոսկե հարաբերակցությունը բնության մեջ

Ոսկե հարաբերակցությունը, որի օրինակները մենք հիմա կքննարկենք, վերաբերում է բնության անհավանական երևույթներին: Սա շատ գեղեցիկ օրինակներայն փաստը, որ մաթեմատիկան պարզապես թվեր և բանաձևեր չէ, այլ գիտություն, որն ավելին է, քան իրական արտացոլումը բնության և ընդհանրապես մեր կյանքում:

Կենդանի օրգանիզմների համար կյանքի գլխավոր խնդիրներից մեկը աճն է։ Տիեզերքում իր տեղը զբաղեցնելու այս ցանկությունը, ըստ էության, տեղի է ունենում մի քանի ձևերով՝ աճելով դեպի վեր, գրեթե հորիզոնական տարածվելով գետնին կամ պարուրաձև ոլորվելով ինչ-որ հենարանի վրա: Եվ որքան էլ դա անհավանական լինի, շատ բույսեր աճում են ոսկե հարաբերակցության համաձայն:

Գրեթե անհավանական մեկ այլ փաստ էլ մողեսների մարմնում առկա հարաբերություններն են։ Նրանց մարմինը բավականին հաճելի է թվում մարդու աչքին և դա հնարավոր է նույն ոսկե հարաբերակցության շնորհիվ։ Ավելի ճշգրիտ լինելու համար, նրանց պոչի երկարությունը վերաբերում է ամբողջ մարմնի երկարությանը 62:38:

Հետաքրքիր փաստեր ոսկե հարաբերակցության կանոնների մասին

Ոսկե հարաբերակցությունը իսկապես անհավանական հասկացություն է, ինչը նշանակում է, որ պատմության ընթացքում մենք կարող ենք իսկապես հանդիպել շատերի հետաքրքիր փաստերայս համամասնության մասին։ Ձեզ ենք ներկայացնում դրանցից մի քանիսը.

Ոսկե հարաբերակցությունը մարդու մարմնում

Այս բաժնում անհրաժեշտ է նշել մի շատ նշանակալից անձի՝ Ս.Զեյզինգային։ Սա գերմանացի հետազոտող է, ով հսկայական աշխատանք է կատարել ոսկե հարաբերակցության ուսումնասիրության ոլորտում: Հրատարակել է աշխատություն «Գեղագիտական ​​ուսումնասիրություններ» վերնագրով։ Նա իր աշխատանքում ներկայացրել է ոսկե հարաբերակցությունը որպես բացարձակ հասկացություն, որը համընդհանուր է բոլոր երեւույթների համար թե՛ բնության, թե՛ արվեստի մեջ։ Այստեղ մենք կարող ենք հիշել բուրգի ոսկե հարաբերակցությունը մարդու մարմնի ներդաշնակ համամասնությանը և այլն:

Հենց Զայզինգը կարողացավ ապացուցել, որ ոսկե հարաբերակցությունը, ըստ էության, միջին վիճակագրական օրենքն է մարդու օրգանիզմի համար։ Դա ցույց տվեցին պրակտիկայում, քանի որ աշխատանքի ընթացքում նա ստիպված էր չափել շատ մարդկային մարմիններ։ Պատմաբանները կարծում են, որ այս փորձին մասնակցել է ավելի քան երկու հազար մարդ։ Զայզինգի հետազոտության համաձայն՝ ոսկե հարաբերակցության հիմնական ցուցանիշը մարմնի բաժանումն է անոթային կետով։ Այսպիսով, 13:8 միջին հարաբերակցությամբ տղամարդու մարմինը մի փոքր ավելի մոտ է ոսկե հարաբերակցությանը, քան կանանց մարմինը, որտեղ ոսկե հարաբերակցությունը 8:5 է: Ոսկե հարաբերակցությունը կարելի է նկատել նաև մարմնի այլ մասերում, օրինակ՝ ձեռքում։

Ոսկե հարաբերակցության կառուցման մասին

Իրականում, ոսկե հարաբերակցությունը կառուցելը պարզ խնդիր է: Ինչպես տեսնում ենք, նույնիսկ հնագույն մարդիկ բավականին հեշտությամբ են հաղթահարել դա։ Ի՞նչ կարող ենք ասել մարդկության ժամանակակից գիտելիքների և տեխնոլոգիաների մասին։ Այս հոդվածում մենք ցույց չենք տա, թե ինչպես դա կարելի է անել պարզապես թղթի վրա և մատիտը ձեռքին, բայց մենք վստահորեն կհայտարարենք, որ դա իրականում հնարավոր է: Ավելին, դա կարելի է անել մեկից ավելի եղանակներով.

Քանի որ սա բավականին պարզ երկրաչափություն է, ոսկե հարաբերակցությունը բավականին պարզ է կառուցել նույնիսկ դպրոցում: Հետեւաբար, այս մասին տեղեկատվությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել մասնագիտացված գրքերում: Ուսումնասիրելով ոսկե հարաբերակցությունը՝ 6-րդ դասարանցիները լիովին կարողանում են հասկանալ դրա կառուցման սկզբունքները, ինչը նշանակում է, որ նույնիսկ երեխաները բավական խելացի են նման առաջադրանքին տիրապետելու համար։

Ոսկե հարաբերակցությունը մաթեմատիկայի մեջ

Ոսկե հարաբերակցության հետ առաջին ծանոթությունը գործնականում սկսվում է ուղիղ գծի հատվածի պարզ բաժանմամբ՝ նույն համամասնությամբ։ Ամենից հաճախ դա արվում է քանոնի, կողմնացույցի և, իհարկե, մատիտի միջոցով:

Ոսկե համամասնության հատվածներն արտահայտվում են որպես անվերջ իռացիոնալ կոտորակ AE = 0,618..., եթե AB-ն ընդունվում է որպես մեկ, BE = 0,382... Այս հաշվարկներն ավելի գործնական դարձնելու համար շատ հաճախ օգտագործում են ոչ թե ճշգրիտ, այլ մոտավոր: արժեքներ, այն է՝ 0 .62 և .38: Եթե ​​AB հատվածը վերցվի 100 մասի, ապա դրա մեծ մասը հավասար կլինի 62-ի, իսկ փոքր մասը՝ համապատասխանաբար 38 մասի։

Ոսկե հարաբերակցության հիմնական հատկությունը կարելի է արտահայտել x 2 -x-1=0 հավասարմամբ։ Լուծելիս ստանում ենք հետևյալ արմատները՝ x 1.2 =. Չնայած մաթեմատիկան ճշգրիտ և խիստ գիտություն է, ինչպես իր բաժինը՝ երկրաչափությունը, այս թեմայի առեղծվածն այնպիսի հատկություններ են, ինչպիսիք են ոսկե հատվածի օրենքները:

Ներդաշնակությունը արվեստում ոսկե հարաբերակցության միջոցով

Ամփոփելու համար եկեք համառոտ դիտարկենք այն, ինչ արդեն քննարկվել է:

Հիմնականում արվեստի շատ գործեր ընկնում են ոսկե հարաբերակցության կանոնի տակ, որտեղ նկատվում է 3/8 և 5/8-ին մոտ հարաբերակցություն։ Սա ոսկե հարաբերակցության կոպիտ բանաձեւն է. Հոդվածում արդեն շատ է նշվել հատվածի օգտագործման օրինակների մասին, բայց մենք նորից կդիտարկենք հին և ժամանակակից արվեստի պրիզմայով։ Այսպիսով, հնագույն ժամանակներից ամենավառ օրինակները.

Ինչ վերաբերում է համամասնության, հավանաբար, գիտակցված օգտագործմանը, սկսած Լեոնարդո դա Վինչիի ժամանակներից, այն գործածվել է կյանքի գրեթե բոլոր ոլորտներում՝ գիտությունից մինչև արվեստ: Նույնիսկ կենսաբանությունն ու բժշկությունն ապացուցել են, որ ոսկե հարաբերակցությունը գործում է նույնիսկ կենդանի համակարգերում և օրգանիզմներում։

20.05.2017

Ոսկե հարաբերակցությունը յուրաքանչյուր դիզայներ պետք է իմանա: Մենք կբացատրենք, թե ինչ է դա և ինչպես կարող եք օգտագործել այն:

Բնության մեջ կա ընդհանուր մաթեմատիկական հարաբերություն, որը կարող է օգտագործվել դիզայնի մեջ՝ ստեղծելու հաճելի, բնական տեսք ունեցող կոմպոզիցիաներ: Այն կոչվում է ոսկե հարաբերակցություն կամ հունարեն «phi» տառ: Եթե ​​դուք նկարազարդող եք, գեղարվեստական ​​ղեկավար կամ գրաֆիկական դիզայներ, ապա անպայման պետք է օգտագործեք Ոսկե հարաբերակցությունը յուրաքանչյուր նախագծում:

Այս հոդվածում մենք կբացատրենք, թե ինչպես օգտագործել այն, ինչպես նաև կկիսվենք մի քանի հիանալի գործիքներ հետագա ոգեշնչման և սովորելու համար:

Սերտորեն կապված Ֆիբոնաչիի հաջորդականության հետ, որը դուք կարող եք հիշել մաթեմատիկայի դասից կամ Դեն Բրաունի Դա Վինչիի ծածկագրից, Ոսկե հարաբերակցությունը նկարագրում է երկու համամասնությունների միջև կատարյալ սիմետրիկ հարաբերություն:

Մոտավորապես հավասար է 1:1.61 հարաբերակցությանը, Ոսկե հարաբերակցությունը կարելի է պատկերել որպես Ոսկե ուղղանկյուն. մեծ ուղղանկյուն, որը պարունակում է քառակուսի (որում կողմերը հավասար են ուղղանկյան ամենակարճ կողմի երկարությանը) և ավելի փոքր ուղղանկյուն:

Եթե ​​քառակուսին հանեք ուղղանկյունից, ձեզ կմնա մեկ այլ, փոքրիկ Ոսկե ուղղանկյուն: Այս գործընթացը կարող է շարունակվել անորոշ ժամանակով, ինչպես Ֆիբոնաչիի թվերը, որոնք աշխատում են հակառակ ուղղությամբ: (Ավելացնելով քառակուսի, որի կողմերը հավասար են ուղղանկյան ամենաերկար կողմի երկարությանը, ձեզ մոտեցնում է Ոսկե ուղղանկյունին և Ոսկե հարաբերակցությանը):

Ոսկե հարաբերակցությունը գործողության մեջ

Ենթադրվում է, որ Ոսկե հարաբերակցությունը օգտագործվել է մոտ 4000 տարի արվեստի և դիզայնի մեջ: Այնուամենայնիվ, շատերը համաձայն են, որ եգիպտական ​​բուրգերի կառուցման ժամանակ նույնպես օգտագործվել է այս սկզբունքը:

Ավելի շատ ժամանակակից ժամանակներայս կանոնը կարելի է տեսնել մեզ շրջապատող երաժշտության, արվեստի և դիզայնի մեջ: Օգտագործելով նմանատիպ աշխատանքային մեթոդոլոգիա, դուք կարող եք նույն դիզայնի առանձնահատկությունները ներառել ձեր աշխատանքում: Եկեք նայենք մի քանի ոգեշնչող օրինակների:

Հունական ճարտարապետություն

Հին հունական ճարտարապետության մեջ Ոսկե հարաբերակցությունը օգտագործվում էր շենքի լայնության և բարձրության, սյունասրահի չափի և նույնիսկ կառույցը պահող սյուների դիրքի միջև հաճելի տարածական հարաբերությունները որոշելու համար:

Արդյունքը միանգամայն համաչափ կառուցվածք է։ Նեոկլասիկական ճարտարապետության շարժումը նույնպես կիրառեց այս սկզբունքները:

վերջին ընթրիք

Լեոնարդո դա Վինչին, ինչպես և անցյալի շատ այլ արվեստագետներ, հաճախ օգտագործում էր Ոսկե հարաբերակցությունը հաճելի ստեղծագործություններ ստեղծելու համար:

Վերջին ընթրիքի մեջ պատկերները գտնվում են ստորին երկու երրորդում (ոսկե հարաբերակցության երկու մասերից ավելի մեծ), և Հիսուսը հիանալի կերպով ուրվագծված է ոսկե ուղղանկյունների միջև:

Ոսկե հարաբերակցությունը բնության մեջ

Բնության մեջ կան Ոսկե հարաբերակցության բազմաթիվ օրինակներ. դրանք կարող եք գտնել ձեր շուրջը: Ծաղիկները, ծովախեցգետինները, արքայախնձորները և նույնիսկ մեղրախորիսխները ցույց են տալիս նույն հարաբերակցությունը:

Ինչպես հաշվարկել ոսկե հարաբերակցությունը

Ոսկե հարաբերակցության հաշվարկը բավականին պարզ է և սկսվում է պարզ քառակուսուց.

01. Քառակուսի նկարիր

Այն կազմում է ուղղանկյան կարճ կողմի երկարությունը:

02. Բաժանեք քառակուսին

Քառակուսին կիսեք կիսով չափ՝ օգտագործելով ուղղահայաց գիծ՝ ստեղծելով երկու ուղղանկյուն:

03. Գծի՛ր անկյունագիծ

Ուղղանկյուններից մեկում գիծ քաշեք մի անկյունից դեպի հակառակ կողմը։

04. Շրջադարձ

Պտտեցնել այս գիծը այնպես, որ այն ընկած լինի հորիզոնական առաջին ուղղանկյունի վրա:

05. Ստեղծեք նոր ուղղանկյուն

Ստեղծեք ուղղանկյուն՝ օգտագործելով նոր հորիզոնական գիծը և առաջին ուղղանկյունը:

Ինչպես օգտագործել Ոսկե հարաբերակցությունը

Այս սկզբունքից օգտվելն ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Կան մի քանի արագ հնարքներ, որոնք կարող եք օգտագործել ձեր դասավորության մեջ, կամ մի քիչ ավելի շատ ժամանակ հատկացնել և ամբողջությամբ լրացնել հայեցակարգը:

Արագ ճանապարհ

Եթե ​​երբևէ հանդիպել եք Երրորդների կանոնին, ապա ձեզ ծանոթ կլինի տարածությունը հավասար երրորդների՝ ուղղահայաց և հորիզոնական բաժանելու գաղափարին, որտեղ գծերը հատվում են՝ օբյեկտների համար բնական կետեր ստեղծելու համար:

Լուսանկարիչը առանցքային առարկան դնում է այս հատվող գծերից մեկի վրա՝ հաճելի կոմպոզիցիա ստեղծելու համար: Այս սկզբունքը կարող է օգտագործվել նաև ձեր էջի դասավորության և պաստառների ձևավորման մեջ:

Երրորդների կանոնը կարող է կիրառվել ցանկացած ձևի վրա, բայց եթե այն կիրառեք մոտավորապես 1:1,6 համամասնություններով ուղղանկյունի վրա, ապա շատ մոտ կհայտնվեք ոսկե ուղղանկյունին, որն ավելի հաճելի կդարձնի կոմպոզիցիան աչքին:

Ամբողջական իրականացում

Եթե ​​ցանկանում եք լիովին ներդնել «Ոսկե հարաբերակցությունը» ձեր դիզայնում, ապա պարզապես դասավորեք հիմնական բովանդակությունը և կողագոտին (վեբ դիզայնում) 1: 1.61 հարաբերակցությամբ:

Դուք կարող եք կլորացնել արժեքները ներքև կամ վեր․ եթե բովանդակության տարածքը 640px է, իսկ կողագոտը՝ 400px, ապա այս նշումը բավականին հարմար է Golden Ratio-ի համար։

Իհարկե, դուք կարող եք նաև բաժանել բովանդակության և կողագոտու տարածքները նույն հարաբերությունների մեջ, և վեբ էջի վերնագրի, բովանդակության տարածքի, ստորագրի և նավիգացիայի միջև կապը կարող է նախագծվել նաև նույն սկզբունքով:

Օգտակար գործիքներ

Ահա մի քանի գործիքներ, որոնք կօգնեն ձեզ օգտագործել Ոսկե հարաբերակցությունը դիզայնում և ստեղծել համամասնական նմուշներ:

GoldenRATIO-ն վեբ կայքերի ձևավորում, ինտերֆեյս և կաղապարներ ստեղծելու հավելված է, որը հարմար է Golden Ratio-ին: Հասանելի է Mac App Store-ում 2,99 դոլարով: Ներառում է տեսողական հաշվիչՈսկե հատված.

Հավելվածն ունի նաև «Favorites» ֆունկցիա, որը պահպանում է պարբերական առաջադրանքների կարգավորումները և «Click-thru» ռեժիմ, որը թույլ է տալիս նվազագույնի հասցնել հավելվածը Photoshop-ում:

Pearsonified-ի այս Golden Ratio հաշվիչը օգնում է ձեզ ստեղծել կատարյալ տպագրություն ձեր կայքի համար: Մուտքագրեք տառաչափը, բեռնարկղի լայնությունը դաշտում և սեղմեք կոճակը Սահմանեք իմ տեսակը:Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է օպտիմալացնել տառերի քանակը մեկ տողում, կարող եք լրացուցիչ մուտքագրել CPL արժեքը:

Դա պարզ է, օգտակար և անվճար հավելվածհասանելի է Mac-ի և PC-ի համար: Մուտքագրեք ցանկացած թիվ և հավելվածը կհաշվարկի երկրորդ նիշը՝ ըստ Ոսկե հարաբերակցության սկզբունքի:

Այս հավելվածը թույլ է տալիս նախագծել ոսկե համամասնություններով՝ խնայելով շատ ժամանակ հաշվարկների վրա։

Դուք կարող եք փոխել ձևերն ու չափերը՝ ձեր նախագծի վրա կենտրոնանալու համար: Մշտական ​​լիցենզիան արժե $49, բայց դուք կարող եք ներբեռնել անվճար տարբերակը մեկ ամսով:

Golden Section Training

Ահա մի քանի օգտակար ձեռնարկներ Golden Ratio-ի վերաբերյալ (անգլերեն).

Թվային արվեստի այս ձեռնարկում Ռոբերտո Մարասը ցույց է տալիս, թե ինչպես օգտագործել Ոսկե հարաբերակցությունը ձեր գեղարվեստական ​​աշխատանքում:

Tuts+-ի ձեռնարկը, որը ցույց է տալիս, թե ինչպես օգտագործել ոսկե սկզբունքները վեբ դիզայնի նախագծերում:

Ձեռնարկ Smashing Magazine-ից համամասնությունների և երրորդների կանոնի մասին:

Ոսկե հարաբերակցությունը կառուցվածքային ներդաշնակության ունիվերսալ դրսեւորում է։ Այն հանդիպում է բնության, գիտության, արվեստի մեջ՝ այն ամենի մեջ, ինչի հետ մարդը կարող է շփվել։ Ոսկե կանոնին ծանոթանալով՝ մարդկությունն այլևս չդավաճանեց դրան։

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ

Ոսկե հարաբերակցության ամենաընդգրկուն սահմանումը նշում է, որ փոքր մասը վերաբերում է ավելի մեծին, քանի որ մեծ մասը վերաբերում է ամբողջին: Դրա մոտավոր արժեքը 1,6180339887 է։ Կլորացված տոկոսային արժեքով ամբողջի մասերի համամասնությունները կհամապատասխանեն 62%-ից 38%-ի: Այս հարաբերությունը գործում է տարածության և ժամանակի ձևերով:

Հին մարդիկ ոսկե հարաբերակցությունը տեսնում էին որպես տիեզերական կարգի արտացոլում, և Յոհաննես Կեպլերը այն անվանեց երկրաչափության գանձերից մեկը: Ժամանակակից գիտությունը ոսկե հարաբերակցությունը համարում է «ասիմետրիկ համաչափություն»՝ անվանելով այն լայն իմաստովհամընդհանուր կանոն, որն արտացոլում է մեր աշխարհակարգի կառուցվածքն ու կարգը։

ՊԱՏՄՈՒԹՅՈՒՆ

Հին եգիպտացիները պատկերացում ունեին ոսկե համամասնությունների մասին, նրանք գիտեին դրանց մասին Ռուսաստանում, բայց առաջին անգամ ոսկե հարաբերակցությունը գիտականորեն բացատրեց վանական Լուկա Պաչիոլին «Աստվածային համամասնություն» (1509) գրքում, որի նկարազարդումները ենթադրաբար պատրաստվել է Լեոնարդո դա Վինչիի կողմից։ Պաչիոլին տեսավ ոսկե հարաբերակցության մեջ աստվածային երրորդությունՓոքր հատվածը ներկայացնում էր Որդուն, մեծ հատվածը ներկայացնում էր Հորը, իսկ ամբողջ հատվածը ներկայացնում էր Սուրբ Հոգին:

Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի անունը ուղղակիորեն կապված է ոսկե հարաբերակցության կանոնի հետ։ Խնդիրներից մեկի լուծման արդյունքում գիտնականը գտավ թվերի հաջորդականություն, որն այժմ հայտնի է որպես Ֆիբոնաչիի շարք՝ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 և այլն։ Կեպլերը ուշադրություն հրավիրեց այս հաջորդականության և ոսկե համամասնության փոխհարաբերության վրա. «Այն դասավորված է այնպես, որ այս անվերջ համամասնության երկու ստորին անդամները գումարվում են երրորդ անդամին, և ցանկացած երկու վերջին անդամ, եթե ավելացվում է, տալիս է. հաջորդ ժամկետը, և նույն համամասնությունը պահպանվում է անվերջ »: Այժմ Ֆիբոնաչիի շարքը թվաբանական հիմքն է ոսկե հատվածի համամասնությունները հաշվարկելու իր բոլոր դրսեւորումներով։

Լեոնարդո դա Վինչին նույնպես շատ ժամանակ է նվիրել ոսկե հարաբերակցության առանձնահատկությունների ուսումնասիրությանը, ամենայն հավանականությամբ, տերմինն ինքնին պատկանում է նրան: Կանոնավոր հնգանկյուններով ձևավորված ստերեոմետրիկ մարմնի նրա գծագրերը ապացուցում են, որ ըստ հատվածի ստացված ուղղանկյուններից յուրաքանչյուրը տալիս է կողմի հարաբերակցությունը ոսկե բաժանման մեջ։

Ժամանակի ընթացքում ոսկե հարաբերակցության կանոնը դարձավ ակադեմիական առօրյա, և միայն փիլիսոփա Ադոլֆ Զայզինգը նրան երկրորդ կյանք տվեց 1855 թվականին: Նա ոսկե հատվածի համամասնությունները հասցրեց բացարձակի՝ դրանք դարձնելով համընդհանուր շրջապատող աշխարհի բոլոր երևույթների համար։ Սակայն նրա «մաթեմատիկական գեղագիտությունը» բազմաթիվ քննադատությունների տեղիք տվեց։

ԲՆՈՒԹՅՈՒՆ

Նույնիսկ առանց հաշվարկների մեջ մտնելու, ոսկե հարաբերակցությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել բնության մեջ: Այսպիսով, մողեսի պոչի և մարմնի հարաբերակցությունը, ճյուղի տերևների միջև ընկած հեռավորությունները դրա տակ են ընկնում, ձվի տեսքով ոսկե հարաբերակցություն կա, եթե նրա ամենալայն մասով պայմանական գիծ է գծվում։

Բելառուս գիտնական Էդուարդ Սորոկոն, ով ուսումնասիրել է բնության մեջ ոսկե բաժանումների ձևերը, նշել է, որ այն ամենը, ինչ աճում է և ձգտում է իր տեղը զբաղեցնել տիեզերքում, օժտված է ոսկե հատվածի համամասնություններով։ Նրա կարծիքով՝ ամենահետաքրքիր ձևերից մեկը պարույրաձև ոլորումն է։

Արքիմեդը, ուշադրություն դարձնելով պարույրին, դրա ձևի հիման վրա ստացավ հավասարում, որը մինչ այժմ օգտագործվում է տեխնոլոգիայի մեջ։ Գյոթեն ավելի ուշ նկատեց բնության գրավչությունը պարուրաձև ձևերի նկատմամբ՝ պարույրն անվանելով «կյանքի կոր»: Ժամանակակից գիտնականները պարզել են, որ բնության մեջ պարուրաձև ձևերի այնպիսի դրսևորումներ, ինչպիսիք են խխունջի պատյանը, արևածաղկի սերմերի դասավորությունը, սարդոստայնի նախշերը, փոթորիկի շարժումը, ԴՆԹ-ի կառուցվածքը և նույնիսկ գալակտիկաների կառուցվածքը պարունակում են Ֆիբոնաչիի շարք:

ՄԱՐԴ

Նորաձևության դիզայներները և հագուստի դիզայներները բոլոր հաշվարկները կատարում են ոսկե հարաբերակցության համամասնությունների հիման վրա: Մարդը ունիվերսալ ձև է ոսկե հարաբերակցության օրենքները ստուգելու համար: Իհարկե, ըստ էության, ոչ բոլոր մարդիկ ունեն իդեալական համամասնություններ, ինչը որոշակի դժվարություններ է ստեղծում հագուստի ընտրության հարցում։

Լեոնարդո դա Վինչիի օրագրում պատկերված է մերկ տղամարդու գծանկար՝ գծագրված շրջանագծով, երկու վերադրված դիրքերով։ Հիմնվելով հռոմեացի ճարտարապետ Վիտրուվիոսի հետազոտության վրա՝ Լեոնարդոն նույն կերպ փորձել է հաստատել մարդու մարմնի համամասնությունները։ Ավելի ուշ ֆրանսիացի ճարտարապետ Լե Կորբյուզիեն, օգտագործելով Լեոնարդոյի «Վիտրուվիան մարդը», ստեղծեց «ներդաշնակ համամասնությունների» իր սանդղակը, որն ազդեց 20-րդ դարի ճարտարապետության գեղագիտության վրա:

Ադոլֆ Զայզինգը, ուսումնասիրելով մարդու համաչափությունը, հսկայական աշխատանք կատարեց. Նա չափեց մոտ երկու հազար մարդու մարմին, ինչպես նաև բազմաթիվ հնագույն արձաններ և եզրակացրեց, որ ոսկե հարաբերակցությունը արտահայտում է միջին վիճակագրական օրենքը։ Մարդու մոտ մարմնի գրեթե բոլոր մասերը ենթակա են դրան, սակայն ոսկե հարաբերակցության հիմնական ցուցանիշը մարմնի բաժանումն է անոթային կետով։
Չափումների արդյունքում հետազոտողը պարզել է, որ տղամարդու մարմնի 13:8 համամասնությունները ավելի մոտ են ոսկե հարաբերակցությանը, քան կանանց մարմնի համամասնությունները՝ 8:5:

ՏԱՐԱԾԱԿԱՆ ՁԵՎԵՐԻ ԱՐՎԵՍՏ

Նկարիչ Վասիլի Սուրիկովն ասել է, որ «կոմպոզիցիայի մեջ կա անփոփոխ օրենք, երբ նկարում չես կարող որևէ բան հեռացնել կամ ավելացնել, չես կարող նույնիսկ լրացուցիչ միավոր ավելացնել, սա իրական մաթեմատիկա է»: Երկար ժամանակովնկարիչները ինտուիտիվ կերպով հետևեցին այս օրենքին, բայց Լեոնարդո դա Վինչիից հետո նկարի ստեղծման գործընթացն այլևս չի կարող իրականացվել առանց երկրաչափական խնդիրների լուծման: Օրինակ՝ Ալբրեխտ Դյուրերը ոսկե հատվածի կետերը որոշելու համար օգտագործեց իր հորինած համամասնական կողմնացույցը։

Կովալևը, մանրամասն ուսումնասիրելով Նիկոլայ Գեի «Ալեքսանդր Սերգեևիչ Պուշկինը Միխայլովսկոյե գյուղում» նկարը, նշում է, որ կտավի յուրաքանչյուր դետալ, լինի դա բուխարի, գրապահարան, բազկաթոռ, թե ինքը՝ բանաստեղծը, խիստ է։ ոսկեգույն համամասնություններով գրված.

Ոսկե հարաբերակցության հետազոտողները անխոնջ ուսումնասիրում և չափում են ճարտարապետական ​​գլուխգործոցները՝ պնդելով, որ դրանք այդպիսին են դարձել, քանի որ դրանք ստեղծվել են ոսկե կանոնների համաձայն.

Իսկ այսօր տարածական ձևերի ցանկացած արվեստում փորձում են հետևել ոսկե հատվածի համամասնություններին, քանի որ, ըստ արվեստաբանների, հեշտացնում են ստեղծագործության ընկալումը և դիտողի մոտ ձևավորում գեղագիտական ​​զգացողություն։

ԲԱՌ, ՁԱՅՆ ԵՎ ՖԻԼՄ

Ժամանակավոր արվեստի ձևերն յուրովի մեզ ցույց են տալիս ոսկե բաժանման սկզբունքը։ Գրականագետները, օրինակ, նկատել են, որ Պուշկինի ստեղծագործության ուշ շրջանի բանաստեղծությունների ամենատարածված տողերը համապատասխանում են Ֆիբոնաչիի շարքին՝ 5, 8, 13, 21, 34:

Ոսկե հատվածի կանոնը գործում է նաև ռուս դասականի առանձին ստեղծագործություններում։ Այսպիսով, «Բահերի թագուհու» գագաթնակետը Հերմանի և կոմսուհու դրամատիկ տեսարանն է, որն ավարտվում է վերջինիս մահով։ Պատմությունն ունի 853 տող, և գագաթնակետը տեղի է ունենում 535 տողում (853:535 = 1.6) - սա է ոսկե հարաբերակցության կետը:

Խորհրդային երաժշտագետ Է.Կ.Ռոզենովը նշում է ոսկե հարաբերակցության զարմանալի ճշգրտությունը Յոհան Սեբաստիան Բախի ստեղծագործությունների խիստ և ազատ ձևերում, որը համապատասխանում է վարպետի մտածված, կենտրոնացված, տեխնիկապես ստուգված ոճին: Սա վերաբերում է նաև այլ կոմպոզիտորների ակնառու ստեղծագործություններին, որտեղ երաժշտական ​​ամենավառ կամ անսպասելի լուծումը սովորաբար տեղի է ունենում ոսկե հարաբերակցության կետում:

Կինոռեժիսոր Սերգեյ Էյզենշտեյնը միտումնավոր համաձայնեցրել է իր «Մարտական ​​նավ Պոտյոմկին» ֆիլմի սցենարը ոսկե հարաբերակցության կանոնով՝ ֆիլմը բաժանելով հինգ մասի։ Առաջին երեք հատվածներում գործողությունները տեղի են ունենում նավի վրա, իսկ վերջին երկուսում՝ Օդեսայում։ Քաղաքային տեսարանների անցումը ֆիլմի ոսկե կեսն է։