Մոդուլի նշանը թերևս մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր երևույթներից է։ Այս առումով շատ դպրոցականների մոտ հարց է առաջանում, թե ինչպես կարելի է կառուցել մոդուլ պարունակող ֆունկցիաների գրաֆիկները: Եկեք մանրամասն քննենք այս հարցը։

1. Մոդուլ պարունակող ֆունկցիաների գծագրում

Օրինակ 1

Գրեք y = x 2 – 8|x| ֆունկցիան + 12.

Լուծում.

Եկեք սահմանենք ֆունկցիայի հավասարությունը: y(-x)-ի արժեքը նույնն է, ինչ y(x-ի), ուստի այս ֆունկցիան զույգ է: Այնուհետև դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ։ Մենք կառուցում ենք y \u003d x 2 - 8x + 12 ֆունկցիայի գրաֆիկը x ≥ 0-ի համար և սիմետրիկորեն ցուցադրում ենք Oy-ի համեմատ գրաֆիկը բացասական x-ի համար (նկ. 1):

Օրինակ 2

Հաջորդ գրաֆիկը y = |x 2 – 8x + 12|:

- Ո՞րն է առաջարկվող գործառույթի շրջանակը: (y ≥ 0):

- Ինչպե՞ս է աղյուսակը: (x առանցքի վերևում կամ հպվելով):

Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է հետևյալ կերպ. նրանք գծում են y ֆունկցիան y \u003d x 2 - 8x + 12, անփոփոխ թողնում են գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է Ox առանցքի վերևում, և գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է տակ։ abscissa առանցքը ցուցադրվում է սիմետրիկորեն համեմատած Ox առանցքի (նկ. 2):

Օրինակ 3

Նկարել y = |x 2 – 8|x| ֆունկցիան + 12| իրականացնել փոխակերպումների համադրություն.

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Պատասխան՝ նկար 3:

Դիտարկված փոխակերպումները վավեր են բոլոր տեսակի գործառույթների համար: Եկեք աղյուսակ կազմենք.

2. Բանաձևում «ներդիր մոդուլներ» պարունակող ֆունկցիաների գծագրում

Մենք արդեն ծանոթացել ենք մոդուլ պարունակող քառակուսի ֆունկցիայի օրինակներին, ինչպես նաև y = f(|x|), y = |f(x)| և y = |f(|x|)|. Այս փոխակերպումները մեզ կօգնեն դիտարկել հետևյալ օրինակը։

Օրինակ 4

Դիտարկենք y = |2 – |1 – |x||| ձևի ֆունկցիա: Ֆունկցիան սահմանող արտահայտությունը պարունակում է «ներդիր մոդուլներ»։

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք երկրաչափական փոխակերպումների մեթոդը:

Գրենք հաջորդական փոխակերպումների շղթա և կատարենք համապատասխան գծագիրը (նկ. 4).

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ համաչափությունը և զուգահեռ թարգմանության փոխակերպումները գծագրման հիմնական տեխնիկան չեն։

Օրինակ 5

Կառուցեք y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Լուծում.

Գրաֆիկ կառուցելուց առաջ փոխակերպում ենք ֆունկցիան սահմանող բանաձևը և ստանում ֆունկցիայի մեկ այլ վերլուծական սահմանում (նկ. 5):

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Եկեք ընդլայնենք մոդուլը հայտարարի մեջ.

x> -2-ի համար y = x - 2, իսկ x-ի համար< -2, y = -(x – 2).

D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞) տիրույթ:

Շրջանակ E(y) = (-4; +∞):

Կետերը, որտեղ գրաֆիկը հատվում է կոորդինատային առանցքի հետ՝ (0; -2) և (2; 0):

Ֆունկցիան բոլոր x-ի համար նվազում է միջակայքից (-∞; -2), x-ի համար մեծանում է -2-ից մինչև +∞:

Այստեղ մենք պետք է բացահայտեինք մոդուլի նշանը և գծագրեինք ֆունկցիան յուրաքանչյուր դեպքի համար:

Օրինակ 6

Դիտարկենք y = |x + 1| ֆունկցիան – |x – 2|.

Լուծում.

Ընդլայնելով մոդուլի նշանը՝ անհրաժեշտ է դիտարկել ենթամոդուլային արտահայտությունների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունները։

Կան չորս հնարավոր դեպքեր.

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 և x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x-ով< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 և x-ի համար< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x-ով< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Այնուհետև բնօրինակ գործառույթը նման կլինի.

(3, x ≥ 2-ի համար;

y = (-3, ժամը x< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x< 2.

Մենք ստացանք հատվածաբար տրված ֆունկցիա, որի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 6-ում:

3. Ձևի ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման ալգորիթմ

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + կացին + բ.

Նախորդ օրինակում բավական հեշտ էր ընդլայնել մոդուլի նշանները: Եթե ​​մոդուլների ավելի շատ գումարներ կան, ապա խնդրահարույց է դիտարկել ենթամոդուլային արտահայտությունների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունները: Ինչպե՞ս կարող ենք գծապատկերել ֆունկցիան այս դեպքում:

Նկատի ունեցեք, որ գրաֆիկը բազմագիծ է, որտեղ գագաթները ունեն -1 և 2 աբսցիսներ: x = -1 և x = 2-ի համար ենթամոդուլի արտահայտությունները հավասար են զրոյի: Գործնական կերպով մենք մոտեցանք այսպիսի գրաֆիկների կառուցման կանոնին.

y = a 1 |x – x 1 | ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկ + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + կացին + b-ն անվերջ ծայրային կապերով կոտրված գիծ է: Նման պոլիգիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ նրա բոլոր գագաթները (գագաթային աբսցիսները ենթամոդուլային արտահայտությունների զրոներ են) և մեկական կառավարման կետ ձախ և աջ անսահման կապերի վրա։

Առաջադրանք.

Գրեք y = |x| ֆունկցիան + |x – 1| + |x + 1| և գտնել դրա ամենափոքր արժեքը:

Լուծում:

Ենթամոդուլային արտահայտությունների զրոներ՝ 0; -1; 1. Բազմանգծի գագաթները (0; 2); (-13); (13). Վերահսկիչ կետը աջ կողմում (2; 6), ձախ կողմում (-2; 6): Կառուցում ենք գրաֆիկ (նկ. 7): min f(x) = 2:

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես գծագրել ֆունկցիա մոդուլով:
Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Մոդուլի նշանը թերևս մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր երևույթներից է։ Այս առումով շատ դպրոցականների մոտ հարց է առաջանում, թե ինչպես կարելի է կառուցել մոդուլ պարունակող ֆունկցիաների գրաֆիկները: Եկեք մանրամասն քննենք այս հարցը։

1. Մոդուլ պարունակող ֆունկցիաների գծագրում

Օրինակ 1

Գրեք y = x 2 – 8|x| ֆունկցիան + 12.

Լուծում.

Եկեք սահմանենք ֆունկցիայի հավասարությունը: y(-x)-ի արժեքը նույնն է, ինչ y(x-ի), ուստի այս ֆունկցիան զույգ է: Այնուհետև դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ։ Մենք կառուցում ենք y \u003d x 2 - 8x + 12 ֆունկցիայի գրաֆիկը x ≥ 0-ի համար և սիմետրիկորեն ցուցադրում ենք Oy-ի համեմատ գրաֆիկը բացասական x-ի համար (նկ. 1):

Օրինակ 2

Հաջորդ գրաֆիկը y = |x 2 – 8x + 12|:

- Ո՞րն է առաջարկվող գործառույթի շրջանակը: (y ≥ 0):

- Ինչպե՞ս է աղյուսակը: (x առանցքի վերևում կամ հպվելով):

Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է հետևյալ կերպ. նրանք գծում են y ֆունկցիան y \u003d x 2 - 8x + 12, անփոփոխ թողնում են գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է Ox առանցքի վերևում, և գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է տակ։ abscissa առանցքը ցուցադրվում է սիմետրիկորեն համեմատած Ox առանցքի (նկ. 2):

Օրինակ 3

Նկարել y = |x 2 – 8|x| ֆունկցիան + 12| իրականացնել փոխակերպումների համադրություն.

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Պատասխան՝ նկար 3:

Դիտարկված փոխակերպումները վավեր են բոլոր տեսակի գործառույթների համար: Եկեք աղյուսակ կազմենք.

2. Բանաձևում «ներդիր մոդուլներ» պարունակող ֆունկցիաների գծագրում

Մենք արդեն ծանոթացել ենք մոդուլ պարունակող քառակուսի ֆունկցիայի օրինակներին, ինչպես նաև y = f(|x|), y = |f(x)| և y = |f(|x|)|. Այս փոխակերպումները մեզ կօգնեն դիտարկել հետևյալ օրինակը։

Օրինակ 4

Դիտարկենք y = |2 – |1 – |x||| ձևի ֆունկցիա: Ֆունկցիան սահմանող արտահայտությունը պարունակում է «ներդիր մոդուլներ»։

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք երկրաչափական փոխակերպումների մեթոդը:

Գրենք հաջորդական փոխակերպումների շղթա և կատարենք համապատասխան գծագիրը (նկ. 4).

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ համաչափությունը և զուգահեռ թարգմանության փոխակերպումները գծագրման հիմնական տեխնիկան չեն։

Օրինակ 5

Կառուցեք y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Լուծում.

Գրաֆիկ կառուցելուց առաջ փոխակերպում ենք ֆունկցիան սահմանող բանաձևը և ստանում ֆունկցիայի մեկ այլ վերլուծական սահմանում (նկ. 5):

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Եկեք ընդլայնենք մոդուլը հայտարարի մեջ.

x> -2-ի համար y = x - 2, իսկ x-ի համար< -2, y = -(x – 2).

D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞) տիրույթ:

Շրջանակ E(y) = (-4; +∞):

Կետերը, որտեղ գրաֆիկը հատվում է կոորդինատային առանցքի հետ՝ (0; -2) և (2; 0):

Ֆունկցիան բոլոր x-ի համար նվազում է միջակայքից (-∞; -2), x-ի համար մեծանում է -2-ից մինչև +∞:

Այստեղ մենք պետք է բացահայտեինք մոդուլի նշանը և գծագրեինք ֆունկցիան յուրաքանչյուր դեպքի համար:

Օրինակ 6

Դիտարկենք y = |x + 1| ֆունկցիան – |x – 2|.

Լուծում.

Ընդլայնելով մոդուլի նշանը՝ անհրաժեշտ է դիտարկել ենթամոդուլային արտահայտությունների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունները։

Կան չորս հնարավոր դեպքեր.

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 և x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x-ով< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 և x-ի համար< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x-ով< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Այնուհետև բնօրինակ գործառույթը նման կլինի.

(3, x ≥ 2-ի համար;

y = (-3, ժամը x< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x< 2.

Մենք ստացանք հատվածաբար տրված ֆունկցիա, որի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 6-ում:

3. Ձևի ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման ալգորիթմ

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + կացին + բ.

Նախորդ օրինակում բավական հեշտ էր ընդլայնել մոդուլի նշանները: Եթե ​​մոդուլների ավելի շատ գումարներ կան, ապա խնդրահարույց է դիտարկել ենթամոդուլային արտահայտությունների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունները: Ինչպե՞ս կարող ենք գծապատկերել ֆունկցիան այս դեպքում:

Նկատի ունեցեք, որ գրաֆիկը բազմագիծ է, որտեղ գագաթները ունեն -1 և 2 աբսցիսներ: x = -1 և x = 2-ի համար ենթամոդուլի արտահայտությունները հավասար են զրոյի: Գործնական կերպով մենք մոտեցանք այսպիսի գրաֆիկների կառուցման կանոնին.

y = a 1 |x – x 1 | ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկ + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + կացին + b-ն անվերջ ծայրային կապերով կոտրված գիծ է: Նման պոլիգիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ նրա բոլոր գագաթները (գագաթային աբսցիսները ենթամոդուլային արտահայտությունների զրոներ են) և մեկական կառավարման կետ ձախ և աջ անսահման կապերի վրա։

Առաջադրանք.

Գրեք y = |x| ֆունկցիան + |x – 1| + |x + 1| և գտնել դրա ամենափոքր արժեքը:

Լուծում:

Ենթամոդուլային արտահայտությունների զրոներ՝ 0; -1; 1. Բազմանգծի գագաթները (0; 2); (-13); (13). Վերահսկիչ կետը աջ կողմում (2; 6), ձախ կողմում (-2; 6): Կառուցում ենք գրաֆիկ (նկ. 7): min f(x) = 2:

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես գծագրել ֆունկցիա մոդուլով:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Sandbox

GIA - մոդուլային նշանով ֆունկցիաների գծագրում

Բարեւ բոլորին! Այսօր ես կցանկանայի բացատրել այնպիսի թեմա, ինչպիսին է գրաֆիկները: Հավանաբար մարդկանց մեծամասնությունը գիտի, թե ինչպես գծել պարզ ֆունկցիաների գրաֆիկներ, ինչպիսիք են y=x^2 կամ y=1/x: Իսկ ինչպե՞ս կառուցել գրաֆիկներ մոդուլի նշանով։

Առաջադրանք 1.Կառուցեք y=|x| ֆունկցիաների գրաֆիկները y=|x-1|.
Լուծում.Համեմատենք y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ, դրական x-ի համար ունենք |x|=x: Այսպիսով, փաստարկի դրական արժեքների համար գրաֆիկը y=|x| համընկնում է y=x գրաֆիկի հետ, այսինքն՝ գրաֆիկի այս հատվածը սկզբից ծագող ճառագայթ է x-ի առանցքի նկատմամբ 45 աստիճան անկյան տակ։ x-ի համար< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Այնուամենայնիվ, գրաֆիկի երկրորդ կեսը (բացասական X-ի համար) հեշտ է ստանալ առաջինից, եթե նկատում եք, որ y=|x| ֆունկցիան: զույգ է, քանի որ |-ա|=|ա|. Այսպիսով, y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ, իսկ գրաֆիկի երկրորդ կեսը կարելի է ստանալ՝ արտացոլելով y առանցքի երկայնքով դրական x-ի համար գծված մասը։ Սա հանգեցնում է գրաֆիկի.

Շինարարության համար վերցնում ենք (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) կետերը:

Այժմ սյուժեն y=|x-1|. Եթե ​​A-ն գրաֆիկական կետ է y=|x| կոորդինատներով (a;|a|), ապա գրաֆիկի կետը y=|x-1| A1(a+1;|a|) կետը կունենա նույն Y-օրդինատի արժեքը: (Ինչու՞) Երկրորդ գրաֆիկի այս կետը կարելի է ստանալ առաջին գրաֆիկի A(a;|a|) կետից՝ Ox առանցքի զուգահեռ շարժվելով դեպի աջ: Այսպիսով, y=|x-1| ֆունկցիայի ամբողջ գրաֆիկը ստացվում է y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկից։ Ox-ի առանցքին զուգահեռ շեղվել դեպի աջ 1-ով:

Եկեք կառուցենք գրաֆիկներ.

Y=|x-1|

Շինարարության համար վերցնում ենք (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) կետերը:

Դա պարզ խնդիր էր։ Հիմա այն, ինչը սարսափեցնում է շատ մարդկանց։

Առաջադրանք 2.Գծե՛ք y=3*|x-4| ֆունկցիան - x + |x+1|.
Լուծում.Եկեք գտնենք այն կետերը, որոնցում անհետանում են ենթամոդուլային արտահայտությունները, այսինքն. ֆունկցիայի այսպես կոչված «կրիտիկական» կետերը։ Այս կետերը կլինեն x=-1 և x=4: Այս կետերում ենթամոդուլային արտահայտությունները կարող են փոխել նշանը:

Թող x<-1. Հետո x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Թող -1< = x < = 4. Այնուհետև x+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Թող x>4.Այնուհետև x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Հետևաբար, y \u003d 3 (x-4) - x + x + 1 \u003d 3x-11:

Այսպիսով, մենք պետք է կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը (հենց մեկը)
( y \u003d -5x + 11, x-ով<-1
( y \u003d -3x + 13, ժամը -1< = x < = 4.
(y \u003d 3x-11, x> 4-ով

Առաջինը կառուցելու համար վերցնում ենք (1; 6) (2; 1) կետերը:
Երկրորդը կառուցելու համար վերցնում ենք (3; 4) (4; 1) կետերը:
Երրորդը կառուցելու համար վերցրեք կետերը (3; -2) (4; 1)

Դե, այսօրվա վերջին առաջադրանքը, որը կվերլուծենք։
Առաջադրանք 3.Գծեք y= |1/4 x^2 - |x| ֆունկցիան - 3|.
Լուծում.Ֆունկցիա y= |f(|x|)| նույնիսկ. Անհրաժեշտ է կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ x>=0 y= f(x) համար, այնուհետև այն սիմետրիկ կերպով արտացոլել Oy առանցքի նկատմամբ (սա գրաֆիկ է y= |1/4 x^2 - x - 3|.), և, վերջապես, ստացված գրաֆիկայի այն մասը, որը գտնվում է ներքևի կես հարթությունում, սիմետրիկորեն արտացոլվում է Ox առանցքի նկատմամբ (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.):
Ահա թե ինչ կստացվի դրանից.

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|

Այսպիսով, շնորհակալություն բոլորին: Այժմ մենք ստացել ենք մոդուլային նշանով գրաֆիկներ գծելու համար անհրաժեշտ գիտելիքների բազան: Եվ բոլորն այնքան վախենում են նրանից:

Պիտակներ՝ մաթեմատիկա