անկյունագծային գերակայություն. Անկյունագծային գերակայությամբ համակարգեր
ՍԱՆԿՏ ՊԵՏԵՐԲՈՒՐԳԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ
Կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետ - Վերահսկիչ գործընթացներ
A. P. IVANOV
ԹՎԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ սեմինար
ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՇՎԱՌՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄ
Ուղեցույցներ
Սանկտ Պետերբուրգ
ԳԼՈՒԽ 1. ԱՋԱԿՑՈՂ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
IN մեթոդական ուղեցույցՏրված են SLAE-ի լուծման մեթոդների դասակարգումը և դրանց կիրառման ալգորիթմները: Մեթոդները ներկայացված են այնպիսի ձևով, որը թույլ է տալիս դրանք օգտագործել առանց այլ աղբյուրների հղումների: Ենթադրվում է, որ համակարգի մատրիցը ոչ եզակի է, այսինքն. det A 6= 0.
§1. Վեկտորների և մատրիցների նորմեր
Հիշեցնենք, որ x տարրերի Ω գծային տարածությունը կոչվում է նորմալացված, եթե այն պարունակում է k · kΩ ֆունկցիա, որը սահմանված է Ω տարածության բոլոր տարրերի համար և բավարարում է հետևյալ պայմանները.
1. kxk Ω ≥ 0, և kxkΩ = 0 x = 0Ω;
2. kλxk Ω = |λ| kxkΩ ;
3. kx + ykΩ ≤ kxkΩ + kykΩ .
Հետագայում մենք կհամաձայնվենք վեկտորները նշել փոքր լատինատառերով, և դրանք կհամարենք սյունակային վեկտորներ, մատրիցաները կնշանակենք մեծ լատինատառով, իսկ սկալային մեծությունները կնշանակենք հունարեն տառերով (տառերի հետևում պահպանելով ամբողջ թվերի նշանակումները: i, j, k, l, m, n) .
Առավել հաճախ օգտագործվող վեկտորի նորմերը ներառում են հետևյալը.
|xi|; |
|
1. kxk1 = |
|
2. kxk2 = u x2 ; տ
3. kxk∞ = maxi |xi |.
Նկատի ունեցեք, որ Rn տարածության բոլոր նորմերը համարժեք են, այսինքն. ցանկացած երկու նորմ՝ kxki և kxkj կապված են հետևյալով.
αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj,
k k ≤ k k ≤ ˜ k k
α˜ ij x i x j β ij x i,
ընդ որում, αij , βij , α˜ij , βij չեն կախված x-ից։ Ավելին, վերջավոր չափերի տարածության մեջ ցանկացած երկու նորմ համարժեք են։
Մատրիցների տարածությունը բնականաբար ներմուծված գումարման և թվով բազմապատկելու գործողություններով կազմում է գծային տարածություն, որտեղ նորմ հասկացությունը կարող է ներկայացվել բազմաթիվ ձևերով: Այնուամենայնիվ, այսպես կոչված ստորադաս նորմերն առավել հաճախ համարվում են, այսինքն. հարաբերություններով վեկտորների նորմերի հետ կապված նորմեր.
Նշելով մատրիցների ստորադաս նորմերը նույն ինդեքսներով, ինչ վեկտորների համապատասխան նորմերը, կարող ենք հաստատել, որ.
k k1 |
|աիջ|; kAk2 |
k∞ |
|||||||||||||
(AT A); |
|||||||||||||||
Այստեղ λi (AT A) նշանակում է AT A մատրիցի սեփական արժեքը, որտեղ AT-ը A-ին փոխադրված մատրիցն է: Բացի վերը նշված նորմայի երեք հիմնական հատկություններից, մենք այստեղ նշում ենք ևս երկուսը.
kABk ≤ kAk kBk,
kAxk ≤ kAk kxk,
ընդ որում, վերջին անհավասարության դեպքում մատրիցային նորմը ստորադասվում է համապատասխան վեկտորային նորմայից։ Եկեք պայմանավորվենք հետևյալում օգտագործել միայն վեկտորների նորմերին ստորադասվող մատրիցների նորմեր։ Նկատի ունեցեք, որ նման նորմերի համար գործում է հավասարությունը. եթե E-ն նույնականության մատրիցն է, ապա kEk = 1, .
§2. Մատրիցներ անկյունագծային գերակայությամբ
Սահմանում 2.1. A մատրիցը (aij )n i,j=1 տարրերով կոչվում է անկյունագծային գերակշռությամբ մատրիցա (դ արժեքներ), եթե անհավասարությունները
|այ | − |աիջ| ≥ δ > 0, i = 1, n:
§3. Դրական որոշակի մատրիցներ
Սահմանում 3.1. Կկանչվի սիմետրիկ A մատրիցը
դրական որոշակի, եթե այս մատրիցով xT Ax քառակուսի ձևը ընդունում է միայն դրական արժեքներ ցանկացած վեկտորի համար x 6= 0:
Մատրիցայի դրական որոշակիության չափանիշը կարող է լինել դրա սեփական արժեքների դրականությունը կամ դրա հիմնական անչափահասների դրականությունը:
§4. SLAE-ի պայմանի համարը
Ցանկացած խնդիր լուծելիս, ինչպես հայտնի է, լինում են երեք տեսակի սխալներ՝ ճակատագրական սխալ, մեթոդական սխալ և կլորացման սխալ։ Դիտարկենք սկզբնական տվյալների ճակատագրական սխալի ազդեցությունը SLAE-ի լուծման վրա՝ անտեսելով կլորացման սխալը և հաշվի առնելով մեթոդաբանական սխալի բացակայությունը։
A մատրիցը ճշգրիտ հայտնի է, իսկ b աջ կողմը պարունակում է չհեռացվող սխալ δb:
Այնուհետև kδxk/kxk լուծման հարաբերական սխալի համար
Հեշտ է գնահատական ստանալ. |
|||||||
որտեղ ν(A) = kAkkA−1k.
ν(A) թիվը կոչվում է համակարգի պայմանի համար (4.1) (կամ մատրիցա A): Ստացվում է, որ միշտ ν(A) ≥ 1 ցանկացած A մատրիցի համար: Քանի որ պայմանի թվի արժեքը կախված է մատրիցային նորմայի ընտրությունից, կոնկրետ նորմ ընտրելիս մենք ինդեքսավորելու ենք ν(A) , համապատասխանաբար՝ ν1 ( A), ν2 (A), կամ ν ∞(A):
ν(A) 1 դեպքում համակարգը (4.1) կամ A մատրիցը համարվում է վատ պայմանավորված: Այս դեպքում, ինչպես հետևում է նախահաշիվից
(4.2) , (4.1) համակարգի լուծման սխալը կարող է անընդունելի մեծ լինել: Սխալի ընդունելի կամ անընդունելի հասկացությունը որոշվում է խնդրի ձևակերպմամբ:
Անկյունագծային գերակայություն ունեցող մատրիցայի համար հեշտ է ստանալ դրա վիճակի թվի վերին գնահատականը: Առաջանում է
Թեորեմ 4.1. Թող A լինի δ > 0 անկյունագծային գերակշռությամբ մատրիցա: Այնուհետև այն ոչ եզակի է և ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ:
§5. Վատ պայմանավորված համակարգի օրինակ.
Դիտարկենք SLAE (4.1) , որում
−1 |
− 1 . . . |
−1 |
−1 |
|||||||||
−1 |
.. . |
|||||||||||
−1 |
||||||||||||
Այս համակարգն ունի եզակի լուծում x = (0, 0, . . . , 0, 1)T : Թող համակարգի աջ կողմը պարունակի δb = (0, 0, . . . , 0, ε), ε > 0 սխալը:
δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, . . . , δx1 = 2n−2ε.
k∞ = |
2n−2ε, |
k∞ |
k∞ |
|||||||||||||
k k∞ |
||||||||||||||||
Հետևաբար,
ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ :kδbk ∞ = 2n−2: kxk ∞ kbk ∞
Քանի որ kAk∞ = n, ուրեմն kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2 , չնայած det(A−1 ) = (det A)−1 = 1: Օրինակ՝ n = 102: Ապա ν( Ա) ≥ 2100 > 1030: Ընդ որում, եթե նույնիսկ ε = 10−15 մենք ստանում ենք kδxk∞ > 1015: Եվ դա այդպես չէ
Սահմանում.
Մենք համակարգ ենք անվանում տողերի անկյունագծային գերակայությամբ համակարգ, եթե մատրիցայի տարրերըբավարարել անհավասարությունները.
,
Անհավասարությունները նշանակում են, որ մատրիցայի յուրաքանչյուր տողում 
ընդգծված է անկյունագծային տարրը. նրա մոդուլն ավելի մեծ է, քան նույն շարքի մյուս բոլոր տարրերի մոդուլների գումարը:
Թեորեմ
Շեղանկյուն գերակայություն ունեցող համակարգը միշտ էլ լուծելի է և առավել եւս՝ եզակի։
Դիտարկենք համապատասխան համասեռ համակարգը.
,
Ենթադրենք, որ այն ունի ոչ տրիվիալ լուծում 
, Թող այս լուծման բաղադրիչը, որն ունի ամենամեծ մոդուլը, համապատասխանի ինդեքսին 
, այսինքն.
,
,
.
Եկեք գրենք 
համակարգի րդ հավասարումը ձևով
և վերցրեք այս հավասարության երկու կողմերի մոդուլը: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Անհավասարության նվազեցում գործոնով 
, որը, ըստ, հավասար չէ զրոյի, մենք հանգում ենք անկյունագծային գերակայություն արտահայտող անհավասարության հետ հակասության։ Ստացված հակասությունը մեզ թույլ է տալիս հետևողականորեն նշել երեք պնդում.
Դրանցից վերջինը նշանակում է, որ թեորեմի ապացույցն ամբողջական է։
Եռանկյուն մատրիցով համակարգեր: Մաքրման մեթոդ.
Շատ խնդիրներ լուծելիս պետք է գործ ունենալ ձևի գծային հավասարումների համակարգերի հետ.
,
,
,
,
որտեղ գործակիցներ 
, աջ կողմերը 
թվերի հետ միասին հայտնի է 
Եվ 
. Լրացուցիչ հարաբերությունները հաճախ կոչվում են համակարգի սահմանային պայմաններ: Շատ դեպքերում դրանք կարող են ավելի բարդ տեսք ունենալ։ Օրինակ:
;
,
Որտեղ 
տրվում են թվեր. Այնուամենայնիվ, ներկայացումը չբարդացնելու համար մենք սահմանափակվում ենք լրացուցիչ պայմանների ամենապարզ ձևով:
Օգտվելով այն հանգամանքից, որ արժեքները 
Եվ 
տրված, մենք համակարգը վերագրում ենք ձևով.
Այս համակարգի մատրիցն ունի եռանկյուն կառուցվածք.
Սա մեծապես հեշտացնում է համակարգի լուծումը հատուկ մեթոդի շնորհիվ, որը կոչվում է ավլման մեթոդ:
Մեթոդը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ ցանկալի անհայտները 
Եվ 
կապված կրկնության առնչությամբ
,
.
Ահա քանակները 
,
, որը կոչվում է մաքրման գործակիցներ, պետք է որոշվեն՝ հիմնվելով խնդրի պայմանների վրա, . Փաստորեն, նման ընթացակարգը նշանակում է փոխարինել անհայտների ուղղակի սահմանումը 
ավլման գործակիցները որոշելու խնդիր՝ քանակների հետագա հաշվարկով 
.
Նկարագրված ծրագիրն իրականացնելու համար մենք արտահայտում ենք՝ օգտագործելով կապը 
միջոցով 
:
և փոխարինող 
Եվ 
, արտահայտված միջոցով 
, սկզբնական հավասարումների մեջ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Վերջին հարաբերությունները, անշուշտ, կբավարարվեն և, առավել ևս, անկախ լուծումից, եթե պահանջվի, որ ժ. 
տեղի ունեցան հավասարություններ.
Այստեղից հետևեք ավլման գործակիցների ռեկուրսիվ հարաբերություններին.
,
,
.
Ձախ սահմանային պայման 
և հարաբերակցությունը 
հետեւողական են, եթե դնենք
.
Մաքրման գործակիցների այլ արժեքներ 
Եվ 
մենք գտնում ենք, որով և ավարտում ենք ավլման գործակիցների հաշվարկման փուլը։
.
Այստեղից կարող եք գտնել մնացած անհայտները 
հետընթաց ավլելու գործընթացում՝ օգտագործելով ռեկուրսիվ բանաձև:
Գաուսի մեթոդով ընդհանուր համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ գործողությունների թիվը մեծանում է աճման հետ 
համաչափ 
. Մաքրման մեթոդը կրճատվում է երկու ցիկլով. նախ, մաքրման գործակիցները հաշվարկվում են բանաձևերի միջոցով, այնուհետև, օգտագործելով դրանք, համակարգի լուծման բաղադրիչները հայտնաբերվում են կրկնվող բանաձևերի միջոցով: 
. Սա նշանակում է, որ քանի որ համակարգի չափը մեծանում է, թվաբանական գործողությունների թիվը համամասնորեն կաճի 
, բայց չէ 
. Այսպիսով, ավլման մեթոդը իր հնարավոր կիրառման շրջանակներում զգալիորեն ավելի խնայող է: Սրան պետք է ավելացնել համակարգչի վրա դրա ծրագրային ապահովման ներդրման առանձնահատուկ պարզությունը։
Շատ կիրառական խնդիրներում, որոնք հանգեցնում են SLAE-ի եռանկյուն մատրիցով, նրա գործակիցները բավարարում են անհավասարությունները.
,
որոնք արտահայտում են անկյունագծային գերակայության հատկությունը: Մասնավորապես, նման համակարգերի կհանդիպենք երրորդ և հինգերորդ գլուխներում։
Նախորդ բաժնի թեորեմի համաձայն՝ նման համակարգերի լուծումը միշտ կա և եզակի է։ Նրանք ունեն նաև հայտարարություն, որը կարևոր է ավլման մեթոդով լուծման փաստացի հաշվարկի համար:
Լեմմա
Եթե եռանկյուն մատրիցով համակարգի համար անկյունագծային գերակայության պայմանը բավարարված է, ապա ավլման գործակիցները բավարարում են անհավասարությունները.
.
Ապացույցը կիրականացնենք ինդուկցիայի միջոցով։ Համաձայն 
, ես ուտում եմ 
լեմմայի պնդումը ճիշտ է։ Հիմա ենթադրենք, որ դա ճիշտ է 
և հաշվի առեք 
:
.
Այսպիսով, ինդուկցիան 
Դեպի 
հիմնավորված, որն ամբողջացնում է լեմայի ապացույցը։
Անհավասարություն ավլման գործակիցների համար 
վազքը կայուն է դարձնում: Իսկապես, ենթադրենք, որ լուծման բաղադրիչը 
կլորացման ընթացակարգի արդյունքում հաշվարկվում է որոշակի սխալով։ Հետո հաջորդ բաղադրիչը հաշվարկելիս 
ըստ ռեկուրսիվ բանաձևի, անհավասարության պատճառով այս սխալը չի մեծանա։
ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ ԱՆՏԵԳԵՆԱՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆԱԿԱՆ ԳԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՍԵՓԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ1
Լ.Ցվետկովիչը, Վ.Կոստիչը և Լ.Ա. Խորամանկ
Cvetkovic Liliana - պրոֆեսոր, Մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ամբիոն, Գիտության ֆակուլտետ, Նովի Սադի համալսարան, Սերբիա, Obradovica 4, Novi Sad, Սերբիա, 21000, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է].
Կոստիչ Վլադիմիր - ասիստենտ, դոկտոր, մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ամբիոնի գիտության ֆակուլտետ, Նովի Սադի համալսարան, Սերբիա, Օբրադովիցա 4, 21000, Նովի Սադ, Սերբիա, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է].
Կրուկիեր Լև Աբրամովիչ - ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, բարձր արդյունավետության հաշվողական և տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների ամբիոնի վարիչ, Հարավային Ռուսաստանի ինֆորմատիզացիայի տարածաշրջանային կենտրոնի տնօրեն դաշնային համալսարան, Ստաչկի պող.200/1 թղմ. 2, Դոնի Ռոստով, 344090, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է]. ru.
Cvetkovic Ljiljana - պրոֆեսոր, մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ամբիոն, գիտության ֆակուլտետ, Նովի Սադի համալսարան, Սերբիա, D. Obradovica 4, Novi Sad, Սերբիա, 21000, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է].
Կոստիչ Վլադիմիր - ասիստենտ, Մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ամբիոնի գիտության ֆակուլտետ, Նովի Սադի համալսարան, Սերբիա, Դ. Օբրադովիցա 4, Նովի Սադ, Սերբիա, 21000, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է].
Կրուկիեր Լև Աբրամովիչ - ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, բարձր արդյունավետության հաշվողական և տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների ամբիոնի վարիչ, Հարավային դաշնային համալսարանի համակարգչային կենտրոնի տնօրեն, Ստաչկի պող., 200/1, bild. 2, Դոնի Ռոստով, Ռուսաստան, 344090, էլ. [էլփոստը պաշտպանված է]. ru.
Մատրիցայում անկյունագծային գերակայությունն է պարզ պայման, ապահովելով դրա ոչ այլասերվածությունը։ Մատրիցային հատկությունները, որոնք ընդհանրացնում են անկյունագծային գերակայության հասկացությունը, միշտ էլ մեծ պահանջարկ ունեն: Դրանք համարվում են անկյունագծային գերակայության տիպի պայմաններ և օգնում են սահմանել մատրիցների ենթադասեր (ինչպես H-մատրիցները), որոնք այս պայմաններում մնում են ոչ այլասերված: Այս հոդվածում մենք կառուցում ենք ոչ եզակի մատրիցների նոր դասեր, որոնք պահպանում են անկյունագծային գերակայության առավելությունները, բայց մնում են H-մատրիցների դասից դուրս: Այս հատկությունները հատկապես հարմար են, քանի որ շատ հավելվածներ հանգեցնում են այս դասի մատրիցների, և H-մատրիցներ չհանդիսացող մատրիցների չդեգեներացիայի տեսությունը այժմ կարող է ընդլայնվել:
Հիմնաբառեր՝ անկյունագծային գերակայություն, ոչ այլասերվածություն, մասշտաբում:
Մինչդեռ պարզ պայմանները, որոնք ապահովում են մատրիցների ոչ եզակիությունը, միշտ ողջունելի են, որոնցից շատերը, որոնք կարելի է համարել որպես անկյունագծային գերակայության տեսակ, հակված են արտադրել հայտնի H-մատրիցների ենթադասեր: Այս հոդվածում մենք կառուցում ենք ոչ եզակի մատրիցների նոր դասեր, որոնք պահպանում են անկյունագծային գերակայության օգտակարությունը, բայց ընդհանուր հարաբերության մեջ են H-մատրիցների դասի հետ: Այս հատկությունը հատկապես բարենպաստ է, քանի որ շատ կիրառություններ, որոնք բխում են H-matrix տեսությունից, այժմ կարող են ընդլայնվել:
Հիմնաբառեր՝ անկյունագծային գերակայություն, ոչ եզակիություն, մասշտաբավորման տեխնիկա:
Մաթեմատիկական ֆիզիկայի սահմանային խնդիրների թվային լուծումը սովորաբար նվազեցնում է սկզբնական խնդիրը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծմանը։ Լուծման ալգորիթմ ընտրելիս մենք պետք է իմանանք, արդյոք սկզբնական մատրիցը ոչ եզակի է: Բացի այդ, մատրիցայի ոչ այլասերվածության հարցը արդիական է, օրինակ, կրկնվող մեթոդների կոնվերգենցիայի տեսության, սեփական արժեքների տեղայնացման, որոշիչները, գոգնոցների արմատները, սպեկտրային շառավիղը, եզակի արժեքները գնահատելու համար: մատրիցա և այլն:
Նկատի ունեցեք, որ ամենապարզ, բայց չափազանց օգտակար պայմաններից մեկը, որն ապահովում է մատրիցայի ոչ այլասերվածությունը, խիստ անկյունագծային գերակայության հայտնի հատկությունն է (և դրանց հղումները):
Թեորեմ 1. Թող A = e Cnxn մատրիցը տրվի այնպես, որ
s > r (a):= S k l, (1)
բոլորի համար i e N:= (1,2,...n):
Այնուհետև A մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է:
(1) հատկություն ունեցող մատրիցները կոչվում են խիստ անկյունագծային գերակայությամբ մատրիցներ
(8BB մատրիցներ): Նրանց բնական ընդհանրացումը ընդհանրացված անկյունագծային գերակայությամբ (GBD) ունեցող մատրիցների դասն է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.
Սահմանում 1. A = [a^] e Cxn մատրիցը կոչվում է sBB մատրից, եթե գոյություն ունի W ոչ եզակի անկյունագծային մատրիցա, որը AW 8BB մատրից է:
Մենք ներկայացնում ենք մատրիցայի մի քանի սահմանումներ
A \u003d [ay] e Spxp.
Սահմանում 2
(A) = e Cn
կոչվում է A մատրիցի համեմատական մատրիցա։
Սահմանում 3. Matrix A = e C
\üj > 0, i = j
M-մատրից է, եթե
աջ< 0, i * j,
հակադարձ գորգ-
մատրիցա A">0, այսինքն նրա բոլոր տարրերը դրական են:
Ակնհայտ է, որ wBB դասի մատրիցները նույնպես ոչ եզակի մատրիցներ են և կարող են լինել
1Այս աշխատանքը մասամբ աջակցվել է Սերբիայի կրթության և գիտության նախարարության կողմից՝ 174019 դրամաշնորհով և Վոյվոդինայի գիտության և տեխնոլոգիական զարգացման նախարարության կողմից՝ 2675 և 01850 դրամաշնորհներով:
գրականության մեջ հայտնաբերվել է ոչ այլասերված H-մատրիցաների անվան տակ։ Դրանք կարող են սահմանվել՝ օգտագործելով հետևյալ անհրաժեշտ և բավարար պայմանը.
Թեորեմ 2. A \u003d [ay ]e xi մատրիցը
մատրիցա, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա համեմատական մատրիցը ոչ դեգեներատիվ M-մատրիցան է:
Մինչ այժմ ուսումնասիրված են ոչ այլասերված H-մատրիցների շատ ենթադասեր, բայց դրանք բոլորը դիտարկվում են խիստ անկյունագծային գերիշխող հատկության ընդհանրացումների տեսանկյունից (տես նաև հղումները այնտեղ):
Այս հոդվածում մենք դիտարկում ենք H-մատրիցների դասից դուրս գալու հնարավորությունը՝ SBB դասը այլ կերպ ընդհանրացնելով: Հիմնական գաղափարն այն է, որ շարունակվի օգտագործել մասշտաբային մոտեցումը, բայց մատրիցներով, որոնք շեղանկյուն չեն:
Դիտարկենք A \u003d [ay ] e spxn մատրիցը և ինդեքսը
Ներկայացնում ենք մատրիցը
r (A):= £ a R (A):= £
ßk (A) := £ և yk (A) := aü - ^
Հեշտ է ստուգել, որ bk Abk մատրիցի տարրերն ունեն հետևյալ ձևը.
ßk (A), Y k (A), akj,
i=j=k, i=j*k,
i = k, j * k, i * k, j = k,
A inöaeüiüö neo^äyö.
Եթե կիրառենք 1-ին թեորեմը վերը նկարագրված bk Abk1 մատրիցին և դրա փոխադրվածին, ապա մենք ստանում ենք երկու հիմնական թեորեմ:
Թեորեմ 3. Թող տրվի ցանկացած մատրից
A \u003d [ay ] e spxn ոչ զրոյական անկյունագծային տարրերով: Եթե կա k e N այնպիսին, որ > Rk (A), և յուրաքանչյուր i e N \ (k),
ապա A մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է:
Թեորեմ 4. Թող տրվի ցանկացած մատրից
A \u003d [ay ] e spxn ոչ զրոյական անկյունագծային տարրերով: Եթե կա k e N այնպիսին, որ > Jk (A), և յուրաքանչյուր i e N \ (k),
Այնուհետև A մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է: Բնական հարց է ծագում, թե ինչ հարաբերություններ կան
մատրիցներ նախորդ երկու թեորեմներից. L^ - BOO -matrices ( սահմանված բանաձևով(5)) և
bk - BOO-մատրիցներ (սահմանված է բանաձևով (6)) և H-մատրիցների դաս: Հետևյալ պարզ օրինակը պարզ է դարձնում դա:
Օրինակ. Դիտարկենք հետևյալ 4 մատրիցները.
և դիտարկենք bk Abk, k e N մատրիցը, որը նման է սկզբնական A-ին: Եկեք գտնենք այն պայմանները, երբ այս մատրիցը կունենա SDD-մատրիցի հատկություն (ըստ տողերի կամ սյունակների):
Ամբողջ հոդվածում r,k eN:= (1,2,.../?) համար մենք կօգտագործենք նշումը.
2 2 1 1 3 -1 1 1 1
" 2 11 -1 2 1 1 2 3
2 1 1 1 2 -1 1 1 5
Թեորեմներ ոչ այլասերվածության մասին
Նրանք բոլորն էլ ոչ այլասերված են.
A1-ը b - BOO է, չնայած այն հանգամանքին, որ այն bk - BOO չէ ցանկացած k = (1,2,3) համար: Այն նաև H-մատրիցան չէ, քանի որ (A^1-ը ոչ բացասական չէ.
A2-ը, համաչափության շնորհիվ, միաժամանակ LH - BOO և L է<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и
բ<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;
A3-ը b9 - BOO է, բայց ոչ մեկը
Lr-ը SDD է (k = (1,2,3)-ի համար), ոչ էլ H-մատրիցա, քանի որ (A3 ^) նույնպես այլասերված է.
A4-ը H-մատրից է, քանի որ (A^-ը ոչ եզակի է, իսկ ^A4) 1 > 0, չնայած այն ոչ LR - SDD է, ոչ էլ Lk - SDD ցանկացած k = (1,2,3) համար:
Նկարը ցույց է տալիս ընդհանուր հարաբերությունները
Lr - SDD , Lk - SDD և H- մատրիցները նախորդ օրինակի մատրիցների հետ միասին:
Հաղորդակցություն lR - SDD, lC - SDD և
դժոխք min(|au - r (A)|) "
Սկսած անհավասարությունից
և կիրառելով այս արդյունքը bk ab ^ մատրիցին, մենք ստանում ենք
Թեորեմ 5. Թող բերվի կամայական մատրիցա A = [a--] e Cxn՝ ոչ զրոյական անկյունագծային տարրերով:
ոստիկաններ. Եթե A-ն պատկանում է BOO դասին, ապա
1 + առավելագույն ^ i*k \acc\
H-մատրիցներ
Հետաքրքիր է նշել, որ չնայած ունենք
LC BOO-մատրիցների դասը՝ կիրառելով 1-ին թեորեմը LC AL^1 մատրիցով ստացված մատրիցին կիրառելով, այս դասը չի համընկնում Am մատրիցի վրա 2-րդ թեորեմի կիրառմամբ ստացված դասի հետ։
Մենք ներկայացնում ենք սահմանումներ.
Սահմանում 4. A մատրիցը կոչվում է ( bk -boo ըստ տողերի), եթե AT ( bk -boo ):
Սահմանում 5. A մատրիցը կոչվում է ( bsk -boo ըստ տողերի), եթե AT ( bsk -boo ):
Օրինակները ցույց են տալիս, որ դասերը W - BOO,
bc-boo, (bk-boo-ի տողով) և (b^-boo-ի տողով) կապված են միմյանց հետ: Այսպիսով, մենք ընդլայնել ենք H-մատրիցների դասը չորս տարբեր ձևերով:
Նոր թեորեմների կիրառում
Եկեք ցույց տանք նոր արդյունքների օգտակարությունը հակադարձ մատրիցայի C-նորմը գնահատելու համար:
Խիստ անկյունագծային գերակայությամբ կամայական A մատրիցի համար հայտնի Վարահի թեորեմը (Varah) տալիս է գնահատականը.
min[|pf(A)| - mk (A), min (|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (Фf ii ii)
Նմանապես, մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը Lk - SDD մատրիցների համար ըստ սյունակների:
Թեորեմ 6. Թող բերվի կամայական A = e xi մատրիցա՝ ոչ զրոյական անկյունագծային տարրերով: Եթե A-ն սյունակներով պատկանում է bk -SDD դասին, ապա
Իկ-լլ<_ie#|akk|_
" "մլն[|pf(A)| - Rf (AT), մլն (|ուկ (A)|- qk (AT)- |հետ |)]»
Այս արդյունքի կարևորությունը կայանում է նրանում, որ ոչ եզակի H-մատրիցների շատ ենթադասերի համար կան այս տեսակի սահմանափակումներ, բայց այն ոչ եզակի մատրիցների համար, որոնք H-մատրիցներ չեն, սա ոչ տրիվիալ խնդիր է: Հետևաբար, նման սահմանափակումները, ինչպես նախորդ թեորեմում, մեծ պահանջարկ ունեն:
գրականություն
Levy L. Sur le possibilité du l «equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. P. 706-708.
Հորն Ռ.Ա., Ջոնսոն Ք.Ռ. մատրիցային վերլուծություն. Քեմբրիջ, 1994. Վարգա Ռ.Ս. Գերսգորինը և նրա շրջանակները // Springer Series in Computational Mathematics. 2004 թ. 36.226 էջ. Բերման Ա., Պլեմոնս Ռ.Ջ. Ոչ բացասական մատրիցներ մաթեմատիկական գիտություններում. SIAM շարքի դասականները կիրառական մաթեմատիկայի մեջ: 1994 թ. 9. 340 ռուբլի
Ցվետկովիչ Լջ. H-մատրիցայի տեսություն ընդդեմ. սեփական արժեքի տեղայնացում // Համար. Ալգոր. 2006 թ. 42. P. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Հետագա արդյունքներ H-matrices and their Schur complements // Appl. Մաթեմատիկա. Հաշվարկ. 1982. P. 506-510.
Վարահ Ջ.Մ. Մատրիցայի ամենափոքր արժեքի ստորին սահմանը // Linear Algebra Appl. 1975 թ. 11. P. 3-5.
Ստացել է խմբագրի կողմից
Սահմանում.
Մենք համակարգ ենք անվանում տողերի անկյունագծային գերակայությամբ համակարգ, եթե մատրիցայի տարրերըբավարարել անհավասարությունները.
,
Անհավասարությունները նշանակում են, որ մատրիցայի յուրաքանչյուր տողում 
ընդգծված է անկյունագծային տարրը. նրա մոդուլն ավելի մեծ է, քան նույն շարքի մյուս բոլոր տարրերի մոդուլների գումարը:
Թեորեմ
Շեղանկյուն գերակայություն ունեցող համակարգը միշտ էլ լուծելի է և առավել եւս՝ եզակի։
Դիտարկենք համապատասխան համասեռ համակարգը.
,
Ենթադրենք, որ այն ունի ոչ տրիվիալ լուծում 
, Թող այս լուծման բաղադրիչը, որն ունի ամենամեծ մոդուլը, համապատասխանի ինդեքսին 
, այսինքն.
,
,
.
Եկեք գրենք 
համակարգի րդ հավասարումը ձևով
և վերցրեք այս հավասարության երկու կողմերի մոդուլը: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Անհավասարության նվազեցում գործոնով 
, որը, ըստ, հավասար չէ զրոյի, մենք հանգում ենք անկյունագծային գերակայություն արտահայտող անհավասարության հետ հակասության։ Ստացված հակասությունը մեզ թույլ է տալիս հետևողականորեն նշել երեք պնդում.
Դրանցից վերջինը նշանակում է, որ թեորեմի ապացույցն ամբողջական է։
Եռանկյուն մատրիցով համակարգեր: Մաքրման մեթոդ.
Շատ խնդիրներ լուծելիս պետք է գործ ունենալ ձևի գծային հավասարումների համակարգերի հետ.
,
,
,
,
որտեղ գործակիցներ 
, աջ կողմերը 
թվերի հետ միասին հայտնի է 
Եվ 
. Լրացուցիչ հարաբերությունները հաճախ կոչվում են համակարգի սահմանային պայմաններ: Շատ դեպքերում դրանք կարող են ավելի բարդ տեսք ունենալ։ Օրինակ:
;
,
Որտեղ 
տրվում են թվեր. Այնուամենայնիվ, ներկայացումը չբարդացնելու համար մենք սահմանափակվում ենք լրացուցիչ պայմանների ամենապարզ ձևով:
Օգտվելով այն հանգամանքից, որ արժեքները 
Եվ 
տրված, մենք համակարգը վերագրում ենք ձևով.
Այս համակարգի մատրիցն ունի եռանկյուն կառուցվածք.
Սա մեծապես հեշտացնում է համակարգի լուծումը հատուկ մեթոդի շնորհիվ, որը կոչվում է ավլման մեթոդ:
Մեթոդը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ ցանկալի անհայտները 
Եվ 
կապված կրկնության առնչությամբ
,
.
Ահա քանակները 
,
, որը կոչվում է մաքրման գործակիցներ, պետք է որոշվեն՝ հիմնվելով խնդրի պայմանների վրա, . Փաստորեն, նման ընթացակարգը նշանակում է փոխարինել անհայտների ուղղակի սահմանումը 
ավլման գործակիցները որոշելու խնդիր՝ քանակների հետագա հաշվարկով 
.
Նկարագրված ծրագիրն իրականացնելու համար մենք արտահայտում ենք՝ օգտագործելով կապը 
միջոցով 
:
և փոխարինող 
Եվ 
, արտահայտված միջոցով 
, սկզբնական հավասարումների մեջ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Վերջին հարաբերությունները, անշուշտ, կբավարարվեն և, առավել ևս, անկախ լուծումից, եթե պահանջվի, որ ժ. 
տեղի ունեցան հավասարություններ.
Այստեղից հետևեք ավլման գործակիցների ռեկուրսիվ հարաբերություններին.
,
,
.
Ձախ սահմանային պայման 
և հարաբերակցությունը 
հետեւողական են, եթե դնենք
.
Մաքրման գործակիցների այլ արժեքներ 
Եվ 
մենք գտնում ենք, որով և ավարտում ենք ավլման գործակիցների հաշվարկման փուլը։
.
Այստեղից կարող եք գտնել մնացած անհայտները 
հետընթաց ավլելու գործընթացում՝ օգտագործելով ռեկուրսիվ բանաձև:
Գաուսի մեթոդով ընդհանուր համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ գործողությունների թիվը մեծանում է աճման հետ 
համաչափ 
. Մաքրման մեթոդը կրճատվում է երկու ցիկլով. նախ, մաքրման գործակիցները հաշվարկվում են բանաձևերի միջոցով, այնուհետև, օգտագործելով դրանք, համակարգի լուծման բաղադրիչները հայտնաբերվում են կրկնվող բանաձևերի միջոցով: 
. Սա նշանակում է, որ քանի որ համակարգի չափը մեծանում է, թվաբանական գործողությունների թիվը համամասնորեն կաճի 
, բայց չէ 
. Այսպիսով, ավլման մեթոդը իր հնարավոր կիրառման շրջանակներում զգալիորեն ավելի խնայող է: Սրան պետք է ավելացնել համակարգչի վրա դրա ծրագրային ապահովման ներդրման առանձնահատուկ պարզությունը։
Շատ կիրառական խնդիրներում, որոնք հանգեցնում են SLAE-ի եռանկյուն մատրիցով, նրա գործակիցները բավարարում են անհավասարությունները.
,
որոնք արտահայտում են անկյունագծային գերակայության հատկությունը: Մասնավորապես, նման համակարգերի կհանդիպենք երրորդ և հինգերորդ գլուխներում։
Նախորդ բաժնի թեորեմի համաձայն՝ նման համակարգերի լուծումը միշտ կա և եզակի է։ Նրանք ունեն նաև հայտարարություն, որը կարևոր է ավլման մեթոդով լուծման փաստացի հաշվարկի համար:
Լեմմա
Եթե եռանկյուն մատրիցով համակարգի համար անկյունագծային գերակայության պայմանը բավարարված է, ապա ավլման գործակիցները բավարարում են անհավասարությունները.
.
Ապացույցը կիրականացնենք ինդուկցիայի միջոցով։ Համաձայն 
, ես ուտում եմ 
լեմմայի պնդումը ճիշտ է։ Հիմա ենթադրենք, որ դա ճիշտ է 
և հաշվի առեք 
:
.
Այսպիսով, ինդուկցիան 
Դեպի 
հիմնավորված, որն ամբողջացնում է լեմայի ապացույցը։
Անհավասարություն ավլման գործակիցների համար 
վազքը կայուն է դարձնում: Իսկապես, ենթադրենք, որ լուծման բաղադրիչը 
կլորացման ընթացակարգի արդյունքում հաշվարկվում է որոշակի սխալով։ Հետո հաջորդ բաղադրիչը հաշվարկելիս 
ըստ ռեկուրսիվ բանաձևի, անհավասարության պատճառով այս սխալը չի մեծանա։
և առնվազն մեկ անհավասարություն խիստ է: Եթե բոլոր անհավասարությունները խիստ են, ապա մատրիցը համարվում է ունի խիստանկյունագծային գերակայություն.
Շեղանկյուն գերակայությամբ մատրիցները բավականին հաճախ են հայտնվում հավելվածներում։ Նրանց հիմնական առավելությունն այն է, որ նման մատրիցով SLAE-ների լուծման կրկնվող մեթոդները (պարզ կրկնման մեթոդը, Սեյդելի մեթոդը) համընկնում են ճշգրիտ լուծմանը, որը գոյություն ունի և եզակի է ցանկացած աջ կողմի համար:
Հատկություններ
- Խիստ անկյունագծային գերակայությամբ մատրիցը ոչ այլասերված է:
տես նաեւ
Գրեք ակնարկ «Անկյունագծային գերակայություն» հոդվածի վերաբերյալ
Անկյունագծային գերակայությունը բնութագրող հատված
Պավլոգրադի հուսարական գունդը տեղակայված էր Բրաունաուից երկու մղոն հեռավորության վրա: Ջոկատը, որում Նիկոլայ Ռոստովը ծառայել է որպես կուրսանտ, գտնվում էր գերմանական Զալզենեկ գյուղում։ Ջոկատի հրամանատար, կապիտան Դենիսովին, որը հայտնի էր ամբողջ հեծելազորային դիվիզիային Վասկա Դենիսով անունով, նշանակվեց գյուղի լավագույն բնակարանը։ Յունկեր Ռոստովն ապրում էր էսկադրիլիայի հրամանատարի հետ այն պահից, երբ նա հասավ Լեհաստանում գնդի հետ:Հոկտեմբերի 11-ին, հենց այն օրը, երբ գլխավոր բնակարանում ամեն ինչ ոտքի էր հանել Մաքի պարտության լուրը, էսկադրիլիայի շտաբում ճամբարային կյանքը նախկինի պես հանգիստ շարունակվեց։ Դենիսովը, ով ամբողջ գիշեր պարտվում էր քարտերով, դեռ տուն չէր վերադարձել, երբ Ռոստովը, վաղ առավոտյան, ձիով, վերադարձավ անասնակեր փնտրելուց։ Ռոստովը, կուրսանտի համազգեստով, բարձրացավ պատշգամբ, հրեց ձին, ճկուն, երիտասարդ ժեստով ցած նետեց ոտքը, կանգնեց պարանոցի վրա, կարծես չցանկանալով բաժանվել ձիուց, վերջապես ցած թռավ և կանչեց. սուրհանդակը.