このエッセイは、MOU体育館No.9の8年生、Vyusina Veronikaによって完成されました。

エカテリンブルグ

1. はじめに。 黄金分割の割合。 Fとφ。

「幾何学には 2 つの大きな宝があります。1 つ目はピタゴラスの定理で、2 つ目は極値と平均の比率でのセグメントの分割です。」

ヨハネス・ケプラー

正多角形は、アルキメデスのずっと前から古代ギリシャの科学者の注目を集めていました。 五芒星である五芒星を組合の象徴として選んだピタゴラス派は、円を等しい部分に分割する、つまり正内接多角形を構築するという問題を非常に重要視しました。 ドイツのルネサンスを体現したアルブレヒト・デューラー (1471-1527) は、プトレマイオスの偉大な著作『アルマゲスト』から借用した、正五角形を構築するための理論的に正確な方法を示しています。

デューラーの正多角形の構築への関心は、中世におけるアラビアやゴシック様式の装飾品、および銃器の発明後の要塞の配置における正多角形の使用を反映しています。

中世の正多角形の構築方法は近似的ではありましたが、単純でした (または単純ではなかった) ため、コンパスの解を変更する必要さえない構築方法が優先されました。 レオナルド・ダ・ヴィンチも多角形について多くの著作を残していますが、中世の建築法を後世に伝えたのはレオナルドではなくデューラーでした。 もちろん、デューラーはユークリッドの「原理」には精通していましたが、彼の「測定ガイド」（コンパスと定規を使った作図について）では、ユークリッドが提案した、他のユークリッドの理論と同様に理論的に正確な正五角形を構築する方法を提示していませんでした。建築物。 ユークリッドは、与えられた円弧を 3 つの等しい部分に分割しようとはしませんでした。デューラーは、証明が発見されたのは 19 世紀でしたが、この問題は解決できないことを知っていました。

ユークリッドによって提案された正五角形の構築には、直線セグメントを中央と端の比率で分割することが含まれており、これは後に黄金分割と呼ばれ、数世紀にわたって芸術家や建築家の注目を集めました。

点 B は、セグメント ABE を中間と極端な比率で分割するか、セグメントの大きい部分と小さい部分の比率がセグメント全体と大きい部分の比率に等しい場合に黄金比を形成します。

黄金分割は比の等価として書かれ、次の形式になります。

AB/BE = AB/AE

黄金比が AB/BE=F に等しくなるように AB=a と BE=a/F を置くと、比率が得られます。

つまり、F は次の式を満たします。

この方程式には正の根が 1 つあります

Ф=(√5+1)/2=1.618034…。

(√5-1)(√5+1) =5-1=4 であるため、1/Ф = (√5 -1)/2 であることに注意してください。 φ=0.618034…を1/Фと考えるのが通例です。

Ф と φ - ギリシャ文字「ファイ」の大文字と小文字。

この名称は、アテネのパルテノン神殿の建設を監督した古代ギリシャの彫刻家ペイディアス (紀元前 5 世紀) に敬意を表して採用されました。 この寺院のプロポーションには、数字 φ が繰り返し存在します。

2.黄金分割の歴史

黄金分割の概念は、古代ギリシャの哲学者であり数学者であるピタゴラス (紀元前 6 世紀) によって科学的使用に導入されたことが一般に受け入れられています。 ピタゴラスは黄金分割の知識をエジプト人とバビロニア人から借りたという仮説があります。 実際、クフ王のピラミッド、寺院、浅浮き彫り、家庭用品、ツタンカーメンの墓の装飾品の比率は、エジプトの職人がそれらを作成する際に黄金分割の比率を使用したことを示しています。 フランスの建築家ル・コルビュジエは、アビドスにあるファラオ・セティ1世の神殿のレリーフとファラオ・ラムセスを描いたレリーフにおいて、人物の比率が黄金分割の値に対応していることを発見しました。 レリーフに描かれた建築家ケシラ 木の板彼の名前の墓から出てきたものを彼の手に握っている 測定ツール、黄金分割の比率は固定されています。

プラトン (紀元前 427...347 年) も黄金分割について知っていました。 彼の対話篇「ティマイオス」は、ピタゴラス学派の数学的および美的見解、特に黄金分割の問題に捧げられています。

パルテノン神殿には短辺に 8 本、長辺に 17 本の柱があります。 建物の長さに対する高さの比率は 0.618 です。 パルテノン神殿を「黄金分割」に従って分割すると、ファサードの特定の突起が得られます。 発掘中に、古代の建築家や彫刻家が使用していたコンパスが発見されました。 ポンペイのコンパス (ナポリの博物館) にも黄金分割の比率が記載されています。

私たちに降りてきたものの中で 古代文学黄金分割はユークリッドの原論で初めて言及されました。 「始まり」の第 2 巻では、黄金分割の幾何学的構造が示されています。 ユークリッドの後、ヒュプシクルス（紀元前 2 世紀）、パップス（紀元 3 世紀）などが黄金分割を研究しました。 中世ヨーロッパ彼らはユークリッドの「始まり」のアラビア語訳から黄金分割を知りました。 ナバラ州（3 世紀）出身の翻訳者 J. カンパノは、この翻訳についてコメントしました。 黄金分割の秘密は厳重に守られ、極秘に保管されていました。 それらは入門者のみに知られていました。

ルネッサンス時代、幾何学と芸術、特に建築の両方における黄金分割の使用に関連して、科学者や芸術家の間で黄金分割への関心が高まりました。 芸術家であり科学者でもあるレオナルド・ダ・ヴィンチは、イタリアの芸術家には多くの経験的経験があるものの、知識が不足していることに気づきました。 彼は幾何学の本を思い​​ついて書き始めましたが、そのとき修道士ルカ・パチョーリの本が現れ、レオナルドはそのアイデアを放棄しました。 同時代の科学者や科学史家によると、ルカ・パチョーリはフィボナッチとガリレオの間のイタリアで最も偉大な数学者であり、真の著名人でした。

ルカ・パチョーリは芸術にとって科学が重要であることをよく知っていました。 1496年、モロー公の招きでミラノを訪れ、数学を講義した。 レオナルド・ダ・ヴィンチも当時ミラノのモロ法廷で働いていました。 1509 年、ルカ パチョーリの『神聖な比率』がヴェネツィアで出版され、見事なイラストが描かれたため、これらはレオナルド ダ ヴィンチによって作られたものであると信じられています。 この本は黄金比への熱狂的な賛歌でした。 黄金比の多くの利点の中でも、修道士ルカ・パチョーリは、神の三位一体の表現としてその「神聖な本質」と名づけることを忘れませんでした。つまり、子なる神、父なる神、そして聖霊なる神です（黄金比は小さいものであると理解されていました）セグメントは御子なる神の擬人化であり、より大きなセグメントは聖霊の神です）。

レオナルド・ダ・ヴィンチも黄金分割の研究に大きな注目を集めました。 彼は正五角形で形成される立体的な体のセクションを作成し、そのたびに黄金分割のアスペクト比を持つ長方形を取得しました。 したがって、彼はこの部門に黄金分割の名前を付けました。 したがって、今でも最も人気があります。

同じ頃、北欧のドイツでは、アルブレヒト・デューラーが同じ問題に取り組んでいました。 彼は、比率に関する論文の初稿への序文をスケッチしています。 デューラーはこう書いています。「何かを知っている人は、それを必要としている他の人にそれを教えることが必要です。これが私がやろうとしたことです。」

デューラーの手紙の 1 つから判断すると、彼はイタリア滞在中にルカ・パチョーリと会っています。 アルブレヒト・デューラーは、人体の比率の理論を詳細に展開しました。 デューラーは、彼の比率体系の重要な位置を黄金分割に割り当てました。 人の身長は、ベルトのライン、下げた手の中指の先端、顔の下部、口などによって引かれた線によって黄金比で分割されます。 比例コンパスとして知られるデューラー。

黄金比の一連のセグメントの構築は、増加方向 (増加系列) と減少方向 (減少系列) の両方で行うことができます。

このハーモニーのスケールは驚くべきものです...

皆さん、こんにちは！

神の調和や黄金比について何か聞いたことがありますか? 私たちにとって何かが完璧で美しいように見えるのに、何かが反発する理由について考えたことがありますか?

そうでない場合は、この記事にたどり着いたことになります。この記事では、黄金比について説明し、それが何であるか、自然と人間の中でどのように見えるかを調べます。 その原理について説明し、フィボナッチ数列とは何か、また黄金長方形や黄金スパイラルの概念など、その他多くのことを学びましょう。

はい、記事にはたくさんの画像や数式がありますが、結局のところ、黄金比も数学です。 しかし、すべてが十分に説明されています 分かりやすい言葉、 明らかに。 また、記事の最後では、なぜみんなが猫を愛しているのかがわかります =)

黄金比とは何ですか？

黄金比とは簡単に言うと、 あるルール調和を生み出す比率とは？ つまり、これらの比率の規則に違反しなければ、非常に調和のとれた構成が得られます。

黄金比の最も包括的な定義は、より大きな部分が全体に関係するのと同様に、より小さな部分がより大きな部分に関係していると述べています。

しかし、それ以外では、黄金比は数学です。特定の公式と特定の数値があります。 一般に多くの数学者はこれを神の調和の公式と考え、それを「非対称対称性」と呼んでいます。

黄金比は当時から私たち現代人に伝わりました 古代ギリシャしかし、ギリシャ人自身がすでにエジプト人の黄金比を偵察していたという意見もあります。 なぜなら、古代エジプトの芸術作品の多くは、明らかにこの比率の規範に従って構築されているからです。

黄金分割の概念を最初に導入したのはピタゴラスであると考えられています。 ユークリッドの作品は今日まで残っており（彼は黄金分割を使用して正五角形を構築したため、そのような五角形は「黄金」と呼ばれます）、黄金分割の番号は古代ギリシャの建築家ペイディアスにちなんで名付けられました。 つまり、これは数値「ファイ」（ギリシャ文字のφで示されます）であり、1.6180339887498948482に等しくなります...当然、この値は四捨五入されます：φ \u003d 1.618またはφ \u003d 1.62、およびパーセント表示、黄金分割は62%と38%のように見えます。

この比率の独自性は何でしょうか (信じてください、実際に存在します)。 まずセグメントの例を理解してみましょう。 したがって、セグメントを取得し、その小さい部分が大きい部分に関連し、大きい部分が全体に関連するように、それを不均等な部分に分割します。 わかりました。まだ何が何なのかはあまり明確ではありません。セグメントの例を使用して、より明確に説明してみます。

そこで、セグメントを 2 つに分割し、セグメント b が全体、つまり行全体 (a + b) を参照するのと同じように、小さいセグメント a が大きいセグメント b を参照するようにします。 数学的には次のようになります。

このルールは無期限に機能するため、好きなだけセグメントを分割できます。 それがいかに簡単か見てみましょう。 重要なのは一度理解すればそれで終わりです。

しかし、今度は詳しく見てみましょう 複雑な例、黄金比は黄金長方形（アスペクト比はφ \u003d 1.62）としても表されるため、これは非常に頻繁に遭遇します。 これは非常に興味深い長方形です。そこから正方形を「切り取る」と、再び黄金の長方形が得られます。 そしてそれを無限に何度も。 見る：

しかし、数学に公式がなければ、数学は数学ではありません。 それで、友人の皆さん、今は少し「苦痛」になるでしょう。 黄金比の解法はスポイラーの下に隠しました。公式はたくさんありますが、それらを省略して記事を残すのは望ましくありません。

フィボナッチ数列と黄金比

私たちは数学の魔法と黄金分割を創造し、観察し続けます。 中世には、そのような友人、フィボナッチがいました（またはフィボナッチ、どこでも書き方が異なります）。 彼は数学と問題が大好きで、ウサギの繁殖に関する興味深い問題も持っていました =) しかし、それが重要ではありません。 彼は数列を発見しました。その中の数は「フィボナッチ数」と呼ばれます。

シーケンス自体は次のようになります。

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233...そして無限大まで。

言い換えると、フィボナッチ数列は、後続の各数値が前の 2 つの数値の合計に等しい、一連の数値です。

では黄金比はどうでしょうか？ 今ならわかります。

フィボナッチスパイラル

フィボナッチ数列と黄金比の間の全体的なつながりを見て感じるには、公式をもう一度見る必要があります。

つまり、フィボナッチ数列の9番目のメンバーから、黄金比の値が取得され始めます。 そして、この全体像を視覚化すると、フィボナッチ数列が黄金長方形にどんどん近づく長方形をどのように作成するかがわかります。 ここにはそのようなつながりがあります。

さて、「黄金のスパイラル」とも呼ばれるフィボナッチスパイラルについて話しましょう。

黄金スパイラルは、黄金比をφとすると、成長因子がφ4となる対数スパイラルです。

一般に、数学の観点から見ると、黄金比は理想的な比率です。 しかし、そこから彼女の奇跡が始まったばかりです。 ほぼ全世界が黄金分割の原則に従っており、この比率は自然そのものによって作成されました。 秘教者やそのような人たちでさえ、そこに数値的な力があると見ています。 ただし、この記事ではこれについては絶対に説明しません。したがって、何も見逃さないように、サイトの更新を購読することができます。

自然、人間、芸術における黄金比

始める前に、いくつかの不正確な点を明らかにしておきたいと思います。 まず、この文脈における黄金比の定義自体が完全に正しいわけではありません。 実際のところ、「セクション」という概念そのものが幾何学的用語であり、常に平面を指しますが、フィボナッチ数列を指すわけではありません。

そして第二に、もちろん、数字の系列とその数字の比率は、疑わしいと思われるものすべてに適用できる一種のステンシルになり、偶然があれば非常に喜んでいますが、それでも常識では考えられません。失われます。

しかし、「私たちの王国ではすべてが混同され」、一方が他方と同義になってしまいました。 したがって、一般的には、この意味が失われることはありません。 そしていよいよビジネスへ。

驚かれるでしょうが、黄金比、あるいはそれに限りなく近い比率は、鏡の中であっても、ほとんどどこにでも見ることができます。 信じられない？ まずはこれから始めましょう。

私が絵を描くことを習っていたとき、彼らは人の顔や体などを構築するのがいかに簡単かを説明してくれました。 すべては他の何かと比較して計算する必要があります。

骨、指、手のひら、顔の距離、身体に対して伸ばした腕の距離など、すべて、絶対にすべてが比例しています。 しかし、これがすべてではなく、私たちの体の内部構造さえも黄金分割式と同等、またはほぼ同等です。 距離と比率は次のとおりです。

肩から頭頂部、頭のサイズ = 1:1.618

おへそから頭頂部、肩から頭頂部までの部分 = 1: 1.618

おへそから膝まで、膝から足まで = 1:1.618

顎から上唇の端まで、そしてそこから鼻まで = 1:1.618

すごいじゃないですか！ ハーモニーイン 純粋な形内側と外側の両方。 だからこそ、たとえ引き締まった体、ビロードのような肌、美しい髪、目などを持っていたとしても、潜在意識のレベルで、私たちにとって一部の人々は美しくないと思われるのです。 しかし、とにかく、体のプロポーションがわずかに違反されているだけで、外観はすでにわずかに「目をカット」しています。

つまり、私たちにとってその人がより美しく見えるほど、そのプロポーションは理想に近づきます。 ちなみに、これは人体だけに起因するものではありません。

自然界とその現象における黄金比

自然界の黄金比の典型的な例は、軟体動物のオウムガイの殻とアンモナイトです。 しかし、それだけではありません。他にも多くの例があります。

人間の耳のカールの中に、金色の螺旋が見えます。

銀河が回転する渦巻きの中に、それ自体 (またはそれに近いもの) が存在します。

そしてDNA分子内で。

ヒマワリの中心はフィボナッチ数列に沿って配置され、円錐形、花の真ん中、パイナップル、その他多くの果物が成長します。

皆さん、例がたくさんあるので、記事がテキストで過負荷にならないように、ビデオをここに残しておきます (少し下にあります)。 なぜなら、このトピックを掘り下げると、そのようなジャングルを掘り下げることができるからです。古代ギリシャ人でさえ、宇宙、そして一般にすべての宇宙が黄金分割の原則に従って計画されたことを証明しました。

驚かれると思いますが、これらの法則は音の中にも存在します。 見る：

私たちの耳に痛みや不快感を引き起こす音の最高点は 130 デシベルです。

比率 130 と黄金比 φ = 1.62 で割ると、人間の叫び声である 80 デシベルが得られます。

比例分割を続けると、たとえば、人間の音声の通常の音量である 80 / φ = 50 デシベルが得られます。

さて、この公式のおかげで得られる最後の音は、心地よいささやき声 = 2.618 です。

この原理によれば、最適で快適な温度、圧力、湿度の最小値と最大値を決定することができます。 私は確認したことがありませんし、この理論がどれほど真実であるかわかりませんが、ほら、それは印象的だと思います。

生きているもの、生きていないものすべてにおいて、最高の美しさと調和を読み取ることができます。

重要なのは、それに夢中にならないことです。なぜなら、何かの中に何かを見たいと思えば、たとえそれがそこになくても、私たちはそれを見るでしょう。 たとえば、私は PS4 のデザインに注目し、そこに黄金比を見ました =) しかし、このゲーム機はとてもクールなので、デザイナーが本当に賢明であったとしても驚かないでしょう。

芸術における黄金比

これは非常に大きく広範囲にわたるトピックでもあるため、個別に検討する必要があります。 ここでは、いくつかの基本的なポイントを説明します。 最も注目すべき点は、古代の芸術作品や建築の傑作（それだけではありません）の多くが黄金分割の原則に従って作られていることです。

エジプトやマヤのピラミッド、パリのノートルダム大聖堂、ギリシャのパルテノン神殿など。

モーツァルト、ショパン、シューベルト、バッハなどの音楽作品に。

絵画では（それははっきりと見られます）：有名な芸術家による最も有名な絵画はすべて、黄金分割の規則を考慮して作られています。

これらの原則はプーシキンの詩や美しいネフェルティティの胸像に見られます。

黄金比の法則は今でも写真などで使われています。 もちろん、映画撮影やデザインを含む他のすべての芸術においてもです。

フィボナッチゴールデンキャッツ

そして最後は猫について！ なぜみんな猫がこんなにも好きなのか疑問に思ったことはありますか? 彼らはインターネットを乗っ取りました! 猫がいたるところにいて、素晴らしいです =)

そして問題は、猫は完璧だということです！ 信じられない？ 今度はそれを数学的に証明してみます！

見る？ その秘密が明らかに！ 子猫は数学、自然、宇宙に関して完璧です =)

※もちろん冗談です。 いや、猫は本当に理想的だ） でも、それを数学的に測った人はいないんだろうね。

これについては、一般的に、すべてです、友達！ 次の記事でお会いしましょう。 頑張って！

追伸画像はmedium.comから取得しました。

幾何学は正確かつかなり複雑な科学であり、これらすべてを含めて一種の芸術です。 線、平面、プロポーション - これらすべては、本当に美しいものをたくさん作成するのに役立ちます。 そして奇妙なことに、これは最も多様な形の幾何学に基づいています。 この記事では、これに直接関係する非常に珍しいことを 1 つ取り上げます。 黄金比はまさにこれから説明する幾何学的なアプローチです。

物体の形とその認識

人々は、何百万もの他のオブジェクトの中でそれを認識するために、そのオブジェクトの形状に最も多くの場合注目します。 私たちは、目の前にあるもの、あるいは遠くにあるものを形によって判断します。 私たちはまず、体や顔の形で人を認識します。 したがって、形状自体、そのサイズ、外観は人間の認識において最も重要なものの 1 つであると自信を持って言えます。

人々にとって、あらゆるものの形に興味があるのには、主に 2 つの理由があります。それは、それが不可欠な必要性によって決定されるか、または美しさによる美的喜びによって引き起こされるかのいずれかです。 最良の視覚的知覚、調和と美の感覚は、黄金比と呼ばれる対称性と特別な比率が使用された構造の形を観察したときに最もよく得られます。

黄金比の考え方

つまり、黄金比は黄金比であり、これも倍音の分割です。 これをより明確に説明するために、フォームのいくつかの特徴を考慮してください。 つまり、形は何か全体ですが、その全体は常にいくつかの部分から構成されています。 これらの部品は、少なくとも、異なる特性を持っている可能性が高くなります。 異なるサイズ。 さて、そのような次元は、それ自体の間でも、全体との関係でも、常に一定の比率にあります。

つまり、黄金比は 2 つの量の比であり、独自の公式があると言えます。 フォームを作成するときにこの比率を使用すると、人間の目にできるだけ美しく調和のとれたフォームを作成することができます。

黄金比の古代史から

黄金比は現在、生活のさまざまな分野でよく使用されています。 しかし、この概念の歴史は、数学や哲学などの科学が登場したばかりの古代にまで遡ります。 どうやって 科学的概念黄金比はピタゴラスの時代、つまり紀元前 6 世紀に使用され始めました。 しかし、それ以前から、そのような比率に関する知識は実際に使用されていました。 古代エジプトそしてバビロン。 このことの顕著な証拠は、まさにそのような黄金比を使用して建設されたピラミッドです。

新しい時代

ルネサンスは、特にレオナルド・ダ・ヴィンチのおかげで、和声分割に新たな風を吹き込みました。 この比率は幾何学と芸術の両方でますます使用されています。 科学者や芸術家は黄金比をより深く研究し、この問題を扱う本を作成し始めました。

黄金比に関連する最も重要な歴史的著作の 1 つは、ルカ パンチョーリの『The Divine Proportion』と呼ばれる本です。 歴史家は、この本の挿絵はレオナルド・プレ・ヴィンチ自身が描いたものではないかと疑っています。

黄金比

数学では、比率は 2 つの比率が等しいという非常に明確な定義を与えられています。 数学的には、これは次の等式で表すことができます: a: b \u003d c: d。ここで、a、b、c、d は特定の値です。

セグメントが 2 つの部分に分割される割合を考慮すると、いくつかの状況のみが発生します。

• セグメントは 2 つの完全に均等な部分に分割されます。これは、AB がセグメントの正確な開始点と終了点であり、C がセグメントを 2 つの等しい部分に分割する点である場合、AB: AC \u003d AB: BC を意味します。
• セグメントは 2 つの等しくない部分に分割されており、 異なる比率つまり、ここではそれらは完全に不均衡です。
• AB:AC = AC:BC となるようにセグメントを分割します。

黄金分割については、セグメント全体がより大きな部分を参照するのと同じように、セグメントを不均等な部分に比例的に分割することです。 別の定式化もあります。小さいセグメントは大きいセグメントに関連付けられ、大きいセグメントはセグメント全体に関連付けられます。 数学的に言えば、a:b = b:c または c:b = b:a のようになります。 これが黄金分割式の形です。

自然界の黄金比

これからその例を検討する黄金比は、自然界の驚くべき現象を指します。 これはとても 美しい例数学は単なる数字や公式ではなく、自然や私たちの生活全般に実際以上の反映をもたらす科学であるということ。

生物にとって、主要な生命課題の 1 つは成長です。 実際、宇宙にその場所を占めたいというこの欲求は、上向きの成長、地面にほぼ水平に広がる、またはある種の支持体の上で螺旋状に広がるなど、いくつかの形で実行されます。 そして信じられないことですが、多くの植物は黄金比に従って成長します。

もう一つのほとんど信じられない事実は、トカゲの体内の比率です。 彼らの体は人間の目には十分に美しく見えますが、これは同じ黄金比のおかげで可能です。 より正確に言うと、尻尾の長さと全身の長さは62:38の関係にあります。

黄金分割のルールに関する興味深い事実

黄金比は本当に素晴らしい概念です。つまり、歴史を通して、私たちは本当に多くのことに出会うことができます。 興味深い事実この割合くらい。 その一部をご紹介します。

人間の体の黄金比

このセクションでは、S. ツァイジングという非常に重要な人物について言及する必要があります。 これは黄金比の研究分野で素晴らしい業績を残したドイツの研究者です。 彼は「美的研究」というタイトルの著作を出版しました。 彼は作品の中で、自然と芸術の両方のすべての現象に普遍的な絶対的な概念として黄金比を提示しました。 ここでは、ピラミッドの黄金比や人体の調和のとれた比率などを思い出すことができます。

実際、黄金比が人体の平均的な統計法則であることを証明できたのはツァイジングでした。 彼は仕事中に多くの人体を測定する必要があったため、これは実際に示されました。 歴史家は、2,000人以上がこの体験に参加したと信じています。 Zeising の研究によると、黄金比の主な指標は、へそ点による体の分割です。 したがって、平均比率 13:8 の男性の身体は、黄金比が 8:5 の女性の身体よりも黄金比にわずかに近づきます。 また、黄金比は、手など体の他の部分でも観察できます。

黄金分割の施工について

実際、黄金分割の構築は簡単です。 ご覧のとおり、古代の人々でさえこれに非常に簡単に対処しました。 人類の現代の知識とテクノロジーについて何が言えるでしょうか。 この記事では、これを紙の上で鉛筆を持って簡単に実行できる方法については説明しませんが、これは実際に可能であると自信を持って述べます。 さらに、これは複数の方法で実行できます。

これは非常に単純な幾何学であるため、学校でも黄金比を構築するのは非常に簡単です。 したがって、これに関する情報は専門書で簡単に見つけることができます。 黄金比を学ぶことで、6 年生はその構成原理を完全に理解することができます。つまり、子供でもそのような作業をマスターできるほど賢いことを意味します。

数学における黄金比

実際に黄金分割を初めて知るには、直線セグメントをすべて同じ比率で単純に分割することから始まります。 ほとんどの場合、これは定規、コンパス、そしてもちろん鉛筆を使って行われます。

黄金比のセグメントは無限無理数 AE \u003d 0.618 ...、AB を単位とすると BE \u003d 0.382 ... これらの計算をより実用的にするために、多くの場合、not が使用されます。正確ですが近似値、つまり - 0.62 および 0.38。 セグメント AB を 100 個の部分とすると、大きい部分は 62 個、小さい部分は 38 個の部分にそれぞれ等しくなります。

黄金比の主な性質は、x 2 -x-1=0 という式で表すことができます。 解くと、次の根が得られます: x 1.2 =。 数学は正確で厳密な科学であり、そのセクションである幾何学でもありますが、このトピックに謎をもたらすのはまさに黄金分割の法則のような特性です。

黄金比による芸術の調和

要約として、これまで述べてきたことを簡単に検討してみましょう。

基本的に、多くの芸術作品は黄金比の法則に当てはまり、比率は 3/8 や 5/8 に近いものになります。 これが黄金比の大まかな公式です。 この記事ではすでにこのセクションの使用例について多く言及していますが、古代美術と現代美術のプリズムを通してもう一度見てみましょう。 したがって、古代の最も印象的な例は次のとおりです。

比率の意識的な使用に関しては、レオナルド・ダ・ヴィンチの時代以来、科学から芸術に至るまで、人生のほぼすべての分野で使用されるようになりました。 生物学や医学でも、黄金比が生きているシステムや有機体においても機能することが証明されています。

20.05.2017

黄金比はすべてのデザイナーが知っておくべきことです。 それが何なのか、どのように使用できるのかを説明します。

自然界には共通の数学的関係があり、それをデザインに使用して、心地よく自然に見える構成を作成できます。 それは黄金分割またはギリシャ文字の「ファイ」と呼ばれます。 イラストレーター、アートディレクター、グラフィックデザイナーであれば、あらゆるプロジェクトで必ず黄金比を使用する必要があります。

この記事では、その使用方法を説明するとともに、さらなるインスピレーションと学習のための優れたツールをいくつか紹介します。

数学の授業やダン ブラウンの『ダ ヴィンチ コード』で覚えたかもしれないフィボナッチ数列と密接に関連している黄金比は、2 つの比率間の完全に対称な関係を表します。

比率は 1:1.61 にほぼ等しいため、黄金比は黄金長方形として表すことができます。これは、正方形 (各辺が長方形の最短辺の長さに等しい) を含む大きな長方形と、より小さな長方形です。

長方形から正方形を削除すると、別の小さな黄金長方形ができます。 このプロセスは、フィボナッチ数が逆に作用するのと同じように、無限に継続することができます。 (長方形の最長辺の長さに等しい辺を持つ正方形を追加すると、黄金長方形と黄金比に近づきます。)

黄金分割の動作

黄金の中庸は約 4000 年にわたって芸術やデザインの分野で使用されてきたと考えられています。 しかし、多くの人は、この原理がエジプトのピラミッドの建設にも使用されたことに同意しています。

さらに詳しく 現代このルールは、私たちの周りの音楽、アート、デザインに見られます。 同様の作業方法を適用することで、同じデザイン機能を自分の仕事に取り入れることができます。 いくつかの感動的な例を見てみましょう。

ギリシャ建築

古代ギリシャの建築では、黄金比は建物の幅と高さ、柱廊玄関のサイズ、さらには構造を支える柱の位置の間の心地よい空間関係を決定するために使用されていました。

その結果、完璧なバランスの取れた構造が得られます。 新古典主義建築運動もこれらの原則を使用しました。

最後の晩餐

レオナルド・ダ・ヴィンチは、往年の他の多くの芸術家と同様に、心地よい作品を作成するために中庸をよく使用しました。

最後の晩餐では、人物は下 3 分の 2 (黄金分割の 2 つの部分のうち最大) に位置し、イエスは黄金の長方形の間に完璧にスケッチされています。

自然界の黄金比

自然界には中庸の例がたくさんあり、あなたの周りでも見つけることができます。 花、貝殻、パイナップル、さらには蜂の巣も同じ比率を示します。

黄金比の計算方法

黄金比の計算は非常に簡単で、単純な正方形から始まります。

01. 正方形を描く

長方形の短辺の長さを形成します。

02. 正方形を分割する

垂直線を使用して正方形を半分に分割し、2 つの長方形を形成します。

03. 対角線を描く

長方形の 1 つに、一方の角から反対側の角まで線を描きます。

04.回転

この線を回転して、最初の長方形に対して水平になります。

05. 新しい長方形を作成する

新しい水平線と最初の長方形を使用して長方形を作成します。

黄金比の使い方

この原則を利用するのは思ったよりも簡単です。 モックアップで使用したり、もう少し時間をかけてコンセプトを完全に具体化したりできる簡単なトリックがいくつかあります。

早い方法

「三分割法」に出会ったことがある人なら、空間を縦横に均等に 3 等分し、線が交差する場所でオブジェクトの自然な点を作成するというアイデアに精通しているでしょう。

写真家は重要な被写体をこれらの交差する線の 1 つに配置して、魅力的な構図を作成します。 この原則は、ページ レイアウトやポスターのデザインにも使用できます。

三分割法はどんな形にも適用できますが、およそ 1:1.6 の比率の長方形に適用すると、黄金長方形に非常に近くなり、構図がより見やすくなります。

完全な実装

デザインに黄金比を完全に実装したい場合は、(Web デザインの) メイン コンテンツとサイドバーを 1:1.61 の比率で配置するだけです。

値は四捨五入できます。コンテンツ領域が 640 ピクセル、サイドバーが 400 ピクセルの場合、このマークアップは黄金比に非常に適しています。

もちろん、コンテンツとサイドバー領域を同じ関係に分離することもでき、Web ページのタイトル、コンテンツ領域、フッター、およびナビゲーション間の関係も同じ原理を使用して設計できます。

便利なツール

ここでは、デザインで黄金比を使用し、比例したデザインを作成するのに役立つツールをいくつか紹介します。

GoldenRATIO は、黄金比に適した Web サイトのデザイン、インターフェイス、テンプレートを作成するためのアプリケーションです。 Mac App Store から 2.99 ドルで入手できます。 含まれるもの 視覚的な計算機黄金分割。

このアプリには、繰り返しのタスクの設定を保存する「お気に入り」機能と、Photoshop でアプリを最小化できる「クリックスルー」モッドもあります。

Pearsonified のこの黄金比計算ツールは、Web サイトに最適なタイポグラフィを作成するのに役立ちます。 ボックスにフォント サイズとコンテナの幅を入力し、ボタンをクリックします。 私のタイプを設定してください！ 1 行あたりの文字数を最適化する必要がある場合は、オプションで CPL 値を入力できます。

シンプルで便利で、 無料アプリ Mac と PC で利用できます。 任意の数値を入力すると、アプリは黄金比に従って 2 桁目を計算します。

このアプリケーションを使用すると、黄金比でデザインできるため、計算時間を大幅に節約できます。

形状やサイズを変更して、プロジェクトの作業に集中できます。 永久ライセンスの料金は 49 ドルですが、1 か月間無料版をダウンロードできます。

黄金分割を学ぶ

ここでは、いくつかの有用な黄金比チュートリアル (英語) を示します。

このデジタル アーツ チュートリアルでは、Roberto Marras がアートワークで黄金比を使用する方法を示します。

Web デザイン プロジェクトで黄金原則を使用する方法に関する Tuts+ のチュートリアル。

Smashing Magazine によるプロポーションと三分割法に関するチュートリアル。

黄金比は構造的調和の普遍的な現れです。 それは自然、科学、芸術など、人が触れることのできるあらゆるものに見られます。 一度黄金律を知ってしまえば、人類はもはやそれに騙されなくなりました。

意味

黄金比の最も広範な定義は、大きな部分が全体を指し、小さな部分が大きな部分を指すというものです。 おおよその値は 1.6180339887 です。 四捨五入したパーセンテージでは、全体の各部分の割合は 62% × 38% と相関します。 この比率は空間と時間の形で作用します。

古代人は黄金分割を宇宙秩序の反映と見なし、ヨハネス・ケプラーはそれを幾何学の宝の一つと呼びました。 現代科学は黄金比を「非対称対称性」とみなして、「非対称対称性」と呼んでいます。 広い意味私たちの世界秩序の構造と秩序を反映する普遍的なルール。

話

古代エジプト人は黄金比の考えを持っていて、ルーシでも黄金比について知っていましたが、修道士ルカ・パチョーリが初めて黄金比を科学的に説明したのが『神の比率』（1509年）という本で、おそらくその図解は次のとおりです。レオナルド・ダ・ヴィンチ。 パチョーリが見た黄金比 神の三位一体：小さな部分は息子を擬人化し、大きな部分は父を、そして全体は聖霊を擬人化しました。

イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチの名前は黄金分割法と直接関係しています。 問題の 1 つを解決した結果、科学者は現在フィボナッチ数列として知られる、1、2、3、5、8、13、21、34、55 などの一連の数字を思いつきました。 ケプラーは、この数列と黄金比の関係に注目しました。「この無限の比例の下位 2 つの項が合計して第 3 項となり、最後の 2 つの項を合計すると、来期も同じ割合が無期限に維持されます。」 現在、フィボナッチ数列は、そのすべての現れにおける黄金分割の比率を計算するための算術基礎です。

レオナルド・ダ・ヴィンチも黄金比の特徴の研究に多くの時間を費やしましたが、おそらくこの用語自体が彼のものです。 正五角形で形成された立体的な物体の彼の図面は、断面によって得られるそれぞれの長方形が黄金分割のアスペクト比を与えることを証明しています。

時が経つにつれて、黄金比の法則は学問的なルーチンとなり、1855 年に哲学者アドルフ ツァイジングだけが黄金比を復活させました。 彼は黄金分割の比率を絶対的なものにし、周囲の世界のすべての現象に普遍的なものにしました。 しかし、彼の「数学的美学主義」は多くの批判を引き起こしました。

自然

計算をしなくても、黄金比は自然界で簡単に見つかります。 したがって、トカゲの尾と体の比率、枝の葉の間の距離がその下にあり、最も広い部分に条件付きの線を引くと、黄金色のセクションがあり、卵の形になります。

自然界の黄金分割の形を研究したベラルーシの科学者エドゥアルド・ソロコは、宇宙で成長し、その場所を獲得しようと努力しているすべてのものは黄金分割の比率に恵まれていると指摘しました。 彼の意見では、最も興味深い形式の 1 つはスパイラルです。

アルキメデスも螺旋に注目し、その形状に基づいて方程式を導き出し、それは現在でも技術で使用されています。 後にゲーテは、自然が螺旋の形に惹きつけられることに注目し、螺旋を「生命の曲線」と呼びました。 現代の科学者は、カタツムリの殻、ヒマワリの種の配置、巣のパターン、ハリケーンの動き、DNA の構造、さらには銀河の構造など、自然界の螺旋形態の現れにフィボナッチ数列が含まれていることを発見しました。 。

人間

ファッションデザイナーや服飾デザイナーは、黄金分割の比率に基づいてすべての計算を行います。 人間は黄金分割の法則を試すための普遍的な形態です。 もちろん、本質的にすべての人が理想的なプロポーションを持っているわけではないため、服を選ぶ際に特定の困難が生じます。

レオナルド・ダ・ヴィンチの日記には、円の中に裸の男性が 2 つの位置に重ねて描かれています。 ローマの建築家ウィトルウィウスの研究に基づいて、レオナルドも同様に人体の比率を確立しようとしました。 その後、フランスの建築家ル・コルビュジエは、レオナルドのウィトルウィウス的人体図を使用して、独自の「調和比率」のスケールを作成し、20 世紀の建築の美学に影響を与えました。

アドルフ・ツァイジングは人間の比例性を探求し、素晴らしい仕事をしました。 彼は約 2,000 体の人体と多くの古代の彫像を測定し、黄金比が平均的な法則を表していると推測しました。 人の場合、体のほぼすべての部分が彼に従属しますが、黄金分割の主な指標は、へその点による体の分割です。
測定の結果、男性の体の比率13：8は、女性の体の比率8：5よりも黄金比に近いことがわかりました。

空間形態の芸術

芸術家のヴァシリー・スリコフは、「構図には不変の法則があり、絵から何も削除したり追加したりすることはできず、追加の点を置くことさえできない。これが本当の数学だ」と語った。 長い間芸術家は直感的にこの法則に従いましたが、レオナルド・ダ・ヴィンチ以降、幾何学的な問題を解決することなく絵画を作成するプロセスは完了しなくなりました。 たとえば、アルブレヒト・デューラーは、黄金分割の点を決定するために彼が発明した比例コンパスを使用しました。

美術史家F.V.コバレフは、ニコライ・ゲの絵画「ミハイロフスキー村のアレクサンドル・セルゲイヴィチ・プーシキン」を詳細に研究し、暖炉、本棚、肘掛け椅子、あるいは詩人自身に至るまで、キャンバスのあらゆる細部が次のように述べている。厳密に黄金比で刻まれています。

黄金比の研究者は、建築の傑作を精力的に研究し、測定し、それらが黄金規範に従って作成されたためにそのようなものになったと主張しています。彼らのリストには、ギザの大ピラミッド、ノートルダム大聖堂、聖ワシリイ大聖堂、パルテノン神殿が含まれています。 。

そして今日、空間形式のあらゆる芸術において、黄金分割の比率に従おうとします。美術史家によれば、黄金分割は作品の認識を容易にし、鑑賞者に美的感覚を形成するためです。

言葉、音、そして映画

一時的な芸術の形式は、それ自体が黄金分割の原理を私たちに示しています。 たとえば、文学批評家は、プーシキンの作品後期の詩で最も人気のある行数がフィボナッチ数列、つまり5、8、13、21、34に対応していることに気づきました。

黄金分割の法則は、ロシアの古典の個々の作品にも適用されます。 したがって、『スペードの女王』のクライマックスは、ハーマンと伯爵夫人の劇的なシーンであり、後者の死で終わります。 物語には 853 行あり、クライマックスは 535 行目 (853:535=1.6) にあります。これが黄金比のポイントです。

ソビエトの音楽学者E.K.ロゼノフは、ヨハン・ゼバスティアン・バッハの作品の厳密かつ自由な形式における黄金分割比の驚くべき正確さに注目し、これは巨匠の思慮深く、集中し、技術的に検証されたスタイルに対応していると述べています。 これは他の作曲家の優れた作品にも当てはまり、通常、黄金比のポイントが最も印象的な、または予想外の音楽的解決策を占めます。

映画監督のセルゲイ・エイゼンシュテインは、映画「戦艦ポチョムキン」の脚本を黄金分割の法則に合わせて意図的に調整し、テープを 5 つの部分に分割しました。 最初の 3 つのセクションでは、アクションは船上で行われ、最後の 2 つのセクションではオデッサで行われます。 都市のシーンへの移行は、この映画の黄金比です。