問題を解決するとき、多くの場合、そこから抽出する必要がある大量の数値に直面します。 平方根。 多くの学生はこれが間違いであると判断し、例題全体を解き始めます。 いかなる状況においても、これを行うべきではありません。 これには 2 つの理由があります。

1. 大きな数の根は問題に現れます。 特にテキストのものでは。
2. これらの根をほぼ口頭で計算するアルゴリズムがあります。

今日はこのアルゴリズムについて検討します。 おそらく、あなたには理解できないこともあるでしょう。 しかし、この教訓に注意を払うなら、あなたは対する強力な武器を手に入れるでしょう。 平方根.

したがって、アルゴリズムは次のようになります。

1. 上下に必要なルートを 10 の倍数の数値に制限します。したがって、検索範囲を 10 の数値に縮小します。
2. これら 10 個の数字から、絶対にルートではないものを除外します。 その結果、1 ～ 2 個の数字が残ります。
3. これらの 1 ～ 2 の数字を 2 乗します。 その二乗が元の数と等しいものが根となります。

このアルゴリズムを実践する前に、個々のステップを見てみましょう。

ルート制限

まず第一に、ルートがどの番号の間に位置するかを調べる必要があります。 数値が 10 の倍数であることが非常に望ましいです。

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

一連の数値が得られます。

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

これらの数字は何を物語っているのでしょうか? それは簡単です。境界が得られます。 たとえば、数値 1296 を考えます。これは 900 と 1600 の間にあります。したがって、そのルートは 30 未満で 40 を超えることはできません。

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同じことが平方根を求めることができる他の数値にも当てはまります。 たとえば、3364:

したがって、理解できない数値の代わりに、元のルートが存在する非常に具体的な範囲が得られます。 検索範囲をさらに絞り込む場合は、2 番目のステップに進みます。

明らかに不要な数字を削除する

したがって、根の候補となる数字は 10 個あります。 複雑な思考や列内での掛け算を行わずに、非常に迅速にそれらを得ることができました。 次に進む時が来ました。

信じられないかもしれませんが、ここでも複雑な計算をせずに、候補番号の数を 2 つに減らします。 知っておくだけで十分 特別ルール。 ここにあります：

正方形の最後の桁は最後の桁にのみ依存します 元の番号.

言い換えれば、正方形の最後の桁を見るだけで、元の数字がどこで終わるのかがすぐにわかります。

最下位に指定できるのは 10 桁のみです。 それらを二乗すると何になるかを調べてみましょう。 表を見てください。

この表は、ルートを計算するための別のステップです。 ご覧のとおり、2 行目の数値は 5 つの数値に対して対称であることがわかりました。 例えば：

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

ご覧のとおり、最後の桁はどちらの場合も同じです。 これは、たとえば、3364 のルートは 2 または 8 で終わらなければならないことを意味します。一方、前の段落の制限を思い出してください。 我々が得る：

赤い四角は、この数字がまだわかっていないことを示しています。 しかし、ルートは 50 ～ 60 の範囲にあり、その上には 2 と 8 で終わる数字は 2 つだけあります。

それだけです！ 考えられるすべてのルートのうち、残された選択肢は 2 つだけです。 そして、これは最も困難なケースです。最後の桁は 5 か 0 になる可能性があるためです。その場合、ルートの候補は 1 つだけになります。

最終的な計算

ということで、候補番号は2つ残っています。 どれがルートであるかをどのようにして知ることができますか? 答えは明らかです。両方の数値を二乗します。 2乗して元の数になるものが根となります。

たとえば、数値 3364 の場合、52 と 58 という 2 つの候補数値が見つかりました。それらを 2 乗してみましょう。

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364。

それだけです！ ルートは58であることが判明しました！ 同時に、計算​​を簡略化するために、和と差の二乗の公式を使用しました。 このおかげで、列に数値を乗算する必要さえなくなりました。 これは別のレベルの計算最適化ですが、もちろん、完全にオプションです:)

根の計算例

理論はもちろん良いです。 しかし、実際にそれを確認してみましょう。

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まず、576 という数字がどの数字の間にあるか調べてみましょう。

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

では、最後の数字を見てみましょう。 これは 6 に等しいです。これはいつ起こるのでしょうか? ルートが 4 または 6 で終わる場合のみ。2 つの数値が得られます。

残っているのは、各数値を 2 乗して元の数値と比較することだけです。

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

素晴らしい！ 最初の正方形は元の数値と等しいことが判明しました。 ということで、これが根元です。

タスク。 平方根を計算します。

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900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

最後の桁を見てみましょう。

1369 → 9;
33; 37.

それを四角形にします:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369。

答えは「37」です。

タスク。 平方根を計算します。

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数を制限します:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

最後の桁を見てみましょう。

2704 → 4;
52; 58.

それを四角形にします:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

答えは 52 です。2 番目の数値を二乗する必要はなくなります。

タスク。 平方根を計算します。

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数を制限します:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

最後の桁を見てみましょう。

4225 → 5;
65.

ご覧のとおり、2 番目のステップの後に残るオプションは 65 の 1 つだけです。これが目的のルートです。 しかし、さらに二乗して確認してみましょう:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

すべてが正しいです。 答えを書き留めておきます。

結論

残念ながら、それ以上ではありません。 その理由を見てみましょう。 そのうちの 2 つがあります。

• 州試験であろうと統一州試験であろうと、通常の数学試験では電卓の使用は禁止されています。 そして、授業に電卓を持ち込んだら、簡単に試験から追い出される可能性があります。
• 愚かなアメリカ人のようにならないでください。 これはルートとは異なり、2 つの素数を加算することはできません。 そして、分数を見ると、たいていヒステリックになります。

数値のべき乗は、すべての因数が元の数値と等しい複数の乗算の演算を短縮して記述したものです。 そして、ルートを抽出するということは、逆演算を意味します。つまり、結果が根号になるように複数の乗算の演算に含まれなければならない因数を決定することです。 指数とルート指数はどちらも同じこと、つまり乗算演算に必要な因数の数を示します。

必要になるだろう

• インターネットへのアクセス。

説明書

• 根を抽出する操作とそれを数値または式に累乗する操作の両方を適用する必要がある場合は、両方の操作を 1 つにまとめます (小数点の指数を使用して累乗する)。 分数の分子には指数が含まれ、分母には根が含まれている必要があります。 たとえば、立方体を二乗する必要がある場合、 根の場合、これら 2 つの演算は、数値の 2/3 乗に相当します。
• 二乗処理が必要な条件の場合 根指数が 2 である場合、これは計算タスクではなく、知識のテストです。 最初のステップの方法を使用すると、分数 2/2 が得られます。 1. これは、二乗の結果が 平方根どのような数字であっても、その数字自体が存在します。
• 必要に応じて正方形にする 根偶数の指数を使用すると、演算を簡素化できる可能性が常にあります。 2 (分数の指数の分子) と任意の偶数 (分母) には公約数があるため、分数を単純化すると分子に 1 が残ります。これは、計算でべき乗する必要がないことを意味します。抽出するだけで十分です 根指数の半分です。 たとえば、8 の 6 乗根の 2 乗は、そこから立方根を抽出することに帰着できます。 2/6=1/3。
• ルート指数の結果を計算するには、たとえば、Google 検索エンジンに組み込まれている計算機を使用します。 おそらくこれが一番 簡単な方法コンピュータからインターネットにアクセスできる場合に計算します。 一般に受け入れられている累乗演算の符号の代替物は、次の「蓋」です: ^。 Google に検索クエリを入力するときに使用します。 たとえば、正方形にしたい場合は、 根数値 750 の 5 乗を計算すると、クエリは次のように定式化されます: 750^(2/5)。 入力後、検索エンジンはサーバーへの送信ボタンを押さなくても、小数点以下 7 桁まで正確な計算結果、750^(2 / 5) = 14.1261725 を表示します。

電卓が登場する前は、生徒や教師は平方根を手で計算していました。 数値の平方根を手動で計算するには、いくつかの方法があります。 近似的な解決策のみを提供するものもあれば、正確な答えを提供するものもあります。

ステップ

素因数分解

根号を因数分解して平方数にします。根号に応じて、おおよその答えまたは正確な答えが得られます。 平方数は、平方根全体を求めることができる数です。 因数は、乗算すると元の数値が得られる数値です。 たとえば、2 x 4 = 8 であるため、数字 8 の因数は 2 と 4 です。また、√25 = 5、√36 = 6、√49 = 7 であるため、数字 25、36、49 は平方数です。は因数であり、平方数です。 まず、根号を二乗因数分解してみます。

• たとえば、400 の平方根を (手動で) 計算します。 まず、400 を二乗因数分解してみます。 400 は 100 の倍数、つまり 25 で割り切れる、平方数です。 400 を 25 で割ると 16 になります。16 という数字は平方数でもあります。 したがって、400 は 25 と 16 の二乗係数に因数分解できます。つまり、25 x 16 = 400 となります。
• これは次のように書くことができます: √400 = √(25 x 16)。

1. いくつかの項の積の平方根は、各項の平方根の積に等しくなります。つまり、√(a x b) = √a x √b となります。 このルールを使用して、各平方係数の平方根を計算し、その結果を乗算して答えを求めます。

   • この例では、25 と 16 の根を求めます。
     • √(25×16)
     • √25×√16
     • 5×4＝20

2. 根号が 2 つの二乗因数に分解されない場合 (これはほとんどの場合に起こります)、整数の形で正確な答えを見つけることはできません。 しかし、根号を二乗因数と通常の因数 (平方根全体を求めることができない数値) に分解することで、問題を単純化することができます。 次に、平方根の平方根を求め、共通因数の根を求めます。

   • たとえば、数値 147 の平方根を計算します。数値 147 は 2 つの平方因数に因数分解できませんが、49 と 3 の因数に因数分解できます。問題は次のように解決します。
     • = √(49 × 3)
     • = √49 × √3
     • = 7√3

3. 必要に応じて、ルートの値を推定します。これで、根号に最も近い（数直線の両側にある）平方数の根の値と比較することで、根の値を推定する（近似値を見つける）ことができます。 ルート値を小数として受け取ります。これにルート記号の後ろの数値を掛ける必要があります。

   • 例に戻りましょう。 根号は 3 です。それに最も近い平方数は、1 (√1 = 1) と 4 (√4 = 2) になります。 したがって、√3 の値は 1 と 2 の間に位置します。√3 の値はおそらく 1 よりも 2 に近いため、推定値は次のようになります: √3 = 1.7。 この値にルート記号の数値を掛けます: 7 x 1.7 = 11.9。 電卓で計算すると 12.13 が得られ、これは答えにかなり近い値になります。
     • この方法は大きな数値でも機能します。 たとえば、√35 について考えてみましょう。 根号は 35 です。それに最も近い平方数は、25 (√25 = 5) と 36 (√36 = 6) になります。 したがって、√35 の値は 5 と 6 の間に位置します。√35 の値は 5 よりも 6 にはるかに近いため (35 は 36 より 1 しか小さいため)、√35 は 6 よりわずかに小さいと言えます。計算機で確認すると、答えは 5.92 でした - 私たちは正しかったです。

4. もう 1 つの方法は、根数を素因数に因数分解することです。素因数は、1 とそれ自体でのみ割り切れる数です。 素因数を連続して書き込み、同一の因数のペアを見つけます。 このような要素はルートサインから取り出すことができます。

   • たとえば、45 の平方根を計算します。根号を素因数に因数分解します。45 = 9 x 5、9 = 3 x 3。したがって、√45 = √(3 x 3 x 5) となります。 3 はルート記号として取り出すことができます: √45 = 3√5。 これで、√5 を推定できます。
   • 別の例を見てみましょう: √88。
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11)。 2 の乗数を 3 つ受け取りました。 それらをいくつか取り、ルート記号を越えて移動します。
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11。 これで、√2 と √11 を評価して、近似的な答えを見つけることができます。

   手動で平方根を計算する

   長い除算を使用する

   1. この方法には、長い除算と同様のプロセスが含まれており、正確な答えが得られます。まず、シートを 2 等分する縦線を引き、次にシートの上端の少し右下に縦線に向かって横線を引きます。 次に、根号を小数点以下の小数部分から始めて、数値のペアに分割します。 したがって、数値 79520789182.47897 は、「7 95 20 78 91 82, 47 89 70」と書きます。

      • たとえば、780.14 という数値の平方根を計算してみましょう。 (図に示すように) 2 本の線を引き、左上に「7 80, 14」の形式で指定された数字を書き込みます。 左から最初の桁がペアになっていない桁であるのが通常です。 右上に答え（この数字の根）を書きます。

   2. 左から最初の数値のペア (または単一の数値) について、二乗が問題の数値のペア (または単一の数値) 以下である最大の整数 n を見つけます。 言い換えると、左から最初の数値のペア (または単一の数値) に最も近い、ただし小さい平方数を見つけて、その平方数の平方根を計算します。 数値nが得られます。 見つけたnを右上に書き、nの2乗を右下に書きます。

      • この場合、左側の最初の数字は 7 になります。次は 4 です。< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. 左側の最初の数値のペア (または単一の数値) から、先ほど見つけた数値 n の 2 乗を引きます。計算結果は減数（数値nの2乗）の下に書きます。

      • この例では、7 から 4 を引いて 3 を取得します。

   4. 2 番目の数値ペアを書き留め、前の手順で取得した値の隣に書き留めます。次に右上の数字を2倍にし、その結果を右下に「_×_=」を加えて書きます。

      • この例では、2 番目の数値ペアは「80」です。 3の後に「80」と書き、右上の数字を2倍すると4になります。右下に「4_×_=」と書きます。

   5. 右側の空白を埋めてください。

      • この場合、ダッシュの代わりに数字 8 を入力すると、48 x 8 = 384 となり、380 より大きくなります。したがって、8 は大きすぎる数字ですが、7 で十分です。 ハイフンの代わりに 7 を書くと、47 x 7 = 329 が得られます。右上に 7 を書きます。これは、数値 780.14 の平方根の 2 番目の桁です。

   6. 左側の現在の数値から結果の数値を引きます。前のステップの結果を左側の現在の数値の下に書き込み、差を求めて減数の下に書き込みます。

      • この例では、380 から 329 を引くと、51 になります。

   7. 手順 4 を繰り返します。転送される数値のペアが元の数値の小数部分である場合は、右上の必要な平方根の整数部分と小数部分の間に区切り文字 (カンマ) を入れます。 左側で、次の数字のペアを降ろします。 右上の数字を2倍にし、その結果を右下に「_×_=」を加えて書きます。

      • この例では、次に削除する数値のペアは数値 780.14 の小数部となるため、右上の目的の平方根に整数部と小数部の区切り文字を配置します。 14を取り出して左下に書きます。 右上の数字（27）を2倍すると54になるので、右下に「54_×_=」と書きます。

   8. 手順 5 と 6 を繰り返します。乗算の結果が左側の現在の数値以下になるように、右側のダッシュの代わりに (ダッシュの代わりに同じ数値を置き換える必要があります) 最大の数値を見つけます。

      • この例では、549 x 9 = 4941 となり、左側の現在の数値 (5114) よりも小さくなります。 右上に「9」を書き、左側の現在の数値から乗算の結果を引きます: 5114 - 4941 = 173。

   9. 平方根の小数点以下の桁数をさらに求める必要がある場合は、現在の数値の左側にゼロをいくつか書き込み、手順 4、5、および 6 を繰り返します。答えの精度 (小数点以下の桁数) が得られるまで手順を繰り返します。必要。

   プロセスを理解する

   同化のために この方法平方根を求めたい数値を正方形 S の面積と考えてください。この場合、そのような正方形の辺の長さ L を求めることになります。 L² = S となるように L の値を計算します。

   答えの各数字に対応する文字を入力してください。 L の値の最初の桁 (目的の平方根) を A で表すことにします。 B は 2 桁目、C は 3 桁目などとなります。

   最初の数字のペアごとに文字を指定します。 S の値の最初の桁のペアを S a で表し、2 番目の桁のペアを S b で表す、などとします。

   この方法と長い除算との関係を理解し​​ます。毎回除算する数値の次の桁のみに関心がある除算と同様に、平方根を計算するときは、(平方根の値の次の 1 桁を取得するために) 2 つの桁を順番に処理します。 。

   1. 数値 S の最初の桁のペア Sa (この例では Sa = 7) を考え、その平方根を求めます。この場合、目的の平方根値の最初の桁 A は、平方根が S a 以下の桁になります (つまり、不等式 A² ≤ Sa となるような A を探します)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962 を 7 で割る必要があるとします。 ここで、最初のステップは同様になります。割り切れる数 88962 (8) の最初の桁を考慮し、7 を掛けたときに 8 以下の値が得られる最大の数を選択します。つまり、次のことを探しています。不等式が成り立つ数値 d: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. 面積を計算する必要がある正方形を頭の中で想像してください。 L、つまり面積が S に等しい正方形の辺の長さを求めています。A、B、C は数値 L の中の数字です。別の書き方もできます: 10A + B = L ( 2 桁の数字）または 100A + 10B + C = L（3 桁の数字の場合）など。

      • させて (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B²。 10A+B は、数字 B が単位を表し、数字 A が 10 を表す数字であることに注意してください。 たとえば、A=1 および B=2 の場合、10A+B は数値 12 に等しくなります。 (10A+B)²正方形全体の面積です。 100A²- 大きな内側の広場のエリア、 B²- 小さな内側の広場の面積、 10A×B- 2 つの長方形それぞれの面積。 記載された数値の面積を加算すると、元の正方形の面積が求められます。

正の数の非負の平方根は次のように呼ばれます。 算術平方根根号記号を使用して表されます。

複素数

複素数のフィールド上には、符号のみが異なる 2 つの解が常に存在します (ゼロの平方根を除く)。 複素数の根は として表されることがよくありますが、この表記は注意して使用する必要があります。 よくある間違い：

複素数の平方根を抽出するには、複素数を指数形式で記述すると便利です。

ここで、モジュラスルートは算術値の意味で理解され、k は値 k=0 と k=1 を取ることができるため、答えは 2 つの異なる結果になります。

一般化

平方根は、他のオブジェクト (行列、関数、演算子など) の形式の方程式の解として導入されます。重ね合わせなど、非常に任意の乗算演算を演算として使用できます。

コンピューターサイエンスにおける平方根

多くの関数レベル プログラミング言語 (および LaTeX などのマークアップ言語) では、平方根関数は次のように記述されます。 平方メートル（英語から 平方根"平方根"）。

平方根を求めるアルゴリズム

指定された数値の平方根を見つけるまたは計算することを呼びます。 抽出（平方根。

テイラー級数の拡張

算術平方根

数値の二乗については、次の等式が成り立ちます。

つまり、数値の平方根の整数部分を見つけるには、その数値からすべての奇数を順番に引き、その余りが次に減算された数より小さくなるか、ゼロに等しくなるまで実行し、実行されたアクションの数を数えます。 たとえば、次のようになります。

3 つのステップが完了すると、9 の平方根は 3 になります。

この方法の欠点は、抽出されるルートが整数でない場合、その部分全体しか見つけられず、より正確には見つけられないことです。 同時に、この方法は、平方根を抽出する必要がある単純な数学の問題を解決する子供にとって非常に使いやすいものです。

おおまかな見積もり

正の実数の平方根を計算するための多くのアルゴリズム S何らかの初期値が必要です。 初期値がルートの実際の値から離れすぎると、計算が遅くなります。 したがって、非常に不正確になる可能性がありますが、計算は簡単な大まかな見積もりを用意しておくと便利です。 もし S≥ 1、しましょう D桁数になります S小数点の左側。 もし S < 1, пусть Dは、小数点の右側にマイナス記号を付けて取得した連続するゼロの数になります。 すると、大まかな見積もりは次のようになります。

もし D奇数、 D = 2n+ 1 してから使用します もし D平、 D = 2n+ 2 を使用してください

2 と 6 が使用される理由は、 そして

バイナリ システム (コンピュータ内部など) で作業する場合は、別の評価を使用する必要があります (ここでは Dは 2 進数です)。

幾何平方根

ルートを手動で抽出するには、長い除算に似た表記法が使用されます。 ルートを探している番号が書き留められます。 その右側で、目的のルートの番号を徐々に取得します。 小数点以下の桁数が有限である数値の根を求めてみましょう。 まず、頭の中で、または記号を使って、数値 N を小数点の左側と右側の 2 桁のグループに分割します。 必要に応じて、グループにはゼロが埋め込まれます。整数部分は左側に埋められ、小数部分は右側に埋められます。 したがって、31234.567 は 03 12 34 と表すことができます。 56 70. 解体は分割とは異なり、このような2桁のグループで行われます。

アルゴリズムの視覚的な説明:

事実1.
\(\bullet\) 負でない数 \(a\) (つまり \(a\geqslant 0\) ) を考えてみましょう。 それから（算数） 平方根数値 \(a\) は非負の数 \(b\) と呼ばれ、二乗すると数値 \(a\) が得られます。 \[\sqrt a=b\quad \text(と同じ)\quad a=b^2\]定義から次のことがわかります \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). これらの制限は平方根が存在するための重要な条件であるため、覚えておく必要があります。
任意の数値を二乗すると、負ではない結果が得られることを思い出してください。 つまり、 \(100^2=10000\geqslant 0\) と \((-100)^2=10000\geqslant 0\) です。
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) は何に等しいですか? \(5^2=25\) と \((-5)^2=25\) がわかっています。 定義上、負でない数を見つける必要があるため、 \(-5\) は適切ではありません。したがって、 \(\sqrt(25)=5\) となります ( \(25=5^2\) より)。
\(\sqrt a\) の値を求めることを数値 \(a\) の平方根をとるといい、数値 \(a\) を根数式といいます。
\(\bullet\) 定義、式 \(\sqrt(-25)\)、\(\sqrt(-4)\) などに基づきます。 意味がありません。

事実2.
簡単に計算するには、 \(1\) から \(20\) までの自然数の二乗表を学習すると便利です。 \[\begin(配列)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

事実3.
平方根ではどのような演算ができるのでしょうか?
\（\弾丸\） 平方根の和または差は、和または差の平方根と等しくありません。 \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]したがって、たとえば \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) を計算する必要がある場合、最初に \(\sqrt(25)\) と \(\ sqrt(49)\ ) を折ります。 したがって、 \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a+\sqrt b\) を加算するときに値 \(\sqrt a\) または \(\sqrt b\) が見つからない場合、そのような式はそれ以上変換されず、そのまま残ります。 たとえば、合計 \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) では、 \(\sqrt(49)\) が \(7\) であることがわかりますが、 \(\sqrt 2\) は次のように変換できません。とにかく、だから \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\)。 残念ながら、この式をこれ以上単純化することはできません\(\bullet\) 平方根の積/商は積/商の平方根に等しい、つまり \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (等式の両辺が意味をなす場合)
例： \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\)。 \(\bullet\) これらの性質を利用すると、大きな数を因数分解して平方根を求めるのに便利です。
例を見てみましょう。 \(\sqrt(44100)\) を見つけてみましょう。 \(44100:100=441\) なので、 \(44100=100\cdot 441\) になります。 割り算の基準によれば、数値 \(441\) は \(9\) で割り切れます (桁の合計が 9 で 9 で割り切れるため)、したがって \(441:9=49\) となります。つまり、 \(441=9\ cdot 49\) です。
したがって、次のようになりました。 \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]別の例を見てみましょう。 \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) 式 \(5\sqrt2\) (式 \(5\cdot \sqrt2\) の短縮表記) の例を使用して、平方根記号の下に数値を入力する方法を示します。 \(5=\sqrt(25)\) なので、 \ また、次のような点にも注意してください。
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) 、
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) 。

何故ですか？ 例1)を使って説明しましょう。 すでにおわかりのとおり、数値 \(\sqrt2\) を何らかの形で変換することはできません。 \(\sqrt2\) が \(a\) という数値であると考えてみましょう。 したがって、式 \(\sqrt2+3\sqrt2\) は \(a+3a\) (1 つの数値 \(a\) とさらに 3 つの同じ数値 \(a\) を加えたもの) にすぎません。 そして、これは 4 つの数値 \(a\) 、つまり \(4\sqrt2\) に等しいことがわかります。

事実4.
\(\bullet\) 数値の値を求めるときにルート (根号) の符号 \(\sqrt () \ \) を取り除くことができない場合、「ルートを抽出できない」とよく言われます。 。 たとえば、 \(16=4^2\) 、つまり \(\sqrt(16)=4\) であるため、数値 \(16\) の根を取ることができます。 しかし、数値 \(3\) の根を抽出すること、つまり \(\sqrt3\) を見つけることは不可能です。なぜなら、二乗して \(3\) となる数値が存在しないからです。
このような数 (またはそのような数を含む式) は無理数です。 たとえば、数字 \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)等々。 不合理だ。
また、数値 \(\pi\) (数値「円周率」、\(3.14\) にほぼ等しい)、\(e\) (この数値はオイラー数と呼ばれ、\(2.7 にほぼ等しい) も無理数です。 \))など
\(\bullet\) どのような数も有理数か無理数かのどちらかになることに注意してください。 そして、すべての有理数とすべての無理数が一緒になって、と呼ばれるセットを形成します。 実数のセット。この集合は文字 \(\mathbb(R)\) で表されます。
これは、私たちが現在知っているすべての数値は実数と呼ばれることを意味します。

事実5.
\(\bullet\) 実数 \(a\) の法は、点 \(a\) から \(0\) までの距離に等しい非負の数 \(|a|\) です。本当のライン。 たとえば、点 \(3\) と \(-3\) から \(0\) までの距離は\(3 \) と同じで等しい。
\(\bullet\) \(a\) が負でない数の場合、 \(|a|=a\) になります。
例: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) 。 \(\bullet\) \(a\) が負の数の場合、 \(|a|=-a\) になります。
例: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
彼らは、負の数の場合、法がマイナスを「食べる」のに対し、正の数と数値 \(0\) は法によって変更されないままになると言います。
しかしこのルールは数値にのみ適用されます。 モジュラス記号の下に、正かゼロか負かわからない未知の \(x\) (またはその他の未知)、たとえば \(|x|\) がある場合は、それを取り除きます。係数の計算はできません。 この場合、式 \(|x|\) は変わりません。 \(\bullet\) 次の式が成り立ちます: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(提供) a\geqslant 0\]非常によく次のような間違いが起こります。 \(\sqrt(a^2)\) と \((\sqrt a)^2\) は同じものであると言われます。 これは、 \(a\) が正の数またはゼロの場合にのみ当てはまります。 しかし、 \(a\) が負の数の場合、これは偽となります。 この例を考慮するだけで十分です。 \(a\) の代わりに数値 \(-1\) を考えてみましょう。 \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) となりますが、式 \((\sqrt (-1))^2\) はまったく存在しません (結局、ルート記号を使用して負の数を入れることは不可能です!)。
したがって、 \(\sqrt(a^2)\) が \((\sqrt a)^2\) に等しくないという事実に注意してください。例: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)、 なぜなら \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) 。 \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) なので、 \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (式 \(2n\) は偶数を表します)
つまり、ある程度の数値の根を取ると、その次数は半分になります。
例：
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (モジュールが指定されていない場合、数値の根は \(-25\ に等しいことが判明することに注意してください) ) ; しかし、ルートの定義により、これは起こり得ないことを覚えています: ルートを抽出するときは、常に正の数またはゼロを取得する必要があります)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (任意の偶数乗は負ではないため)

事実6.
2 つの平方根を比較するにはどうすればよいですか?
\(\bullet\) 平方根の場合は true です。 if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a例：
1) \(\sqrt(50)\) と \(6\sqrt2\) を比較します。 まず、2 番目の式を次のように変換しましょう。 \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)。 したがって、\(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) はどの整数の間に位置しますか?
\(\sqrt(49)=7\) 、 \(\sqrt(64)=8\) 、および \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) と \(0.5\) を比較してみましょう。 \(\sqrt2-1>0.5\) と仮定します。 \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((両側に 1 を追加))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((両辺を二乗))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(揃え)\]間違った不等式が得られたことがわかります。 したがって、私たちの仮定は間違っており、 \(\sqrt 2-1<0,5\) .
不等式の両辺に特定の数値を加算しても、その符号は影響を受けないことに注意してください。 不等式の両辺を正の数で乗算または除算しても、その符号は影響を受けませんが、負の数を乗算または除算すると、不等号の符号が反転します。
方程式/不等式の両辺を二乗できるのは、両辺が負でない場合のみです。 たとえば、前の例の不等式では、不等式 \(-3 のように両辺を 2 乗することができます。<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) 覚えておくべきことは、 \[\begin(整列) &\sqrt 2\約 1.4\\ &\sqrt 3\約 1.7 \end(整列)\]これらの数字のおおよその意味を知っておくと、数字を比較するときに役立ちます。 \(\bullet\) 平方表にない大きな数から根を抽出するには (抽出できる場合)、まずそれがどの「百」の間に位置するかを決定し、次に、どの「百」の間に位置するかを決定する必要があります。 「10」を選択し、この数字の最後の桁を決定します。 これがどのように機能するかを例で見てみましょう。
\(\sqrt(28224)\) を考えてみましょう。 \(100^2=10\,000\)、\(200^2=40\,000\) などがわかっています。 \(28224\) は \(10\,000\) と \(40\,000\) の間にあることに注意してください。 したがって、 \(\sqrt(28224)\) は \(100\) と \(200\) の間にあります。
ここで、数値がどの「10」の位の間にあるか (つまり、\(120\) と \(130\) の間) を判断してみましょう。 また、平方表から \(11^2=121\) 、 \(12^2=144\) などがわかり、その後 \(110^2=12100\) 、 \(120^2=14400 \ ) 、 \(130^2=16900\) 、 \(140^2=19600\) 、 \(150^2=22500\) 、 \(160^2=25600\) 、 \(170^2=28900 \ ）。 したがって、 \(28224\) は \(160^2\) と \(170^2\) の間にあることがわかります。 したがって、数値 \(\sqrt(28224)\) は \(160\) と \(170\) の間にあります。
最後の桁を確認してみましょう。 2 乗すると、最後に \(4\) になる 1 桁の数字は何かを思い出してみましょう。 これらは \(2^2\) と \(8^2\) です。 したがって、\(\sqrt(28224)\) の末尾は 2 か 8 になります。これを確認してみましょう。 \(162^2\) と \(168^2\) を求めてみましょう。
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) 。
したがって、 \(\sqrt(28224)=168\) となります。 出来上がり！

数学の統一州試験を適切に解くためには、まず、多数の定理、公式、アルゴリズムなどを紹介する理論資料を学習する必要があります。一見すると、これは非常に簡単であるように思えるかもしれません。 しかし、数学の統一国家試験の理論が、あらゆるレベルの訓練を受けた生徒にとって簡単かつ理解できる方法で提示されている情報源を見つけることは、実際にはかなり困難な作業です。 学校の教科書は常に手元にあるわけではありません。 また、数学における統一州試験の基本公式を見つけるのは、インターネット上であっても困難な場合があります。

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