対数および指数不等式を解きます。

私がこれまで見た B7 の問題はすべて、方程式を解くというほぼ同じ方法で定式化されていました。この場合、方程式自体は次の 3 つのタイプのいずれかに属します。

対数;
示唆的;
不合理。

一般的に、各タイプの方程式の本格的なガイドには十数ページ以上かかり、統一州試験の範囲をはるかに超えています。したがって、単純な推論と計算が必要な最も単純なケースのみを考慮します。この知識は、B7 の問題を解決するのに十分です。

数学では、「方程式を解く」という用語は、与えられた方程式のすべての根の集合を見つけること、またはこの集合が空であることを証明することを意味します。ただし、統一州試験フォームに入力できるのは数字のみであり、セットはありません。したがって、タスク B7 に複数のルートがある場合 (または逆にルートがない場合)、ソリューションでエラーが発生します。

対数方程式

対数方程式は、対数の形式に帰着する方程式です。ある f(×) = k、どこある > 0, ある≠ 1 - 対数の底、 f(×) は任意の関数です。 k- 一定の値。

この方程式は、対数記号の下に定数 k を導入することで解けます。 k=ログあるある k。新しい対数の底は、元の対数の底と等しくなります。方程式ログを取得しますある f(×) = ログあるある k、これは対数を落とすことで解けます。

条件によりますのでご了承くださいある> 0 したがって、 f(×) = ある k> 0、つまり元の対数が存在します。

タスク。方程式を解きます: log 7 (8 − ×) = 2.

解決。ログ 7 (8 − ×) = 2 ⇔ log 7 (8 − ×) = log 7 7 2 ⇔ 8 − × = 49 ⇔ × = −41.

タスク。方程式を解きます: log 0.5 (6 − ×) = −2.

解決。 log 0.5 (6 − ×) = −2 ⇔ log 0.5 (6 − ×) = log 0.5 0.5 −2 ⇔ 6 − × = 4 ⇔ × = 2.

しかし、元の方程式が標準対数よりも複雑であることが判明したらどうなるでしょうか。ある f(×) = k? 次に、一方の側ですべての対数を収集し、もう一方の側で数値を収集して、それを標準に換算します。

元の式に複数の対数がある場合は、その対数の下で各関数の許容値 (ADV) の範囲を探す必要があります。そうしないと、余分な根が現れる可能性があります。

タスク。方程式を解きます: log 5 ( ×+ 1) + log 5 ( × + 5) = 1.

方程式には対数が 2 つあるため、ODZ が求められます。

× + 1 > 0 ⇔ × > −1
× + 5 > 0 ⇔ × > −5

ODZ が間隔 (−1, +∞) であることがわかります。ここで方程式を解きます。

ログ 5 ( ×+ 1) + log 5 ( ×+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( × + 1)(×+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( × + 1)(×+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( × + 1)(× + 5) = 5 ⇔ × 2 + 6× + 5 = 5 ⇔ × (× + 6) = 0 ⇔ × 1 = 0, × 2 = −6.

しかし × 2 = −6 は DL の資格がありません。残るのは根っこ × 1 = 0.

指数方程式

指数方程式とは、次の形式に還元される方程式です。ある f(×) = k、どこある > 0, ある≠ 1 — 次数の基底、 f(×) は任意の関数です。 k- 一定の値。

この定義は、定義をほぼそのまま繰り返しています。対数方程式。指数方程式は対数方程式よりもさらに簡単に解くことができます。なぜなら、ここでは関数を次のようにする必要がないからです。 f(×）陽性でした。

これを解決するには、交換を行います k = ある t、どこ t- 一般的に言えば、対数 ( t=ログある k）、しかし統一州試験では数字があるそして kあなたが見つけるように選択されます tそれは簡単です。結果として得られる方程式ではある f(×) = ある t基数が等しい、つまり指標が等しい、つまり f(×) = t。通常、最後の方程式を解くことは問題を引き起こしません。

タスク。方程式を解く: 7 × − 2 = 49.

解決。 7 × − 2 = 49 ⇔ 7 × − 2 = 7 2 ⇔ × − 2 = 2 ⇔ × = 4.

タスク。方程式を解きます: 6 16 − × = 1/36.

解決。 6 16 − × = 1/36 ⇔ 6 16 − × = 6 −2 ⇔ 16 − × = −2 ⇔ × = 18.

指数方程式の変換について少し説明します。元の方程式が異なる場合ある f(×) = k の場合、度数を扱うためのルールを適用します。

ある n · あるメートル = ある n + メートル ,
ある n / あるメートル = ある n − メートル ,
(ある n) メートル = ある n · メートル .

さらに、根と分数を有理指数のべき乗に置き換えるルールを知っておく必要があります。

このような方程式は統一国家試験では非常にまれですが、それがなければ問題 B7 の分析は不完全になります。

タスク。方程式を解きます: (5/7) ×− 2 · (7/5) 2 × − 1 = 125/343

ご了承ください：

(7/5) 2× − 1 = ((5/7) −1) 2× − 1 = (5/7) 1 − 2× ,
125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

私たちは: (5/7) ×− 2 · (7/5) 2 × − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) ×− 2 ・ (5/7) 1 − 2 × = (5/7) 3 ⇔ (5/7) × − 2 + 1 − 2× = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −× − 1 = (5/7) 3 ⇔ −× − 1 = 3 ⇔ × = −4.

無理数方程式

無理数とは、根号を含む方程式を意味します。さまざまな無理数方程式のうち、方程式が次の形式を持つ最も単純な場合のみを考慮します。

この方程式を解くには、両辺を二乗します。方程式が得られます f(×) = ある 2. この場合、ODZ 要件は自動的に満たされます。 f(×) ≥ 0、なぜならある 2 ≥ 0。単純な方程式を解くことが残っています。 f(×) = ある 2 .

タスク。方程式を解きます。

両辺を二乗すると次の値が得られます: 5 × − 6 = 8 2 ⇔ 5× − 6 = 64 ⇔ 5× = 70 ⇔ × = 14.

タスク。方程式を解きます。

まず、前回と同様に両辺を正方形にします。そして、分子にマイナス記号を追加します。我々は持っています：

ときは注意してください。 ×= −4 ルートの下には正の数が存在します。つまり、 ODZ 要件は満たされています。

不合理な不平等

無理数不等式とは、未知の量が根号の下にある不等式です。このような不等式の解決策は通常、いくつかの変換を利用して同等の有理方程式、不等式、または方程式と不等式の系 (多くの場合、混合系、つまり方程式と不等式の両方を含む系) に置き換えることで解決されます。上記の手順を実行します。これらの変換は、変数の置換 (新しい変数の導入) や因数分解に加えて、不等式の両方の部分を同じ程度まで引き上げます。ただし、ある不等式から別の不等式への遷移の等価性を監視する必要があります。軽率に累乗すると、不平等の根源は失われることもあれば、得られることもあります。たとえば、正しい不等式を二乗すると -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

ただし、ここで使用されている主なステートメントは真実です。つまり、不等式の両辺が負でない場合、それは項ごとの累乗によって得られる不等式と等価です。

この方法で不等式を解くときは、無関係な解を取得しないように注意する必要があります。したがって、可能な場合は、不等式の定義領域と、解の可能な値の範囲を見つけることが役立ちます。

指数不等式と対数不等式

指数関数と対数不等式対応する関数の特性の研究が先に行われます。指数式と対数式の変換に関する多くのタスクを実行します。対数と指数内の変数を含む方程式を解く。考えられる最も単純な不等式を解く

ここで、は不等式の 1 つを意味します<,>,.

実際のところ、通常、このトピックは、以前に研究されたこれらの関数の特性のみに基づいて、まったく新しいトピックとして導入されます。私の意見では、これを不等式一般の解法 (つまり、既知のアルゴリズム) と結び付けることが賢明です。間隔メソッドを直接使用できないことに注意してください。ただし、さまざまな指数関数および対数不等式の解は、次の規則に基づいて作成されます。

a>1 の場合、

0の場合

a>1 の場合、

0の場合

ここで、記号は、記号とは反対の意味を意味します。

通常、指数関数および対数不等式は有理関数に帰着しますが、これは上記の区間法を使用してすでに解決できます。

三角関数を含む不等式

このテーマは教育文献ではあまり取り上げられておらず、一部の教科書では一般に学習対象のコースの範囲外として取り上げられています (本書の第 1 章ですでに説明したとおり)。三角関数の不等式のうち、原則として、次のタイプの最も単純なもののみが使用されます。

この点に関する実践編の課題は、競技問題集や受験生向けの問題集、大学の高専受験用の資料などに掲載されています。それらの。この教材は小学校や高校の学習には必須ではありませんが、役に立ちます。

区間法は、三角関数を含む不等式を解くのに特に有効です。この方法で純粋に三角関数の不等式を解く場合、数値軸の代わりに数値円を使用すると便利です。数値円は、対応する三角方程式の根 (分子と分母) によって区間と同じ役割を果たす円弧に分割されます。数値軸上で。これらの円弧では、解く不等式に対応する三角関数の式には定数符号があり、別の「便利な」点の規則と根の多重度の特性をどちらに使用できるかを決定します。多くの場合、円弧自体を決定するために、対応する方程式の根の (無限の) セット全体を見つける必要はまったくありません。これらの方程式を使用して基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) の値を見つけ、これらの値に対応する数円上の点をマークするだけで十分です。

不等式が記述されているすべての関数に基本周期 (最小の正の周期) がある場合、または m が何らかの正の整数である場合、数値円を直接使用して元の三角関数の不等式を区間法で解くことができます。これらの関数の基本周期が or より大きい場合は、まず変数を変更してから、ナンバーサークルを使用する必要があります。

不等式に三角関数と他の関数の両方が含まれる場合は、数直線を使用して区間法を使用して解く必要があります。

お客様のプライバシーを維持することは当社にとって重要です。このため、当社はお客様の情報の使用および保管方法を説明するプライバシーポリシーを作成しました。当社のプライバシー慣行を確認し、ご質問がある場合はお知らせください。

個人情報の収集と利用

個人情報とは、特定の個人を識別したり連絡したりするために使用できるデータを指します。

当社にご連絡いただく際には、いつでも個人情報の提供を求められる場合があります。

以下は、当社が収集する個人情報の種類とそのような情報の使用方法の例です。

当社が収集する個人情報は次のとおりです。

お客様がサイト上でお申し込みを送信される場合、当社はお客様のお名前、電話番号、電子メールアドレスなどを含むさまざまな情報を収集する場合があります。

お客様の個人情報の使用方法:

当社が収集する個人情報により、独自のオファー、プロモーション、その他のイベントや今後のイベントについてお客様にご連絡することができます。
当社は、重要な通知や連絡を送信するためにお客様の個人情報を使用する場合があります。
また、当社は、当社が提供するサービスを改善し、お客様に当社のサービスに関する推奨事項を提供するために、監査、データ分析、さまざまな調査の実施などの内部目的で個人情報を使用する場合があります。
あなたが賞品の抽選、コンテスト、または同様のプロモーションに参加する場合、当社はそのようなプログラムを管理するためにあなたが提供した情報を使用することがあります。

第三者への情報開示

当社はお客様から受け取った情報を第三者に開示することはありません。

例外:

法律、司法手続きに従って、および/または公的要請またはロシア連邦領域の政府当局からの要請に基づいて、必要な場合には、お客様の個人情報を開示する場合。また、セキュリティ、法執行、またはその他の公共の重要な目的のために開示が必要または適切であると当社が判断した場合、当社はお客様に関する情報を開示することがあります。
組織再編、合併、または売却の場合、当社は収集した個人情報を該当する後継の第三者に譲渡することがあります。

個人情報の保護

当社は、お客様の個人情報を紛失、盗難、悪用、および不正アクセス、開示、改ざん、破壊から保護するために、管理上、技術上、物理的な予防措置を講じます。

会社レベルでのプライバシーの尊重

お客様の個人情報の安全を確保するために、当社はプライバシーとセキュリティの基準を従業員に伝達し、プライバシー慣行を厳格に実施します。