対数の底が 1 未満の場合。対数不等式

さまざまな対数不等式のうち、変数底を持つ不等式は個別に研究されます。それらは特別な公式を使用して解決されますが、何らかの理由で学校ではほとんど教えられません。このプレゼンテーションでは、2014 年の統一州試験の数学におけるタスク C3 の解決策を示します。

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対数の底に変数を含む対数不等式を解く: 方法、テクニック、等価遷移、数学教師、中等学校 No. 143 Knyazkina T. V.

さまざまな対数不等式のうち、変数底を持つ不等式は個別に研究されます。それらは特別な公式を使用して解決されますが、何らかの理由で学校ではほとんど教えられません: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 「∨」チェックボックスの代わりに、任意の不等号 (多かれ少なかれ) を入力できます。重要なことは、両方の不等式の符号が同じであるということです。このようにして、対数を取り除き、問題を有理不等式に還元します。後者は解くのがはるかに簡単ですが、対数を破棄すると余分な根が現れる可能性があります。それらを切断するには、その領域を見つけるだけで十分です許容可能な値。対数のODZを忘れないでください。許容値の範囲に関連するものはすべて書き出して個別に解決する必要があります。 f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1。これら 4 つの不等式は系を構成し、同時に満たされる必要があります。許容可能な値の範囲が見つかったら、あとはそれを解と交差させるだけです合理的不平等-そして答えは準備ができています。

不等式を解く: 解決策まず、対数の OD を書き出しましょう。最初の 2 つの不等式は自動的に満たされますが、最後の不等式は書き留める必要があります。数値自体が 0 に等しい場合に限り、数値の 2 乗は 0 に等しいため、次のようになります。 x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x≠0。対数の ODZ はゼロを除くすべての数値であることがわかります: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞)。ここで、主要な不等式を解きます。対数不等式から有理不等式に移行します。元の不等式には「未満」記号が含まれているため、結果の不等式にも「未満」記号が必要になります。

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

対数不等式の変換元の不等式は上記のものとは異なることがよくあります。これは、対数を扱うための標準ルールを使用して簡単に修正できます。つまり、任意の数値は、指定された底をもつ対数として表すことができます。底が同じ対数の和と差は、1 つの対数に置き換えることができます。別途、許容値の範囲についてお知らせします。元の不等式には複数の対数が存在する可能性があるため、それぞれの対数の VA を見つける必要があります。したがって、一般的なスキーム対数不等式の解は次のとおりです。不等式に含まれる各対数の ODZ を求めます。対数の加算および減算の公式を使用して、不等式を標準の不等式に縮小します。上記のスキームを使用して、結果として得られる不等式を解きます。

不等式を解きます: 解法最初の対数の定義域 (DO) を求めましょう: 区間法で解きます。分子のゼロを見つけます: 3 x − 2 = 0; x = 2/3。次に、分母のゼロ: x − 1 = 0; x = 1. 座標線上にゼロと符号をマークします。

x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) が得られます。 2 番目の対数の VA は同じになります。信じられない場合は、確認してください。次に、底が 2 になるように 2 番目の対数を変換しましょう。ご覧のとおり、対数の底と前にある 3 がキャンセルされています。同じ底を持つ 2 つの対数が得られました。それらを合計します: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

セットの交差部分に興味があるので、両方の矢印で影付きの区間を選択します。 x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - すべての点がパンクチャされます。答え: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

USE-2014 タスクタイプ C3 の解決

不平等系を解決します。解決策。 ODZ:  1) 2)

連立不等式を解く 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (続き)

不等式系を解く 4) 一般解: and -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (続き)

不等式を解く (続き) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

不等式を解きます。 ODZ: 

不等式を解く（続き）

不等式を解きます。 ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

1 つの不等式に関するレッスンは、研究スキルを開発し、生徒の思考を目覚めさせ、知性を発達させ、生徒の仕事への関心を高めます。学生が必要な概念を習得し、対数不等式を解くためのいくつかの特定のテクニックを分析したときに実施するのが最善です。このレッスンでは、生徒は解決策を見つけることに積極的に参加します。

レッスンタイプ

。知識、スキル、能力を新しい状況に応用するためのレッスン。（学習内容の体系化と一般化のレッスン）。

レッスンの目的

教育的

対数不等式

違う方法

教材

現像

教育的

授業中。

1. 組織的な瞬間。

口頭仕事。

2. 宿題の確認。

次の文章を数学的言語で書きとめてください。「数値 a と b は 1 の同じ側にあります」、「数値 a と b は単位の反対側にあります」、結果として生じる不等式を証明します。（生徒の一人が事前に黒板に解答を用意していました）。

3. レッスンのトピック、その目標、目的を報告します。

数学の入学試験の選択肢を分析すると、試験における対数理論から、対数の下および対数の底に変数を含む対数不等式に遭遇することがよくあることに気づくことができます。

私たちの教訓は、 一つの不等式の教訓, 対数の下および対数の底に変数を含む、さまざまな方法で解決されました。複数の不等式を同じ方法で解決するよりも、1 つの不等式を異なる方法で解決する方が良いと言われます。確かに、自分の決定を確認できるはずです。問題を別の方法で解いて同じ答えが得られることほど優れたテストはありません (別の方法でも同じ系、同じ不等式、方程式に到達できます)。しかし、さまざまな方法でタスクを解決するときに追求されるのはこの目標だけではありません。あらゆるケースを考慮し、さまざまな解決策を模索し、重要な評価数学的思考の発展において重要な要素である最も合理的で美しいものを強調するために、彼らはテンプレートから遠ざけられます。したがって、今日は不等式を 1 つだけ解きますが、それを解く方法をいくつか考えてみます。

4. 知識の創造的な応用と獲得、不等式 log x (x 2 – 2x – 3) を解く際に、以前に習得した知識とスキルに基づいて構築された問題を解決することによる活動方法を習得する< 0.

1 つの試験問題から抜粋した、この不等式の解を次に示します。それを注意深く見て、解決策を分析してみてください。（不等式の解はあらかじめ黒板に書いてあります）

log x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;

a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 1;

x 2 – 2x – 3 = 0; × 2 – 2x – 4< 0;

x 1 = - 1、x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

c) システムの解決策

生徒の考えられる説明:

これは方程式ではなく不等式であるため、対数不等式から有理不等式に移行する場合、不等式の符号は対数の底と対数関数の単調性に依存します。

このような決定では、無関係な解を取得したり、解を失ったりする可能性があり、誤った決定でも正しい答えが得られる可能性があります。

それでは、変数が対数の符号の下にあり、対数の底にあるこの不等式をどのように解く必要があるのでしょうか?!

この不等式は、2 つの不等式を組み合わせたものと等価です。

最初の不等式系には解がありません。

不平等体系の解決策は、

試験問題から提案された不等式の解法では、答えは正しかった。なぜ？

生徒の考えられる答え:

したがって、不等式の左側の関数の定義域は 3 より大きい数で構成されているため、関数 y = log x t は増加します。したがって、答えは正しいことがわかりました。

数学的に正しい解答をどうやって試験用紙に書くことができたのでしょうか?

Ⅱの方法。

不等式の左側で関数の定義域を見つけて、その定義域を考慮して 1 つの場合だけを考えてみましょう。

この不平等を他にどのように解決できるでしょうか? どのような公式が使用できるのでしょうか?

新しい基数への移動式 a > 0、a 1

Ⅲの方法。

Ⅳの方法。

対数がゼロより小さいという事実を不等式自体に適用することは可能ですか?

はい。対数の下の式と対数の底は反対側にありますが、正です。

つまり、同じ 2 つの不等式のセットが再び得られます。

考慮されたすべての方法は、2 つの不等式の組み合わせにつながります。すべての場合において、同じ答えが得られます。すべての方法は理論的に正当化されます。

生徒への質問: 11 年生で勉強した内容と関係のない質問が宿題で出されたのはなぜだと思いますか?

対数の性質を知ることで、 ログ a b< 0 、もしあるそして b 1の反対側に、

log a b > 0 if あるそして b 1 の片側では、不等式を解くための非常に興味深い、予想外の方法が得られます。この方法については、雑誌「Quantum」1990 年第 10 号の記事「いくつかの有用な対数関係」に記載されています。

log g(x) f(x) > 0 if

log g(x) f(x)< 0, если

(なぜ条件 g(x) 1は書かなくてもいいのでは？）

不平等の解決 log x (x 2 – 2x – 3)< 0 それは次のようになります:

a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1)(x 2 – 2x – 4)< 0;

c) 不平等制度の解決

Ⅵ法。

インターバル方式。 (「区間法を使用して対数不等式を解く」は次のレッスンのトピックです)。

5. 行われた作業の結果。

1. 不平等はどのように解決されましたか? これを解決する方法は何通りありますか

不平等は見つかりましたか?

2. どれが最も合理的ですか? 美しい？

3. それぞれの場合における不平等の解決策は何に基づいていましたか?

4. この不等式が興味深いのはなぜですか?

教室での教師の仕事の質的特徴。

6. 研究内容の一般化。

この不等式を、より一般的な問題の特殊なケースとして考えることは可能でしょうか?

形式の不平等 log g(x) f(x)<(>) ログ g(x) h(x)不平等に還元できる ログ g(x) p(x)<(>) 0 対数の性質と不等式の性質を利用します。

不平等を解決する

log x (x 2 + 3x – 3) > 1

検討された方法のいずれかによって。

7. 宿題、その実装に関する指示
.

1. 不等式を解きます (数学の入学試験の選択肢から):

2. 次のレッスンでは、区間法で解く対数不等式を考えます。区間法を使用して不等式を解くアルゴリズムを繰り返します。

3. 数値を昇順に並べます (この配置の理由を説明します)。

ログ0.3 5; ; ; 対数 0.5 3 (次のレッスンでも繰り返します)。

さまざまな対数不等式のうち、変数底を持つ不等式は個別に研究されます。これらは特別な公式を使用して解決されますが、何らかの理由で学校ではほとんど教えられません。

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

「∨」チェックボックスの代わりに、多かれ少なかれ任意の不等号を入力できます。重要なことは、両方の不等式の符号が同じであるということです。

このようにして、対数を取り除き、問題を有理不等式に還元します。後者は解くのがはるかに簡単ですが、対数を破棄すると余分な根が現れる可能性があります。それらをカットするには、許容値の範囲を見つけるだけで十分です。対数の ODZ を忘れた場合は、もう一度繰り返すことを強くお勧めします。「対数とは」を参照してください。

許容値の範囲に関連するものはすべて書き出して、個別に解決する必要があります。

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1。

これら 4 つの不等式は系を構成しており、同時に満たされる必要があります。許容可能な値の範囲が見つかったら、あとはそれを有理不等式の解と交差させるだけで、答えが完成します。

タスク。不等式を解く：

まず、対数の ODZ を書き出してみましょう。

最初の 2 つの不等式は自動的に満たされますが、最後の不等式は書き出す必要があります。数値自体が 0 である場合に限り、数値の 2 乗は 0 となるため、次のようになります。

× 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x≠0。

対数の ODZ はゼロを除くすべての数値であることがわかります: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)。ここで主な不等式を解きます。

対数不等式から有理不等式へ移行します。元の不等式には「未満」記号が含まれているため、結果の不等式にも「未満」記号が必要になります。我々は持っています：

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9−×2)×2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · × 2< 0.

この式のゼロは次のとおりです。 x = 3; x = −3; x = 0。さらに、x = 0 は 2 番目の多重度の根であり、これを通過するときに関数の符号が変化しないことを意味します。我々は持っています：

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) が得られます。このセットは対数の ODZ に完全に含まれており、これが答えであることを意味します。

対数不等式の変換

多くの場合、元の不等式は上記のものとは異なります。これは、対数を扱うための標準ルールを使用して簡単に修正できます。「対数の基本特性」を参照してください。つまり:

任意の数値は、指定された底をもつ対数として表すことができます。
底が同じ対数の和と差は、1 つの対数に置き換えることができます。

別途、許容値の範囲についてお知らせします。元の不等式には複数の対数が存在する可能性があるため、それぞれの対数の VA を見つける必要があります。したがって、対数不等式を解くための一般的なスキームは次のようになります。

不等式に含まれる各対数の VA を求めます。
対数の加算および減算の公式を使用して、不等式を標準の不等式に縮小します。
上記のスキームを使用して、結果として得られる不等式を解きます。

タスク。不等式を解く：

最初の対数の定義域 (DO) を求めてみましょう。

区間法を使って解きます。分子のゼロを見つける:

3x − 2 = 0;
x = 2/3。

次に、分母のゼロ:

x − 1 = 0;
x = 1。

座標の矢印にゼロと符号を付けます。

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) が得られます。 2 番目の対数の VA は同じになります。信じられない場合は、確認してください。次に、底が 2 になるように 2 番目の対数を変換します。

ご覧のとおり、対数の底と前の 3 が減少しています。同じ底を持つ 2 つの対数が得られました。それらを合計してみましょう:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

標準対数不等式が得られました。公式を使用して対数を取り除きます。元の不等式には「未満」記号が含まれているため、結果の有理式もゼロ未満でなければなりません。我々は持っています：

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
× 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3)。

2 つのセットを入手しました。

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
答えの候補: x ∈ (−1; 3)。

これらのセットを交差させることが残ります - 本当の答えが得られます。

セットの交差部分に興味があるので、両方の矢印で影付きの区間を選択します。 x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) が得られます - すべての点がパンクされます。

統一国家試験まではまだ時間があり、準備する時間はあると思いますか? おそらくそうなのでしょう。しかし、いずれの場合でも、学生が準備を始めるのが早ければ早いほど、試験に合格することができます。今日は対数不等式についての記事を取り上げることにしました。これはタスクの 1 つであり、追加の単位を取得する機会を意味します。

対数とは何かをすでに知っていますか? 私たちはそう願っています。しかし、たとえこの質問に対する答えがなくても、それは問題ではありません。対数とは何かを理解するのは非常に簡単です。

なぜ 4 なのか? 81 を得るには、数値 3 をこの乗する必要があります。原理を理解したら、より複雑な計算に進むことができます。

あなたは数年前に不平等を経験しました。それ以来、あなたは数学の中で常にそれらに遭遇しています。不等式を解くのに問題がある場合は、該当するセクションを確認してください。
個別の概念について理解したところで、一般的な概念の検討に移りましょう。

最も単純な対数不等式。

最も単純な対数不等式はこの例に限定されず、符号が異なるだけでさらに 3 つあります。なぜこれが必要なのでしょうか? 対数を使った不等式の解き方をより深く理解するため。ここで、より応用可能な例を示しますが、まだ非常に単純です; 複雑な対数不等式については後ほど残しておきます。

これを解決するにはどうすればよいでしょうか? すべてはODZから始まります。不平等を常に簡単に解決したい場合は、それについて詳しく知る価値があります。

ODZとは何ですか？対数不等式の ODZ

この略語は、許容値の範囲を表します。この公式は、統一州試験の課題でよく出てきます。 ODZ は、対数不等式の場合だけではありません。

上の例をもう一度見てください。これに基づいて ODZ を考えます。原理は理解できるので、対数不等式を解くことは問題になりません。対数の定義から、2x+4 はゼロより大きくなければならないことがわかります。私たちの場合、これは次のことを意味します。

定義上、この数値は正でなければなりません。上に示した不等式を解きます。これは口頭で行うこともできます。ここでは、X を 2 より小さくすることはできないことが明らかです。不等式の解決策は、許容可能な値の範囲を定義することになります。
それでは、最も単純な対数不等式を解くことに移りましょう。

不等式の両側から対数自体を破棄します。その結果、私たちには何が残るのでしょうか？単純な不平等。

解決するのは難しくありません。 X は -0.5 より大きくなければなりません。次に、取得した 2 つの値を 1 つのシステムに結合します。したがって、

これは、検討中の対数不等式の許容値の範囲になります。

そもそもなぜODZが必要なのでしょうか? これは、間違った答えや不可能な答えを取り除く機会です。答えが許容値の範囲内にない場合、その答えは単純に意味がありません。統一州試験では ODZ を検索する必要がよくあり、対数不等式だけが関係するわけではないため、これは長い間覚えておく価値があります。

対数不等式を解くアルゴリズム

ソリューションはいくつかの段階で構成されます。まず、許容可能な値の範囲を見つける必要があります。 ODZ には 2 つの意味があり、これについては上で説明しました。次に、不等式そのものを解く必要があります。解決方法は以下のとおりです。

乗数の置換方法。
分解;
合理化手法。

状況に応じて、上記の方法のいずれかを使用する価値があります。解決策に直接移りましょう。ほとんどすべての場合に統一国家試験のタスクを解決するのに適した、最も一般的な方法を明らかにしましょう。次に分解方法を見ていきます。特に厄介な不等式に遭遇した場合に役立ちます。つまり、対数不等式を解くアルゴリズムです。

解決策の例 :

私たちがまさにこの不等号を採用したのは無駄ではありません。ベースに注目してください。覚えておいてください: 1 より大きい場合、許容値の範囲を見つけるときに符号は同じままです。それ以外の場合は、不等号を変更する必要があります。

その結果、次の不等式が得られます。

ここで、左辺をゼロに等しい方程式の形に縮小します。「未満」記号の代わりに「等しい」を入れて方程式を解きます。したがって、ODZ が見つかります。このような単純な方程式を解くのに問題が生じないことを願っています。答えは -4 と -2 です。それがすべてではありません。これらの点をグラフ上に「+」と「-」を配置して表示する必要があります。そのためには何をする必要があるのでしょうか? 間隔の数値を式に代入します。値が正の場合は「+」を付けます。

答え: x は -4 より大きく、-2 より小さいことはできません。

左側の許容値の範囲のみが見つかりました。今度は右側の許容値の範囲を見つける必要があります。これははるかに簡単です。答え: -2。結果として得られる両方の領域を交差させます。

そして今になって初めて、私たちは不平等そのものに取り組み始めています。

解決しやすいように、できるだけ単純化してみましょう。

このソリューションでも間隔法を使用します。計算は省略しましょう。前の例ですべてがすでに明らかになっています。答え。

ただし、この方法は対数不等式の底が同じ場合に適しています。

解決対数方程式そして不平等さまざまな理由で最初の 1 塩基への還元を前提としています。次に、上記の方法を使用します。しかし、さらにあります困難なケース。最も複雑なタイプの対数不等式の 1 つを考えてみましょう。

変数底を持つ対数不等式

このような特徴を持つ不平等をどのように解決するのでしょうか？はい、そのような人は統一国家試験で見つかります。次の方法で不平等を解決することも、教育プロセスに有益な効果をもたらします。この問題を詳しく見てみましょう。理論を捨てて、すぐに実践してみましょう。対数不等式を解くには、この例に一度慣れておくだけで十分です。

提示された形式の対数不等式を解くには、右辺を同じ底を持つ対数に換算する必要があります。この原理は等価遷移に似ています。その結果、不等式はこのようになります。

実際に残っているのは、対数を使用しない不等式系を作成することだけです。合理化手法を使用して、等価不平等系に進みます。適切な値を置き換えてその変更を追跡すると、ルール自体が理解できます。この系には次のような不等式が存在します。

不等式を解くときに有理化法を使用する場合は、次の点に注意する必要があります。底から 1 を減算する必要があります。対数の定義により、x は不等式の両側 (右から左) から減算されます。2 つの式は乗算されます。ゼロを基準にして元の符号の下に設定されます。

さらなる解決策は間隔法を使用して実行されます。ここではすべてが簡単です。解決方法の違いを理解することが重要です。そうすれば、すべてが簡単に解決し始めます。

対数不等式には多くのニュアンスがあります。最も単純なものは非常に簡単に解決できます。それぞれの問題を問題なく解決するにはどうすればよいでしょうか? この記事のすべての回答はすでに得られています。これからは長い練習が待っています。試験のさまざまな問題を解く練習を続ければ、最高のスコアを獲得できるようになります。難しい任務を頑張ってください!