Algebra 11. razred

Tema: „Metode rješenja logaritamske jednačine »

Ciljevi lekcije:

edukativni: izgrađivanje znanja o na različite načine rješavanje logaritamskih jednadžbi, sposobnost njihove primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvoj vještina za posmatranje, upoređivanje, primjenu znanja u novoj situaciji, utvrđivanje obrazaca, generalizacija; razvijanje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

edukativni: negovanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivog sagledavanja gradiva na času i pažljivog vođenja bilješki.

Vrsta lekcije : lekcija o uvođenju novog gradiva.

“Izum logaritama, dok je smanjio rad astronoma, produžio mu je život.”
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Tokom nastave

I. Postavljanje cilja časa

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritama i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se pomoću uniformnih algoritama. Ove algoritme ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Nema ih mnogo. Ako ih savladate, tada će svaka jednačina sa logaritmima biti izvodljiva za svakog od vas.

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriranje referentnog znanja

Pripremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak rješavate i zapisujete odgovor, ne morate pisati uvjet. Raditi u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

A)

b)

V)

d)

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija poklapaju?

a) y = x i

b)I

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Izračunajte :

6) Pokušajte vratiti ili dopuniti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Na ekranu se prikazuje sljedeća izjava:

“Jednačina je zlatni ključ koji otvara sve matematičke sezame.”
Moderni poljski matematičar S. Kowal

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma ).

Hajde da razmotrimonajjednostavnija logaritamska jednadžba: log A x = b (gdje je a>0, a ≠ 1). Kako se logaritamska funkcija povećava (ili smanjuje) na skupu pozitivnih brojeva i uzima sve realne vrijednosti, onda prema teoremi korijena slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, i to samo jedno, rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema osnovici a je pokazatelj stepena na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x ). Iz definicije logaritma to odmah slijediA V je takvo rješenje.

Zapišite naslov:Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma .

Tako se rješavaju najjednostavnije jednačine oblika.

Hajde da razmotrimobr. 514(a) ): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma )

Rješenje . , Dakle 2x – 4 = 4; x = 4.

Odgovor: 4.

U ovom zadatku 2x – 4 > 0, pošto> 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni, inema potrebe za provjerom . U ovom zadatku nema potrebe pisati uslov 2x – 4 > 0.

2. Potenciranje (prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Hajde da razmotrimobr. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Koju ste osobinu primijetili?(Baze su iste, a logaritmi dva izraza jednaki) . Šta se može učiniti?(Potencirati).

Treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X 2 +8>0 nepotrebna nejednakost

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencirajmo originalnu jednačinu

x 2 +8= 8 x+8

dobijamo jednačinux 2 +8= 8 x+8

Hajde da to riješimo:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Odgovor: 0; 8

Uglavnomprelazak na ekvivalentni sistem :

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jednu od nejednakosti ne treba uzeti u obzir).

Pitanje za razred : Koje vam se od ova tri rješenja najviše svidjelo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable .

Hajde da razmotrimobr. 520(g) . .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba u odnosu na log3x) Vaši prijedlozi? (Uvedite novu varijablu)

Rješenje . ODZ: x > 0.

Neka, tada će jednačina poprimiti oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinoj teoremi:.

Da se vratimo na zamjenu:ili.

Nakon što smo riješili najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobili smo:

; .

Odgovori : 27;

4. Logaritam obje strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje : ODZ: x>0, uzmimo logaritam obje strane jednačine u bazi 10:

. Primijenimo svojstvo logaritma stepena:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Neka je logx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobijamo: lgx = -4,; logx = 1,. . To je kako slijedi: ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava, a drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)= g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X .

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi. .

Odgovori : 2

« Ispravna upotreba metode se mogu naučiti
samo primjenjujući ih na razne primjere.”
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

I V. Zadaća

P. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514(b), br. 529(b), br. 520(b), br. 523(b)

V. Sumiranje lekcije

Koje metode rješavanja logaritamskih jednačina smo gledali na času?

U narednim lekcijama ćemo pogledati više složene jednačine. Za njihovo rješavanje bit će korisne proučavane metode.

Prikazan posljednji slajd:

“Šta je više od svega na svijetu?
Prostor.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
Koji je najbolji dio?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim svima da postignu ono što žele. Hvala vam na saradnji i razumevanju.

Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera pred sobom na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije probleme koji se zovu - protozoa.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:

log a f (x) = b

U ovom slučaju važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f (x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.

Osnovne metode rješenja

Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi nudi ovu metodu: Odmah izrazite funkciju f (x) koristeći formulu f ( x ) = a b . Odnosno, kada naiđete na najjednostavniju konstrukciju, možete odmah prijeći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.

Da, naravno, odluka će biti ispravna. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto slovo a dižemo na slovo b.

Kao rezultat toga, često vidim vrlo dosadne greške kada se, na primjer, ova slova zamjene. Ovu formulu se mora ili razumjeti ili nagurati, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.

Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu ​​školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što ste vjerovatno iz naziva pogodili, zove kanonski oblik.

Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš problem: na lijevoj strani imamo log a, a pod slovom a podrazumijevamo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Shodno tome, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:

1 ≠ a > 0

S druge strane, iz iste jednačine vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a ovom slovu nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).

I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da se bilo koji broj b može predstaviti kao logaritam na osnovu a od a na stepen b:

b = log a a b

Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. Sada upotrijebimo osnovno svojstvo logaritma i uvedemo množitelj b kao stepen a. Dobijamo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i može se riješiti standardnim algebarskim tehnikama.

Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smisliti nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka ako je bilo moguće odmah preći s originalnog dizajna na konačnu formulu? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.

Ali ovaj slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:

log a f (x) = log a a b

Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.

Primjeri rješenja

Hajde sada da pogledamo stvarni primjeri. Dakle, odlučimo:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Hajde da to prepišemo ovako:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. Zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.

Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako biste izbjegli uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:

3x − 1 = 0,5 −3

Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pogledajmo prvo broj 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe.

Prepisujemo i dobijamo:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je riješen.

Drugi zadatak

Pređimo na drugi zadatak:

Kao što vidimo, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što postoji razlika na lijevoj strani, a ni jedan logaritam prema jednoj bazi.

Stoga se moramo nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:

Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeći na funkcije stepena, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i, na kraju, takvi unos značajno pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to zapišemo ovako:

Sada se sećamo predivna nekretnina logaritam: moći se mogu izvesti iz argumenta, kao i iz baze. U slučaju osnova dešava se sljedeće:

log a k b = 1/k loga b

Drugim rečima, broj koji je bio u baznom stepenu se pomera unapred i istovremeno invertuje, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju, osnovni stepen je bio 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. Dobijamo:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Zapamtite matematiku od 4. do 5. razreda i redosled operacija: prvo se vrši množenje, pa tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sada naša jednačina izgleda kako treba. Ovo najjednostavniji dizajn, a mi to rješavamo koristeći kanonski oblik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je sve. Drugi problem je riješen.

Treći primjer

Pređimo na treći zadatak:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:

log b = log 10 b

Ako ste iz nekog razloga zbunjeni notacijom log b , tada prilikom izvođenja svih proračuna možete jednostavno napisati log 10 b . Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: uzmite potencije, saberite i predstavite bilo koje brojeve u obliku lg 10.

Upravo ta svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.

Prvo, imajte na umu da se faktor 2 ispred lg 5 može dodati i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 može se također predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.

Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir dobijene promjene:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga bez prolaska kroz fazu transformacije, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba se nigdje nije pojavila.

Upravo o tome sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik vam omogućava da riješite širu klasu problema od standardne školske formule koju daje većina školskih nastavnika.

Pa, to je to, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

Sve! Problem je riješen.

Napomena o obimu

Ovdje bih želio dati važnu napomenu u vezi s opsegom definicije. Sigurno će sada biti učenika i nastavnika koji će reći: "Kada rješavamo izraze logaritmima, moramo zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!" S tim u vezi postavlja se logično pitanje: zašto nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena ni u jednom od razmatranih problema?

Ne brini. U ovim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ili bolje rečeno, u jednom jedinom argumentu jednog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju se varijabla x ne pojavljuje, onda zapišite domenu definicije nema potrebe, jer će se izvršiti automatski.

Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x − 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x − 1 biti veće od nule.

Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x treba biti jednako 5 2, tj. sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je zadovoljen automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.

To je sve što trebate znati za rješavanje najjednostavnijih problema. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.

Ali budimo iskreni: da biste konačno razumjeli ovu tehniku, da biste naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Dakle, odmah preuzmite opcije za nezavisna odluka, koji su priloženi uz ovu video lekciju i započinju rješavanje barem jednog od ova dva samostalna rada.

Trebat će vam bukvalno nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći nego da jednostavno pogledate ovu video lekciju.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Koristite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih problema. To je sve što imam za danas.

Uzimajući u obzir domen definicije

Hajde sada da razgovaramo o domenu definicije logaritamske funkcije i kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme

log a f (x) = b

Takav izraz se naziva najjednostavnijim - sadrži samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju funkcija koja ovisi o varijabli x. Može se vrlo jednostavno riješiti. Samo trebate koristiti formulu:

b = log a a b

Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ovo je poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je u originalnom izrazu funkcija f (x) ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:

f(x) > 0

Ovo ograničenje se primjenjuje jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi kao rezultat ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba ubaciti u izvor?

Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama dodatna provjera je nepotrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:

f (x) = a b

Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja za broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na to na koju snagu podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo ipak dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 je zadovoljen automatski.

Ono što zaista vrijedi provjeriti je domen funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složene strukture i svakako ih morate paziti tokom procesa rješavanja. Hajde da pogledamo.

Prvi zadatak:

Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:

Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne dodatne provjere da bi se osiguralo da je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je prema uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev „veći od nule ” se automatski zadovoljava.

Pređimo na drugi zadatak:

Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:

Riješimo se predznaka logaritma i dobijamo iracionalnu jednačinu:

Kvadratiziramo obje strane uzimajući u obzir ograničenja i dobijemo:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezultujuću jednačinu rešavamo preko diskriminanta:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:

−6 + 4 = −2 < 0

U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedini odgovor u našem slučaju će biti x = −1. To je rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.

Glavni zaključak iz ove lekcije je da ne morate provjeravati ograničenja funkcije u jednostavnim logaritamskim jednačinama. Zato što su tokom procesa rješavanja sva ograničenja automatski zadovoljena.

Međutim, to ni na koji način ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.

Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.

Logaritamske jednadžbe s različitim bazama

Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i razmatramo još dvije prilično zanimljive tehnike kojima je moderno rješavati složenije konstrukcije. Ali prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi:

log a f (x) = b

U ovom unosu, a i b su brojevi, au funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Da biste to učinili, zabilježite to

b = log a a b

Štaviše, a b je upravo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b

To je upravo ono što pokušavamo postići, tako da postoji logaritam za bazu a i na lijevoj i na desnoj strani. U ovom slučaju možemo, figurativno rečeno, precrtati znakove dnevnika, a sa matematičke tačke gledišta možemo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobićemo novi izraz koji će biti mnogo lakše rešiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje probleme.

Dakle, prvi dizajn:

Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak čiji je imenilac log. Kada vidite ovakav izraz, dobra je ideja da zapamtite divno svojstvo logaritama:

Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno 0< с ≠ 1.

Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj, kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju kao što je:

Upravo to je konstrukcija koju vidimo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:

Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo obrnuti razlomak.

Podsjećamo da se bilo koji stepen može izvesti iz baze prema sljedećem pravilu:

Drugim riječima, koeficijent k, koji je snaga baze, izražava se kao obrnuti razlomak. Hajde da to prikažemo kao obrnuti razlomak:

Faktor razlomaka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovu notaciju kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora prije drugog logaritma). Stoga, dodajmo razlomak 1/4 argumentu kao stepen:

Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a naše su baze zaista iste) i pišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Imajte na umu: u originalnom problemu, varijabla x se pojavljuje u samo jednom dnevniku, a pojavljuje se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.

Sada pređimo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa log f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom učeniku može izgledati da je ovo neka vrsta teškog zadatka, ali u stvari sve se može riješiti na elementaran način.

Pogledajte izbliza pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke ideje. Prisjetimo se još jednom kako se potenci izvlače ispod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Drugim riječima, ono što je u argumentu bilo potencija b postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Nemojte se plašiti lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati na sljedeći način:

Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može dodati stepenu argumenta. Hajde da to zapišemo:

Vrlo često učenici ovu radnju ne vide direktno, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u ovome nema ništa kriminalno. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:

Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako pretvarate logaritamsku jednačinu, trebali biste znati ovu formulu baš kao što biste znali log reprezentaciju bilo kojeg broja.

Vratimo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti biti jednostavno jednak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju smo dobili. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Dodajmo to pravom lg argumentu:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo lg predznake i izjednačavamo argumente:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je sve! Rešili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.

Ponovo ću navesti ključne točke ovu lekciju.

Glavna formula koja se uči u svim lekcijama na ovoj stranici posvećene rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne plaši činjenica da vas većina školskih udžbenika uči da drugačije rješavate takve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.

Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:

1. Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada obrnemo log (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom problemu);
2. Formula za sabiranje i oduzimanje potencija od znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide da stepen koji se uzima i uvodi može sam sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.

U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati domen definicije u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi opsega su ispunjeni automatski.

Problemi sa varijabilnom bazom

Danas ćemo se osvrnuti na logaritamske jednadžbe, koje se mnogim učenicima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.

Prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi na temelju običnih brojeva. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove

log a f (x) = b

Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:

b = log a a b

Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:

log a f (x) = log a a b

Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:

f (x) = a b

Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni iz rješenja bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis kada su i lijeva i desna strana u istom logaritmu s istom bazom, precizno se naziva kanonskim oblikom. Na takav rekord ćemo pokušati svesti današnje dizajne. Pa, idemo.

Prvi zadatak:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je zapravo broj b koji je stajao desno od znaka jednakosti. Dakle, hajde da prepišemo naš izraz. Dobijamo:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Ali rješenje se tu ne završava, jer ova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.

Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo se cijepati i prvo napiši sve zahtjeve:

Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:

x − 2 ≠ 1

Kao rezultat, dobijamo sistem:

Ali nemojte biti uznemireni: prilikom obrade logaritamskih jednačina, takav sistem se može značajno pojednostaviti.

Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.

U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.

Naravno, mogli bismo isto tako precrtati linearna nejednakost, odnosno precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali morate se složiti da je rješavanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo brže i lakše od kvadratne, čak i ako je rezultat rješavanja cijele ovim sistemom ćemo dobiti iste korijene.

Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.

Prepišimo naš sistem:

Evo sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već imali posla. Zapišimo kvadratnu jednačinu odvojeno i riješimo je:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Pred nama je reducirani kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Sada se vraćamo na naš sistem i nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da x bude striktno veći od 2.

Ali x = 5 nam savršeno odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.

To je to, problem je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Još zanimljivih i informativnih proračuna očekuju nas ovdje:

Prvi korak: kao i prošli put, cijelu ovu stvar dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:

Ne morate dodirivati ​​osnovu s korijenom, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. Hajde da zapišemo:

Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je novosvedeni kvadratni trinom, upotrijebimo Vietine formule i zapišemo:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, znakovi dnevnika nameću dodatna ograničenja (ovdje smo trebali zapisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele strukture, odlučio sam da izračunam domen definicije zasebno).

Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:

Ovo su zahtjevi koje nameće obim definicije.

Odmah primijetimo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda opasnije od druge.

Osim toga, imajte na umu da će rješenje druge i treće nejednakosti biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično, s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno analogne, pa ih možemo precrtati).

Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Riješimo se radikalnog znaka na lijevoj strani podizanjem oba dijela na kocku. Dobijamo:

Tako dobijamo sljedeće zahtjeve:

− 2 ≠ x > −3

Koji od naših korijena: x 1 = −3 ili x 2 = −1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (pošto je naša nejednakost stroga). Dakle, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.

Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:

1. Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takvu notaciju, umjesto da pređu direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f (x) = b, prave mnogo manje grešaka od onih koji negdje žure, preskačući međukorake proračuna;
2. Čim se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.

Konačni zahtjevi se mogu primijeniti na konačne odgovore na različite načine. Na primjer, možete riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve za domenu definicije. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim zapamtiti domen definicije, posebno ga razraditi u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.

Koju ćete metodu odabrati prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe, ovisi o vama. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete zahtjev na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritamski izrazi, primjeri rješavanja. U ovom članku ćemo se osvrnuti na probleme vezane za rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednačina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.

* * *

*Logaritam količnika (razlomka) jednak je razlici između logaritama faktora.

* * *

*Logaritam eksponenta jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu osnovu

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.

Navedimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se mijenja u suprotan. Na primjer:

Zaključak iz ove nekretnine:

* * *

Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete lako pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz matematike, pa pređite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "strašni" logaritmi, neće se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, nemojte ih propustiti!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.