viz také Grafické řešení úlohy lineárního programování, Kanonická forma úloh lineárního programování

Systém omezení pro takový problém se skládá z nerovností ve dvou proměnných:
a účelová funkce má tvar F = C 1 X + C 2 y, která má být maximalizována.

Odpovězme na otázku: jaké dvojice čísel ( X; y) jsou řešení soustavy nerovností, tj. splňují každou z nerovností současně? Jinými slovy, co to znamená vyřešit systém graficky?
Nejprve musíte pochopit, jaké je řešení jedné lineární nerovnosti se dvěma neznámými.
Řešit lineární nerovnost se dvěma neznámými znamená určit všechny dvojice hodnot neznámých, pro které je nerovnost splněna.
Například nerovnost 3 X – 5y≥ 42 uspokojí dvojice ( X , y): (100, 2); (3, –10) atd. Problém je najít všechny takové dvojice.
Zvažte dvě nerovnosti: sekera + podle≤ C, sekera + podle≥ C. Rovný sekera + podle = C rozděluje rovinu na dvě poloroviny tak, aby souřadnice bodů jedné z nich vyhovovaly nerovnosti sekera + podle >C a další nerovnost sekera + +podle <C.
Opravdu, vezměte bod pomocí souřadnic X = X 0; pak bod ležící na přímce a mající úsečku X 0 , má pořadnici

Pro jistotu A<0, b>0, C>0. Všechny body s úsečkou X 0 výše P(např. tečka M), mít yM>y 0 a všechny body pod bodem P, s úsečkou X 0, mít yN<y 0 Protože X 0 je libovolný bod, pak budou na jedné straně úsečky vždy body, pro které sekera+ podle > C, tvořící polorovinu, a na druhé straně body, pro které sekera + podle< C.

Obrázek 1

Znaménko nerovnosti v polorovině závisí na číslech A, b , C.
Z toho vyplývá následující metoda pro grafické řešení soustav lineárních nerovnic ve dvou proměnných. K vyřešení systému potřebujete:

1. Pro každou nerovnost zapište rovnici odpovídající dané nerovnosti.
2. Sestrojte čáry, které jsou grafy funkcí daných rovnicemi.
3. Pro každou přímku určete polorovinu, která je dána nerovností. Chcete-li to provést, vezměte libovolný bod, který neleží na přímce, dosaďte jeho souřadnice do nerovnosti. pokud je nerovnost pravdivá, pak je řešením původní nerovnosti polorovina obsahující zvolený bod. Pokud je nerovnost nepravdivá, pak polorovina na druhé straně přímky je množinou řešení této nerovnosti.
4. Pro řešení soustavy nerovnic je nutné najít oblast průniku všech polorovin, které jsou řešením každé nerovnosti v soustavě.

Tato oblast se může ukázat jako prázdná, pak systém nerovností nemá řešení, je nekonzistentní. Jinak je prý systém konzistentní.
Řešením může být konečné číslo a nekonečná množina. Oblast může být uzavřený polygon nebo může být neomezená.

Podívejme se na tři relevantní příklady.

Příklad 1. Graficky vyřešte soustavu:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

• uvažujme rovnice x+y–1=0 a –2x–2y+5=0 odpovídající nerovnicím;
• sestrojme přímky dané těmito rovnicemi.

Definujme poloroviny dané nerovnostmi. Vezměte libovolný bod, nechť (0; 0). Zvážit X+ y- 1 0 dosadíme bod (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. tedy v polorovině, kde bod (0; 0) leží, X + y – 1 ≤ 0, tj. polorovina ležící pod přímkou ​​je řešením první nerovnosti. Dosazením tohoto bodu (0; 0) do druhého dostaneme: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tzn. v polorovině, kde leží bod (0; 0), –2 X – 2y+ 5≥ 0 a byli jsme dotázáni, kde -2 X – 2y+ 5 ≤ 0 tedy v jiné polorovině - v té nad přímkou.
Najděte průsečík těchto dvou polorovin. Přímky jsou rovnoběžné, roviny se tedy nikde neprotínají, což znamená, že soustava těchto nerovnic nemá řešení, je nekonzistentní.

Příklad 2. Najděte graficky řešení soustavy nerovnic:

Obrázek 3
1. Zapište rovnice odpovídající nerovnicím a sestrojte přímky.
X + 2y– 2 = 0

Uvažujme ještě jeden příklad, ve kterém výsledná doména řešení systému není omezena.

Systém nerovností Je zvykem nazývat libovolnou množinu dvou nebo více nerovností obsahujících neznámou veličinu.

Tuto formulaci názorně ilustrují např. takové systémy nerovností:

Vyřešte soustavu nerovnic - znamená najít všechny hodnoty neznámé proměnné, pro kterou je každá nerovnost systému realizována, nebo dokázat, že žádné takové neexistují .

Tedy pro každého jednotlivce nerovnosti systémy vypočítat neznámou proměnnou. Dále z výsledných hodnot vybere pouze ty, které jsou pravdivé pro první i druhou nerovnost. Při dosazení zvolené hodnoty se tedy obě nerovnosti systému stanou správnými.

Pojďme analyzovat řešení několika nerovností:

Umístěte jednu pod druhou dvojici číselných řad; dát hodnotu nahoru X, pro které první nerovnosti O ( X> 1) se stanou pravdivými a ve spodní části hodnota X, které jsou řešením druhé nerovnosti ( X> 4).

Porovnáním údajů na číselné řady, všimněte si, že řešení pro oba nerovnosti vůle X> 4. Odpověď, X> 4.

Příklad 2

Výpočet prvního nerovnost dostáváme -3 X< -6, или X> 2, druhý - X> -8, popř X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, pod kterým první systémová nerovnost a na spodní číselné řadě všechny tyto hodnoty X, pod kterým je realizována druhá nerovnost systému.

Porovnáním dat zjistíme, že obojí nerovnosti budou implementovány pro všechny hodnoty X umístěna od 2 do 8. Soubory hodnot X označovat dvojitá nerovnost 2 < X< 8.

Příklad 3 Pojďme najít

Program pro řešení lineárních, kvadratických a zlomkových nerovnic nedává jen odpověď na problém, dává podrobné řešení s vysvětlením, tzn. zobrazuje proces řešení za účelem ověření znalostí z matematiky a/nebo algebry.

Pokud je navíc v procesu řešení některé z nerovnic potřeba vyřešit např. kvadratickou rovnici, pak se zobrazí i její podrobné řešení (je obsaženo ve spoileru).

Tento program může být užitečný pro středoškoláky při přípravě na testy, rodičům pro kontrolu řešení nerovností jejich dětmi.

Tento program může být užitečný pro středoškoláky při přípravě na testy a zkoušky, při ověřování znalostí před Jednotnou státní zkouškou, pro rodiče pro ovládání řešení mnoha úloh z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo to jen chcete mít hotové co nejdříve? domácí práce matematika nebo algebra? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailním řešením.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se zvýší úroveň vzdělání v oblasti úkolů, které je třeba řešit.

Pravidla pro zadávání nerovností

Jakékoli latinské písmeno může fungovat jako proměnná.
Například: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atd.

Čísla lze zadávat jako celá čísla nebo zlomky.
Zlomková čísla lze navíc zadávat nejen ve formě desetinného místa, ale také ve formě obyčejného zlomku.

Pravidla pro zadávání desetinných zlomků.
V desetinných zlomcích lze zlomkovou část od celého čísla oddělit buď tečkou, nebo čárkou.
Můžete například zadat desetinná místa takto: 2,5x - 3,5x^2

Pravidla pro zadávání obyčejných zlomků.
Pouze celé číslo může fungovat jako čitatel, jmenovatel a celá část zlomku.

Jmenovatel nemůže být záporný.

Při zadávání číselného zlomku se čitatel odděluje od jmenovatele znaménkem dělení: /
Část celého čísla je oddělena od zlomku ampersandem: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Výsledek: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Při zadávání výrazů lze použít závorky. V tomto případě se při řešení nerovnice nejprve zjednoduší výrazy.
Například: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Vybrat požadované znamení nerovnosti a zadejte polynomy do polí níže.

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto úkolu nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

Protože Existuje spousta lidí, kteří chtějí problém vyřešit, váš požadavek je ve frontě.
Po několika sekundách se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...

jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do Formuláře zpětné vazby .
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Systémy nerovnic s jednou neznámou. Číselné rozpětí

V 7. třídě jste se seznámili s pojmem soustava a naučili se řešit soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých. Dále budou uvažovány systémy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Množiny řešení soustav nerovnic lze zapisovat pomocí intervalů (intervaly, polointervaly, segmenty, paprsky). Dozvíte se také o zápisu číselných intervalů.

Pokud je v nerovnostech \(4x > 2000 \) a \(5x \leq 4000 \) neznámé číslo x stejné, pak se tyto nerovnosti uvažují společně a říká se, že tvoří systém nerovností: $$ \left\ (\začátek( pole)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(pole)\vpravo.$$

Složená závorka ukazuje, že potřebujete najít takové hodnoty x, pro které se obě nerovnosti systému změní na skutečné číselné nerovnosti. Tento systém je příkladem systému lineárních nerovností s jednou neznámou.

Řešením soustavy nerovnic s jednou neznámou je hodnota neznámé, při které se všechny nerovnosti soustavy mění ve skutečné číselné nerovnosti. Řešit systém nerovností znamená najít všechna řešení tohoto systému nebo zjistit, že žádná neexistují.

Nerovnosti \(x \geq -2 \) a \(x \leq 3 \) lze zapsat jako dvojitou nerovnost: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Řešení soustav nerovnic s jednou neznámou jsou různé číselné množiny. Tyto sady mají jména. Takže na reálné ose je množina čísel x taková, že \(-2 \leq x \leq 3 \) je reprezentována úsečkou s konci v bodech -2 a 3.

Jestliže \(a je segment a je označen [a; b]

Pokud \(interval a označíme (a; b)

Množiny čísel \(x \) splňující nerovnosti \(a \leq x v polovičních intervalech a jsou označeny [a; b) a (a; b] v tomto pořadí

Nazývají se segmenty, intervaly, polointervaly a paprsky číselné intervaly.

Číselné intervaly lze tedy specifikovat ve formě nerovností.

Řešením nerovnosti se dvěma neznámými je dvojice čísel (x; y), která tuto nerovnost promění ve skutečnou číselnou nerovnost. Vyřešit nerovnici znamená najít množinu všech jejích řešení. Řešení nerovnice x > y tedy budou například dvojice čísel (5; 3), (-1; -1), protože \(5 \geq 3 \) a \(-1 \geq - 1\)

Řešení soustav nerovnic

Už jste se naučili, jak řešit lineární nerovnosti s jednou neznámou. Vědět, co je systém nerovností a řešení systému. Proces řešení soustav nerovnic s jednou neznámou vám tedy nebude činit potíže.

A přesto si připomínáme: Chcete-li vyřešit systém nerovností, musíte vyřešit každou nerovnost samostatně a pak najít průsečík těchto řešení.

Například původní systém nerovností byl zredukován do podoby:
$$ \left\(\begin(pole)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(pole)\right. $$

Chcete-li vyřešit tento systém nerovností, označte řešení každé nerovnosti na reálné ose a najděte jejich průsečík:

Průsečík je segment [-2; 3] - jedná se o řešení původní soustavy nerovností.

Systém nerovností.
Příklad 1. Najděte rozsah výrazu
Řešení. pod znakem odmocnina musí existovat nezáporné číslo, což znamená, že dvě nerovnosti musí platit současně: V takových případech se prý problém redukuje na řešení systému nerovností

Ale s takovým matematickým modelem (systém nerovnic) jsme se ještě nesetkali. To znamená, že ještě nejsme schopni dokončit řešení příkladu.

Nerovnice, které tvoří soustavu, se kombinují se složenou závorkou (stejně je tomu v soustavách rovnic). Například vstup

znamená, že nerovnosti 2x - 1 > 3 a 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Někdy je systém nerovností zapsán jako dvojitá nerovnost. Například systém nerovností

lze zapsat jako dvojitou nerovnost 3<2х-1<11.

V kurzu algebry pro 9. ročník budeme uvažovat pouze systémy dvou nerovnic.

Zvažte systém nerovností

Můžete si vybrat několik jeho konkrétních řešení, například x = 3, x = 4, x = 3,5. Ve skutečnosti pro x = 3 má první nerovnost tvar 5 > 3 a druhá má tvar 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hodnota x = 5 přitom není řešením soustavy nerovnic. Pro x = 5 má první nerovnost tvar 9 > 3 - správná číselná nerovnost a druhá - tvar 13< 11- неверное числовое неравенство .
Řešit systém nerovností znamená najít všechna jeho konkrétní řešení. Je jasné, že takové hádání, jak je demonstrováno výše, není metodou pro řešení systému nerovností. Na následujícím příkladu si ukážeme, jak se obvykle argumentuje při řešení soustavy nerovnic.

Příklad 3 Vyřešte soustavu nerovností:

Řešení.

A) Při řešení první nerovnosti soustavy najdeme 2x > 4, x > 2; řešením druhé nerovnosti soustavy najdeme Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b)Řešením první nerovnosti soustavy zjistíme x > 2; řešení druhé nerovnosti systému najdeme Tyto mezery označíme na jedné souřadnicové čáře, přičemž pro první mezeru použijeme horní šrafování a pro druhou spodní šrafování (obr. 23). Řešení soustavy nerovnic bude průsečíkem řešení nerovnic soustavy, tzn. interval, kde se oba šrafy shodují. V uvažovaném příkladu dostaneme paprsek

PROTI)Řešením první nerovnosti systému najdeme x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Zobecněme úvahy provedené v uvažovaném příkladu. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit systém nerovností

Nechť je například interval (a, b) řešením nerovnosti fx 2 > g (x) a interval (c, d) je řešením nerovnosti f 2 (x) > s 2 (x ). Tyto mezery označíme na jedné souřadnicové čáře, přičemž pro první mezeru použijeme horní šrafování a pro druhou spodní šrafování (obr. 25). Řešení soustavy nerovnic je průsečíkem řešení nerovnic soustavy, tzn. interval, kde se oba šrafy shodují. Na Obr. 25 je interval (s, b).

Nyní můžeme snadno vyřešit systém nerovností, který jsme dostali výše, v příkladu 1:

Řešením první nerovnosti soustavy zjistíme x > 2; řešením druhé nerovnosti soustavy najdeme x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Systém nerovností se samozřejmě nemusí skládat z lineárních nerovností, jak tomu bylo doposud; mohou nastat jakékoliv racionální (a nejen racionální) nerovnosti. Technicky je práce se systémem racionálních nelineárních nerovnic samozřejmě obtížnější, ale nejde o nic zásadně nového (oproti systémům lineárních nerovnic).

Příklad 4 Vyřešte soustavu nerovnic

Řešení.

1) Vyřešte nerovnost, kterou máme
Všimněte si bodů -3 a 3 na číselné ose (obr. 27). Rozdělují přímku na tři intervaly a na každém intervalu si výraz p (x) = (x - 3) (x + 3) zachovává konstantní znaménko - tato znaménka jsou vyznačena na Obr. 27. Zajímají nás intervaly, kde je splněna nerovnost p(x) > 0 (na obr. 27 jsou stínované), a body, kde je splněna rovnost p(x) = 0, tzn. body x \u003d -3, x \u003d 3 (na obr. 2 7 jsou označeny tmavými kroužky). Na Obr. 27 ukazuje geometrický model pro řešení první nerovnosti.

2) Vyřešte nerovnost, kterou máme
Všimněte si bodů 0 a 5 na číselné ose (obr. 28). Rozdělí řádek na tři intervaly a na každém intervalu výraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (na obr. 28 stínované), a body, ve kterých je splněna rovnost g (x) - O, tzn. body x = 0, x = 5 (na obr. 28 jsou označeny tmavými kroužky). Na Obr. 28 ukazuje geometrický model pro řešení druhé nerovnosti soustavy.

3) Nalezená řešení pro první a druhou nerovnici soustavy označíme na jedné souřadnicové čáře tak, že pro řešení první nerovnosti použijeme horní šrafování a pro řešení druhé dolní šrafování (obr. 29). Řešení soustavy nerovnic bude průsečíkem řešení nerovnic soustavy, tzn. interval, kde se oba šrafy shodují. Takový interval je segment.

Příklad 5 Vyřešte soustavu nerovností:

Řešení:

A) Z první nerovnosti zjistíme x >2. Zvažte druhou nerovnost. Čtvercový trojčlen x 2 + x + 2 nemá žádné skutečné kořeny a jeho vodicí koeficient (koeficient u x 2) je kladný. To znamená, že pro všechna x je splněna nerovnost x 2 + x + 2>0, a proto druhá nerovnost systému nemá řešení. Co to znamená pro systém nerovností? To znamená, že systém nemá žádná řešení.

b) Z první nerovnosti najdeme x > 2 a druhá nerovnost platí pro libovolné hodnoty x. Co to znamená pro systém nerovností? To znamená, že jeho řešení má tvar x>2, tzn. se shoduje s řešením první nerovnosti.

Odpovědět:

a) neexistují žádná rozhodnutí; b) x>2.

Tento příklad je ilustrací pro následující užitečné

1. Jestliže v systému více nerovnic s jednou proměnnou jedna nerovnost nemá řešení, pak systém nemá řešení.

2. Je-li v systému dvou nerovností s jednou proměnnou splněna jedna nerovnost pro libovolné hodnoty proměnné, pak řešením systému je řešení druhé nerovnosti systému.

Na závěr této části se vraťme k problému koncipovaného čísla uvedeného na jeho začátku a vyřešme jej, jak se říká, podle všech pravidel.

Příklad 2(viz str. 29). Představte si přirozené číslo. Je známo, že pokud se ke druhé mocnině koncipovaného čísla přičte 13, pak bude součet větší než součin koncipovaného čísla a čísla 14. Pokud se ke druhé mocnině koncipovaného čísla přičte 45, pak součet bude být menší než součin počatého čísla a čísla 18. Jaké číslo je pojato?

Řešení.

První etapa. Sestavení matematického modelu.
Zamýšlené číslo x, jak jsme viděli výše, musí splňovat systém nerovností

Druhá fáze. Práce se sestaveným matematickým modelem Převeďme první nerovnost systému do tvaru
x2- 14x+ 13 > 0.

Najdeme kořeny trinomu x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Pomocí paraboly y \u003d x 2 - 14x + 13 (obr. 30) dojdeme k závěru, že nerovnost zájem je pro nás uspokojen pro x< 1 или x > 13.

Převeďme druhou nerovnost systému do tvaru x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.