このビデオで、次のことについての長い一連のレッスンを始めます。 対数方程式。 今、あなたの目の前には 3 つの例があり、それに基づいて最も単純な問題を解決する方法を学びます。 原生動物.

log 0.5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

最も単純な対数方程式は次のとおりであることを思い出してください。

log a f (x) = b

この場合、変数 x が引数内にのみ、つまり関数 f (x) 内にのみ存在することが重要です。 そして、数値 a と b は単なる数値であり、変数 x を含む関数であることはありません。

基本的な解決方法

このような構造を解決するには多くの方法があります。 たとえば、学校のほとんどの教師は次の方法を提供します。次の式を使用して関数 f (x) を即座に表します。 f ( x ) = a b 。 つまり、最も単純な構造を見つけたら、追加のアクションや構造を必要とせずに、すぐに解決策に進むことができます。

はい、もちろんその判断は正しいでしょう。 しかし、この式の問題点は、ほとんどの生徒が わからない、それはどこから来たのか、そしてなぜ文字aを文字bに上げるのか。

その結果、たとえばこれらの文字が入れ替わるなど、非常に迷惑な間違いをよく目にします。 この公式は理解するか、詰め込むかのどちらかでなければなりません。2 番目の方法は、試験やテストなど、最も不適切で最も重要な瞬間に間違いを引き起こします。

だからこそ、私はすべての生徒に、標準的な学校の公式を放棄し、対数方程式を解く 2 番目のアプローチを使用することを提案します。これは、おそらく名前から推測できるように、と呼ばれます。 正規形.

正準形式の考え方は単純です。 もう一度問題を見てみましょう。左側には log a があり、文字 a は数値を意味し、変数 x を含む関数を意味することはありません。 したがって、この文字には、対数の底に課されるすべての制限が適用されます。 つまり:

1 ≠ a > 0

一方、同じ方程式から、対数は数値 b に等しくなければならないことがわかります。この文字には、正と負の両方の任意の値を取ることができるため、制限はありません。 それはすべて、関数 f(x) がどのような値を取るかによって異なります。

ここで、任意の数値 b は、a の底を b 乗する対数として表すことができるという素晴らしい規則を思い出します。

b = ログ a a b

この公式はどうやって覚えればいいのでしょうか？ はい、とてもシンプルです。 次の構造を書いてみましょう。

b = b 1 = b log a a

もちろん、この場合、最初に書いたすべての制限が発生します。 ここで、対数の基本特性を使用して、乗数 b を a のべき乗として導入しましょう。 我々が得る：

b = b 1 = b log a a = log a a b

その結果、元の式は次のように書き換えられます。

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

それだけです。 新しい関数には対数が含まれていないため、標準の代数手法を使用して解くことができます。

もちろん、ここで反論する人もいるでしょう。そもそも、なぜ何らかの標準的な公式を考え出す必要があったのか、元の設計から最終的な公式にすぐに移行できるのに、なぜさらに 2 つの不必要な手順を実行する必要があるのか​​、ということです。 はい、それは、ほとんどの生徒がこの公式の出所を理解しておらず、その結果、それを適用するときに定期的に間違いを犯すという理由だけであれば、そうです。

ただし、3 つのステップで構成されるこの一連の操作を使用すると、最終的な式がどこから来たのか理解できなくても、元の対数方程式を解くことができます。 ちなみに、このエントリは正準公式と呼ばれます。

log a f (x) = log a a b

正準形式の利便性は、今日検討している最も単純なものだけでなく、非常に幅広いクラスの対数方程式を解くために使用できるという事実にもあります。

解決策の例

では、見てみましょう 実際の例。 それでは、次のように決めましょう。

log 0.5 (3x − 1) = −3

次のように書き換えてみましょう。

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

多くの学生は急いで、すぐに 0.5 という数値を元の問題から得られた乗数に上げようとします。 実際、このような問題を解決するための十分な訓練を受けている場合は、すぐにこのステップを実行できます。

ただし、このトピックの学習を始めたばかりの場合は、攻撃的な間違いを避けるために、どこにも急ぐ必要はありません。 したがって、正規形式が得られます。 我々は持っています：

3x − 1 = 0.5 −3

これはもはや対数方程式ではなく、変数 x に関して線形です。 これを解決するには、まず 0.5 の -3 乗という数値を見てみましょう。 0.5 は 1/2 であることに注意してください。

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

対数方程式を解くときは、すべての小数を常用分数に変換します。

書き直すと次のようになります。

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

以上です。答えは得られました。 最初の問題は解決されました。

2番目のタスク

2 番目のタスクに進みましょう。

ご覧のとおり、この方程式はもはや最も単純なものではありません。 左側に違いがあり、1 底に対する対数が 1 つもないという理由だけであれば。

したがって、この差を何とかして解消する必要がある。 この場合、すべては非常に簡単です。 基底を詳しく見てみましょう。左側は根の下の番号です。

一般的な推奨事項: すべての対数方程式で、根号を取り除くようにしてください。つまり、ルートを持つエントリから根号を取り除き、べき乗関数に進むようにしてください。これは、これらのべき乗の指数が対数の符号から簡単に取り出されるためであり、最終的には次のようになります。エントリにより計算が大幅に簡素化され、高速化されます。 次のように書き留めてみましょう。

今、私たちは思い出します 素晴らしい物件対数: べき乗は、底からだけでなく引数からも導出できます。 根拠の場合、次のことが起こります。

log a k b = 1/k log a b

つまり、基底べき乗にあった数が前に進むと同時に反転する、つまり逆数になります。 私たちの場合、基本次数は 1/2 でした。 したがって、2/1として取り出すことができます。 我々が得る：

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

注意してください: いかなる状況でも、このステップで対数を削除しないでください。 4 年生から 5 年生の算数と演算の順序を思い出してください。乗算が最初に実行され、その後に加算と減算が実行されます。 この場合、10 個の要素から同じ要素の 1 つを減算します。

9 log 5 x = 18
対数5 x = 2

これで、方程式は正しくなりました。 これ 最もシンプルなデザインそして、正規形式を使用してそれを解決します。

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

それだけです。 2 番目の問題は解決されました。

3番目の例

3 番目のタスクに進みましょう。

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

次の式を思い出してください。

log b = log 10 b

何らかの理由で log b という表記に混乱した場合は、すべての計算を実行するときに単純に log 10 b と書くことができます。 10 進対数は他のものと同じように操作できます。べき乗を計算し、lg 10 の形式で任意の数値を加算して表します。

これはレッスンの最初に書き留めた最も単純なプロパティではないため、問題を解決するために使用するのはこれらのプロパティです。

まず、lg 5 の前の因数 2 を加算すると、底 5 のべき乗になることに注意してください。さらに、自由項 3 は対数としても表すことができます。これは、表記から非常に簡単に観察できます。

自分で判断してください: 任意の数値は 10 を底とする対数として表すことができます。

3 = 対数 10 10 3 = 対数 10 3

得られた変更を考慮して、元の問題を書き直してみましょう。

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000

私たちの前には再び正準形式があり、変換段階を経ずにそれを取得しました。つまり、最も単純な対数方程式はどこにも現れませんでした。

これはまさにレッスンの最初にお話ししたことです。 標準形式を使用すると、ほとんどの学校教師が提供する標準的な学校形式よりも幅広いクラスの問題を解決できます。

これで終わりです。10 進対数の符号を取り除くと、単純な線形構造が得られます。

x + 3 = 25,000
x = 24,997

全て！ 問題は解決された。

範囲に関する注意事項

ここで、定義の範囲に関して重要な点を述べておきたいと思います。 「対数を使って式を解くときは、引数 f (x) がゼロより大きくなければならないことを覚えておかなければなりません!」と言う生徒や教師がきっと出てくるでしょう。 この点に関して、論理的な疑問が生じます。検討した問題のいずれにおいても、この不等式が満たされるように要求しなかったのはなぜでしょうか。

心配しないでください。 この場合、余分な根は現れません。 これは、解決を迅速化するためのもう 1 つの優れたトリックです。 問題内で変数 x が 1 か所 (または、単一の対数の 1 つの引数) でのみ出現し、このケースでは変数 x が他のどこにも出現しない場合は、定義域を書き留めてください。 必要なし, 自動的に実行されるためです。

自分で判断してください。最初の方程式では 3x − 1 が得られました。つまり、引数は 8 に等しいはずです。これは自動的に、3x − 1 が 0 より大きいことを意味します。

同じ成功で、2 番目のケースでは x が 5 2 に等しい、つまり、確実にゼロより大きいと書くことができます。 そして 3 番目のケースでは、x + 3 = 25,000、つまり、やはり明らかにゼロより大きくなります。 言い換えれば、スコープは自動的に満たされますが、x が 1 つの対数のみの引数にのみ出現する場合に限ります。

最も単純な問題を解決するために知っておく必要があるのはこれだけです。 このルールだけで、変換ルールと組み合わせることで、非常に幅広い種類の問題を解決できます。

しかし、正直に言うと、このテクニックを最終的に理解し、対数方程式の正準形式を適用する方法を学ぶには、ビデオ レッスンを 1 つ視聴するだけでは十分ではありません。 今すぐオプションをダウンロードしてください 独立した決定、このビデオ レッスンに添付されており、これら 2 つの独立した作品の少なくとも 1 つを解き始めます。

文字通り数分かかります。 しかし、このようなトレーニングの効果は、単にこのビデオレッスンを視聴するよりもはるかに高くなります。

このレッスンが対数方程式の理解に役立つことを願っています。 正規形式を使用し、対数を扱うためのルールを使用して式を簡素化すれば、問題を恐れる必要はありません。 今日はこれで終わりです。

定義領域を考慮する

ここで、対数関数の定義領域と、これが対数方程式の解にどのような影響を与えるかについて話しましょう。 フォームの構築を検討する

log a f (x) = b

このような式は最も単純と呼ばれます。これには関数が 1 つだけ含まれており、数値 a と b は単なる数値であり、変数 x に依存する関数はありません。 とても簡単に解決できます。 次の式を使用するだけです。

b = ログ a a b

この式は対数の重要な特性の 1 つであり、元の式に代入すると次のようになります。

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

学校の教科書でもおなじみの公式です。 おそらく多くの学生は疑問を持つでしょう。元の式では関数 f (x) が対数記号の下にあるため、次の制限が課されます。

f(x) > 0

この制限は、負の数の対数が存在しないために適用されます。 したがって、おそらくこの制限の結果として、回答のチェックを導入する必要があるでしょうか? おそらくソースに挿入する必要があるでしょうか?

いいえ、最も単純な対数方程式では追加のチェックは不要です。 だからこそ。 最終的な式を見てください。

f (x) = a b

実際のところ、数値 a はいずれの場合も 0 より大きく、この要件は対数によっても課せられます。 数字aは基数です。 この場合、ｂの数には制限はない。 しかし、これは問題ではありません。正の数値を何乗しても、出力では依然として正の数値が得られるからです。 したがって、要件 f (x) > 0 は自動的に満たされます。

本当に確認する価値があるのは、ログ記号の下にある関数のドメインです。 非常に複雑な構造が存在する可能性があるため、解決プロセス中は必ずそれらに注目する必要があります。 見てみましょう。

最初のタスク:

最初のステップ: 右側の分数を変換します。 我々が得る：

対数符号を取り除き、通常の無理方程式を取得します。

2 番目のルートはゼロ未満であるため、取得されたルートのうち、最初のルートのみが適切です。 唯一の答えは数字の 9 です。以上です。問題は解決されました。 対数記号の下の式が 0 より大きいことを確認するために追加のチェックを行う必要はありません。これは、単に 0 より大きいだけでなく、方程式の条件に従って 2 に等しいためです。したがって、「ゼロより大きい」という要件は満たされません。 」は自動的に満たされます。

2 番目のタスクに進みましょう。

全部ここは一緒。 トリプルを置き換えて構造を書き直します。

対数符号を取り除くと、無理数方程式が得られます。

制限を考慮して両辺を二乗すると、次のようになります。

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

× 2 + 7x + 6 = 0

結果として得られる方程式を判別式によって解きます。

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

× 2 = −6

しかし、x = −6 は私たちには適していません。なぜなら、この数値を不等式に代入すると次のようになります。

−6 + 4 = −2 < 0

この場合、0 より大きいか、極端な場合には等しいことが必要です。 しかし、x = −1 が適切です。

−1 + 4 = 3 > 0

この場合の唯一の答えは x = −1 になります。 それが解決策です。 計算の最初に戻ってみましょう。

このレッスンから得られる主な点は、単純な対数方程式では関数の制約をチェックする必要がないということです。 なぜなら、解決プロセス中にすべての制約が自動的に満たされるからです。

ただし、これは決してチェックを完全に忘れてよいという意味ではありません。 対数方程式に取り組む過程で、それが非合理的な方程式になる可能性は十分にあります。これには、今日 2 つの異なる例で見てきたように、右側に独自の制限と要件があります。

このような問題は自由に解決してください。議論に根がある場合には特に注意してください。

底が異なる対数方程式

私たちは対数方程式の研究を続け、より複雑な構造を解くために流行しているさらに 2 つの非常に興味深い手法を検討します。 しかしその前に、最も単純な問題がどのように解決されるかを思い出してください。

log a f (x) = b

このエントリでは、a と b は数値であり、関数 f (x) には変数 x が存在し、そこにのみ存在する必要があります。つまり、x は引数にのみ存在する必要があります。 このような対数方程式を正準形式を使用して変換します。 これを行うには、次の点に注意してください。

b = ログ a a b

さらに、 a b はまさに引数です。 この式を次のように書き換えてみましょう。

log a f (x) = log a a b

これはまさに私たちが達成しようとしていることです。つまり、左と右の両方に a の基準となる対数が存在します。 この場合、比喩的に言えば、対数記号を取り消し線で消すことができ、数学的な観点からは、単に引数を同等にしていると言えます。

f (x) = a b

その結果、はるかに簡単に解決できる新しい式が得られます。 このルールを今日の問題に適用してみましょう。

最初のデザインは次のとおりです。

まず、右側には分母がlogである分数があることに注目してください。 このような式を見たときは、対数の素晴らしい性質を思い出してみると良いでしょう。

ロシア語に翻訳すると、これは、任意の対数は、任意の底 c を持つ 2 つの対数の商として表すことができることを意味します。 もちろん0< с ≠ 1.

したがって、この式には、変数 c が変数と等しいという素晴らしい特殊なケースが 1 つあります。 b. この場合、次のような構造が得られます。

これはまさに方程式の右側の記号からわかる構造です。 この構造を log a b に置き換えると、次のようになります。

つまり、元のタスクと比較して、引数と対数の底を入れ替えました。 代わりに、分数を逆にする必要がありました。

次の規則に従って、任意の次数を基底から導き出すことができることを思い出してください。

つまり、底のべき乗である係数kは逆分数で表されます。 これを逆分数としてレンダリングしてみましょう。

この場合、この表記法を正準形式として表すことができないため、分数因数を前に残すことはできません (結局のところ、正準形式では 2 番目の対数の前に追加の因数はありません)。 したがって、小数 1/4 をべき乗として引数に追加しましょう。

ここで、基数が同じである引数を同一視し (基数は実際には同じです)、次のように書きます。

x + 5 = 1

x = −4

それだけです。 最初の対数方程式の答えが得られました。 注意してください: 元の問題では、変数 x は 1 つのログにのみ表示され、その引数にも表示されます。 したがって、ドメインをチェックする必要はなく、数値 x = −4 が実際に答えになります。

次に、2 番目の式に移りましょう。

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

ここでは、通常の対数に加えて、log f (x) を使用する必要があります。 このような方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 準備ができていない生徒にとって、これはある種の難しい課題のように思えるかもしれませんが、実際にはすべて初歩的な方法で解決できます。

lg 2 log 2 7 という用語をよく見てください。これについて何が言えるでしょうか? log と lg の基数と引数は同じなので、これでいくつかのアイデアが得られるはずです。 対数の符号の下からべき乗がどのように取り出されるかをもう一度思い出してみましょう。

log a b n = nlog a b

つまり、引数で b のべき乗であったものが、log 自体の前の因数になります。 この式を lg 2 log 2 7 という式に適用してみましょう。lg 2 を恐れる必要はありません。これは最も一般的な式です。 次のように書き換えることができます。

他の対数に適用されるすべての規則は、その対数に対して有効です。 特に、前にある要素を議論の次数に追加することができます。 それを書き留めてみましょう:

多くの場合、学生はこのアクションを直接目にしません。なぜなら、あるログを別のログの下に入力することは良くないからです。 実際、これに関しては何も犯罪的ではありません。 さらに、重要なルールを覚えていれば簡単に計算できる式が得られます。

この式は、定義としても、そのプロパティの 1 つとしても考えることができます。 いずれの場合でも、対数方程式を変換する場合は、数値の対数表現を知るのと同じように、この式を知っておく必要があります。

私たちの仕事に戻りましょう。 等号の右側の最初の項が単純に lg 7 に等しいという事実を考慮してこれを書き直します。次のようになります。

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7 を左に移動すると、次のようになります。

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

左側の式は基数が同じなので減算します。

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

ここで、得られた方程式を詳しく見てみましょう。 これは実質的に標準形式ですが、右側に係数 -3 があります。 これを右側の lg 引数に追加しましょう。

log 8 = log (x + 4) −3

対数方程式の正準形式が目の前にあるので、lg 記号を取り消し線を引いて引数を等しくします。

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

それだけです！ 2 番目の対数方程式を解きました。 この場合、元の問題では x は 1 つの引数にのみ存在するため、追加のチェックは必要ありません。

もう一度列挙します キーポイントこのレッスン。

対数方程式を解くことを目的としたこのページのすべてのレッスンで教えられる主な公式は、正準形式です。 そして、ほとんどの学校の教科書では、そのような問題を別の方法で解決することが教えられているという事実を恐れる必要はありません。 このツールは非常に効果的に機能し、レッスンの最初に学習した最も単純な問題よりもはるかに幅広い種類の問題を解決できます。

さらに、対数方程式を解くには、基本的な性質を知っておくと役立ちます。 つまり:

1. 1 つの基数に移動する公式と対数を逆にするときの特殊なケース (これは最初の問題で非常に役に立ちました);
2. 対数符号のべき乗を加算および減算するための公式。 ここで、多くの学生は行き詰まって、取り出して導入した学位自体に log f (x) が含まれる可能性があることに気づきません。 それは何の問題もありません。 一方のログを他方のログの符号に従って導入すると同時に、問題の解決を大幅に簡素化できます。これが 2 番目のケースで観察されたことです。

結論として、変数 x はどこでもログの 1 つの符号にのみ存在し、同時にその引数にも存在するため、これらのケースのそれぞれで定義域をチェックする必要はないことを付け加えておきたいと思います。 結果として、スコープのすべての要件が自動的に満たされます。

変数ベースの問題

今日は対数方程式を見ていきます。これは多くの生徒にとって、完全に解けないわけではないにしても、標準的ではないと思われます。 ここで話しているのは数値ではなく、変数や関数に基づいた式についてです。 このような構造は、標準的な手法、つまり標準形式を使用して解決します。

まず、普通の数字に基づいて、最も単純な問題を解決する方法を思い出してみましょう。 したがって、最も単純な構造は次のように呼ばれます。

log a f (x) = b

このような問題を解決するには、次の公式を使用できます。

b = ログ a a b

元の式を書き直すと、次のようになります。

log a f (x) = log a a b

次に、引数を同等にします。つまり、次のように書きます。

f (x) = a b

したがって、ログ記号を取り除き、通常の問題を解決します。 この場合、解から得られる根が元の対数方程式の根になります。 また、左も右も底が同じ対数になるときの記録を正確に正準形式と呼びます。 このような記録を達成するために、今日のデザインを削減しようとします。 じゃ、行こう。

最初のタスク:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 を log x − 2 (x − 2) 1 に置き換えます。 引数で観察される次数は、実際には等号の右側にある数値 b です。 そこで、式を書き直してみましょう。 我々が得る：

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

何が見えますか？ 対数方程式の正準形式が目の前にあるので、引数を安全に同等とみなすことができます。 我々が得る：

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

しかし、この方程式は元のものと等価ではないため、解決策はそこで終わりません。 結局のところ、結果として得られる構造は数直線全体で定義された関数で構成されており、元の対数はどこでも定義されているわけではなく、常に定義されているわけでもありません。

したがって、定義の領域を別に記述する必要があります。 面倒なことはせずに、まずすべての要件を書き留めましょう。

まず、各対数の引数は 0 より大きくなければなりません。

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

次に、基数は 0 より大きいだけでなく、1 とも異なる必要があります。

x − 2 ≠ 1

結果として、次のシステムが得られます。

ただし、心配しないでください。対数方程式を処理する場合、そのようなシステムは大幅に簡略化できます。

自分で判断してください。一方で、二次関数はゼロより大きいことが要求され、他方では、この二次関数は特定の一次式と同等であり、これもゼロより大きいことが要求されます。

この場合、x − 2 > 0 を要求すると、2x 2 − 13x + 18 > 0 という要求が自動的に満たされるため、二次関数を含む不等式を安全に消すことができます。 したがって、システムに含まれる式の数は 3 つに減ります。

もちろん、クロスアウトすることもできます 線形不等式つまり、x − 2 > 0 を取り消して、2x 2 − 13x + 18 > 0 であることを要求します。ただし、最も単純な一次不等式を解く方が、たとえ全体を解いたとしても、二次方程式よりもはるかに速く簡単であることに同意する必要があります。このシステムでは同じルーツが得られます。

一般に、可能な限り計算を最適化するようにしてください。 また、対数方程式の場合は、最も難しい不等式を消してください。

システムを書き直してみましょう。

ここには 3 つの式のシステムがあり、そのうちの 2 つは実際にすでに扱っています。 二次方程式を個別に書き出して解いてみましょう。

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

私たちの前には縮小二次三項があるため、Vieta の公式を使用できます。 我々が得る：

(x − 5)(x − 2) = 0

× 1 = 5

× 2 = 2

ここでシステムに戻りますが、x は厳密に 2 より大きい必要があるため、x = 2 が適切ではないことがわかります。

しかし、x = 5 は私たちにぴったりです。数字 5 は 2 より大きく、同時に 5 は 3 に等しくありません。したがって、この系の唯一の解は x = 5 になります。

以上で、ODZ を考慮することも含めて、問題は解決されました。 2 番目の方程式に移りましょう。 ここでは、さらに興味深く有益な計算が私たちを待っています。

最初のステップ: 前回と同様に、この問題全体を正規の形式に戻します。 これを行うには、次のように数字 9 を書くことができます。

根幹に触れる必要はありませんが、議論を変形したほうがよいでしょう。 根から有理指数を使ったべき乗に移りましょう。 書き留めてみましょう:

大きな対数方程式全体を書き直すのではなく、ただ単に引数を等価なものにします。

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

× 2 + 4x + 3 = 0

新たに縮小された 2 次三項式が目の前にあるので、Vieta の公式を使用して次のように書きましょう。

(x + 3)(x + 1) = 0

× 1 = −3

× 2 = −1

それで、根は得られましたが、それが元の対数方程式に適合することを誰も保証しませんでした。 結局のところ、ログ記号は追加の制限を課します (ここでシステムを書き留める必要がありましたが、構造全体の扱いが面倒な性質のため、定義領域を個別に計算することにしました)。

まず、引数は 0 より大きくなければならないことに注意してください。

これらは、定義の範囲によって課される要件です。

システムの最初の 2 つの式は互いに同等であるため、それらのいずれかを取り消すことができることにすぐに注目してください。 2 つ目よりも脅威に見えるため、1 つ目は取り消し線で消しましょう。

さらに、2 番目と 3 番目の不等式の解は同じ集合になることに注意してください (ある数値自体が 0 より大きい場合、その数値の 3 乗は 0 より大きくなります。同様に、3 次の根を使用すると、これらの不等式は成立します)。は完全に似ているので、取り消し線を引いて構いません)。

しかし、3 番目の不等式ではこれは機能しません。 両方の部分を立方体に上げて、左側の根号記号を取り除きましょう。 我々が得る：

したがって、次の要件が得られます。

− 2 ≠ x > −3

これらの要件を満たすのは、根 x 1 = −3 または x 2 = −1 のどちらですか? x = −3 は最初の不等式を満たさないため (不等式が厳密であるため)、明らかに x = −1 のみです。 したがって、問題に戻ると、1 つの根 x = −1 が得られます。 以上です、問題は解決しました。

もう一度言いますが、このタスクの重要なポイントは次のとおりです。

1. 正準形式を使用して対数方程式を自由に適用して解いてください。 元の問題から log a f (x) = b のような構成に直接移行するのではなく、そのような表記法を作成する生徒は、計算の中間ステップを飛ばしてどこかに急いでしまう生徒よりもはるかにエラーが少なくなります。
2. 変数の底が対数に現れるとすぐに、問題は最も単純なものではなくなります。 したがって、これを解くときは、定義域を考慮する必要があります。引数は 0 より大きい必要があり、基数は 0 より大きいだけでなく、1 であってはなりません。

最終要件は、さまざまな方法で最終回答に適用できます。 たとえば、定義ドメインのすべての要件を含むシステム全体を解決できます。 一方、最初に問題自体を解決し、次に定義領域を覚えて、それをシステムの形で別途作成し、得られたルートに適用することができます。

特定の対数方程式を解くときにどの方法を選択するかはあなた次第です。 いずれにせよ、答えは同じでしょう。

代数 11 年生

テーマ：「対数方程式の解法」

レッスンの目標:

教育的: ～についての知識を構築する さまざまな方法で対数方程式を解く能力、それをそれぞれの特定の状況に適用し、解くための任意の方法を選択する能力。

現像： 知識を観察、比較し、新しい状況に適用し、パターンを特定し、一般化するスキルの開発。 相互制御と自制のスキルを開発する。

教育的: 教育活動に対する責任ある態度、授業内容の注意深い認識、注意深いメモの取り方を養います。

レッスンタイプ : 新しい素材の紹介に関するレッスン。

「対数の発明は、天文学者の仕事を減らしながら、彼の寿命を延ばしました。」
フランスの数学者、天文学者 P.S. ラプラス

授業中

I. レッスンの目標を設定する

対数の定義、対数の性質、対数関数を学習すると、対数方程式を解くことができます。 すべての対数方程式は、どれほど複雑であっても、統一されたアルゴリズムを使用して解決されます。 今日のレッスンでは、これらのアルゴリズムを見ていきます。 それらはそれほど多くありません。 これらをマスターすれば、対数を使った方程式は誰でも実行可能になります。

授業のテーマ「対数方程式の解き方」をノートに書き留めます。 皆様のご協力をお願いいたします。

II. 参考知識の更新

レッスンのテーマを勉強する準備をしましょう。 各タスクを解決して答えを書き留めます。条件を書く必要はありません。 ペアで作業します。

1) x のどの値に対してこの関数は意味を持ちますか:

A)

b)

V)

d)

（スライドごとに解答をチェックし、間違いを整理します）

2) 関数のグラフは一致していますか?

a) y = x および

b)そして

3) 等式を対数等式として書き換えます。

4) 数値を底 2 の対数として書きます。

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) 計算する :

6) これらの等式に欠けている要素を復元または補完してみてください。

Ⅲ． 新素材のご紹介

次のステートメントが画面に表示されます。

「方程式は、すべての数学のゴマを開く黄金の鍵です。」
現代ポーランドの数学者 S. コワル

対数方程式の定義を定式化してみてください。 (対数記号の下に未知数を含む方程式 ).

考えてみましょう最も単純な対数方程式: ログ あ x = b (a>0、a ≠ 1)。 対数関数は一連の正の数で増加 (または減少) し、すべて実数値を取るため、根定理により、任意の b に対して、この方程式の解は 1 つだけであり、正の値が 1 つだけ存在することがわかります。

対数の定義を思い出してください。 (数値 x の底 a に対する対数は、数値 x を得るために底 a を累乗する必要があることを示します。 ）。 対数の定義からすぐに次のことがわかります。あ V そのような解決策です。

タイトルを書き留めます:対数方程式を解く方法

1. 対数の定義による .

これは、次の形式の最も単純な方程式を解く方法です。.

考えてみましょうNo.514(a) ): 方程式を解きます

それを解決するにはどのように提案しますか？ (対数の定義により )

解決 . , したがって、2x – 4 = 4; x = 4。

答え: 4.

このタスクでは 2x – 4 > 0 であるため、> 0 であるため、無関係なルートは表示されません。チェックする必要はありません 。 このタスクでは、条件 2x – 4 > 0 を書き出す必要はありません。

2. 強化 (指定された式の対数からこの式自体への遷移)。

考えてみましょうNo.519(g): ログ 5 ( バツ 2 +8)- ログ 5 ( バツ+1)=3 ログ 5 2

どのような特徴に気づきましたか?(底が同じで、2 つの式の対数は等しい) 。 何ができるでしょうか？(強化)。

対数式が正となるすべての x には任意の解が含まれることを考慮する必要があります。

解決： ODZ:

バツ 2 +8>0 不必要な不等号

ログ 5 ( バツ 2 +8) = ログ 5 2 3 + ログ 5 ( バツ+1)

ログ 5 ( バツ 2 +8)= ログ 5 (8 バツ+8)

元の方程式を強化しましょう

バツ 2 +8= 8 バツ+8

方程式が得られますバツ 2 +8= 8 バツ+8

それを解決しましょう:バツ 2 -8 バツ=0

x=0、x=8

答え: 0; 8

一般的に同等のシステムへの移行 :

方程式

(システムには冗長な条件が含まれています - 不等式の 1 つを考慮する必要はありません)。

クラスへの質問 : これら 3 つのソリューションのうち、どれが一番気に入りましたか? （方法の議論）。

あなたにはどんな形であれ決定する権利があります。

3. 新しい変数の導入 .

考えてみましょうNo.520(g) . .

何に気づきましたか? (これはlog3xに関する二次方程式です) あなたの提案は？ (新しい変数を導入します)

解決 。 ODZ: x > 0。

させての場合、方程式は次の形式になります。。 判別式 D > 0。ビエタの定理による根:.

置換に戻りましょう:または.

最も単純な対数方程式を解くと、次の結果が得られます。

; .

答え : 27;

4. 方程式の両辺を対数計算します。

方程式を解きます。.

解決 : ODZ: x>0、方程式の両辺の対数を底 10 で計算してみます。

。 べき乗の対数の性質を適用してみましょう。

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

logx = y とすると、(y + 3)y = 4

, (D > 0) は、ビエタの定理に従って根を求めます: y1 = -4 および y2 = 1。

置換に戻りましょう。 lgx = -4 となります。; logx = 1、. . それは次のとおりです: いずれかの関数の場合 y = f(x) 増加し、もう一つは y = g(x) 区間 X で減少すると、方程式は次のようになります。 f(x)= g(x) 区間 X にはルートが最大 1 つあります .

ルートがある場合は、それを推測できます。 .

答え : 2

« 正しい使い方メソッドを学ぶことができる
それをさまざまな例に適用するだけです。」
デンマークの数学史家 G. G. ザイテン

私 V. 宿題

P.39 例題3を考えて、No.514(b)、No.529(b)、No.520(b)、No.523(b)を解く

V. レッスンのまとめ

授業では対数方程式を解くどのような方法を学びましたか?

次のレッスンではさらに詳しく見ていきます 複雑な方程式。 それらを解決するには、研究された方法が役立ちます。

表示された最後のスライド:

「この世で何よりも大切なものは何でしょうか？
空間。
最も賢明なことは何ですか?
時間。
一番良い点は何ですか?
望むものを達成してください。」
タレス

誰もが望むことを達成できることを願っています。 ご理解とご協力をお願いいたします。

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対数方程式は、未知数 (x) とそれを含む式が対数関数の符号の下にある方程式です。 対数方程式を解くには、 と についてすでに精通していることが前提となります。
対数方程式を解くにはどうすればよいですか?

最も単純な方程式は次のとおりです。 対数 a x = bここで、a と b は数値、x は未知数です。
対数方程式を解く x = a b である: a > 0、a 1。

x が対数の外側にある場合 (たとえば、log 2 x = x-2)、そのような方程式はすでに混合と呼ばれており、それを解くには特別なアプローチが必要であることに注意してください。

理想的なケースは、x+2 = log 2 2 など、対数記号の下に数字だけが含まれる方程式に遭遇したときです。この場合、それを解くには対数の性質を知っていれば十分です。 しかし、そのような幸運はめったに起こらないので、より困難なことに備えてください。

まずは、簡単な方程式から始めましょう。 これらを解決するには、対数について非常に一般的な理解を得ることが推奨されます。

単純な対数方程式を解く

これらには、log 2 x = log 2 16 というタイプの方程式が含まれます。対数の符号を省略すると、x = 16 が得られることが肉眼でわかります。

より複雑な対数方程式を解くには、通常、常用代数方程式を解くか、単純な対数方程式 log a x = b を解くことに帰着します。 最も単純な方程式では、これが 1 回の動作で発生するため、最も単純な方程式と呼ばれます。

対数を切り捨てる上記の方法は、対数方程式と不等式を解く主な方法の 1 つです。 数学では、この操作を増強と呼びます。 存在する 特定のルールまたは、この種の操作の制限:

• 対数は同じ基数を持ちます
• 方程式の両辺の対数は自由です。 係数やその他のさまざまな種類の式は使用しません。

方程式 log 2 x = 2log 2 (1 - x) では増強が適用できないとしましょう。右側の係数 2 では増強が許可されていません。 次の例では、log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) も制限の 1 つを満たしていません。左側に対数が 2 つあります。 1つだけあれば、まったく別のことになります！

一般に、対数を削除できるのは、方程式が次の形式である場合のみです。

ログ a (...) = ログ a (...)

絶対にどのような式も括弧内に置くことができますが、これは増強演算にはまったく影響しません。 そして、対数を消去すると、線形、二次、指数などのより単純な方程式が残ります。これは、すでに解き方を知っていると思います。

別の例を見てみましょう。

log 3 (2x-5) = log 3 x

強化を適用すると、次の結果が得られます。

log 3 (2x-1) = 2

対数の定義に基づいています。つまり、対数は、対数記号の下にある式を取得するために底を上げなければならない数です。 (4x-1)、次のようになります。

またまた素晴らしい答えが届きました。 ここでは対数を消去せずに実行しましたが、対数は任意の数値から正確に必要な数値から作成できるため、ここでは増強も適用できます。 この方法は、対数方程式、特に不等式を解くのに非常に役立ちます。

増強を使用して対数方程式 log 3 (2x-1) = 2 を解いてみましょう。

数値 2 が対数であると想像してみましょう。たとえば、3 2 =9 であるため、この log 3 9 となります。

次に、log 3 (2x-1) = log 3 9 となり、再び同じ方程式 2x-1 = 9 が得られます。すべてが明確であることを願っています。

そこで、最も単純な対数方程式を解く方法を検討しましたが、これは実際には非常に重要です。 対数方程式を解くたとえ最も恐ろしくねじれたものであっても、最終的には常に最も単純な方程式を解くことに行き着きます。

上記でやったことすべてにおいて、非常に重要な点が 1 つありませんでした 大事なポイント、将来的に決定的な役割を果たすでしょう。 実際のところ、対数方程式の解は、たとえ最も基本的なものであっても、2 つの等しい部分から構成されます。 1 つ目は方程式そのものの解法であり、2 つ目は領域を扱うことです。 許容可能な値(ODZ)。 これはまさに私たちがマスターした最初の部分です。 上記の例では、ODZ は答えにまったく影響を与えないため、考慮しませんでした。

別の例を見てみましょう。

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

外見上、この方程式は初歩的な方程式と何ら変わりはなく、非常にうまく解くことができます。 しかしそうではありません。 いいえ、もちろん解決しますが、おそらく間違っています。なぜなら、そこには小さな待ち伏せが含まれており、C グレードの学生と優秀な学生の両方がすぐにそれに陥るからです。 詳しく見てみましょう。

方程式の根、または根が複数ある場合はその合計を見つける必要があるとします。

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

強化を使用しますが、ここでは許容されます。 その結果、常二次方程式が得られます。

方程式の根を求める：

根が２本出てきました。

答え: 3 と -1

一見するとすべてが正しいです。 ただし、結果を確認して元の式に代入してみましょう。

x 1 = 3 から始めましょう:

対数 3 6 = 対数 3 6

チェックは成功し、キューは x 2 = -1 になりました。

ログ 3 (-2) = ログ 3 (-2)

わかった、やめて！ 外側はすべてが完璧です。 一つ言えるのは、負の数からの対数は存在しないということです。 これは、根 x = -1 が方程式を解くのに適していないことを意味します。 したがって、先ほど書いたように、正解は 2 ではなく 3 になります。

ここで、ODZ が忘れられていた致命的な役割を果たしました。

許容可能な値の範囲には、元の例で許容される、または意味のある x の値が含まれることを思い出してください。

ODZ がなければ、方程式の解はたとえ完全に正しいものであっても、50/50 の宝くじになってしまいます。

一見初歩的な例を解いているとどうして捕まるのでしょうか? しかし、まさに強化の瞬間です。 対数は消え、それに伴ってあらゆる制限も消えました。

この場合どうすればよいでしょうか? 対数の消去を拒否しますか? そして、この方程式を解くことを完全に拒否しますか？

いいえ、私たちは、ある有名な歌の本当の英雄のように、回り道をするだけです!

対数方程式を解き始める前に、ODZ を書き留めます。 しかしその後は、私たちの方程式を使って、自分の心が望むことを何でも行うことができます。 答えを受け取ったら、ODZ に含まれていないルートを単純に破棄し、最終バージョンを書き留めます。

次に、ODZ を記録する方法を決めましょう。 これを行うために、元の方程式を注意深く調べ、x による除算やルートなど、その中に疑わしい箇所を探します。 方程式を解くまでは、x が何に等しいかわかりませんが、代入すると 0 による除算または抽出が行われる x が存在することは確かです。 平方根負の数からの値は明らかに答えとして適切ではありません。 したがって、そのような x は受け入れられませんが、残りは ODZ を構成します。

同じ式をもう一度使用してみましょう。

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

ご覧のとおり、0 による除算はなく、平方根もありませんが、対数の本体に x が含まれる式があります。 対数内の式は常に >0 でなければならないことをすぐに思い出してください。 この条件を ODZ の形式で書きます。

それらの。 まだ何も解決していませんが、部分対数式全体の必須条件はすでに書き留めています。 中括弧は、これらの条件が同時に真でなければならないことを意味します。

ODZ は書き留められていますが、結果として生じる不平等体系を解決することも必要であり、それを行うつもりです。 答えは x > v3 になります。 これで、どの x が自分に合わないのかが明確になりました。 そして、上で行ったことである対数方程式自体を解き始めます。

x 1 = 3 と x 2 = -1 という答えを受け取ったので、x1 = 3 だけが適切であることが簡単にわかり、それを最終的な答えとして書き留めます。

将来のために、次のことを覚えておくことが非常に重要です。対数方程式は 2 段階で解きます。 1 つ目は方程式自体を解くこと、2 つ目は ODZ 条件を解くことです。 両方の段階は互いに独立して実行され、答えを書くときのみ比較されます。 不要なものはすべて捨てて、正解を書き留めます。

この内容をさらに理解するには、次のビデオを視聴することを強くお勧めします。

ビデオでは、ログを解決する他の例を示しています。 方程式を作成し、実際に間隔法を計算します。

この質問に対して、 対数方程式の解き方それは今のところすべてです。 ログで何かが決まる場合。 方程式が不明瞭または理解できない場合は、コメントに質問を書き込んでください。

注: 社会教育アカデミー (ASE) は、新しい学生を受け入れる準備ができています。

説明書

与えられた対数式を書きます。 式で 10 の対数が使用されている場合、その表記は次のように短縮されます。 lg b は 10 進対数です。 対数の底が数値 e である場合は、次の式を書きます: ln b – 自然対数。 any の結果は、数値 b を取得するために基数を累乗する必要があることが理解されます。

2 つの関数の合計を求める場合は、それらを 1 つずつ微分して結果を加算するだけです: (u+v)" = u"+v";

2 つの関数の積の導関数を求める場合、最初の関数の導関数に 2 番目の関数を乗算し、2 番目の関数の導関数に最初の関数を乗算したものを加算する必要があります: (u*v)" = u"*v +v"*u;

2 つの関数の商の導関数を求めるには、被除数の導関数と除数関数を掛けた積から、除数の導関数と被除数の関数を掛けた積を引き、割る必要があります。これはすべて、除数関数の 2 乗によって計算されます。 (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

複素関数が与えられた場合、内部関数の導関数と外部関数の導関数を乗算する必要があります。 y=u(v(x)) とすると、y"(x)=y"(u)*v"(x) となります。

上記で得られた結果を使用すると、ほぼすべての関数を区別できます。 それでは、いくつかの例を見てみましょう。

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)、y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *バツ））;
ある点での導関数の計算に関する問題もあります。 関数 y=e^(x^2+6x+5) が与えられた場合、点 x=1 における関数の値を見つける必要があります。
1) 関数の導関数を求めます: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)。

2) の関数の値を計算します。 与えられたポイント y"(1)=8*e^0=8

トピックに関するビデオ

役立つアドバイス

初等導関数の表を学習します。 これにより時間を大幅に節約できます。

出典:

• 定数の導関数

それでは、非合理的な方程式と有理的な方程式の違いは何でしょうか? 未知の変数が平方根記号の下にある場合、方程式は無理数であると考えられます。

説明書

このような方程式を解く主な方法は、両辺を構築する方法です。 方程式正方形に。 しかし。 これは自然なことです。最初に行う必要があるのは、その標識を取り除くことです。 この方法は技術的には難しくありませんが、場合によってはトラブルにつながる可能性があります。 たとえば、方程式は v(2x-5)=v(4x-7) です。 両辺を二乗すると、2x-5=4x-7となります。 このような方程式を解くことは難しくありません。 x=1。 でも1番は与えられない 方程式。 なぜ？ x の値の代わりに 1 を式に代入すると、右辺と左辺に意味のない式が含まれます。 この値は平方根には無効です。 したがって、1 は無関係な根であるため、この方程式には根がありません。

したがって、無理数方程式は両辺を二乗する方法を使用して解決されます。 そして方程式を解いた後、無関係な根を切り落とす必要があります。 これを行うには、見つかった根を元の方程式に代入します。

別のものを考えてみましょう。
2х+vх-3=0
もちろん、この方程式は前のものと同じ方程式を使用して解くことができます。 コンパウンドの移動 方程式、平方根を持たないものを右側に移動し、二乗法を使用します。 結果として得られる有理方程式と根を解きます。 しかし、もう 1 つ、よりエレガントなものもあります。 新しい変数を入力します。 vх=y。 したがって、2y2+y-3=0 という形式の方程式が得られます。 つまり、通常の二次方程式です。 そのルーツを見つけてください。 y1=1、y2=-3/2。 次に２つ解いてみます 方程式 vх=1; vх=-3/2。 2 番目の方程式には根がなく、最初の方程式から x=1 であることが分かります。 根元の確認も忘れずに。

アイデンティティの解決は非常に簡単です。 これを行うには、設定された目標が達成されるまで同じ変換を実行する必要があります。 したがって、単純な算術演算の助けを借りて、提起された問題は解決されます。

必要になるだろう

• - 紙;
• - ペン。

説明書

このような変換の最も単純なものは、代数の短縮乗算です (和の 2 乗 (差)、2 乗の差、和 (差)、和の 3 乗 (差) など)。 さらに、本質的に同じ恒等式である三角関数の公式が多数あります。

実際、2 つの項の和の 2 乗は、最初の項の 2 乗に、最初の項と 2 番目の項の積の 2 倍を加え、2 番目の項の 2 乗を加えたものに等しくなります。つまり、(a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2。

両方を簡素化する

ソリューションの一般原則

変数の置換方法

第 2 種積分の解法

積分限界の置き換え