Esej napisała uczennica ósmej klasy Miejskiego Zakładu Oświatowego Gimnazjum nr 9 Weronika Wyuszyna

Jekaterynburg

1. Wstęp. Proporcja złotego podziału. F i φ.

„Geometria ma dwa wielkie skarby. Pierwszy to twierdzenie Pitagorasa, drugi to dzielenie odcinka w stosunkach skrajnych i średnich”

Johannesa Keplera

Regularne wielokąty przyciągnęły uwagę starożytnych greckich naukowców na długo przed Archimedesem. Pitagorejczycy, którzy na symbol swojego związku wybrali pentagram – pięcioramienną gwiazdę – przywiązywali dużą wagę do problemu podziału koła na równe części, czyli zbudowania foremnego wielokąta wpisanego. Albrecht Durer (1471-1527), który stał się uosobieniem renesansu w Niemczech, podaje teoretycznie dokładną metodę budowy pięciokąta foremnego, zapożyczoną z wielkiego dzieła Ptolemeusza „Almagest”.

Zainteresowanie Dürera konstruowaniem regularnych wielokątów odzwierciedla ich zastosowanie w średniowieczu w projektach arabskich i gotyckich, a także po wynalezieniu broni palnej w planowaniu twierdz.

Średniowieczne metody konstruowania wielokątów foremnych były przybliżone, ale były (lub nie mogły pomóc) proste: preferowano metody konstrukcji, które nie wymagały nawet zmiany otwarcia kompasu. Leonardo da Vinci również dużo pisał o wielokątach, ale to Dürer, a nie Leonardo przekazał swoim potomkom średniowieczne metody budowy. Dürer oczywiście znał „Elementy” Euklidesa, ale w swoim „Przewodniku po pomiarach” (o konstrukcjach wykorzystujących kompasy i linijki) nie przedstawił zaproponowanej przez Euklidesa metody konstruowania pięciokąta foremnego, która teoretycznie była dokładna, jak wszystkie Konstrukcje euklidesowe. Euklides nie podejmuje próby podzielenia danego łuku koła na trzy równe części, a Dürer wiedział, choć na dowód znaleziono dopiero w XIX wieku, że problemu tego nie da się rozwiązać.

Zaproponowana przez Euklidesa konstrukcja pięciokąta foremnego obejmuje podział odcinka prostego w stosunku średnim i skrajnym, co później nazwano złotym odcinkiem i przez kilka stuleci przyciągało uwagę artystów i architektów.

Punkt B dzieli odcinek ABE w stosunku średnim i skrajnym lub tworzy złoty podział, jeżeli stosunek większej części odcinka do mniejszej jest równy stosunkowi całego odcinka do większej części.

Złoty podział zapisany w postaci równości stosunków ma postać

AB/BE= AB/AE

Jeśli wstawimy AB=a i BE=a/F tak, że złoty podział będzie równy AB/BE=F, to otrzymamy stosunek

Oznacza to, że Ф spełnia równanie

Równanie to ma jeden pierwiastek dodatni

Ф=(√5+1)/2=1,618034….

Zauważ, że 1/Ф = (√5 -1)/2, ponieważ (√5-1)(√5+1) =5-1=4. Przyjmuje się, że 1/F wynosi φ=0,618034….

Ф i φ to wielkie i małe litery greckiej litery „phi”.

Oznaczenie to przyjęto na cześć starożytnego greckiego rzeźbiarza Fidiasza (V w. p.n.e.), który nadzorował budowę świątyni Partenon w Atenach. Liczba φ jest wielokrotnie obecna w proporcjach tej świątyni.

2.Historia złotego podziału

Powszechnie przyjmuje się, że koncepcję złotego podziału wprowadził do użytku naukowego Pitagoras, starożytny grecki filozof i matematyk (VI w. p.n.e.). Zakłada się, że Pitagoras zapożyczył swoją wiedzę o złotym podziale od Egipcjan i Babilończyków. Rzeczywiście proporcje piramidy Cheopsa, świątyń, płaskorzeźb, artykułów gospodarstwa domowego i dekoracji z grobowca Tutanchamona wskazują, że egipscy rzemieślnicy przy ich tworzeniu stosowali proporcje złotego podziału. Francuski architekt Le Corbusier stwierdził, że w płaskorzeźbie ze świątyni faraona Seti I w Abydos oraz w płaskorzeźbie przedstawiającej faraona Ramzesa proporcje figur odpowiadają wartościom złotego podziału. Architekt Khesira przedstawiony na płaskorzeźbie drewniana deska z grobowca nazwanego jego imieniem, trzymając w rękach urządzenia pomiarowe, w którym ustalone są proporcje złotego podziału.

Platon (427...347 p.n.e.) również wiedział o złotym podziale. Jego dialog „Timaeus” poświęcony jest matematycznym i estetycznym poglądom szkoły pitagorejskiej, a zwłaszcza zagadnieniom złotego podziału.

Partenon ma 8 kolumn na krótkich bokach i 17 na długich bokach. Stosunek wysokości budynku do jego długości wynosi 0,618. Jeśli podzielimy Partenon według „złotej części”, otrzymamy pewne występy fasady. Podczas wykopalisk odkryto kompasy, których używali architekci i rzeźbiarze starożytnego świata. Kompas Pompejański (muzeum w Neapolu) również zawiera proporcje złotego podziału.

W tym, co do nas przyszło literatura starożytna Pierwsza wzmianka o złotym podziale pojawia się w Elementach Euklidesa. W drugiej księdze Żywiołów podana jest geometryczna konstrukcja złotego podziału. Po Euklidesie badanie złotego podziału prowadzili Hypsicles (II wiek p.n.e.), Pappus (III wiek n.e.) i inni. średniowieczna Europa zapoznali się ze złotym podziałem z arabskich tłumaczeń „Początków” Euklidesa. Do tłumaczenia skomentował tłumacz J. Campano z Nawarry (III w.). Sekrety złotej dywizji były zazdrośnie strzeżone i trzymane w ścisłej tajemnicy. Znane były tylko wtajemniczonym.

W okresie renesansu wzrosło zainteresowanie złotym podziałem wśród naukowców i artystów w związku z jego zastosowaniem zarówno w geometrii, jak i w sztuce, zwłaszcza w architekturze. Leonardo da Vinci, artysta i naukowiec, zauważył, że włoscy artyści mieli dużo doświadczenia empirycznego, ale brakowało im wiedzy. Wymyślił i zaczął pisać książkę o geometrii, ale w tym czasie pojawiła się książka mnicha Luca Pacioli, a Leonardo porzucił swój pomysł. Według współczesnych i historyków nauki Luca Pacioli był prawdziwym luminarzem, największym matematykiem we Włoszech między Fibonacciem a Galileuszem.

Luca Pacioli doskonale zdawał sobie sprawę ze znaczenia nauki dla sztuki. W 1496 roku na zaproszenie księcia Moreau przybył do Mediolanu, gdzie wykładał matematykę. Leonardo da Vinci pracował wówczas także na dworze Moro w Mediolanie. W 1509 roku w Wenecji ukazała się Boska proporcja Luca Pacioli z znakomicie wykonanymi ilustracjami, dlatego uważa się, że wykonał je Leonardo da Vinci. Książka była entuzjastycznym hymnem na cześć złotego podziału. Wśród wielu zalet złotego podziału mnich Luca Pacioli nie omieszkał wymienić jego „boskiej istoty” jako wyrazu boskiej trójcy: Boga Syna, Boga Ojca i Boga Ducha Świętego (zrozumiano, że mały segment to personifikacja Boga Syna, większy segment – ​​Bóg Ducha Świętego).

Leonardo da Vinci również poświęcił wiele uwagi badaniu złotego podziału. Wykonywał przekroje stereometrycznej bryły utworzonej z pięciokątów foremnych i za każdym razem uzyskiwał prostokąty o proporcjach w złotym podziale. Dlatego nadał temu podziałowi nazwę złoty podział. Dlatego nadal pozostaje najpopularniejszym.

W tym samym czasie w Europie Północnej, w Niemczech, Albrecht Dürer pracował nad tymi samymi problemami. Szkicuje wprowadzenie do pierwszej wersji traktatu o proporcjach. Dürer pisze: „Konieczne jest, aby ten, kto coś wie, uczył tego innych, którzy tego potrzebują. To właśnie postanowiłem zrobić”.

Sądząc po jednym z listów Dürera, podczas jego pobytu we Włoszech spotkał się z Lucą Pacioli. Albrecht Dürer szczegółowo rozwija teorię proporcji ciała ludzkiego. Dürer w swoim systemie wskaźników przypisał złotemu podziałowi ważne miejsce. Wzrost osoby dzieli się w złotych proporcjach linią paska, a także linią poprowadzoną przez czubki środkowych palców opuszczonych dłoni, dolną część twarzy - usta itp. Znany kompas proporcjonalny Dürer.

Konstrukcję szeregu odcinków złotego podziału można przeprowadzić zarówno w kierunku rosnącym (szereg rosnący), jak i w kierunku malejącym (szereg malejący).

Ta harmonia poraża swoją skalą...

Cześć przyjaciele!

Czy słyszałeś coś o Boskiej Harmonii lub Złotym Podziale? Czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego coś wydaje nam się idealne i piękne, a coś odpycha?

Jeśli nie, to pomyślnie trafiłeś na ten artykuł, bo w nim omówimy złoty podział, dowiemy się, czym jest, jak wygląda w przyrodzie i u człowieka. Porozmawiajmy o jego zasadach, dowiedzmy się, czym jest ciąg Fibonacciego i wiele więcej, w tym koncepcja złotego prostokąta i złotej spirali.

Tak, w artykule jest wiele obrazów, formuł, w końcu złoty podział to także matematyka. Ale wszystko jest wystarczająco opisane w prostym języku, Wyraźnie. A na końcu artykułu dowiecie się dlaczego wszyscy tak bardzo kochają koty =)

Jaki jest złoty podział?

Mówiąc najprościej, złoty podział to pewna zasada proporcje, co tworzy harmonię?. Oznacza to, że jeśli nie naruszymy zasad tych proporcji, otrzymamy bardzo harmonijną kompozycję.

Najbardziej pojemna definicja złotego podziału mówi, że mniejsza część ma się do większej, jak większa do całości.

Ale poza tym złoty podział to matematyka: ma określony wzór i określoną liczbę. Wielu matematyków na ogół uważa to za formułę boskiej harmonii i nazywa ją „asymetryczną symetrią”.

Złoty podział dotarł do naszych współczesnych od czasów starożytnych Starożytna Grecja Istnieje jednak opinia, że ​​​​sami Grecy dostrzegli już wśród Egipcjan złoty podział. Ponieważ wiele dzieł sztuki starożytnego Egiptu jest zbudowanych wyraźnie według kanonów tej proporcji.

Uważa się, że Pitagoras jako pierwszy wprowadził koncepcję złotego podziału. Do dziś przetrwały dzieła Euklidesa (do budowy pięciokątów foremnych wykorzystał on złoty podział, dlatego taki pięciokąt nazywany jest „złotym”), a liczba złotego podziału pochodzi od starożytnego greckiego architekta Fidiasza. Oznacza to, że jest to nasza liczba „phi” (oznaczona grecką literą φ) i jest równa 1,6180339887498948482... Oczywiście wartość ta jest zaokrąglana: φ = 1,618 lub φ = 1,62, a w procentach złoty podział wygląda na 62% i 38%.

Co jest wyjątkowego w tej proporcji (i wierz mi, istnieje)? Spróbujmy najpierw to rozgryźć na przykładzie segmentu. Bierzemy zatem odcinek i dzielimy go na nierówne części w taki sposób, aby jego mniejsza część odnosiła się do większej, tak jak większa część odnosiła się do całości. Rozumiem, nie jest jeszcze zbyt jasne co jest co, postaram się to jaśniej zilustrować na przykładzie segmentów:

Zatem bierzemy odcinek i dzielimy go na dwa kolejne, tak że mniejszy odcinek a odnosi się do większego odcinka b, tak jak odcinek b odnosi się do całości, czyli całej prostej (a + b). Matematycznie wygląda to tak:

Ta zasada działa w nieskończoność; możesz dzielić segmenty tak długo, jak chcesz. I zobacz jakie to proste. Najważniejsze jest, aby zrozumieć raz i tyle.

Ale teraz przyjrzyjmy się bliżej złożony przykład, co spotyka się bardzo często, ponieważ złoty podział jest również reprezentowany w postaci złotego prostokąta (którego współczynnik kształtu wynosi φ = 1,62). To bardzo ciekawy prostokąt: jeśli „odetniemy” z niego kwadrat, ponownie otrzymamy złoty prostokąt. I tak nieskończenie wiele razy. Widzieć:

Ale matematyka nie byłaby matematyką, gdyby nie było w niej formuł. Tak więc, przyjaciele, teraz będzie trochę „bolesnie”. Rozwiązanie złotego podziału ukryłem pod spoilerem, formuł jest mnóstwo, ale nie chcę zostawić artykułu bez nich.

Szereg Fibonacciego i złoty podział

Wciąż tworzymy i obserwujemy magię matematyki i złotego podziału. W średniowieczu był taki towarzysz - Fibonacci (lub Fibonacci, wszędzie inaczej to piszą). Uwielbiał matematykę i zadania, miał też ciekawy problem z reprodukcją królików =) Ale nie o to chodzi. Odkrył ciąg liczb, liczby w nim zawarte nazywane są „liczbami Fibonacciego”.

Sama sekwencja wygląda następująco:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... i dalej w nieskończoność.

Innymi słowy, ciąg Fibonacciego to ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba jest równa sumie dwóch poprzednich.

A co ze złotym podziałem? Zobaczysz teraz.

Spirala Fibonacciego

Aby zobaczyć i poczuć całe powiązanie pomiędzy ciągiem liczb Fibonacciego a złotym podziałem, należy jeszcze raz przyjrzeć się wzorom.

Innymi słowy, od 9. wyrazu ciągu Fibonacciego zaczynamy uzyskiwać wartości złotego podziału. A jeśli zwizualizujemy cały ten obraz, zobaczymy, jak ciąg Fibonacciego tworzy prostokąty coraz bliższe złotemu prostokątowi. To jest połączenie.

Porozmawiajmy teraz o spirali Fibonacciego, nazywana jest ona również „złotą spiralą”.

Złota spirala jest spiralą logarytmiczną, której współczynnik wzrostu wynosi φ4, gdzie φ jest złotym podziałem.

Ogólnie rzecz biorąc, z matematycznego punktu widzenia złoty podział jest proporcją idealną. Ale to właśnie tam zaczynają się jej cuda. Niemal cały świat podlega zasadom złotego podziału, tę proporcję stworzyła sama natura. Nawet ezoterycy i inni widzą w tym potęgę liczbową. Ale na pewno nie będziemy o tym rozmawiać w tym artykule, więc aby niczego nie przeoczyć, możesz subskrybować aktualizacje witryny.

Złoty podział w przyrodzie, człowieku, sztuce

Zanim zaczniemy, chciałbym wyjaśnić szereg nieścisłości. Po pierwsze, samo określenie złotego podziału w tym kontekście nie jest do końca poprawne. Faktem jest, że samo pojęcie „przekroju” jest terminem geometrycznym, oznaczającym zawsze płaszczyznę, a nie ciąg liczb Fibonacciego.

Po drugie, szeregi liczbowe i stosunek jednego do drugiego zostały oczywiście zamienione w rodzaj szablonu, który można nanieść na wszystko, co wydaje się podejrzane, i można się bardzo cieszyć, gdy zdarzają się zbiegi okoliczności, ale mimo to nie należy tracić zdrowego rozsądku.

Jednak „w naszym królestwie wszystko się pomieszało” i jedno stało się synonimem drugiego. Ogólnie rzecz biorąc, znaczenie tego nie zostało utracone. Przejdźmy teraz do rzeczy.

Zdziwisz się, ale złoty podział, a raczej proporcje jak najbardziej do niego zbliżone, widać niemal wszędzie, nawet w lustrze. Nie wierzysz mi? Zacznijmy od tego.

Wiesz, kiedy uczyłem się rysować, wyjaśnili nam, jak łatwiej jest zbudować twarz człowieka, jego ciało i tak dalej. Wszystko trzeba liczyć w odniesieniu do czegoś innego.

Wszystko, absolutnie wszystko jest proporcjonalne: kości, nasze palce, dłonie, odległości na twarzy, odległość wyciągniętych ramion względem ciała i tak dalej. Ale nawet to nie wszystko, wewnętrzna budowa naszego ciała, nawet to jest równa lub prawie równa formule złotego podziału. Oto odległości i proporcje:

od ramion przez koronę do rozmiaru głowy = 1:1,618

od pępka do korony do odcinka od ramion do korony = 1: 1,618

od pępka do kolan i od kolan do stóp = 1:1,618

od brody do skrajnego punktu górnej wargi i od niej do nosa = 1:1,618

Czy to nie niesamowite!? Harmonia w czysta forma, zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz. I dlatego na pewnym poziomie podświadomości niektórzy ludzie nie wydają nam się piękni, nawet jeśli mają mocne, umięśnione ciało, aksamitną skórę, piękne włosy, oczy itp. i wszystko inne. Ale mimo wszystko najmniejsze naruszenie proporcji ciała, a wygląd już nieco „boli oczy”.

Krótko mówiąc, im piękniejsza wydaje nam się osoba, tym bliższe są jej proporcje ideału. Nawiasem mówiąc, można to przypisać nie tylko ludzkiemu ciału.

Złoty podział w przyrodzie i jego zjawiska

Klasycznym przykładem złotego podziału w przyrodzie jest muszla mięczaka Nautilus pompilius i amonit. Ale to nie wszystko, przykładów jest znacznie więcej:

w lokach ludzkiego ucha widać złotą spiralę;

swój własny (lub zbliżony do niego) w spiralach, wzdłuż których wirują galaktyki;

oraz w cząsteczce DNA;

środek słonecznika ułożony jest wzdłuż ciągu Fibonacciego, szyszki, środek kwiatów, ananas i wiele innych owoców.

Przyjaciele, przykładów jest tak wiele, że po prostu zostawię tutaj film (jest trochę niższy), aby nie przeciążać artykułu tekstem. Bo jeśli zagłębisz się w ten temat, możesz zagłębić się w taką dżunglę: nawet starożytni Grecy udowodnili, że Wszechświat i w ogóle cała przestrzeń została zaplanowana zgodnie z zasadą złotego podziału.

Będziesz zaskoczony, ale te zasady można znaleźć nawet w dźwięku. Widzieć:

Najwyższy punkt dźwięku powodujący ból i dyskomfort w naszych uszach to 130 decybeli.

Dzielimy proporcję 130 przez liczbę złotego podziału φ = 1,62 i otrzymujemy 80 decybeli – dźwięk ludzkiego krzyku.

Nadal dzielimy proporcjonalnie i otrzymujemy, powiedzmy, normalną głośność ludzkiej mowy: 80 / φ = 50 decybeli.

Otóż ​​ostatnim dźwiękiem, jaki uzyskamy dzięki formule, jest przyjemny dźwięk szeptu = 2,618.

Korzystając z tej zasady, można określić optymalną-wygodną, ​​minimalną i maksymalną liczbę temperatur, ciśnienia i wilgotności. Nie testowałem tego i nie wiem, na ile ta teoria jest prawdziwa, ale trzeba się zgodzić, brzmi imponująco.

Absolutnie we wszystkim, co żyje i nie żyje, można odczytać najwyższe piękno i harmonię.

Najważniejsze, żeby nie dać się temu ponieść, bo jeśli będziemy chcieli coś w czymś zobaczyć, to to dostrzeżemy, nawet jeśli tego nie ma. Przykładowo zwróciłem uwagę na konstrukcję PS4 i tam dostrzegłem złoty podział =) Jednak ta konsola jest na tyle fajna, że ​​nie zdziwiłbym się, gdyby projektant rzeczywiście zrobił tam coś sprytnego.

Złoty podział w sztuce

To także bardzo duży i obszerny temat, który warto rozważyć osobno. Tutaj zwrócę tylko uwagę na kilka podstawowych kwestii. Najbardziej niezwykłe jest to, że wiele dzieł sztuki i arcydzieł architektury starożytności (i nie tylko) wykonanych jest według zasad złotego podziału.

Piramidy egipskie i Majów, Notre Dame de Paris, grecki Partenon i tak dalej.

W dziełach muzycznych Mozarta, Chopina, Schuberta, Bacha i innych.

W malarstwie (tam wyraźnie widać): wszystkie najsłynniejsze obrazy znanych artystów powstają z uwzględnieniem zasad złotego podziału.

Zasady te można odnaleźć w wierszach Puszkina oraz w popiersiu pięknej Nefretete.

Już teraz zasady złotego podziału stosowane są na przykład w fotografii. No i oczywiście we wszystkich innych dziedzinach sztuki, w tym w kinematografii i projektowaniu.

Złote koty Fibonacciego

I na koniec o kotach! Czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego wszyscy tak bardzo kochają koty? Przejęli internet! Koty są wszędzie i jest cudownie =)

A chodzi o to, że koty są idealne! Nie wierzysz mi? Teraz udowodnię ci to matematycznie!

Czy ty widzisz? Sekret zostaje ujawniony! Kocięta są idealne pod względem matematyki, natury i wszechświata =)

*Żartuję, oczywiście. Nie, koty są naprawdę idealne). Ale chyba nikt ich nie zmierzył matematycznie.

Ogólnie rzecz biorąc, wszystko, przyjaciele! Do zobaczenia w kolejnych artykułach. Powodzenia!

P.S. Zdjęcia pochodzą ze strony medium.com.

Geometria to nauka ścisła i dość złożona, będąca jednocześnie rodzajem sztuki. Linie, płaszczyzny, proporcje – to wszystko pomaga stworzyć wiele naprawdę pięknych rzeczy. I, co dziwne, opiera się to na geometrii w jej najróżniejszych formach. W tym artykule przyjrzymy się jednej bardzo niezwykłej rzeczy, która jest z tym bezpośrednio związana. Złoty podział to dokładnie podejście geometryczne, które zostanie omówione.

Kształt przedmiotu i jego percepcja

Ludzie najczęściej opierają się na kształcie przedmiotu, aby rozpoznać go wśród milionów innych. To poprzez formę określamy, jaka rzecz znajduje się przed nami lub stoi w oddali. Ludzi rozpoznajemy przede wszystkim po kształcie ciała i twarzy. Dlatego możemy śmiało powiedzieć, że sam kształt, jego wielkość i wygląd jest jedną z najważniejszych rzeczy w ludzkiej percepcji.

Dla ludzi forma czegokolwiek jest interesująca z dwóch głównych powodów: albo jest podyktowana koniecznością życiową, albo jest spowodowana estetyczną przyjemnością płynącą z piękna. Najlepsza percepcja wzrokowa i poczucie harmonii i piękna najczęściej pojawia się, gdy człowiek obserwuje formę, w budowie której zastosowano symetrię i specjalny współczynnik, zwany złotym podziałem.

Koncepcja złotego podziału

Zatem złoty podział to złoty podział, który jest również podziałem harmonicznym. Aby wyjaśnić to jaśniej, przyjrzyjmy się niektórym cechom formularza. Mianowicie: forma jest czymś całością, a całość z kolei zawsze składa się z jakichś części. Te części najprawdopodobniej mają przynajmniej różne cechy różne rozmiary. Cóż, takie wymiary zawsze pozostają w pewnej relacji, zarówno między sobą, jak i w stosunku do całości.

Oznacza to innymi słowy, że złoty podział to stosunek dwóch wielkości, który ma swój własny wzór. Stosowanie tego współczynnika podczas tworzenia formy pomaga uczynić ją tak piękną i harmonijną, jak to tylko możliwe dla ludzkiego oka.

Ze starożytnej historii złotego podziału

Złoty podział jest dziś często stosowany w wielu różnych obszarach życia. Jednak historia tej koncepcji sięga czasów starożytnych, kiedy dopiero powstawały nauki takie jak matematyka i filozofia. Jak koncepcja naukowa Złoty podział wszedł w życie już za czasów Pitagorasa, czyli w VI wieku p.n.e. Ale jeszcze wcześniej znajomość takiego współczynnika była wykorzystywana w praktyce w Starożytny Egipt i Babilon. Uderzającym dowodem na to są piramidy, do budowy których wykorzystano właśnie taki złoty podział.

Nowy okres

Renesans był nowym oddechem dla podziału harmonicznego, zwłaszcza za sprawą Leonarda da Vinci. Stosunek ten jest coraz częściej stosowany zarówno w geometrii, jak i w sztuce. Naukowcy i artyści zaczęli głębiej badać złoty podział i tworzyć książki poruszające tę kwestię.

Jednym z najważniejszych dzieł historycznych związanych ze złotym podziałem jest książka Luca Pancioli pt. Boska proporcja. Historycy podejrzewają, że ilustracje do tej książki wykonał sam Leonardo przed Vinci.

złoty podział

Matematyka podaje bardzo jasną definicję proporcji, która mówi, że jest to równość dwóch stosunków. Matematycznie można to wyrazić następującą równością: a: b \u003d c: d, gdzie a, b, c, d to pewne określone wartości.

Jeśli weźmiemy pod uwagę proporcję odcinka podzielonego na dwie części, wówczas możemy spotkać tylko kilka sytuacji:

• Odcinek dzieli się na dwie absolutnie równe części, co oznacza, że ​​AB: AC \u003d AB: BC, jeśli AB jest dokładnym początkiem i końcem odcinka, a C jest punktem dzielącym odcinek na dwie równe części.
• Segment jest podzielony na dwie nierówne części, które mogą znajdować się w różne proporcje między sobą, co oznacza, że ​​tutaj są one całkowicie nieproporcjonalne.
• Segment jest podzielony w taki sposób, że AB:AC = AC:BC.

Jeśli chodzi o złotą część, to jest to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, gdy cały segment odnosi się do większej części, tak jak sama większa część odnosi się do mniejszej. Istnieje inne sformułowanie: mniejszy segment odnosi się do większego, a większy do całego segmentu. W ujęciu matematycznym wygląda to tak: a:b = b:c lub c:b = b:a. Dokładnie tak wygląda formuła złotego podziału.

Złoty podział w przyrodzie

Złoty podział, którego przykłady rozważymy teraz, odnosi się do niesamowitych zjawisk w przyrodzie. To jest bardzo piękne przykładyże matematyka to nie tylko liczby i wzory, ale nauka, która ma więcej niż tylko rzeczywiste odzwierciedlenie w naturze i naszym życiu w ogóle.

Dla organizmów żywych jednym z głównych zadań życiowych jest wzrost. To pragnienie zajęcia miejsca w przestrzeni odbywa się w rzeczywistości w kilku formach - wzrost w górę, prawie poziome rozprzestrzenianie się na ziemi lub spirala na jakimś podłożu. I choć może to być niewiarygodne, wiele roślin rośnie według złotego podziału.

Kolejnym niemal niewiarygodnym faktem są relacje w ciele jaszczurek. Ich ciało wygląda całkiem przyjemnie dla ludzkiego oka, a jest to możliwe dzięki temu samemu złotemu podziałowi. Mówiąc dokładniej, długość ich ogona odpowiada długości całego ciała i wynosi 62:38.

Interesujące fakty na temat zasad złotego podziału

Złoty podział to naprawdę niesamowita koncepcja, co oznacza, że ​​na przestrzeni dziejów możemy spotkać ich naprawdę wielu interesujące fakty o tej proporcji. Przedstawiamy Państwu niektóre z nich:

Złoty podział w organizmie człowieka

W tym miejscu należy wspomnieć bardzo znaczącą osobę, a mianowicie S. Zeizingę. To niemiecki badacz, który wykonał ogromną pracę w dziedzinie badania złotego podziału. Opublikował pracę pt. Studia estetyczne. W swojej twórczości przedstawił złoty podział jako koncepcję absolutną, uniwersalną dla wszelkich zjawisk zarówno w przyrodzie, jak i w sztuce. Tutaj możemy przypomnieć sobie złoty podział piramidy wraz z harmonijną proporcją ludzkiego ciała i tak dalej.

To Zeising był w stanie udowodnić, że złoty podział jest w rzeczywistości średnim prawem statystycznym dla ludzkiego ciała. Zostało to pokazane w praktyce, gdyż w trakcie swojej pracy musiał mierzyć wiele ciał ludzkich. Historycy uważają, że w eksperymencie tym wzięło udział ponad dwa tysiące osób. Według badań Zeisinga głównym wyznacznikiem złotego podziału jest podział ciała według punktu pępkowego. Zatem ciało mężczyzny ze średnim stosunkiem 13:8 jest nieco bliższe złotemu podziałowi niż ciało kobiety, gdzie złoty stosunek wynosi 8:5. Złoty podział można zaobserwować także w innych częściach ciała, np. w dłoni.

O konstrukcji złotego podziału

Tak naprawdę skonstruowanie złotego podziału jest sprawą prostą. Jak widzimy, nawet starożytni ludzie poradzili sobie z tym dość łatwo. Co możemy powiedzieć o współczesnej wiedzy i technologiach ludzkości. W tym artykule nie pokażemy, jak można to zrobić po prostu na kartce papieru i z ołówkiem w dłoni, ale śmiało oświadczymy, że faktycznie jest to możliwe. Co więcej, można to zrobić na więcej niż jeden sposób.

Ponieważ jest to dość prosta geometria, złoty podział jest dość prosty do skonstruowania nawet w szkole. Dlatego informacje na ten temat można łatwo znaleźć w specjalistycznych książkach. Studiując złoty podział, szóstoklasiści są w stanie w pełni zrozumieć zasady jego budowy, co sprawia, że ​​nawet dzieci są na tyle inteligentne, że poradzą sobie z takim zadaniem.

Złoty podział w matematyce

Pierwsza znajomość złotego podziału w praktyce zaczyna się od prostego podziału odcinka prostej w tych samych proporcjach. Najczęściej robi się to za pomocą linijki, kompasu i oczywiście ołówka.

Odcinki złotej proporcji wyraża się jako nieskończony ułamek niewymierny AE = 0,618..., jeśli AB przyjąć jako jedność, BE = 0,382... Aby uczynić te obliczenia bardziej praktycznymi, bardzo często stosuje się nie dokładne, ale przybliżone wartości, a mianowicie - 0,62 i 0,38. Jeśli odcinek AB przyjmiemy jako 100 części, wówczas jego większa część będzie równa 62, a mniejsza część będzie równa odpowiednio 38 części.

Główną właściwość złotego podziału można wyrazić równaniem: x 2 -x-1=0. Rozwiązując, otrzymujemy następujące pierwiastki: x 1,2 =. Chociaż matematyka jest nauką ścisłą i rygorystyczną, podobnie jak jej dział – geometria, to właśnie właściwości takie jak prawa złotego podziału rzucają tajemnicę na ten temat.

Harmonia w sztuce poprzez złoty podział

Podsumowując, przeanalizujmy pokrótce to, co zostało już omówione.

W zasadzie wiele dzieł sztuki podlega zasadzie złotego podziału, gdzie obserwuje się stosunek bliski 3/8 i 5/8. To jest przybliżony wzór złotego podziału. W artykule wspomniano już wiele o przykładach wykorzystania sekcji, ale spojrzymy na to jeszcze raz przez pryzmat sztuki starożytnej i współczesnej. A więc najbardziej uderzające przykłady z czasów starożytnych:

Jeśli zaś chodzi o zapewne świadome posługiwanie się proporcją, to począwszy od czasów Leonarda da Vinci zaczęto ją stosować niemal we wszystkich dziedzinach życia – od nauki po sztukę. Nawet biologia i medycyna udowodniły, że złoty podział działa nawet w żywych układach i organizmach.

20.05.2017

Złoty podział to coś, o czym powinien wiedzieć każdy projektant. Wyjaśnimy, co to jest i jak można z niego korzystać.

W przyrodzie istnieje ogólna zależność matematyczna, którą można wykorzystać w projektowaniu do tworzenia przyjemnych, naturalnie wyglądających kompozycji. Nazywa się to złotym podziałem lub grecką literą „phi”. Jeśli jesteś ilustratorem, dyrektorem artystycznym lub grafikiem, zdecydowanie powinieneś zastosować Złoty Podział w każdym projekcie.

W tym artykule wyjaśnimy, jak z niego korzystać, a także udostępnimy kilka świetnych narzędzi do dalszej inspiracji i nauki.

Ściśle powiązany z ciągiem Fibonacciego, który być może pamiętasz z lekcji matematyki lub z Kodu Da Vinci Dana Browna, złoty podział opisuje idealnie symetryczną relację pomiędzy dwiema proporcjami.

Złoty podział, w przybliżeniu równy stosunkowi 1:1,61, można przedstawić jako złoty prostokąt: duży prostokąt zawierający kwadrat (w którym boki są równe długości najkrótszego boku prostokąta) i mniejszy prostokąt.

Jeżeli usuniemy kwadrat z prostokąta, pozostanie nam kolejny, mały Złoty Prostokąt. Proces ten może trwać w nieskończoność, podobnie jak liczby Fibonacciego, które działają odwrotnie. (Dodanie kwadratu o bokach równych długości najdłuższego boku prostokąta przybliża Cię do Złotego Prostokąta i Złotego Podziału.)

Złoty podział w akcji

Uważa się, że złoty podział był używany w sztuce i projektowaniu od około 4000 lat. Jednak wiele osób zgadza się, że przy budowie egipskich piramid również zastosowano tę zasadę.

W więcej nowoczesne czasy tę zasadę widać w otaczającej nas muzyce, sztuce i designie. Stosując podobną metodologię pracy, możesz zastosować te same cechy projektu w swojej pracy. Rzućmy okiem na kilka inspirujących przykładów.

Architektura grecka

W architekturze starożytnej Grecji złoty podział służył do określenia przyjemnej relacji przestrzennej pomiędzy szerokością budynku a jego wysokością, wielkością portyku, a nawet położeniem kolumn podtrzymujących konstrukcję.

Rezultatem jest idealnie proporcjonalna struktura. Ruch architektury neoklasycznej również korzystał z tych zasad.

Ostatnia Wieczerza

Leonardo Da Vinci, podobnie jak wielu innych artystów przeszłości, często posługiwał się Złotym Podziałem, aby stworzyć przyjemne kompozycje.

W Ostatniej Wieczerzy postacie znajdują się w dolnych dwóch trzecich (większej z dwóch części Złotej Proporcji), a Jezus jest doskonale naszkicowany pomiędzy złotymi prostokątami.

Złoty podział w przyrodzie

Przykładów złotego podziału w przyrodzie jest wiele – możesz je znaleźć wokół siebie. Kwiaty, muszle, ananasy, a nawet plastry miodu wykazują ten sam stosunek.

Jak obliczyć złoty podział

Obliczenie złotego podziału jest dość proste i zaczyna się od prostego kwadratu:

01. Narysuj kwadrat

Stanowi długość krótszego boku prostokąta.

02. Podziel kwadrat

Podziel kwadrat na pół za pomocą pionowej linii, tworząc dwa prostokąty.

03. Narysuj przekątną

W jednym z prostokątów narysuj linię od jednego rogu do przeciwnego.

04. Obróć

Obróć tę linię tak, aby leżała poziomo w stosunku do pierwszego prostokąta.

05. Utwórz nowy prostokąt

Utwórz prostokąt, używając nowej poziomej linii i pierwszego prostokąta.

Jak korzystać ze złotego podziału

Stosowanie tej zasady jest prostsze niż myślisz. Istnieje kilka szybkich trików, które możesz zastosować w swoich układach lub poświęcić trochę więcej czasu i w pełni rozwinąć koncepcję.

Szybki sposób

Jeśli kiedykolwiek zetknąłeś się z Zasadą Trójpodziału, znasz ideę dzielenia przestrzeni na równe trzecie w pionie i poziomie, gdzie linie przecinają się, tworząc naturalne punkty dla obiektów.

Fotograf umieszcza główny obiekt na jednej z przecinających się linii, aby stworzyć przyjemną kompozycję. Zasadę tę można również zastosować w układzie strony i projektach plakatów.

Zasadę trójpodziału można zastosować do dowolnego kształtu, ale jeśli zastosujemy ją do prostokąta o proporcjach około 1:1,6, to wyjdziemy bardzo blisko złotego prostokąta, co sprawi, że kompozycja będzie przyjemniejsza dla oka.

Pełna realizacja

Jeśli chcesz w pełni wdrożyć Złoty Podział w swoim projekcie, po prostu ułóż główną treść i pasek boczny (w projektowaniu stron internetowych) w proporcji 1: 1,61.

Możesz zaokrąglić wartości w dół lub w górę: jeśli obszar zawartości wynosi 640 pikseli, a pasek boczny ma rozmiar 400 pikseli, to ten znacznik jest całkiem odpowiedni dla Złotego Podziału.

Oczywiście można również podzielić zawartość i obszary paska bocznego na tę samą relację, a relację między nagłówkiem strony internetowej, obszarem treści, stopką i nawigacją można również zaprojektować w oparciu o tę samą zasadę.

Użyteczne narzędzia

Oto kilka narzędzi, które pomogą Ci wykorzystać złoty podział w projektowaniu i stworzyć proporcjonalne projekty.

GoldenRATIO to aplikacja do tworzenia projektów stron internetowych, interfejsów i szablonów odpowiednich dla Złotego Podziału. Dostępna w sklepie Mac App Store za 2,99 USD. Zawiera kalkulator wizualny Złota sekcja.

Aplikacja posiada również funkcję „Ulubione”, która zapisuje ustawienia dla zadań cyklicznych oraz mod „Click-thru”, który pozwala zminimalizować aplikację w Photoshopie.

Ten kalkulator złotego podziału firmy Pearsonified pomoże Ci stworzyć idealną typografię dla Twojej witryny. Wpisz w polu rozmiar czcionki, szerokość kontenera i kliknij przycisk Ustaw mój typ! Jeśli chcesz zoptymalizować liczbę liter w wierszu, możesz dodatkowo wprowadzić wartość CPL.

To proste, przydatne i bezpłatna aplikacja dostępny dla komputerów Mac i PC. Wpisz dowolną liczbę, a aplikacja obliczy drugą cyfrę zgodnie z zasadą złotego podziału.

Ta aplikacja pozwala projektować ze złotymi proporcjami, oszczędzając mnóstwo czasu na obliczeniach.

Możesz zmieniać kształty i rozmiary, aby skupić się na swoim projekcie. Stała licencja kosztuje 49 dolarów, ale przez miesiąc można pobrać bezpłatną wersję.

Szkolenie Złotej Sekcji

Oto kilka przydatnych samouczków na temat złotego podziału (w języku angielskim):

W tym samouczku poświęconym sztuce cyfrowej Roberto Marras pokazuje, jak wykorzystać złoty podział w swojej pracy artystycznej.

Tutorial od Tuts+ pokazujący jak wykorzystać złote zasady w projektach webowych.

Tutorial z Smashing Magazine na temat proporcji i zasady trójpodziału.

Złoty podział jest uniwersalnym przejawem harmonii strukturalnej. Występuje w przyrodzie, nauce, sztuce - we wszystkim, z czym człowiek może się zetknąć. Po zaznajomieniu się ze złotą zasadą ludzkość już jej nie zdradzała.

DEFINICJA

Najbardziej wszechstronna definicja złotego podziału stwierdza, że ​​mniejsza część odnosi się do większej, tak jak większa część odnosi się do całości. Jego przybliżona wartość to 1,6180339887. W zaokrąglonej wartości procentowej proporcje części całości będą odpowiadać od 62% do 38%. Relacja ta funkcjonuje w formach przestrzeni i czasu.

Starożytni postrzegali złoty podział jako odzwierciedlenie kosmicznego porządku, a Johannes Kepler nazwał go jednym ze skarbów geometrii. Współczesna nauka uważa złoty podział za „asymetryczną symetrię”, nazywając ją w szerokim znaczeniu uniwersalną regułą odzwierciedlającą strukturę i porządek naszego porządku świata.

FABUŁA

Starożytni Egipcjanie mieli pojęcie o złotych proporcjach, wiedzieli o nich na Rusi, ale po raz pierwszy złoty podział został naukowo wyjaśniony przez mnicha Luca Pacioli w książce „Boska proporcja” (1509), do której ilustracje zostały rzekomo wykonany przez Leonarda da Vinci. Pacioli widział złoty podział boska trójca: mały segment uosabiał Syna, duży segment reprezentował Ojca, a cały segment reprezentował Ducha Świętego.

Nazwisko włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego jest bezpośrednio związane z zasadą złotego podziału. W wyniku rozwiązania jednego z problemów naukowiec otrzymał ciąg liczb znany obecnie jako ciąg Fibonacciego: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. Kepler zwracał uwagę na związek tego ciągu ze złotą proporcją: „Jest on tak ułożony, że dwa dolne wyrazy tej niekończącej się proporcji sumują się do trzeciego wyrazu, a dowolne dwa ostatnie wyrazy, jeśli się dodadzą, dają kolejną kadencję i tę samą proporcję utrzymuje się w nieskończoność” Teraz seria Fibonacciego jest podstawą arytmetyczną do obliczania proporcji złotego podziału we wszystkich jego przejawach.

Leonardo da Vinci również poświęcił wiele czasu na badanie cech złotego podziału, najprawdopodobniej samo określenie należy do niego. Jego rysunki stereometrycznej bryły utworzonej z pięciokątów foremnych dowodzą, że każdy z prostokątów uzyskanych przez przekrój daje współczynnik kształtu w złotym podziale.

Z biegiem czasu zasada złotego podziału stała się akademicką rutyną i dopiero filozof Adolf Zeising w 1855 roku dał jej drugie życie. Doprowadził proporcje złotego podziału do absolutu, czyniąc je uniwersalnymi dla wszystkich zjawisk otaczającego świata. Jednak jego „estetyka matematyczna” wywołała wiele krytyki.

NATURA

Nawet bez wchodzenia w obliczenia złoty podział można łatwo znaleźć w przyrodzie. Tak więc stosunek ogona do ciała jaszczurki, odległości między liśćmi na gałęzi mieszczą się pod nim, istnieje złoty podział w kształcie jajka, jeśli przez jego najszerszą część zostanie poprowadzona linia warunkowa.

Białoruski naukowiec Eduard Soroko, badając formy złotych podziałów w przyrodzie, zauważył, że wszystko, co rośnie i stara się zająć swoje miejsce w przestrzeni, ma proporcje złotego podziału. Jego zdaniem jedną z najciekawszych form jest skręcanie spiralne.

Archimedes, zwracając uwagę na spiralę, na podstawie jej kształtu wyprowadził równanie, które do dziś jest stosowane w technice. Goethe zauważył później pociąg natury do form spiralnych, nazywając ją „krzywą życia”. Współcześni naukowcy odkryli, że takie przejawy form spiralnych w przyrodzie, jak muszla ślimaka, rozmieszczenie nasion słonecznika, wzory pajęczej sieci, ruch huraganu, struktura DNA, a nawet struktura galaktyk, zawierają szereg Fibonacciego.

CZŁOWIEK

Projektanci mody i projektanci odzieży dokonują wszelkich obliczeń w oparciu o proporcje złotego podziału. Człowiek jest uniwersalną formą testowania praw złotego podziału. Oczywiście z natury nie wszyscy ludzie mają idealne proporcje, co stwarza pewne trudności przy wyborze ubrań.

W pamiętniku Leonarda da Vinci znajduje się rysunek nagiego mężczyzny wpisany w okrąg, w dwóch nałożonych na siebie pozycjach. Bazując na badaniach rzymskiego architekta Witruwiusza, Leonardo w podobny sposób próbował ustalić proporcje ciała ludzkiego. Później francuski architekt Le Corbusier, korzystając z „Człowieka witruwiańskiego” Leonarda, stworzył własną skalę „harmonicznych proporcji”, która wpłynęła na estetykę architektury XX wieku.

Adolf Zeising, badając proporcjonalność osoby, wykonał kolosalną pracę. Zmierzył około dwóch tysięcy ludzkich ciał, a także wiele starożytnych posągów i doszedł do wniosku, że złoty podział wyraża przeciętne prawo statystyczne. U człowieka prawie wszystkie części ciała są mu podporządkowane, ale głównym wskaźnikiem złotego podziału jest podział ciała przez punkt pępka.
W wyniku pomiarów badaczka stwierdziła, że ​​proporcje ciała mężczyzny 13:8 są bliższe złotemu podziałowi niż proporcje ciała kobiety – 8:5.

SZTUKA FORM PRZESTRZENNYCH

Artysta Wasilij Surikow powiedział, że „w kompozycji obowiązuje niezmienne prawo, kiedy na obrazie nie można niczego usunąć ani dodać, nie można nawet dodać dodatkowego punktu, to jest prawdziwa matematyka”. Przez długi czas artyści kierowali się tym prawem intuicyjnie, jednak po Leonardo da Vinci proces tworzenia obrazu nie może się już obejść bez rozwiązywania problemów geometrycznych. Na przykład Albrecht Durer użył wynalezionego przez siebie kompasu proporcjonalnego do określenia punktów złotego podziału.

Krytyk sztuki F.V. Kovalev, po szczegółowym zbadaniu obrazu Nikołaja Ge „Aleksander Siergiejewicz Puszkin we wsi Michajłowskoje”, zauważa, że ​​​​każdy szczegół płótna, czy to kominek, regał, fotel czy sam poeta, jest ściśle wpisane w złote proporcje.

Badacze złotego podziału niestrudzenie badają i mierzą arcydzieła architektury, twierdząc, że stały się takimi, ponieważ zostały stworzone według złotych kanonów: na ich liście znajdują się Wielkie Piramidy w Gizie, Katedra Notre Dame, Katedra św. Bazylego i Partenon.

A dziś w każdej sztuce form przestrzennych starają się zachować proporcje złotego podziału, gdyż zdaniem krytyków sztuki ułatwiają percepcję dzieła i budzą u widza wrażenie estetyczne.

SŁOWO, DŹWIĘK I FILM

Formy sztuki tymczasowej na swój sposób ukazują nam zasadę złotego podziału. Na przykład literaturoznawcy zauważyli, że najpopularniejsza liczba wierszy w wierszach późnego okresu twórczości Puszkina odpowiada szeregowi Fibonacciego - 5, 8, 13, 21, 34.

Zasada złotego podziału obowiązuje także w poszczególnych dziełach rosyjskiego klasyka. Tym samym kulminacją „Damowej pik” jest dramatyczna scena Hermana i Hrabiny, zakończona śmiercią tej ostatniej. Historia ma 853 wersety, a punkt kulminacyjny przypada na wers 535 (853:535 = 1,6) – to jest punkt złotego podziału.

Radziecki muzykolog E.K. Rosenov zauważa niesamowitą dokładność proporcji złotego podziału w ścisłych i swobodnych formach dzieł Johanna Sebastiana Bacha, co odpowiada przemyślanemu, skoncentrowanemu, zweryfikowanemu technicznie stylowi mistrza. Dotyczy to także wybitnych dzieł innych kompozytorów, gdzie najbardziej uderzające lub nieoczekiwane rozwiązanie muzyczne pojawia się zwykle w punkcie złotego podziału.

Reżyser filmowy Siergiej Eisenstein celowo skoordynował scenariusz swojego filmu „Pancernik Potiomkin” z zasadą złotego podziału, dzieląc film na pięć części. W pierwszych trzech odcinkach akcja toczy się na statku, a w dwóch ostatnich – w Odessie. Złotym środkiem filmu jest przejście do scen w mieście.