Ovim videom započinjem dugu seriju tutorijala o tome logaritamske jednačine. Sada imate tri primjera odjednom, na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije zadatke, koji se zovu tako - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:

log a f(x) = b

Važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f(x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.

Osnovne metode rješenja

Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi predlaže ovaj način: Odmah izrazite funkciju f ( x ) koristeći formulu f( x ) = a b . Odnosno, kada upoznate najjednostavniju konstrukciju, možete odmah preći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.

Da, naravno, odluka će se pokazati ispravnom. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto tačno dižemo slovo a na slovo b.

Kao rezultat toga, često primjećujem vrlo uvredljive greške, kada se, na primjer, ova slova zamjenjuju. Ovu formulu treba ili razumjeti ili zapamtiti, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.

Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu ​​školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što vjerojatno pogađate iz imena, zove kanonski oblik.

Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš zadatak: na lijevoj strani imamo log a , dok slovo a označava upravo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Dakle, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:

1 ≠ a > 0

S druge strane, iz iste jednadžbe vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a za ovo slovo nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost – i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).

I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da bilo koji broj b može biti predstavljen kao logaritam u bazi a od a do stepena b:

b = log a a b

Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. A sada iskoristimo osnovno svojstvo logaritma i unesite faktor b kao stepen a. Dobijamo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana u sljedećem obliku:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i rješava se standardnim algebarskim tehnikama.

Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smišljati nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka, ako je bilo moguće odmah ići od prvobitne konstrukcije do konačne formule? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.

Ali takav slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi ta konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:

log a f(x) = log a a b

Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.

Primjeri rješenja

A sada da razmotrimo stvarni primjeri. Pa da odlučimo:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Hajde da to prepišemo ovako:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. I zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.

Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako ne biste napravili uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:

3x - 1 = 0,5 -3

Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pozabavimo se brojem 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pretvorite sve decimale u razlomke kada rješavate logaritamsku jednadžbu.

Prepisujemo i dobijamo:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Sve smo dobili odgovor. Prvi zadatak je riješen.

Drugi zadatak

Pređimo na drugi zadatak:

Kao što vidite, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što je razlika lijevo, a ni jedan logaritam u jednoj bazi.

Stoga se morate nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:

Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeći na funkcije stepena, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i, na kraju, takvi notacija uvelike pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to napišemo ovako:

Sada se sećamo predivna nekretnina logaritam: iz argumenta, kao i iz baze, možete izvaditi stepene. U slučaju baza dešava se sljedeće:

log a k b = 1/k loga b

Drugim riječima, broj koji je stajao u stepenu osnove povlači se naprijed i istovremeno preokreće, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju postojao je stepen baze sa indikatorom od 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. Dobijamo:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Imajte na umu: ni u kom slučaju se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Sjetite se matematike 4-5 razreda i redoslijeda operacija: prvo se vrši množenje, a tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sada naša jednadžba izgleda kako bi trebala. Ovo najjednostavniji dizajn, a mi to rješavamo kanonskim oblikom:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

To je sve. Drugi problem je riješen.

Treći primjer

Pređimo na treći zadatak:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Prisjetite se sljedeće formule:

log b = log 10 b

Ako ste iz nekog razloga zbunjeni pisanjem lg b, onda kada radite sve proračune, možete jednostavno napisati log 10 b. Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: izvadite potencije, sabirajte i predstavite bilo koji broj kao lg 10.

Upravo ova svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.

Za početak, imajte na umu da faktor 2 prije lg 5 može biti umetnut i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 također se može predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.

Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir primljene promjene:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga zaobilazeći fazu transformacija, odnosno najjednostavnija logaritamska jednadžba kod nas nije nigdje došla.

To je ono o čemu sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik omogućava rješavanje šire klase problema od standardne školske formule, koju daje većina školskih nastavnika.

To je sve, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Sve! Problem riješen.

Napomena o obimu

Ovdje bih želio dati važnu napomenu o domenu definicije. Sigurno sada ima učenika i nastavnika koji će reći: „Kada rješavamo izraze logaritmima, neophodno je zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!“ S tim u vezi nameće se logično pitanje: zašto ni u jednom od razmatranih problema nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena?

Ne brini. U ovim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u zadatku varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (tačnije, u jednom jedinom argumentu jednog jedinog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju ne postoji varijabla x, onda upišite domenu nema potrebe jer će se pokrenuti automatski.

Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x - 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x - 1 biti veće od nule.

Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x mora biti jednako 5 2, tj. sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.

To je sve što trebate znati da biste riješili jednostavne probleme. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.

Ali budimo iskreni: da bismo konačno razumjeli ovu tehniku, da bismo naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Dakle, odmah preuzmite opcije za nezavisna odluka, koji su priloženi ovom video tutorijalu i započinju rješavanje barem jednog od ova dva samostalna rada.

Trebat će vam samo nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći u odnosu na da ste upravo pogledali ovaj video tutorijal.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Primijenite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih zadataka. I to je sve što imam za danas.

Razmatranje obima

Hajde sada da razgovaramo o domenu logaritamske funkcije, kao io tome kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme

log a f(x) = b

Takav izraz se naziva najjednostavnijim - ima samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju nisu funkcija koja ovisi o varijabli x. Rešava se vrlo jednostavno. Samo trebate koristiti formulu:

b = log a a b

Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Ovo je već poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je funkcija f ( x ) u originalnom izrazu ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:

f(x) > 0

Ovo ograničenje vrijedi jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi zbog ovog ograničenja trebali uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba zamijeniti u izvoru?

Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednačinama dodatna provjera nije potrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:

f(x) = a b

Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev nameće i logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja za broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na koji stepen podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo i dalje dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 se ispunjava automatski.

Ono što zaista vrijedi provjeriti je opseg funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složeni dizajni, a u procesu njihovog rješavanja, svakako ih morate slijediti. Hajde da pogledamo.

Prvi zadatak:

Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:

Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne nikakve dodatne provjere da li je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je po uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev "veći od nule" automatski ispunjeno.

Pređimo na drugi zadatak:

Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo iracionalnu jednačinu:

Oba dijela kvadriramo, uzimajući u obzir ograničenja, i dobivamo:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Rezultujuću jednačinu rešavamo preko diskriminanta:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 = -6

Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:

−6 + 4 = −2 < 0

U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedini odgovor u našem slučaju je x = −1. To je sve rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.

Glavni zaključak iz ove lekcije je da nije potrebno provjeravati granice za funkciju u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama. Jer u procesu rješavanja sva ograničenja se izvršavaju automatski.

Međutim, to nikako ne znači da možete potpuno zaboraviti na verifikaciju. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.

Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.

Logaritamske jednadžbe s različitim bazama

Nastavljamo s proučavanjem logaritamskih jednadžbi i analiziramo još dva prilično zanimljiva trika s kojima je moderno rješavati složenije strukture. Ali prvo, sjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji zadaci:

log a f(x) = b

U ovoj notaciji, a i b su samo brojevi, a u funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Za ovo, napominjemo da

b = log a a b

A b je samo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:

log a f(x) = log a a b

Upravo to pokušavamo postići, tako da i lijevo i desno bude logaritam osnovice a. U ovom slučaju možemo, slikovito rečeno, precrtati znakove log, a sa stanovišta matematike možemo reći da argumente jednostavno izjednačavamo:

f(x) = a b

Kao rezultat, dobijamo novi izraz koji će se mnogo lakše riješiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje zadatke.

Dakle, prvi dizajn:

Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak, čiji je nazivnik log. Kada vidite ovakav izraz, vrijedi se sjetiti divnog svojstva logaritama:

Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao količnik dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno, 0< с ≠ 1.

Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju forme:

Upravo ovu konstrukciju posmatramo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:

Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo preokrenuti razlomak.

Podsjećamo da se bilo koji stepen može izvaditi iz baze prema sljedećem pravilu:

Drugim riječima, koeficijent k, koji je stepen baze, uzima se kao obrnuti razlomak. Izvadimo to kao obrnuti razlomak:

Faktor razlomka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovaj unos kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora ispred drugog logaritma). Stoga, stavimo razlomak 1/4 u argument kao stepen:

Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a zaista imamo iste baze) i pišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Obratite pažnju: u originalnom problemu varijabla x se pojavljuje samo u jednom dnevniku, i nalazi se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.

Sada pređimo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa lg f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom studentu može se činiti da je ovo nekakva limena, ali zapravo je sve riješeno elementarno.

Pogledajte pomno termin lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke naznake. Prisjetimo se još jednom kako se stupnjevi vade ispod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Drugim riječima, ono što je bila snaga broja b u argumentu postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Ne plašite se lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati ovako:

Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može uvesti u snagu argumenta. napišimo:

Učenici vrlo često ne vide ovu radnju, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u tome nema ničeg kriminalnog. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:

Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako konvertujete logaritamsku jednačinu, ovu formulu biste trebali znati na isti način kao i prikaz bilo kojeg broja u obliku log.

Vraćamo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti jednostavno biti jednak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju imamo. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Stavimo to u pravi lg argument:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo predznake lg i izjednačavamo argumente:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

To je sve! Rešili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.

Navest ću ponovo ključne točke ovu lekciju.

Glavna formula koja se proučava u svim lekcijama na ovoj stranici posvećenim rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne obuzda činjenica da vas većina školskih udžbenika uči kako da drugačije riješite ovakve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.

Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:

1. Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada okrećemo dnevnik (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom zadatku);
2. Formula za unošenje i uzimanje potencija ispod znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide direktno da oduzeta i dovedena snaga može sama sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.

U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati opseg u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi domena se ispunjavaju automatski.

Problemi sa varijabilnom bazom

Danas ćemo razmatrati logaritamske jednadžbe, koje se mnogim studentima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima koji se ne temelje na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.

Za početak, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi koji se temelje na običnim brojevima. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove

log a f(x) = b

Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:

b = log a a b

Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:

log a f(x) = log a a b

Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:

f(x) = a b

Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni u rješenju bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis, kada su i lijevo i desno na istom logaritmu sa istom bazom, naziva se kanonski oblik. Na ovaj rekord ćemo pokušati svesti današnje gradnje. Pa idemo.

Prvi zadatak:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je, u stvari, broj b, koji je bio desno od znaka jednakosti. Pa hajde da prepišemo naš izraz. Dobijamo:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ali rješenje se tu ne završava, jer ova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.

Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo biti mudriji i prvo zapišimo sve zahtjeve:

Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:

x − 2 ≠ 1

Kao rezultat, dobijamo sistem:

Ali nemojte biti uznemireni: kada se obrađuju logaritamske jednačine, takav sistem može biti znatno pojednostavljen.

Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa nekim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.

U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.

Naravno, možemo i precrtati linearne nejednakosti, tj. precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali morate se složiti da je mnogo brže i lakše riješiti najjednostavniju linearnu nejednačinu nego u ovom sistemu dobijamo iste korijene.

Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.

Prepišimo naš sistem:

Evo takvog sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već shvatili. Zapišimo odvojeno kvadratnu jednačinu i riješimo je:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Pred nama je redukovani kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Sada, da se vratimo na naš sistem, nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da imamo x striktno veće od 2.

Ali x = 5 nam sasvim dobro odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.

Sve, zadatak je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Ovdje nas čekaju zanimljiviji i sadržajniji proračuni:

Prvi korak: kao i prošli put, sve ovo poslovanje dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:

Baza s korijenom se ne može dirati, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. napišimo:

Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je opet reducirani kvadratni trinom, koristit ćemo Vietine formule i napisati:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, log znakovi nameću dodatna ograničenja (ovdje bismo morali zapisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele konstrukcije odlučio sam da posebno izračunam domen definicije).

Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:

Ovo su zahtjevi koje nameće domen definicije.

Odmah napominjemo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda prijeteće od druge.

Osim toga, imajte na umu da će rješenja druge i treće nejednačine biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno sličan, pa jedan od njih možemo precrtati).

Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Oslobodimo se znaka radikala na lijevoj strani, za koji oba dijela podižemo na kocku. Dobijamo:

Tako dobijamo sljedeće zahtjeve:

−2 ≠ x > −3

Koji od naših korijena: x 1 = -3 ili x 2 = -1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (jer je naša nejednakost stroga). Ukupno, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.

Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:

1. Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takav zapis, a ne prelaze direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f ( x ) = b , prave mnogo manje grešaka od onih koji žure negde, preskačući međukorake proračuna;
2. Čim se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već i ne smiju biti jednake 1.

Posljednje zahtjeve možete nametnuti konačnim odgovorima na različite načine. Na primjer, moguće je riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve domena. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim se sjetiti domena definicije, razraditi ga zasebno u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.

Na vama je koji način da odaberete prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.

Algebra 11 razred

Tema: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina"

Ciljevi lekcije:

edukativni: izgrađivanje znanja o Različiti putevi rješavanje logaritamskih jednadžbi, sposobnost njihove primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvoj vještina za posmatranje, upoređivanje, primjenu znanja u novoj situaciji, utvrđivanje obrazaca, generalizacija; formiranje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

edukativni: vaspitanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivo sagledavanje gradiva na času, tačnost vođenja evidencije.

Vrsta lekcije : lekcija upoznavanja sa novim gradivom.

"Izum logaritama, skraćivanjem rada astronoma, produžio je njegov život."
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Tokom nastave

I. Postavljanje cilja časa

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritama i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se korištenjem istih algoritama. Ove algoritme ćemo razmotriti danas u lekciji. Malo ih je. Ako ih savladate, tada će svaka jednačina sa logaritmima biti izvodljiva za svakog od vas.

Zapišite u svoju bilježnicu temu lekcije: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriranje osnovnih znanja

Spremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak riješite i zapišete odgovor, ne možete napisati uvjet. Raditi u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

A)

b)

V)

e)

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija podudaraju?

a) y = x i

b)I

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Izračunajte :

6) Pokušajte vratiti ili dovršiti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Izjava se prikazuje na ekranu:

"Jednačina je zlatni ključ koji otključava sav matematički sezam."
Moderni poljski matematičar S. Koval

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma ).

Razmislitenajjednostavnija logaritamska jednadžba: log A x = b (gdje je a>0, a ≠ 1). Kako logaritamska funkcija raste (ili opada) na skupu pozitivnih brojeva i uzima sve realne vrijednosti, iz korijenske teoreme slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, osim toga, samo jedno rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema osnovici a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x ). Iz definicije logaritma odmah slijedi daA V je takvo rješenje.

Zapišite naslov:Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma .

Ovako nastaju najjednostavnije jednačine oblika.

Razmislitebr. 514(a ): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma )

Rješenje . , Dakle 2x - 4 = 4; x = 4.

Odgovor: 4.

U ovom zadatku, 2x - 4 > 0, pošto> 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni, iverifikacija nije potrebna . Uslov 2x - 4 > 0 u ovom zadatku nije potrebno ispisivati.

2. Potenciranje (prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Razmislitebr. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Koju ste osobinu primijetili?(Baze su iste, a logaritmi dva izraza jednaki) . Šta se može učiniti?(potencirati).

U ovom slučaju treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X 2 +8>0 ekstra nejednakost

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencirajte originalnu jednačinu

x 2 +8= 8 x+8

dobijamo jednačinux 2 +8= 8 x+8

Hajde da to riješimo:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Odgovor: 0; 8

Uglavnomprelazak na ekvivalentni sistem :

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jedna od nejednakosti se može zanemariti).

Pitanje razredu : Koje vam se od ova tri rješenja najviše dopalo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable .

Razmislitebr. 520(g) . .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba za log3x) Vaši prijedlozi? (Uvesti novu varijablu)

Rješenje . ODZ: x > 0.

Neka, tada će jednačina poprimiti oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinoj teoremi:.

Povratak na zamjenu:ili.

Rješavajući najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobijamo:

; .

Odgovori : 27;

4. Logaritam obe strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje : ODZ: x>0, uzimamo logaritam obe strane jednačine u bazi 10:

. Primijenite svojstvo logaritma stepena:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Neka je lgx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobijamo: lgx = -4,; logx = 1,. . To je kako slijedi: ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava i drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)=g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X .

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi. .

Odgovori : 2

« Ispravna upotreba metode se mogu naučiti
samo ih primjenjujući na razne primjere.
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

I v. Zadaća

str. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514 (b), br. 529 (b), br. 520 (b), br. 523 (b)

V. Sumiranje lekcije

Koje smo metode rješavanja logaritamskih jednačina razmatrali u lekciji?

U sljedećoj lekciji ćemo pogledati više složene jednačine. Za njihovo rješavanje korisne su proučavane metode.

Prikaz zadnjeg slajda:

“Šta je više od svega na svijetu?
Prostor.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
Šta je najprijatnije?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim da svako postigne ono što želi. Hvala vam na saradnji i razumevanju.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritamska jednadžba naziva se jednadžba u kojoj su nepoznata (x) i izrazi s njom pod znakom logaritamske funkcije. Rješavanje logaritamskih jednadžbi pretpostavlja da ste već upoznati sa i .
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Najjednostavnija jednačina je log a x = b, gdje su a i b neki brojevi, x je nepoznanica.
Rješavanje logaritamske jednadžbe je x = a b pod uslovom: a > 0, a 1.

Treba napomenuti da ako je x negdje izvan logaritma, na primjer log 2 x \u003d x-2, tada se takva jednadžba već naziva mješovitom i potreban je poseban pristup za njezino rješavanje.

Idealan slučaj je kada naiđete na jednadžbu u kojoj su samo brojevi pod znakom logaritma, na primjer x + 2 = log 2 2. Ovdje je dovoljno znati svojstva logaritma da biste je riješili. Ali takva sreća se ne dešava često, pa se pripremite za teže stvari.

Ali prvo, nakon svega, počnimo s jednostavnim jednadžbama. Za njihovo rješavanje poželjno je imati najopštiju ideju logaritma.

Rješavanje jednostavnih logaritamskih jednadžbi

To uključuje jednadžbe poput log 2 x \u003d log 2 16. Može se vidjeti golim okom da izostavljanjem znaka logaritma dobivamo x \u003d 16.

Da bi se riješila složenija logaritamska jednadžba, obično se vodi do rješenja obične algebarske jednačine ili do rješenja najjednostavnije logaritamske jednačine log a x = b. U najjednostavnijim jednačinama to se događa u jednom kretanju, zbog čega se nazivaju najjednostavnijim.

Navedena metoda ispuštanja logaritama jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoji određena pravila ili ograničenja za ovu vrstu operacija:

• logaritmi imaju iste numeričke baze
• logaritmi u oba dijela jednačine su slobodni, tj. bez ikakvih koeficijenata i drugih raznih vrsta izraza.

Recimo u jednadžbi log 2 x = 2log 2 (1- x), potenciranje nije primjenjivo - koeficijent 2 s desne strane ne dopušta. U sljedećem primjeru, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) jedno od ograničenja također nije zadovoljeno - postoje dva logaritma na lijevoj strani. To bi bila jedna - sasvim druga stvar!

Općenito, logaritme možete ukloniti samo ako jednadžba ima oblik:

log a(...) = log a(...)

Apsolutno bilo koji izrazi mogu biti u zagradama, to apsolutno ne utječe na operaciju potenciranja. A nakon eliminacije logaritama ostat će jednostavnija jednačina - linearna, kvadratna, eksponencijalna itd., koju već, nadam se, znate riješiti.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Primjenom potenciranja dobijamo:

log 3 (2x-1) = 2

Na osnovu definicije logaritma, naime, da je logaritam broj na koji se baza mora podići da bi se dobio izraz koji je pod znakom logaritma, tj. (4x-1), dobijamo:

Opet, dobili smo lep odgovor. Ovdje smo prošli bez eliminacije logaritama, ali potenciranje je primjenjivo i ovdje, jer se logaritam može napraviti od bilo kojeg broja, i to upravo onog koji nam je potreban. Ova metoda je od velike pomoći u rješavanju logaritamskih jednadžbi, a posebno nejednačina.

Rešimo našu logaritamsku jednačinu log 3 (2x-1) = 2 koristeći potenciranje:

Predstavimo broj 2 kao logaritam, na primjer, takav log 3 9, jer je 3 2 =9.

Zatim log 3 (2x-1) = log 3 9 i opet dobijamo istu jednačinu 2x-1 = 9. Nadam se da je sve jasno.

Pa smo pogledali kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, koje su zapravo vrlo važne, jer rješenje logaritamskih jednadžbi, čak i oni najstrašniji i najizvrnutiji, na kraju se uvijek svode na rješavanje najjednostavnijih jednačina.

U svemu što smo gore uradili, jednu smo veoma previdjeli važna tačka koji će igrati odlučujuću ulogu u budućnosti. Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednačine, čak i one najelementarnije, sastoji od dva ekvivalentna dijela. Prvo je rješenje same jednadžbe, drugo je rad s površinom dozvoljene vrijednosti(ODZ). To je samo prvi dio koji smo savladali. U gornjim primjerima, ODD ni na koji način ne utiče na odgovor, tako da ga nismo razmatrali.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Spolja, ova jednačina se ne razlikuje od elementarne, koja je vrlo uspješno riješena. Ali nije tako. Ne, naravno da ćemo to riješiti, ali će najvjerovatnije biti pogrešno, jer je u tome mala zasjeda u koju odmah upadaju i studenti C i odlični učenici. Pogledajmo to izbliza.

Pretpostavimo da trebate pronaći korijen jednadžbe ili zbroj korijena, ako ih ima nekoliko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Primjenjujemo potenciranje, ovdje je to dozvoljeno. Kao rezultat, dobijamo uobičajenu kvadratnu jednačinu.

Pronalazimo korijene jednadžbe:

Postoje dva korijena.

Odgovor: 3 i -1

Na prvi pogled, sve je tačno. Ali hajde da proverimo rezultat i zamenimo ga u originalnu jednačinu.

Počnimo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Provjera je bila uspješna, sada je red x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Da, stani! Spolja je sve savršeno. Trenutak - nema logaritama od negativnih brojeva! A to znači da korijen x \u003d -1 nije prikladan za rješavanje naše jednadžbe. I stoga će tačan odgovor biti 3, a ne 2, kako smo napisali.

Tu je ODZ odigrao svoju kobnu ulogu, na koju smo zaboravili.

Da vas podsjetim da se pod područjem ​​​dopustivih vrijednosti prihvaćaju one vrijednosti x koje su dozvoljene ili imaju smisla za originalni primjer.

Bez ODZ-a, svako rješenje, čak i apsolutno ispravno, bilo koje jednadžbe pretvara se u lutriju - 50/50.

Kako bismo mogli biti uhvaćeni dok rješavamo naizgled elementaran primjer? I evo ga u trenutku potenciranja. Logaritmi su nestali, a s njima i sva ograničenja.

Šta učiniti u takvom slučaju? Odbiti eliminirati logaritme? I potpuno napustiti rješenje ove jednadžbe?

Ne, samo ćemo, kao pravi junaci iz jedne poznate pesme, obići!

Prije nego što nastavimo s rješavanjem bilo koje logaritamske jednadžbe, zapisaćemo ODZ. Ali nakon toga, možete raditi šta god vam srce poželi sa našom jednačinom. Dobivši odgovor, jednostavno izbacimo one korijene koji nisu uključeni u naš ODZ i zapišemo konačnu verziju.

Sada odlučimo kako napisati ODZ. Da bismo to učinili, pažljivo ispitujemo originalnu jednadžbu i tražimo sumnjiva mjesta u njoj, kao što je podjela sa x, korijen parnog stepena itd. Dok ne riješimo jednačinu, ne znamo čemu je x jednako, ali sigurno znamo da će takav x, koji će prilikom zamjene dati dijeljenje sa 0 ili ekstrakciju kvadratni korijen od negativnog broja, očito u odgovoru nisu prikladni. Stoga su takvi x-ovi neprihvatljivi, dok će ostatak činiti ODZ.

Koristimo ponovo istu jednačinu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kao što vidite, nema podjele sa 0, nema ni kvadratnog korijena, ali postoje izrazi sa x u tijelu logaritma. Odmah se prisjećamo da izraz unutar logaritma uvijek mora biti > 0. Ovaj uslov je napisan u obliku ODZ:

One. još ništa nismo riješili, ali smo već zapisali obavezni uvjet za cijeli podlogaritamski izraz. Vitičasta zagrada znači da ovi uslovi moraju biti ispunjeni u isto vrijeme.

ODZ je zapisan, ali je potrebno i riješiti nastali sistem nejednakosti, što ćemo i uraditi. Dobijamo odgovor x > v3. Sada sigurno znamo koji nam x neće odgovarati. I tada počinjemo rješavati samu logaritamsku jednačinu, što smo i uradili gore.

Nakon što smo dobili odgovore x 1 = 3 i x 2 = -1, lako je vidjeti da nam odgovara samo x1 = 3 i to zapisujemo kao konačni odgovor.

Za budućnost je vrlo važno zapamtiti sljedeće: bilo koju logaritamsku jednačinu rješavamo u 2 faze. Prvi - rješavamo samu jednačinu, drugi - rješavamo uvjet ODZ-a. Obe etape se izvode nezavisno jedna od druge i upoređuju se samo prilikom pisanja odgovora, tj. odbacujemo sve nepotrebno i zapisujemo tačan odgovor.

Za konsolidaciju materijala, toplo preporučujemo gledanje videa:

U videu, drugi primjeri rješavanja log. jednadžbe i izrada metode intervala u praksi.

Na ovo na tu temu, kako riješiti logaritamske jednadžbe do svega. Ako nešto po odluci log. jednadžbe su ostale nejasne ili nerazumljive, napišite svoja pitanja u komentarima.

Napomena: Akademija socijalnog obrazovanja (KSUE) je spremna da primi nove studente.

Uputstvo

Zapišite dati logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, tada se piše izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Prilikom pronalaženja zbroja dvije funkcije, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti s drugom i dodati izvod druge funkcije, pomnoženu s prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je, od umnožaka izvoda dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja, oduzeti umnožak izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako je data kompleksna funkcija, onda je potrebno pomnožiti izvod unutrašnje funkcije i izvod vanjske. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i zadaci za izračunavanje derivacije u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će uštedjeti mnogo vremena.

Izvori:

• konstantni derivat

Dakle, koja je razlika između iracionalne jednačine i racionalne? Ako je nepoznata varijabla ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina smatra iracionalnom.

Uputstvo

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda podizanja obje strane jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Takvu jednačinu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednačini umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Prema tome, 1 je strani korijen, i stoga ova jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja oba njena dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je odrezati strane korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornoj jednadžbi.

Razmotrite još jednu.
2x+vx-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Transfer Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Shodno tome, dobićete jednačinu kao što je 2y2+y-3=0. To je uobičajena kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijen, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. To zahtijeva identične transformacije dok se cilj ne postigne. Tako će uz pomoć najjednostavnijih aritmetičkih operacija zadatak biti riješen.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka.

Uputstvo

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, postoje mnoge trigonometrijske formule koje su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plus dvostruki proizvod prvog i drugog plus kvadrat drugog, to jest, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Metoda zamjene varijable

Rješenje integrala druge vrste

Zamjena granica integracije