Tento článek se bude zabývat jedním ze základních geometrických tvarů – úhlem. Po obecném seznámení s tímto pojmem se zaměříme na konkrétní typ takové postavy. Přímý úhel je důležitý pojem v geometrii, který bude hlavním tématem tohoto článku.

Úvod do geometrického úhlu

V geometrii existuje řada objektů, které tvoří základ veškeré vědy. Úhel na ně odkazuje a je definován pomocí konceptu paprsku, takže začněme s ním.

Než začnete určovat samotný úhel, musíte si pamatovat několik stejně důležitých objektů v geometrii - to je bod, přímka v rovině a rovina samotná. Přímka je nejjednodušší geometrický útvar, který nemá začátek ani konec. Rovina je plocha, která má dva rozměry. No, paprsek (nebo polopřímka) v geometrii je část přímky, která má začátek, ale žádný konec.

Pomocí těchto pojmů můžeme učinit prohlášení, že úhel je geometrický útvar, který leží celý v určité rovině a skládá se ze dvou divergentních paprsků se společným počátkem. Takové paprsky se nazývají strany úhlu a společným začátkem stran je jeho vrchol.

Typy úhlů a geometrie

Víme, že úhly mohou být úplně jiné. Proto o něco níže bude malá klasifikace, která vám pomůže lépe porozumět typům úhlů a jejich hlavním rysům. V geometrii tedy existuje několik typů úhlů:

1. Pravý úhel. Vyznačuje se hodnotou 90 stupňů, což znamená, že jeho strany jsou vždy na sebe kolmé.
2. Ostrý roh. Tyto úhly zahrnují všechny jejich zástupce, kteří jsou menší než 90 stupňů.
3. Tupý úhel. Zde mohou být všechny úhly v rozsahu od 90 do 180 stupňů.
4. Rozložený roh. Má velikost striktně 180 stupňů a navenek jeho strany tvoří jednu přímku.

Koncept přímého úhlu

Nyní se podíváme na natočený úhel podrobněji. To je případ, kdy obě strany leží na stejné přímce, což je dobře vidět na obrázku o něco níže. To znamená, že můžeme s jistotou říci, že v obráceném úhlu je jedna z jejích stran v podstatě pokračováním druhé.

Stojí za to připomenout skutečnost, že takový úhel lze vždy rozdělit pomocí paprsku, který vychází z jeho vrcholu. V důsledku toho dostaneme dva úhly, které se v geometrii nazývají sousední.

Rozložený úhel má také několik vlastností. Abyste mohli hovořit o prvním z nich, musíte si zapamatovat pojem „sektor úhlu“. Připomeňme, že se jedná o paprsek, který rozděluje jakýkoli úhel přesně na polovinu. Pokud jde o rozvinutý úhel, jeho půlka jej rozděluje tak, že vzniknou dva pravé úhly o velikosti 90 stupňů. To lze velmi snadno vypočítat matematicky: 180˚ (stupeň úhlu natočení): 2 = 90˚.

Dělíme-li pootočený úhel zcela libovolným paprskem, pak ve výsledku dostaneme vždy dva úhly, z nichž jeden bude ostrý a druhý tupý.

Vlastnosti pootočených rohů

Bude vhodné vzít v úvahu tento úhel a spojit všechny jeho hlavní vlastnosti, což jsme udělali v tomto seznamu:

1. Strany natočeného úhlu jsou antiparalelní a tvoří přímku.
2. Úhel otočení je vždy 180˚.
3. Dva sousední úhly spolu vždy tvoří přímý úhel.
4. Úplný úhel, který je 360˚, se skládá ze dvou rozvinutých a je roven jejich součtu.
5. Polovina přímého úhlu je pravý úhel.

Když tedy známe všechny tyto charakteristiky tohoto typu úhlů, můžeme je použít k řešení řady geometrických problémů.

Problémy s natočenými úhly

Chcete-li zjistit, zda jste pochopili koncept přímého úhlu, zkuste odpovědět na několik následujících otázek.

1. Jaká je velikost přímého úhlu, jestliže jeho strany tvoří svislou čáru?
2. Budou dva úhly sousedit, když první je 72˚ a druhý je 118˚?
3. Jestliže se celý úhel skládá ze dvou obrácených úhlů, kolik pravých úhlů má?
4. Přímý úhel je rozdělen paprskem na dva úhly tak, že jejich míry jsou v poměru 1:4. Vypočítejte výsledné úhly.

Řešení a odpovědi:

1. Bez ohledu na to, jak je natočený úhel umístěn, je vždy podle definice roven 180˚.
2. Sousední úhly mají jednu stranu společnou. Proto pro výpočet velikosti úhlu, který spolu svírají, stačí sečíst hodnotu jejich stupňů. To znamená 72 +118 = 190. Ale podle definice je obrácený úhel 180˚, což znamená, že dva dané úhly nemohou sousedit.
3. Přímý úhel obsahuje dva pravé úhly. A protože kompletní má dvě rozložené, znamená to, že budou 4 rovné čáry.
4. Nazveme-li požadované úhly a a b, pak nechť x je pro ně koeficient úměrnosti, což znamená, že a=x, a tedy b=4x. Úhel otočení ve stupních je 180˚. A podle jeho vlastností, že míra stupňů úhlu je vždy rovna součtu mír stupňů těch úhlů, na které je rozdělen libovolným paprskem, který prochází mezi jeho stranami, můžeme usoudit, že x + 4x = 180˚ , což znamená 5x = 180˚ . Odtud zjistíme: x = a = 36˚ a b = 4x = 144˚. Odpověď: 36˚ a 144˚.

Pokud jste byli schopni odpovědět na všechny tyto otázky bez výzev a bez prohlížení odpovědí, pak jste připraveni přejít k další lekci geometrie.

Začněme tím, že definujeme, co je úhel. Za prvé je to Za druhé je tvořen dvěma paprsky, které se nazývají strany úhlu. Za třetí, ten druhý vychází z jednoho bodu, který se nazývá vrchol úhlu. Na základě těchto znaků můžeme vytvořit definici: úhel je geometrický útvar, který se skládá ze dvou paprsků (stran) vycházejících z jednoho bodu (vrcholu).

Jsou klasifikovány podle hodnoty stupně, podle umístění vůči sobě navzájem a vůči kruhu. Začněme typy úhlů podle jejich velikosti.

Existuje jich několik druhů. Pojďme se na jednotlivé typy podívat blíže.

Existují pouze čtyři hlavní typy úhlů – přímé, tupé, ostré a přímé úhly.

Rovný

Vypadá to takto:

Jeho míra stupňů je vždy 90 o, jinými slovy, pravý úhel je úhel 90 stupňů. Mají je pouze takové čtyřúhelníky, jako je čtverec a obdélník.

Otupit

Vypadá to takto:

Míra stupňů je vždy větší než 90 o, ale menší než 180 o. Lze jej nalézt ve čtyřúhelnících, jako je kosočtverec, libovolný rovnoběžník a v mnohoúhelnících.

Pikantní

Vypadá to takto:

Míra stupně ostrého úhlu je vždy menší než 90°. Nachází se ve všech čtyřúhelnících kromě čtverce a jakéhokoli rovnoběžníku.

Rozšířený

Rozložený úhel vypadá takto:

Nevyskytuje se v polygonech, ale není o nic méně důležitý než všechny ostatní. Přímý úhel je geometrický útvar, jehož míra stupňů je vždy 180º. Můžete na něm stavět tak, že z jeho vrcholu nakreslíte jeden nebo více paprsků v libovolném směru.

Existuje několik dalších menších typů úhlů. Na školách se neučí, ale je potřeba o jejich existenci alespoň vědět. Existuje pouze pět sekundárních typů úhlů:

1. Nula

Vypadá to takto:

Již samotný název úhlu naznačuje jeho velikost. Jeho vnitřní plocha je 0° a strany leží na sobě, jak je znázorněno na obrázku.

2. Šikmé

Šikmý úhel může být přímý úhel, tupý úhel, ostrý úhel nebo přímý úhel. Jeho hlavní podmínkou je, že by se nemělo rovnat 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konvexní

Konvexní úhly jsou nulové, přímé, tupé, ostré a přímé úhly. Jak jste již pochopili, míra stupně konvexního úhlu je od 0° do 180°.

4. Nekonvexní

Úhly s mírami stupňů od 181° do 359° včetně nejsou konvexní.

5. Plný

Úplný úhel je 360 ​​stupňů.

To jsou všechny typy úhlů podle jejich velikosti. Nyní se podívejme na jejich typy podle jejich umístění v rovině vůči sobě navzájem.

1. Dodatečné

Jedná se o dva ostré úhly tvořící jednu přímku, tzn. jejich součet je 90 o.

2. Sousední

Sousední úhly se tvoří, pokud paprsek prochází rozvinutým úhlem, nebo spíše jeho vrcholem, v libovolném směru. Jejich součet je 180 o.

3. Vertikální

Svislé úhly se tvoří, když se protnou dvě přímky. Jejich míry jsou stejné.

Nyní přejdeme k typům úhlů umístěných vzhledem ke kružnici. Jsou pouze dva: centrální a vepsaný.

1. Centrální

Středový úhel je úhel s vrcholem ve středu kruhu. Jeho míra stupně je rovna míre stupně menšího oblouku zakrytého stranami.

2. Vepsané

Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany ji protínají. Jeho míra stupně se rovná polovině oblouku, na kterém spočívá.

To je vše pro úhly. Nyní víte, že kromě těch nejznámějších – ostrých, tupých, přímých a nasazených – jich v geometrii existuje mnoho dalších typů.

Úhel je geometrický útvar, který se skládá ze dvou různých paprsků vycházejících z jednoho bodu. V tomto případě se tyto paprsky nazývají strany úhlu. Bod, který je začátkem paprsků, se nazývá vrchol úhlu. Na obrázku vidíte úhel s vrcholem v bodě O a strany k A m.

Po stranách úhlu jsou vyznačeny body A a C. Tento úhel lze označit jako úhel AOC. Uprostřed musí být název bodu, ve kterém se nachází vrchol úhlu. Existují i ​​jiná označení, úhel O nebo úhel km. V geometrii se místo slova úhel často píše speciální symbol.

Rozvinutý a neroztažený úhel

Leží-li obě strany úhlu na stejné přímce, pak se takový úhel nazývá rozšířenýúhel. To znamená, že jedna strana úhlu je pokračováním druhé strany úhlu. Obrázek níže ukazuje rozšířený úhel O.

Je třeba poznamenat, že jakýkoli úhel rozděluje rovinu na dvě části. Pokud úhel není rozvinutý, pak se jedna z částí nazývá vnitřní oblast úhlu a druhá se nazývá vnější oblast tohoto úhlu. Obrázek níže ukazuje nerozvinutý úhel a označuje vnější a vnitřní oblasti tohoto úhlu.

V případě rozvinutého úhlu lze kteroukoli ze dvou částí, na které rozděluje rovinu, považovat za vnější oblast úhlu. Můžeme mluvit o poloze bodu vzhledem k úhlu. Bod může ležet mimo roh (ve vnější oblasti), může být umístěn na jedné z jeho stran nebo může ležet uvnitř rohu (ve vnitřní oblasti).

Na obrázku níže leží bod A mimo úhel O, bod B leží na jedné straně úhlu a bod C leží uvnitř úhlu.

Měření úhlů

Pro měření úhlů existuje zařízení zvané úhloměr. Jednotkou úhlu je stupeň. Je třeba poznamenat, že každý úhel má určitý stupeň, který je větší než nula.

V závislosti na míře míry se úhly dělí do několika skupin.

Studenti se seznámí s pojmem úhel na základní škole. Ale jako geometrický útvar, který má určité vlastnosti, ho začínají studovat od 7. třídy v geometrii. zdá se, docela jednoduchá postava, co se o ní dá říct. Se získáváním nových znalostí však školáci stále více chápou, že se o nich mohou dozvědět docela zajímavá fakta.

V kontaktu s

Při studiu

Kurz školní geometrie je rozdělen do dvou částí: planimetrie a stereometrie. V každém z nich je věnována značná pozornost se dává do rohů:

• V planimetrii je uveden jejich základní pojem a je uveden úvod k jejich typům podle velikosti. Vlastnosti každého typu trojúhelníku jsou studovány podrobněji. Pro studenty se objevují nové definice - jedná se o geometrické útvary tvořené průsečíkem dvou přímek mezi sebou a průsečíkem několika přímek s příčnými.
• Ve stereometrii se studují prostorové úhly - dihedrální a triedrický.

Pozornost! Tento článek pojednává o všech typech a vlastnostech úhlů v planimetrii.

Definice a měření

Když začnete studovat, nejprve si určete co je úhel v planimetrii.

Pokud vezmeme určitý bod v rovině a nakreslíme z něj dva libovolné paprsky, získáme geometrický obrazec - úhel, který se skládá z následujících prvků:

• vrchol - bod, ze kterého byly paprsky nakresleny, označený velkým písmenem latinské abecedy;
• strany jsou polopřímé čáry nakreslené z vrcholu.

Všechny prvky, které tvoří obrazec, o kterém uvažujeme, rozdělují rovinu dvě části:

• vnitřní - v planimetrii nepřesahuje 180 stupňů;
• externí.

Princip měření úhlů v planimetrii vysvětleno na intuitivním základě. Nejprve se studenti seznámí s pojmem natočený úhel.

Důležité!Říká se, že úhel je vyvinut, pokud polopřímky vycházející z jeho vrcholu tvoří přímku. Nerozvinutý úhel je všechny ostatní případy.

Pokud je rozdělena na 180 stejných dílů, pak je obvyklé považovat míru jedné části za rovnou 10. V tomto případě říkají, že měření se provádí ve stupních a míra stupně takového čísla je 180 stupně.

Hlavní typy

Typy úhlů jsou rozděleny podle kritérií, jako jsou stupně, povaha jejich tvorby a kategorie uvedené níže.

Podle velikosti

S ohledem na velikost se úhly dělí na:

• rozšířený;
• rovný;
• otupit;
• pikantní.

Který úhel se nazývá rozvinutý, bylo uvedeno výše. Pojďme si definovat pojem přímé.

Lze jej získat rozdělením expandovaného na dvě stejné části. V tomto případě je snadné odpovědět na otázku: kolik stupňů je pravý úhel?

Vydělte 180 stupňů rozvinutého stavu 2 a dostaneme to pravý úhel je 90 stupňů. To je nádherná postava, protože s ní souvisí mnoho faktů v geometrii.

Má také své vlastní vlastnosti v označení. Aby byl na obrázku znázorněn pravý úhel, není označen obloukem, ale čtvercem.

Úhly, které získáme dělením přímky libovolným paprskem, se nazývají ostré. Logicky z toho vyplývá, že ostrý úhel je menší než úhel pravý, ale jeho míra je jiná než 0 stupňů. To znamená, že má hodnotu od 0 do 90 stupňů.

Tupý úhel je větší než úhel pravý, ale menší než úhel přímý. Jeho míra stupňů se pohybuje od 90 do 180 stupňů.

Tento prvek lze rozdělit na různé typy uvažovaných obrázků, s výjimkou rozšířeného.

Bez ohledu na to, jak je neotočený úhel rozdělen, vždy se používá základní axiom planimetrie - „základní vlastnost měření“.

Na dělení úhlu jedním paprskem nebo několik, míra stupně daného obrazce je rovna součtu mír úhlů, na které je rozdělen.

Na úrovni 7. třídy tam typy úhlů podle velikosti končí. Ale pro zvýšení erudice můžeme dodat, že existují i ​​jiné odrůdy, které mají stupňovitou míru větší než 180 stupňů.Říkají se jim konvexní.

Obrazce na průsečíku čar

Další typy úhlů, se kterými se studenti seznamují, jsou prvky tvořené průsečíkem dvou přímek. Obrazce, které jsou umístěny proti sobě, se nazývají vertikální. Jejich charakteristickým rysem je, že jsou si rovni.

Prvky, které sousedí se stejnou čarou, se nazývají sousední. Říká to teorém odrážející jejich vlastnost sousední úhly se sčítají až o 180 stupňů.

Prvky v trojúhelníku

Pokud uvažujeme postavu jako prvek v trojúhelníku, pak se úhly dělí na vnitřní a vnější. Trojúhelník je ohraničen třemi úsečkami a skládá se ze tří vrcholů. Úhly umístěné uvnitř trojúhelníku v každém vrcholu jsou nazývané interní.

Vezmeme-li jakýkoli vnitřní prvek v libovolném vrcholu a protáhneme libovolnou stranu, pak úhel, který je vytvořen a přiléhá k vnitřnímu, se nazývá vnější. Tato dvojice prvků má následující vlastnost: jejich součet je roven 180 stupňům.

Průsečík dvou přímek

Průsečík čar

Když se dvě přímky protnou s transversálou, vytvoří se také úhly., které jsou obvykle distribuovány v párech. Každá dvojice prvků má svůj vlastní název. Vypadá to takto:

• vnitřní příčně ležící: ∟4 a ∟6, ∟3 a ∟5;
• vnitřní jednostranné: ∟4 a ∟5, ∟3 a ∟6;
• odpovídající: ∟1 a ∟5, ∟2 a ∟6, ∟4 a ∟8, ∟3 a ∟7.

V případě, že sečna protíná dvě přímky, mají všechny tyto dvojice úhlů určité vlastnosti:

1. Vnitřní příčně ležící a odpovídající obrazce jsou si navzájem rovny.
2. Vnitřní jednosměrné prvky se sčítají až o 180 stupňů.

Studujeme úhly v geometrii, jejich vlastnosti

Typy úhlů v matematice

Závěr

Tento článek představuje všechny hlavní typy úhlů, které se nacházejí v planimetrii a jsou studovány v sedmé třídě. Ve všech následujících kurzech jsou vlastnosti týkající se všech uvažovaných prvků základem pro další studium geometrie. Například při studiu si budete muset zapamatovat všechny vlastnosti úhlů vytvořených, když se dvě rovnoběžné čáry protínají s příčnou. Při studiu vlastností trojúhelníků je nutné si pamatovat, jaké jsou sousední úhly. Přesuneme-li se ke stereometrii, všechny objemové obrazce budou studovány a konstruovány na základě planimetrických obrazců.