Úvod

Logaritmy byly vynalezeny, aby urychlily a zjednodušily výpočty. Myšlenka logaritmu, tedy myšlenka vyjádřit čísla jako mocninu stejného základu, patří Michailu Stiefelovi. Ale v době Stiefela nebyla matematika tak rozvinutá a myšlenka logaritmu nenašla svůj vývoj. Logaritmy byly vynalezeny později současně a nezávisle na sobě skotským vědcem Johnem Napierem (1550-1617) a Švýcarem Jobstem Burgim (1552-1632). Napier byl první, kdo dílo publikoval v roce 1614. s názvem "Popis úžasné tabulky logaritmů", Napierova teorie logaritmů byla uvedena v poměrně úplném svazku, metoda pro výpočet logaritmů byla uvedena nejjednodušším způsobem, takže Napierovy zásluhy na vynálezu logaritmů jsou větší než zásluhy Burgiho. Bürgi pracoval na stolech ve stejnou dobu jako Napier, ale na dlouhou dobu udržel je v tajnosti a vydal až v roce 1620. Napier zvládl myšlenku logaritmu kolem roku 1594. ačkoli tabulky byly zveřejněny o 20 let později. Nejprve nazval své logaritmy „umělá čísla“ a teprve potom navrhl nazvat tato „umělá čísla“ jedním slovem „logaritmus“, což v řečtině znamená „korelovaná čísla“, převzaté jedno z aritmetické posloupnosti a druhé z geometrická progrese speciálně vybraná pro to. První tabulky v ruštině byly zveřejněny v roce 1703. za účasti pozoruhodného učitele 18. stol. L. F. Magnitského. Ve vývoji teorie logaritmů mělo velký význam dílo petrohradského akademika Leonarda Eulera. Jako první považoval logaritmus za převrácenou hodnotu umocňování, zavedl termíny "základ logaritmu" a "mantisa" Briggs sestavil tabulky logaritmů se základem 10. Desetinné tabulky jsou pro praktické použití výhodnější, jejich teorie je jednodušší než to Napierových logaritmů. Desetinným logaritmům se proto někdy říká brigy. Termín „charakteristický“ zavedl Briggs.

V oněch vzdálených dobách, kdy mudrci poprvé začali uvažovat o rovnosti obsahujících neznámá množství, pravděpodobně ještě neexistovaly žádné mince ani peněženky. Ale na druhou stranu byly haldy, stejně jako hrnce, košíky, které se perfektně hodily do role kešek-obchodů obsahujících neznámý počet předmětů. Ve starověkých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Řecka vyjadřovaly neznámé veličiny počet pávů v zahradě, počet býků ve stádě, souhrn věcí zohledněných při dělení majetku. Písaři, úředníci a kněží zasvěcení do tajných znalostí, dobře vyškolení ve vědě o počítání, se s takovými úkoly docela úspěšně vyrovnávali.

Zdroje, které se k nám dostaly, naznačují, že starověcí vědci nějaké vlastnili běžné trikyřešení problémů s neznámými veličinami. Avšak ani jeden papyrus, ani jedna hliněná tabulka nepodává popis těchto technik. Autoři své numerické výpočty jen občas doplnili zlými komentáři jako: "Podívejte se!", "Udělejte to!", "Našli jste to správně." V tomto smyslu je výjimkou "Aritmetika" řeckého matematika Diophanta z Alexandrie (III. století) - sbírka úloh pro sestavování rovnic se systematickou prezentací jejich řešení.

Dílo bagdádského učence z 9. století se však stalo prvním manuálem pro řešení problémů, který se stal všeobecně známým. Muhammad bin Musa al-Chwarizmi. Slovo „al-jabr“ z arabského názvu tohoto pojednání – „Kitab al-jaber wal-muqabala“ („Kniha restaurování a kontrastu“) – se postupem času změnilo ve slovo „algebra“, které je všem dobře známé a samotná práce al-Khwarizmiho sloužila jako výchozí bod ve vývoji vědy o řešení rovnic.

Logaritmické rovnice a nerovnosti

1. Logaritmické rovnice

Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem logaritmu nebo na jeho základně se nazývá logaritmická rovnice.

Nejjednodušší logaritmickou rovnicí je rovnice tvaru

log A X = b . (1)

Prohlášení 1. Pokud A > 0, A≠ 1, rovnice (1) pro jakékoli reálné b má jediné řešení X = a b .

Příklad 1. Řešte rovnice:

a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Řešení. Pomocí příkazu 1 získáme a) X= 2 3 nebo X= 8; b) X= 3 -1 nebo X= 1/3; C)

Uvádíme hlavní vlastnosti logaritmu.

P1. Základní logaritmická identita:

Kde A > 0, A≠ 1 a b > 0.

P2. Logaritmus součinu kladných faktorů se rovná součtu logaritmů těchto faktorů:

log A N 1 · N 2 = log A N 1 + log A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentář. Li N 1 · N 2 > 0, pak vlastnost P2 nabývá tvaru

log A N 1 · N 2 = log A |N 1 | +log A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritmus podílu dvou kladných čísel se rovná rozdílu mezi logaritmy dividendy a dělitele

Komentář. Li

P4. Logaritmus mocniny kladného čísla se rovná součinu exponentu a logaritmu tohoto čísla:

log A N k = k log A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentář. Li k- sudé číslo ( k = 2s), Že

log A N 2s = 2s log A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Vzorec pro přesun na jinou základnu je:

zejména pokud N = b, dostaneme

Pomocí vlastností P4 a P5 je snadné získat následující vlastnosti

a pokud v (5) C- sudé číslo ( C = 2n), dochází

Uvádíme hlavní vlastnosti logaritmické funkce F (X) = log A X :

1. Definičním oborem logaritmické funkce je množina kladných čísel.

2. Rozsah hodnot logaritmické funkce je množina reálných čísel.

3. Kdy A> 1 logaritmická funkce je striktně rostoucí (0< X 1 < X 2 log A X 1 < logA X 2) a na 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 log A X 1 > log A X 2).

4 log A 1 = 0 a log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Pokud A> 1, pak je logaritmická funkce záporná pro X(0;1) a je kladné pro X(1;+∞), a pokud 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) a je záporné pro X (1;+∞).

6. Pokud A> 1, pak je logaritmická funkce konvexní směrem nahoru a jestliže A(0;1) - konvexní dolů.

Následující výroky (viz například ) se používají při řešení logaritmických rovnic.

Všichni známe rovnice. základní škola. I tam jsme se naučili řešit ty nejjednodušší příklady a nutno přiznat, že své uplatnění nacházejí i ve vyšší matematice. Vše je jednoduché s rovnicemi, včetně čtvercových. Pokud máte s tímto motivem problémy, důrazně doporučujeme, abyste to zkusili znovu.

Logaritmy jste pravděpodobně také prošli. Přesto považujeme za důležité říci, co to je pro ty, kteří ještě nevědí. Logaritmus se rovná mocnině, na kterou se musí základna zvýšit, aby se číslo dostalo napravo od znaménka logaritmu. Uveďme příklad, na základě kterého vám bude vše jasné.

Pokud zvýšíte 3 na čtvrtou mocninu, dostanete 81. Nyní nahraďte čísla analogicky a konečně pochopíte, jak se logaritmy řeší. Nyní zbývá pouze spojit dva uvažované koncepty. Zpočátku se situace zdá extrémně obtížná, ale při bližším zkoumání váha zapadne. Jsme si jisti, že po tomto krátkém článku nebudete mít v této části zkoušky žádné problémy.

Dnes existuje mnoho způsobů, jak takové struktury řešit. Budeme se bavit o těch nejjednodušších, nejefektivnějších a nejpoužitelnějších v případě úloh USE. Řešení logaritmických rovnic musí začít úplně od začátku. jednoduchý příklad. Nejjednodušší logaritmické rovnice se skládají z funkce a jedné proměnné v ní.

Je důležité si uvědomit, že x je uvnitř argumentu. A a b musí být čísla. V tomto případě můžete funkci jednoduše vyjádřit jako číslo v mocnině. Vypadá to takhle.

Řešení logaritmické rovnice tímto způsobem vás samozřejmě dovede ke správné odpovědi. Problémem drtivé většiny studentů je ale v tomto případě to, že nechápou, co a odkud se to bere. V důsledku toho se musíte smířit s chybami a nezískat kýžené body. Nejurážlivější chybou bude, když písmena místy zaměníte. Chcete-li rovnici vyřešit tímto způsobem, musíte si tento standardní školní vzorec zapamatovat, protože je obtížné mu porozumět.

Chcete-li to usnadnit, můžete se uchýlit k jiné metodě - kanonické formě. Myšlenka je velmi jednoduchá. Znovu věnujte pozornost úkolu. Pamatujte, že písmeno a je číslo, nikoli funkce nebo proměnná. A se nerovná jedné a je větší než nula. Neexistují žádná omezení pro b. Nyní si ze všech vzorců připomeneme jeden. B lze vyjádřit následovně.

Z toho vyplývá, že všechny původní rovnice s logaritmy mohou být reprezentovány jako:

Nyní můžeme logaritmy zahodit. Ukazuje se jednoduchý design, které jsme již viděli.

Pohodlí tohoto vzorce spočívá v tom, že jej lze použít v různých případech, a to nejen pro nejjednodušší návrhy.

Nebojte se OOF!

Mnoho zkušených matematiků si všimne, že jsme nevěnovali pozornost oblasti definice. Pravidlo se scvrkává na skutečnost, že F(x) je nutně větší než 0. Ne, tento bod jsme nepřehlédli. Nyní mluvíme o další vážné výhodě kanonické formy.

Tady žádné extra kořeny nebudou. Pokud se proměnná bude vyskytovat pouze na jednom místě, pak rozsah není nutný. Běží automaticky. Pro ověření tohoto úsudku zvažte řešení několika jednoduchých příkladů.

Jak řešit logaritmické rovnice s různými bázemi

Jedná se již o složité logaritmické rovnice a přístup k jejich řešení by měl být speciální. Zde je zřídka možné omezit se na notoricky známou kanonickou formu. Začněme naše podrobný příběh. Máme následující konstrukci.

Všimněte si zlomku. Obsahuje logaritmus. Pokud to v úloze uvidíte, stojí za to si připomenout jeden zajímavý trik.

Co to znamená? Každý logaritmus lze vyjádřit jako podíl dvou logaritmů s vhodným základem. A tento vzorec má speciální případ, který je použitelný pro tento příklad (máme na mysli, pokud c=b).

To je přesně to, co vidíme v našem příkladu. Tím pádem.

Ve skutečnosti zlomek otočili a získali pohodlnější výraz. Pamatujte si tento algoritmus!

Nyní potřebujeme, aby logaritmická rovnice neobsahovala různé základy. Představme si základ jako zlomek.

V matematice existuje pravidlo, na základě kterého můžete odečíst titul ze základu. Ukazuje se následující konstrukce.

Zdálo by se, že co nám nyní brání převést svůj výraz do kanonické podoby a elementárně jej vyřešit? Není to tak jednoduché. Před logaritmem by neměly být žádné zlomky. Pojďme tuto situaci napravit! Zlomek lze vyjmout jako stupeň.

Respektive.

Pokud jsou základy stejné, můžeme odstranit logaritmy a dát rovnítko mezi samotné výrazy. Situace se tedy mnohonásobně zjednoduší, než byla. Bude tam základní rovnice, kterou každý z nás uměl vyřešit už v 8. nebo dokonce 7. třídě. Výpočty můžete provést sami.

Máme jediný skutečný kořen této logaritmické rovnice. Příklady řešení logaritmické rovnice jsou docela jednoduché, že? Nyní si budete moci samostatně poradit i s tím nejvíce náročné úkoly na přípravu a odevzdání zkoušky.

Jaký je výsledek?

V případě jakýchkoli logaritmických rovnic vycházíme z jedné velmi důležité pravidlo. Je potřeba jednat tak, aby se výraz vytáhl na maximum prostý pohled. V tomto případě budete mít více šancí nejen problém vyřešit správně, ale také to udělat co nejjednodušším a nejlogičtějším způsobem. Tak matematici vždy pracují.

Důrazně nedoporučujeme hledat obtížné cesty, zvláště v tomto případě. Pamatujte na pár jednoduchých pravidel, která vám umožní transformovat jakýkoli výraz. Například přineste dva nebo tři logaritmy na stejnou základnu nebo vezměte sílu ze základny a vyhrajte na ní.

Rovněž stojí za to připomenout, že při řešení logaritmických rovnic musíte neustále trénovat. Postupně budete přecházet ke stále složitějším strukturám a to vás povede k sebevědomému řešení všech možností problémů na zkoušce. Připravte se na zkoušky s dostatečným předstihem a hodně štěstí!

Řešení logaritmických rovnic. Část 1.

Logaritmická rovnice nazývá se rovnice, ve které je neznámá obsažena pod znaménkem logaritmu (zejména v základu logaritmu).

Prvoci logaritmická rovnice vypadá jako:

Řešení libovolné logaritmické rovnice zahrnuje přechod od logaritmů k výrazům ve znamení logaritmů. Tato akce však rozšiřuje pole působnosti povolené hodnoty rovnic a může vést k objevení se cizích kořenů. Aby se zabránilo vzhledu cizích kořenů můžete to udělat jedním ze tří způsobů:

1. Proveďte ekvivalentní přechod z původní rovnice na systém zahrnující

podle toho, která nerovnost nebo snadnější.

Pokud rovnice obsahuje na bázi logaritmu neznámou:

pak přejdeme do systému:

2. Samostatně najděte rozsah přípustných hodnot rovnice, pak rovnici vyřešte a zkontrolujte, zda nalezená řešení rovnici vyhovují.

3. Vyřešte rovnici a pak udělat kontrolu: dosaďte nalezená řešení do původní rovnice a zkontrolujte, zda dostaneme správnou rovnost.

Logaritmická rovnice jakékoli úrovně složitosti se nakonec vždy redukuje na nejjednodušší logaritmickou rovnici.

Všechny logaritmické rovnice lze rozdělit do čtyř typů:

1 . Rovnice, které obsahují pouze logaritmy s první mocninou. Pomocí transformací a využití se redukují do podoby

Příklad. Pojďme řešit rovnici:

Přirovnejte výrazy pod znaménkem logaritmu:

Zkontrolujeme, zda náš kořen rovnice vyhovuje:

Ano, vyhovuje.

Odpověď: x=5

2 . Rovnice, které obsahují logaritmy na jinou mocninu než 1 (zejména ve jmenovateli zlomku). Tyto rovnice se řeší pomocí zavedení změny proměnné.

Příklad. Pojďme řešit rovnici:

Pojďme najít rovnici ODZ:

Rovnice obsahuje logaritmy na druhou, takže je řešena pomocí změny proměnné.

Důležité! Před zavedením náhrady musíte logaritmy, které jsou součástí rovnice, „přetáhnout“ do „cihel“ pomocí vlastností logaritmů.

Při „tahání“ logaritmů je důležité velmi pečlivě aplikovat vlastnosti logaritmů:

Navíc je zde ještě jedno subtilnější místo, a abychom se vyhnuli běžné chybě, použijeme střední rovnost: stupeň logaritmu zapíšeme v tomto tvaru:

Rovněž,

Získané výrazy dosadíme do původní rovnice. Dostaneme:

Nyní vidíme, že neznámá je obsažena v rovnici jako součást . Představujeme náhradu: . Vzhledem k tomu, že může mít jakoukoli skutečnou hodnotu, neukládáme na proměnnou žádná omezení.

Logaritmické rovnice. Nadále zvažujeme úkoly z části B jednotné státní zkoušky z matematiky. Řešení některých rovnic jsme již zvažovali v článcích "", "". V tomto článku se budeme zabývat logaritmickými rovnicemi. Hned musím říct, že při řešení takových rovnic na USE nedojde k žádným složitým transformacím. Jsou jednoduché.

Stačí znát a rozumět základní logaritmické identitě, znát vlastnosti logaritmu. Věnujte pozornost skutečnosti, že po rozhodnutí je POVINNĚ nutné provést kontrolu - dosadit získanou hodnotu do původní rovnice a vypočítat, ve výsledku by měla být získána správná rovnost.

Definice:

Logaritmus čísla a k základu b je exponent,na kterou musí být b zvýšeno, aby se dostalo a.

Například:

Log 3 9 = 2, protože 3 2 = 9

Vlastnosti logaritmů:

Speciální případy logaritmů:

Řešíme problémy. V prvním příkladu provedeme kontrolu. Proveďte následující kontrolu sami.

Najděte kořen rovnice: log 3 (4–x) = 4

Protože log b a = x b x = a, pak

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Zkouška:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Správně.

Odpověď: - 77

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 2 (4 - x) = 7

Najděte kořen log 5 rovnice(4 + x) = 2

Používáme základní logaritmickou identitu.

Protože log a b = x b x = a, pak

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x=21

Zkouška:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Správně.

Odpověď: 21

Najděte kořen rovnice log 3 (14 - x) = log 3 5.

Probíhá následující vlastnost, její význam je následující: máme-li na levé a pravé straně rovnice logaritmy se stejným základem, pak můžeme dát rovnítko mezi výrazy pod znaménky logaritmů.

14 - x = 5

x=9

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 9

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice log 5 (5 - x) = log 5 3.

Najděte kořen rovnice: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 6

Najděte kořen rovnice log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13-64

x = -51

Proveďte kontrolu.

Malý dodatek - zde je nemovitost využívána

stupeň().

Odpověď: - 51

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 1/7 (7 - x) = - 2

Najděte kořen rovnice log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Proměňme pravou stranu. použít nemovitost:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Proveďte kontrolu.

Odpověď: - 21

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Vyřešte rovnici log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 2,75

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Řešte rovnici log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Na pravé straně rovnice musíte získat výraz ve tvaru:

log 2 (......)

Představuje 1 jako logaritmus základu 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Dostaneme:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Jestliže log c a = log c b, pak a = b, pak

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 0.4

Rozhodněte se sami: Dále musíte vyřešit kvadratickou rovnici. Mimochodem,

kořeny jsou 6 a -4.

Kořen "-4" není řešení, protože základ logaritmu musí být větší než nula a s "– 4" se rovná " – 5". Řešením je root 6.Proveďte kontrolu.

Odpověď: 6.

R jíst sám:

Řešte rovnici log x –5 49 = 2. Pokud má rovnice více než jeden kořen, odpovězte na menší.

Jak vidíte, žádné složité transformace pomocí logaritmických rovnicNe. Stačí znát vlastnosti logaritmu a umět je aplikovat. V úlohách USE souvisejících s transformací logaritmických výrazů jsou prováděny vážnější transformace a jsou vyžadovány hlubší dovednosti v řešení. Takové příklady zvážíme, nenechte si to ujít!Přeji ti úspěch!!!

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.