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座標とベクトル。 総合ガイド (2019)

この記事では、多くの幾何学問題を単純な算術に落とし込むことを可能にする 1 つの「魔法の杖」について説明します。 この「スティック」を使用すると、特に空間図形やセクションなどの構築に自信が持てないときに、作業がはるかに楽になります。これにはすべて、一定の想像力と実践的なスキルが必要です。 ここで検討を開始する方法を使用すると、あらゆる種類の幾何学的構造や推論をほぼ完全に抽象化できます。 メソッドは次のように呼ばれます 「コーディネートメソッド」。 この記事では、次の質問について検討します。

1. 座標平面
2. 平面上の点とベクトル
3. 2 点からベクトルを構築する
4. ベクトルの長さ (2 点間の距離)
5. セグメントの中央の座標
6. ベクトルの内積
7. 2 つのベクトル間の角度

座標メソッドがなぜそのように呼ばれるかはすでに想像できたと思います。 そう、幾何学的な物体ではなく、その数値的な特徴（座標）を使って動作することから、この名前が付けられました。 そして、幾何学から代数への移行を可能にする変換そのものは、座標系を導入することにあります。 元の図形が平面であれば座標は 2 次元、図形が 3 次元であれば座標は 3 次元になります。 この記事では、2 次元の場合のみを検討します。 そして、この記事の主な目的は、座標法のいくつかの基本的なテクニックの使用方法を教えることです (これらのテクニックは、統一州試験のパート B の面積測定の問題を解くときに役立つことがあります)。 このトピックに関する次の 2 つのセクションでは、問題 C2 (立体測定の問題) を解決する方法について説明します。

座標方法についてどこから議論するのが論理的でしょうか? おそらく座標系の概念から来ているのでしょう。 初めて彼女に出会ったときのことを思い出してください。 あなたがこの存在を知ったのは中学1年生の頃だったと思います。 一次関数、 例えば。 ポイントごとに構築したことを思い出させてください。 覚えていますか？ 任意の数値を選択し、それを式に代入して、そのように計算しました。 たとえば、if、then、if、then など、最終的に何が得られましたか? そして、座標付きのポイントを受け取りました: そして。 次に、「十字」（座標系）を描き、その上にスケール（単位セグメントとして持つセルの数）を選択し、その上に得られた点をマークし、それを直線で結びます。折れ線は関数のグラフです。

ここでもう少し詳しく説明する必要がある点がいくつかあります。

1. 便宜上、単一のセグメントを選択すると、すべてが図面内に美しくコンパクトに収まります。

2. 軸は左から右へ、軸は下から上へ向かうことが認められます

3. それらは直角に交差し、その交点を原点と呼びます。 それは文字で示されます。

4. たとえば点の座標を書く場合、括弧内の左側には軸に沿った点の座標があり、右側には軸に沿った点の座標があります。 特に、それは単にその時点で次のことを意味します

5. 座標軸上の任意の点を指定するには、その座標 (2 つの数字) を指定する必要があります。

6. 軸上にある任意の点について、

7. 軸上にある任意の点について、

8. 軸は x 軸と呼ばれます

9. 軸は y 軸と呼ばれます

次のステップに進みましょう。2 つの点にマークを付けます。 これら 2 点を線分で結びましょう。 そして、点から点へ線分を描くかのように矢印を配置します。つまり、線分に方向性を持たせます。

もう 1 つの方向セグメントが何と呼ばれているか覚えていますか? そうです、それはベクトルと呼ばれます！

したがって、点と点を接続すると、 始まりは点A、終わりは点Bになります。次にベクトルを取得します。 あなたもこの工作を中学 2 年生のときにやったのを覚えていますか?

ベクトルは、点と同様に 2 つの数値で表すことができることがわかりました。これらの数値はベクトル座標と呼ばれます。 質問: ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの先頭と末尾の座標がわかれば十分だと思いますか? そうです！ そして、これは非常に簡単に行われます。

したがって、ベクトルでは点が開始点であり、終了点が終了点であるため、ベクトルの座標は次のようになります。

たとえば、次の場合、ベクトルの座標は

今度は逆のことをして、ベクトルの座標を見つけてみましょう。 そのためには何を変える必要があるでしょうか? はい、始まりと終わりを入れ替える必要があります。これで、ベクトルの始まりが点に、終わりが点になります。 それから：

よく見てください、ベクトルとベクトルの違いは何ですか? 唯一の違いは座標の符号です。 彼らは正反対です。 この事実は通常次のように書かれます。

場合によっては、どの点がベクトルの始点でどの点が終点であるかが具体的に指定されていない場合、ベクトルは 2 つの大文字ではなく 1 つの小文字で示されます (例: など)。

さあ、少し 練習する自分で調べて、次のベクトルの座標を見つけます。

検査：

次に、もう少し難しい問題を解決します。

点で始まるベクトルには、co-or-di-na-you があります。 abs-cis-su 点を見つけます。

同じことは非常に平凡です。点の座標を とします。 それから

ベクトル座標とは何かという定義に基づいてシステムをコンパイルしました。 次に、その点には座標があります。 横座標に興味があります。 それから

答え：

ベクトルを使って他に何ができるでしょうか? はい、ほとんどすべてが通常の数値と同じです (除算はできませんが、2 つの方法で乗算ができる点を除きます。そのうちの 1 つについては後で説明します)。

1. ベクトルは互いに追加できます
2. ベクトルは互いに減算できます
3. ベクトルはゼロ以外の任意の数値で乗算 (または除算) できます。
4. ベクトルは互いに乗算できます

これらすべての操作は非常に明確な幾何学的表現を持っています。 たとえば、足し算と引き算の三角形 (または平行四辺形) ルールは次のとおりです。

ベクトルは、数値を乗算または除算すると、伸びたり縮んだり、方向を変えたりします。

ただし、ここでは座標がどうなるかという問題に興味があります。

1. 2 つのベクトルを加算 (減算) する場合、それらの座標を要素ごとに加算 (減算) します。 つまり:

2. ベクトルを数値で乗算 (除算) する場合、そのすべての座標がこの数値で乗算 (除算) されます。

例えば：

· co-or-di-nat Century-to-RAの量を求めます。

まず各ベクトルの座標を見つけてみましょう。 両方とも同じ原点、つまり原点を持っています。 それらの目的は異なります。 それから、 。 次に、ベクトルの座標を計算してみましょう。結果のベクトルの座標の合計は等しくなります。

答え：

次の問題を自分で解決してください。

· ベクトル座標の和を求める

私たちは以下をチェックします:

ここで次の問題を考えてみましょう。座標平面上に 2 つの点があります。 それらの間の距離を見つけるにはどうすればよいですか? 最初の点を次の点としましょう。 それらの間の距離を で表しましょう。 わかりやすくするために次の図を作成してみましょう。

私が何をしてしまったのでしょうか？ まずは接続しました ドットと、また、ある点から軸に平行な線を引き、ある点から軸に平行な線を引きました。 それらはある点で交差し、注目すべき図形を形成したのでしょうか？ 彼女の何がそんなに特別なのでしょうか？ はい、あなたも私も直角三角形についてほぼすべてを知っています。 そうですね、確かにピタゴラスの定理ですね。 必要なセグメントはこの三角形の斜辺であり、そのセグメントは脚です。 点の座標は何ですか? はい、図から簡単に見つけることができます。セグメントは軸に平行であるため、それぞれの長さを見つけるのは簡単です。セグメントの長さをそれぞれ で表すと、次のようになります。

ここでピタゴラスの定理を使ってみましょう。 脚の長さがわかっているので、斜辺を見つけます。

したがって、2 点間の距離は、座標からの差の二乗和の根になります。 または - 2 点間の距離は、それらを接続する線分の長さになります。

点間の距離が方向に依存しないことが簡単にわかります。 それから：

ここから、次の 3 つの結論が導き出されます。

2 点間の距離の計算について少し練習してみましょう。

たとえば、次の場合、 と の間の距離は次のようになります。

または、別の方法でベクトルの座標を見つけてみましょう。

そしてベクトルの長さを求めます。

ご覧のとおり、同じものです！

では、自分でも少し練習してみましょう。

タスク: 指定された点間の距離を求める:

私たちは以下をチェックします:

少し違うように聞こえますが、同じ公式を使用した問題をさらにいくつか示します。

1. まぶたの長さの二乗を求めます。

2. まぶたの長さの二乗を求めます

問題なく対処できたと思いますか？ 私たちは以下をチェックします:

1. これは注意のためです) ベクトルの座標はすでに前に見つけています: 。 次に、ベクトルは座標を持ちます。 その長さの二乗は次のようになります。

2. ベクトルの座標を見つける

すると、その長さの二乗は、

何も複雑なことはありませんよね？ 単純な算術、それ以上のものはありません。

1. 以下の問題は明確に分類することはできません。一般的な知識と簡単な絵を描く能力が問われます。

横軸と点を結ぶカットからの角度の正弦を求めます。

そして

ここはどうやって進めばいいのでしょうか？ と軸の間の角度の正弦を見つける必要があります。 正弦はどこで探せばいいのでしょうか？ そう、直角三角形です。 では、何をする必要があるのでしょうか？ この三角形を作ろう！

私たちには何が残されているのでしょうか？ 斜辺を見つけます。 これを行うには 2 つの方法があります。1 つはピタゴラスの定理を使用する方法 (脚は既知です!)、もう 1 つは 2 点間の距離の公式を使用する方法です (実際には、最初の方法と同じです!)。 私は 2 番目の方法で行きます。

答え：

次のタスクはさらに簡単に見えるでしょう。 彼女はその点の座標上にいます。

タスク2。その点から、per-pen-di-ku-lyar が ab-cis 軸上に下げられます。 ナイ・ディ・テ・アブ・シス・ス・オス・ノ・ヴァ・ニヤ・ペル・ペン・ディ・ク・ラ・ラ。

絵を描いてみましょう:

垂線の底辺は、x 軸 (軸) と交差する点であり、私にとってこれは点です。 この図は、座標が であることを示しています。 私たちは横座標、つまり「x」成分に興味があります。 彼女は平等だ。

答え： .

タスク3。前の問題の条件で、点から座標軸までの距離の和を求めます。

点から軸までの距離がわかっていれば、このタスクは通常初歩的なものです。 あなたが知っている？ 願っていますが、それでも次のことを思い出してください。

では、上の図で、そのような垂線を既に描いたでしょうか? どの軸にあるのでしょうか？ 軸へ。 そしてその長さはどれくらいでしょうか？ 彼女は平等だ。 次に、自分で軸に垂線を引き、その長さを求めます。 平等になりますよね？ すると、それらの合計は等しくなります。

答え： .

タスク4。問題2の条件において、横軸に対して点と対称な点の縦軸を求めよ。

対称性が何であるかは直感的に理解できると思います。 多くの建物、テーブル、飛行機など、多くの物体にそれが含まれています。 幾何学的形状: 球、円柱、正方形、ひし形など。大まかに言えば、対称性は次のように理解できます。図形は 2 つ (またはそれ以上) の同一の半分で構成されます。 この対称性を軸対称といいます。 では軸とは何でしょうか？ これはまさに、相対的に言えば、図を等しい半分に「切断」できる線です (この図では、対称軸は直線です)。

さて、タスクに戻りましょう。 軸に関して対称な点を探していることがわかります。 そして、この軸が対称軸になります。 これは、軸がセグメントを 2 つの等しい部分に分割するように点をマークする必要があることを意味します。 そのような点を自分でマークしてみてください。 次に、私の解決策と比較してください。

あなたにとっても同じようにうまくいきましたか？ 大丈夫！ 見つかった点の座標に興味があります。 平等です

答え：

さて、数秒考えた後、縦軸に対して点 A に対称な点の横軸は何になるでしょうか? あなたの答えは何ですか？ 正解: 。

一般に、ルールは次のように記述できます。

横軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。

縦軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。

いや、もう完全に怖いですよ タスク: 原点に対して対称な点の座標を求めます。 まずは自分の頭で考えてから、私の絵を見てください！

答え：

今 平行四辺形の問題:

タスク 5: 点が ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma に表示されます。 その点で or-di-を見つけてください。

この問題は、ロジックと座標方法という 2 つの方法で解決できます。 最初に座標法を使用してから、別の方法で解決する方法を説明します。

点の横座標が に等しいことは明らかです。 (点から横軸に引いた垂線上にあります)。 座標を見つける必要があります。 私たちの図形が平行四辺形であるという事実を利用しましょう、これはそれを意味します。 2 点間の距離の公式を使用して、セグメントの長さを求めてみましょう。

点と軸を結ぶ垂線を下げます。 交点を文字で表します。

セグメントの長さは等しい。 (この点については、私たちが議論したところで自分で問題を見つけてください)、次に、ピタゴラスの定理を使用してセグメントの長さを求めます。

セグメントの長さはその縦座標と正確に一致します。

答え： .

別の解決策（それを説明する写真を示します）

解決策の進捗状況:

1. 行動

2. 点の座標と長さを見つけます

3. それを証明してください。

もう一つ セグメントの長さの問題:

三角形の上に点が表示されます。 平行な正中線の長さを求めます。

三角形の中心線は何か覚えていますか? したがって、このタスクはあなたにとって初歩的なものです。 覚えていない場合は、思い出させてください。三角形の中心線は、反対側の中点を結ぶ線です。 それは底辺と平行であり、その半分に等しい。

ベースはセグメントです。 先ほどの長さを調べる必要がありましたが、それは等しいです。 すると、中央の線の長さは半分になり、同じになります。

答え： .

コメント: この問題は別の方法で解決できます。これについては後で説明します。

それまでの間、ここにいくつかの問題があります。練習してください。非常に単純ですが、座標法の使い方が上手になるのに役立ちます。

1. トラペションの上部にポイントが表示されます。 その正中線の長さを求めます。

2. ポイントと外観 ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma。 その点で or-di-を見つけてください。

3. カットした部分と点を結んで長さを求めます。

4. 座標平面上で色付きの図形の後ろの領域を見つけます。

5. na-cha-le ko-or-di-nat を中心とする円が点を通過します。 彼女のラジアスを見つけてください。

6. 円のディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、直角のカについて説明して、何かの頂点にはコーまたはディ・ナがある、あなたはとても責任がある

解決策:

1. 台形の正中線はその底辺の合計の半分に等しいことが知られています。 底は等しい、底。 それから

答え：

2. この問題を解決する最も簡単な方法は、(平行四辺形の規則) に注意することです。 ベクトルの座標を計算することは難しくありません。 ベクトルを追加すると、座標が追加されます。 次に、座標があります。 ベクトルの原点は座標を持つ点であるため、点にもこれらの座標が含まれます。 私たちは縦座標に興味があります。 彼女は平等だ。

答え：

3. 2 点間の距離の公式に従って直ちに行動します。

答え：

4. 写真を見て、影付きの領域が「挟まれている」 2 つの図を教えてください。 2つの正方形の間に挟まれています。 次に、目的の図形の面積は、大きな正方形の面積から小さな正方形の面積を引いたものに等しくなります。 側 小さな正方形は点を結ぶ線分であり、その長さは

すると、小さな正方形の面積は

大きな正方形でも同じことを行います。その辺は点を結ぶ線分であり、その長さは次のようになります。

すると、大きな正方形の面積は、

次の式を使用して、目的の図形の面積を求めます。

答え：

5. 円が中心として原点を持ち、点を通過する場合、その半径はセグメントの長さに正確に等しくなります (図を作成すると、これがなぜ明白であるかがわかります)。 このセグメントの長さを調べてみましょう。

答え：

6. 長方形に外接する円の半径は、その対角線の半分に等しいことが知られています。 2 つの対角線の長さを調べてみましょう (結局のところ、長方形では対角線は等しいのです!)。

答え：

さて、すべてに対処できましたか？ それを理解するのはそれほど難しくありませんでしたね。 ここでのルールは 1 つだけです。それは、視覚的な画像を作成し、そこからすべてのデータを単に「読み取る」ことができることです。

もう残りわずかです。 文字通り、議論したい点があと 2 つあります。

この単純な問題を解決してみましょう。 ２点とさせていただきます。 セグメントの中点の座標を見つけます。 この問題の解決策は次のとおりです。点を目的の中央にすると、その点の座標が決まります。

つまり: セグメントの中央の座標 = セグメントの両端の対応する座標の算術平均。

このルールは非常に単純で、通常は生徒にとって困難を引き起こすことはありません。 どのような問題が発生し、どのように使用されるかを見てみましょう。

1. カットから探したり、探したり、ポイントを接続したり、

2. ポイントは世界トップのようです。 彼の dia-go-na-ley の per-re-se-che-niya を見つけてください。

3. 円の中心を見つけて、abs-cis-su、長方形の ka について説明-san-noy、何かの上部には co-or-di-na-you so-responsibility-but があります。

解決策:

1. 最初の問題は単に古典的なものです。 すぐにセグメントの中央を決定します。 座標があります。 縦軸は等しい。

答え：

2. この四角形は平行四辺形 (ひし形でも!) であることが簡単にわかります。 これは、辺の長さを計算して比較することで自分で証明できます。 平行四辺形について何を知っていますか? 対角線は交点によって半分に分割されます。 うん！ では、対角線の交点はどこになるでしょうか? これは対角線の真ん中です。 特に対角線を選択します。 次に、点は座標を持ちます。点の縦座標は次のようになります。

答え：

3. 長方形に外接する円の中心は何と一致しますか? それは対角線の交点と一致します。 長方形の対角線について何を知っていますか? それらは等しく、交点によりそれらは半分に分割されます。 タスクは前のタスクに減らされました。 たとえば、対角線を考えてみましょう。 次に、 が外接円の中心であれば、 は中点になります。 座標を探しています。横座標は等しいです。

答え：

では、自分で少し練習してください。各問題の答えだけを示しますので、自分でテストしてください。

1. 円のディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、三角のカについて説明して、何かの頂点にコー・オア・ディ・オン・ユーがある

2. 円の中心を見つけて、三角の点について説明します。その頂点には座標があります。

3. 横軸に接する点を中心とする円はどのようなラジウサでなければなりませんか?

4. 軸の再設定の点を見つけてカットから接続し、

答え:

すべては成功しましたか？ 本当にそう願っています！ さて、最後のひと押しです。 今は特に注意してください。 これから説明する内容は、パート B の座標法の単純な問題に直接関係しているだけでなく、問題 C2 の随所にも含まれています。

私がまだ守っていない約束はどれですか? 私が導入すると約束したベクトルの操作と、最終的に導入した操作を覚えていますか? 本当に何も忘れていませんか？ 忘れた！ ベクトル乗算の意味を説明するのを忘れていました。

ベクトルとベクトルを乗算するには 2 つの方法があります。 選択した方法に応じて、さまざまな性質のオブジェクトを取得します。

外積は非常に巧妙に計算されます。 その方法とそれが必要な理由については、次の記事で説明します。 そして今回はスカラー積に焦点を当てます。

これを計算するには 2 つの方法があります。

ご想像のとおり、結果は同じになるはずです。 それでは、まず最初のメソッドを見てみましょう。

座標による内積

検索: - スカラー積の一般に受け入れられている表記法

計算式は次のとおりです。

つまり、スカラー積 = ベクトル座標の積の和です。

例：

探して

解決：

各ベクトルの座標を見つけてみましょう。

次の式を使用してスカラー積を計算します。

答え：

わかりますか、複雑なことはまったくありません。

さて、それでは自分で試してみてください。

· 何世紀にもわたるスカラー プロジェクトを見つけて、

なんとかなりましたか？ もしかしたら小さな落とし穴に気づいたでしょうか？ 確認してみましょう:

前の問題と同様にベクトル座標です。 答え： 。

座標以外に、スカラー積を計算する別の方法があります。つまり、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦を使用します。

ベクトルとベクトルの間の角度を示します。

つまり、スカラー積は、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しくなります。

最初の公式があり、それははるかに単純で、少なくともその中にコサインが含まれていないのに、なぜこの 2 番目の公式が必要なのでしょうか。 そして、これは、最初と 2 番目の式から、あなたと私がベクトル間の角度を見つける方法を推測できるようにするために必要です。

それでは、ベクトルの長さの公式を覚えてみましょう。

次に、このデータをスカラー積の式に代入すると、次のようになります。

しかしその一方で:

それで、あなたと私は何を手に入れましたか？ これで、2 つのベクトル間の角度を計算できる式が完成しました。 簡潔にするために次のように書かれることもあります。

つまり、ベクトル間の角度を計算するアルゴリズムは次のとおりです。

1. 座標を介してスカラー積を計算します
2. ベクトルの長さを求めて乗算します。
3. ポイント 1 の結果をポイント 2 の結果で割ります。

例を使って練習してみましょう:

1. まぶたと間の角度を見つけます。 答えはグラドゥサーで答えてください。

2. 前の問題の条件で、ベクトル間の余弦を求めます。

やってみましょう。最初の問題を解決するのを手伝って、2 番目の問題は自分で解決してみてください。 同意する？ それでは始めましょう!

1. これらのベクトルは私たちの古い友人です。 すでにスカラー積を計算しましたが、それは等しかったです。 それらの座標は次のとおりです: 、 。 次に、それらの長さを求めます。

次に、ベクトル間のコサインを探します。

角度の余弦は何ですか? ここがコーナーです。

答え：

では、2 番目の問題を自分で解いて比較してみましょう。 非常に短い解決策だけを紹介します。

2. 座標があります、座標があります。

ベクトル間の角度を とすると、

答え：

試験問題のパート B でベクトルと座標法に直接関係する問題は非常にまれであることに注意してください。 ただし、C2 の問題の大部分は、座標系を導入することで簡単に解決できます。 したがって、この記事は、解決する必要がある非常に賢い構造を作成するための基礎であると考えてください。 複雑なタスク.

座標とベクトル。 平均レベル

あなたと私はコーディネート方法の研究を続けています。 最後の部分では、次のことを可能にする多くの重要な公式を導き出しました。

1. ベクトル座標を見つける
2. ベクトルの長さを求めます (または、2 点間の距離)
3. ベクトルを加算および減算します。 それらを実数で乗算します
4. セグメントの中点を見つける
5. ベクトルの内積を計算する
6. ベクトル間の角度を求める

もちろん、座標方法全体がこの 6 点に当てはまるわけではありません。 これは、大学でよく知ることになる解析幾何学などの科学の基礎となっています。 単一の状態で問題を解決できる基盤を構築したいだけです。 テスト。 パート B のタスクを処理しました。次は、高品質のタスクに移ります。 新しいレベル！ この記事では、座標法に切り替えることが妥当な C2 問題を解決する方法について説明します。 この合理性は、問題で何が求められているか、どのような数値が与えられているかによって決まります。 したがって、次のような質問がある場合は、座標メソッドを使用します。

1. 2 つの平面間の角度を求める
2. 直線と平面の間の角度を求めます
3. 2 本の直線の間の角度を求めます
4. 点から平面までの距離を求める
5. 点から線までの距離を求める
6. 直線から平面までの距離を求める
7. 2 本の線の間の距離を求める

問題文で与えられた図形が回転体 (球、円柱、円錐など) の場合

座標法に適した数値は次のとおりです。

1. 直方体
2. ピラミッド（三角形、四角形、六角形）

私の経験からも 座標メソッドを使用するのは不適切です:

1. 断面積を求める
2. 物体の体積の計算

ただし、調整方法にとって 3 つの「不利な」状況が実際には非常にまれであることにすぐに注意する必要があります。 ほとんどのタスクにおいて、特に 3 次元の構造 (非常に複雑な場合もあります) が苦手な場合には、これが救世主となる可能性があります。

上に挙げた数字は一体何なのでしょうか? それらは、正方形、三角形、円などの平らではなく、ボリュームがあります。 したがって、二次元ではなく三次元の座標系を考慮する必要があります。 構築は非常に簡単です。横軸と縦軸に加えて、もう 1 つの軸であるアプリケーション軸を導入します。 図はそれらの相対位置を概略的に示しています。

それらはすべて互いに直交しており、一点で交差します。これを座標の原点と呼びます。 前と同様に、横軸、縦軸 - 、導入された適用軸 - を示します。

以前に平面上の各点が 2 つの数値 (横座標と縦座標) で特徴付けられていた場合、空間内の各点はすでに 3 つの数値 (横座標、縦座標、および応用) で記述されています。 例えば：

したがって、点の横座標は等しく、縦座標は 、アプリケートは です。

点の横座標は、横座標軸への点の投影、縦座標 - 縦軸への点の投影、およびアプリケート - アプリケート軸への点の投影とも呼ばれることがあります。 したがって、点が与えられた場合、座標を持つ点は次のようになります。

平面上への点の投影と呼ばれる

平面上への点の投影と呼ばれる

当然の疑問が生じます。2 次元の場合に導出された式はすべて空間内で有効ですか? 答えは「はい」です。それらは公平で、見た目も同じです。 細かい点については。 それがどれであるかはすでに推測していると思います。 すべての式で、適用軸を担当する項をもう 1 つ追加する必要があります。 つまり。

1. 2 つの点が与えられた場合: 、次のようになります。

• ベクトル座標:
• 2 点間の距離 (またはベクトルの長さ)
• セグメントの中点には座標があります

2. 2 つのベクトルが指定された場合: and の場合:

• それらのスカラー積は次のようになります。
• ベクトル間の角度の余弦は次のようになります。

しかし、宇宙はそれほど単純ではありません。 ご存知のとおり、座標をもう 1 つ追加すると、この空間に「存在する」図形の範囲に大幅な多様性が導入されます。 さらに詳しく説明するには、大まかに言って、直線の「一般化」をいくつか紹介する必要があります。 この「一般化」が平面になります。 飛行機について何を知っていますか? 飛行機とは何ですか?という質問に答えてみてください。 言うのはとても難しいです。 しかし、私たちは皆、それがどのようなものかを直感的に想像します。

ざっくり言うと、これは空間に突き刺さった無限の「シート」のようなものです。 「無限大」とは、平面が全方向に広がること、つまりその面積が無限大に等しいことを理解すべきです。 しかし、この「実践的な」説明では、飛行機の構造についてはまったく理解できません。 そして、私たちに興味を持っているのは彼女です。

幾何学の基本的な公理の 1 つを思い出してみましょう。

• 直線は平面上の 2 つの異なる点を通過しますが、その点は 1 つだけです。

または、宇宙におけるその類似物:

もちろん、与えられた 2 つの点から直線の方程式を導き出す方法は覚えていますが、それはまったく難しいことではありません。最初の点に座標があり、2 番目の点が座標を持っている場合、直線の方程式は次のようになります。

あなたはこれを7年生で受けました。 空間では、直線の方程式は次のようになります。 座標を持つ 2 つの点が与えられるとします。すると、それらを通過する直線の方程式は次の形式になります。

たとえば、線は点を通過します。

これはどのように理解すべきでしょうか? これは次のように理解する必要があります。点の座標が次の系を満たす場合、点は直線上にあります。

直線の方程式にはあまり興味がありませんが、直線の方向ベクトルという非常に重要な概念に注意を払う必要があります。 - 指定された線上またはそれに平行な非ゼロのベクトル。

たとえば、両方のベクトルは直線の方向ベクトルです。 を線上にある点とし、その方向ベクトルをとします。 次に、直線の方程式は次の形式で書くことができます。

もう一度言いますが、直線の方程式にはあまり興味がありませんが、方向ベクトルとは何かをぜひ覚えておいてください。 また： これは、直線上またはそれに平行なゼロ以外のベクトルです。

撤回する 与えられた 3 つの点に基づく平面の方程式もはやそれほど些細なことではなくなり、通常、この問題はコースでは取り上げられません 高校。 しかし無駄だ！ このテクニックは、複雑な問題を解決するために座標法を使用する場合に不可欠です。 しかし、あなたは何か新しいことを学びたいと思っているのではないでしょうか？ さらに、通常は解析幾何学のコースで学習されるテクニックの使用方法をすでに知っていることが判明すると、大学の先生に感銘を与えることができます。 それでは始めましょう。

平面の方程式は、平面上の直線の方程式とあまり変わりません。つまり、次の形式になります。

いくつかの数値 (すべてがゼロに等しいわけではありません) と変数、たとえば: など。 ご覧のとおり、平面の方程式は直線 (一次関数) の方程式とそれほど変わりません。 しかし、あなたと私が何を議論したか覚えていますか? 同じ線上にない 3 つの点がある場合、それらから平面の方程式を一意に再構成できると述べました。 しかし、どうやって？ 説明してみます。

平面の方程式は次のとおりです。

そして、点はこの平面に属しているため、各点の座標を平面の方程式に代入すると、正しい恒等性が得られるはずです。

したがって、未知数を含む 3 つの方程式を解く必要があります。 ジレンマ！ ただし、常にそう仮定することができます (これを行うには、で割る必要があります)。 したがって、3 つの未知数を含む 3 つの方程式が得られます。

ただし、このようなシステムを解決するのではなく、そこから生じる謎の式を書き出します。

与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式

\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(配列)) \right| = 0\]

停止！ これは何ですか？ とても珍しいモジュールです！ ただし、目の前にあるオブジェクトはモジュールとは何の関係もありません。 このオブジェクトは 3 次行列式と呼ばれます。 今後、平面上の座標の方法を扱うとき、これらと同じ決定要因に頻繁に遭遇することになります。 三次行列式とは何ですか? 奇妙なことに、それは単なる数字です。 どの特定の数値を行列式と比較するのかを理解する必要があります。

まず、より一般的な形式で 3 次行列式を書いてみましょう。

数字はどこにありますか。 さらに、最初のインデックスは行番号を意味し、インデックスは列番号を意味します。 たとえば、この数値が 2 行目と 3 列目の交点にあることを意味します。 次の質問を立ててみましょう: このような行列式はどのように正確に計算するのでしょうか? つまり、具体的にどのような数字と比較するのでしょうか。 3 次行列式にはヒューリスティックな (視覚的な) 三角形ルールがあり、次のようになります。

1. 主対角線 (左上隅から右下隅まで) の要素の積 主対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 主対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積主対角線
2. 二次対角線 (右上隅から左下隅まで) の要素の積 二次対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 二次対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積二次対角線
3. 次に、行列式は、ステップで取得された値と次の値の差に等しくなります。

これらすべてを数値で書き出すと、次の式が得られます。

ただし、この形式での計算方法を覚える必要はありません。三角形と、何を足すと何が減算されるのかを頭の中に入れておくだけで十分です。

三角形の方法を例で説明してみましょう。

1. 行列式を計算します。

何を追加し、何を減算するかを考えてみましょう。

プラスが付いた用語:

これは主対角線です。要素の積は次と等しいです。

最初の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」

2 番目の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」

3 つの数字を合計します。

マイナスがつく用語

これは側対角線です。要素の積は次と等しいです。

最初の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」

2 番目の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」

3 つの数字を合計します。

あとは、「マイナス」項の合計から「プラス」項の合計を引くだけです。

したがって、

ご覧のとおり、3 次行列式の計算には複雑なことや超自然的なことは何もありません。 三角形について覚えて、算術ミスをしないことが重要です。 今度は自分で計算してみます。

タスク: 指定された点間の距離を求める:

1. 主対角線に垂直な最初の三角形:
2. 主対角線に垂直な 2 番目の三角形:
3. プラスを含む項の合計:
4. 2番目の対角線に垂直な最初の三角形:
5. 辺の対角線に垂直な 2 番目の三角形:
6. マイナスを含む項の合計:
7. プラスを含む項の合計 - マイナスを含む項の合計:

ここにさらにいくつかの決定要因があります。それらの値を自分で計算し、答えと比較してください。

答え:

さて、すべてが一致しましたか？ わかりました。次に進んでください。 問題がある場合、私のアドバイスは次のとおりです。インターネット上には、オンラインで行列式を計算するためのプログラムがたくさんあります。 必要なのは、独自の行列式を考え出し、それを自分で計算し、プログラムが計算したものと比較することだけです。 結果が一致し始めるまで、同様に繰り返します。 この瞬間が訪れるまでにそれほど時間はかからないと確信しています。

さて、与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式について話したときに書き出した行列式に戻りましょう。

必要なのは、その値を直接 (三角法を使用して) 計算し、結果をゼロに設定することだけです。 当然、これらは変数であるため、変数に応じた式が得られます。 この式は、同じ直線上にない 3 つの与えられた点を通過する平面の方程式になります。

これを簡単な例で説明してみましょう。

1. 点を通過する平面の方程式を作成します。

これら 3 つの点の決定要因をコンパイルします。

単純化してみましょう:

ここで、三角定規を使用して直接計算します。

\[(\left| (\begin(配列)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(配列)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

したがって、点を通過する平面の方程式は次のようになります。

次に、1 つの問題を自分で解決してみて、それについて話し合います。

2. 点を通る平面の方程式を求めます。

それでは、解決策について説明しましょう。

行列式を作成しましょう:

そしてその値を計算します。

この場合、平面の方程式は次の形式になります。

または、 で削減すると、次のようになります。

ここで自制のための 2 つのタスクを実行します。

1. 3 点を通過する平面の方程式を作成します。

答え:

すべてが一致しましたか？ 繰り返しますが、特定の困難がある場合の私のアドバイスは次のとおりです。頭から 3 つの点を取り出し (高い確率でそれらは同じ直線上にありません)、それらに基づいて平面を構築します。 そして、オンラインで自分自身をチェックします。 たとえば、サイトでは次のようになります。

ただし、行列式の助けを借りて、平面の方程式を構築するだけではありません。 ベクトルに対して定義されるのは内積だけではないことをお話しました。 ベクター製品や混合製品もあります。 2 つのベクトルのスカラー積が数値の場合、2 つのベクトルのベクトル積はベクトルになり、このベクトルは指定されたベクトルに垂直になります。

さらに、そのモジュールはベクトルと上に構築された平行四辺形の面積に等しくなります。 点から線までの距離を計算するには、このベクトルが必要になります。 ベクトルの座標が指定されている場合、ベクトルのベクトル積を計算するにはどうすればよいでしょうか? 三次行列式が再び役に立ちます。 ただし、ベクトル積を計算するアルゴリズムに進む前に、少し余談をしておく必要があります。

この脱線は基底ベクトルに関するものです。

それらを図に模式的に示します。

なぜベーシックと呼ばれているのだと思いますか? ポイントは次のとおりです。

または写真で:

この式の妥当性は次の理由から明らかです。

ベクターアートワーク

これで、外積の導入を開始できます。

2 つのベクトルのベクトル積はベクトルであり、次の規則に従って計算されます。

外積を計算する例をいくつか挙げてみましょう。

例 1: ベクトルの外積を求めます。

解決策: 私は決定要因を考えます:

そして私はそれを計算します:

基底ベクトルの記述から、通常のベクトル表記に戻ります。

したがって：

さあ、試してみてください。

準備ができて？ 私たちは以下をチェックします:

そして伝統的に2つ 制御のためのタスク:

1. 次のベクトルのベクトル積を求めます。
2. 次のベクトルのベクトル積を求めます。

答え:

3 つのベクトルの混合積

必要となる最後の構築は、3 つのベクトルの混合積です。 スカラーと同様に、それは数値です。 計算方法は 2 つあります。 - 決定要因を介して、 - 混合生成物を介して。

つまり、次の 3 つのベクトルが与えられるとします。

次に、 で示される 3 つのベクトルの混合積は、次のように計算できます。

1. - つまり、混合積は、1 つのベクトルのスカラー積と、他の 2 つのベクトルのベクトル積です。

たとえば、3 つのベクトルの混合積は次のようになります。

ベクトル積を使用して自分で計算して、結果が一致することを確認してください。

そしてもう一度 - 2つの例 独立した決定:

答え:

座標系の選択

さて、これで、複雑な立体幾何学問題を解決するために必要な知識の基礎がすべて揃いました。 ただし、それらを解決するための例とアルゴリズムに直接進む前に、次の質問について検討することが役立つと思います。 特定の図形の座標系を選択します。結局のところ、計算がどれほど面倒になるかを最終的に決定するのは、座標系と空間内の図形の相対位置の選択です。

このセクションでは次の図を考慮することに注意してください。

1. 直方体
2. 直角柱（三角柱、六角柱…）
3. ピラミッド（三角形、四角形）
4. 四面体（三角錐と同じ）

直方体または立方体の場合は、次の構築をお勧めします。

つまり、フィギュアを「隅」に配置します。 立方体と直方体は非常に優れた図形です。 彼らにとって、頂点の座標はいつでも簡単に見つけることができます。 たとえば、(図に示すように)

この場合、頂点の座標は次のようになります。

もちろん、これを覚える必要はありませんが、立方体や直方体の最適な配置方法を覚えておくことをお勧めします。

直進プリズム

プリズムはさらに有害な存在です。 さまざまな方法で空間に配置できます。 ただし、次のオプションが最も受け入れられるように思えます。

三角柱：

つまり、三角形の辺の 1 つを完全に軸上に配置し、頂点の 1 つが座標の原点と一致します。

六角柱：

つまり、頂点の 1 つは原点と一致し、辺の 1 つは軸上にあります。

四角錐と六角錐：

この状況は立方体と似ています。底面の 2 つの辺を座標軸に合わせ、頂点の 1 つを座標の原点に合わせます。 唯一のわずかな困難は、点の座標を計算することです。

六角錐の場合 - 六角柱の場合と同じです。 主なタスクは、やはり頂点の座標を見つけることです。

四面体（三角錐）

この状況は、三角柱の場合に示した状況と非常に似ています。つまり、1 つの頂点が原点と一致し、もう 1 つの側面が座標軸上にあります。

さて、あなたと私はいよいよ問題の解決に着手するところまで来ました。 記事の冒頭で述べたことから、次の結論を導き出すことができます。ほとんどの C2 問題は、角度の問題と距離の問題の 2 つのカテゴリに分類されます。 まず、角度を求める問題を見ていきます。 これらは、(複雑さが増すにつれて) 次のカテゴリに分類されます。

角度を求める問題

1. 2 本の直線間の角度を求める
2. 2 つの平面間の角度を求める

これらの問題を順番に見てみましょう。まず 2 つの直線間の角度を求めます。 さて、覚えておいてください、あなたと私は以前に同様の例を解いたことがありませんか? 覚えていますか、似たようなものがすでにありました...私たちは 2 つのベクトルの間の角度を探していました。 2 つのベクトルが与えられた場合、それらの間の角度は次の関係から求められます。

ここでの目標は、2 つの直線の間の角度を見つけることです。 「平面図」を見てみましょう。

2本の直線が交差したときの角度はいくつでしょうか? ほんの少しだけ。 確かに、それらのうち 2 つだけが等しくないのですが、他のものはそれらに対して垂直です (したがって、それらと一致します)。 では、2 つの直線の間の角度はどちらの角度を考慮すべきでしょうか。それとも? ここでのルールは次のとおりです。 2 つの直線の間の角度は常に度以下です。 つまり、2 つの角度から常に最小度数の角度を選択します。 つまり、この図では 2 本の直線間の角度は等しいということです。 2 つの角度のうち最小のものを毎回見つける手間を省くために、狡猾な数学者は係数を使用することを提案しました。 したがって、2 つの直線間の角度は次の式で求められます。

注意深い読者であるあなたは、角度の余弦を計算するために必要な数値を正確にどこで入手するのでしょうか?という疑問を抱いたはずです。 答え: 線の方向ベクトルからそれらを取得します。 したがって、2 つの直線の間の角度を求めるアルゴリズムは次のようになります。

1. 式 1 を適用します。

あるいはもっと詳しく言うと：

1. 最初の直線の方向ベクトルの座標を探しています。
2. 2番目の直線の方向ベクトルの座標を探しています
3. スカラー積の係数を計算します。
4. 最初のベクトルの長さを探しています
5. 2 番目のベクトルの長さを探しています
6. ポイント 4 の結果とポイント 5 の結果を掛けます。
7. ポイント 3 の結果をポイント 6 の結果で割ります。線間の角度の余弦を求めます。
8. この結果により角度を正確に計算できる場合は、角度を探します。
9. それ以外の場合は、アークコサインを介して書き込みます

さて、問題に移るときが来ました。最初の 2 つの解決策を詳しく説明し、別の問題の解決策を後で説明します。 簡単に言うと最後の 2 つの問題については、答えのみを示します。すべての計算は自分で行う必要があります。

タスク:

1. 右側のテトラエドレで、テトラエドラの高さと中央の辺の間の角度を見つけます。

2. 右側の 6 隅のピラミデで、100 個のオス ノ ヴァ ニヤが等しく、辺も等しいので、線と線の間の角度を求めます。

3. 右側の 4 つの石炭のピラミディのすべての辺の長さは互いに等しい。 直線間の角度を見つけます。カットから見た場合、指定されたピラミディの場合、ポイントはそのボコ第 2 リブ上にあります。

4. 立方体の端に点があるので、直線と直線の間の角度を見つけます。

5. 立方体の端にある点 - 直線と直線の間の角度を見つけます。

この順序でタスクを並べたのは偶然ではありません。 あなたにはまだ座標法の操作を開始する時間がありませんが、私自身が最も「問題のある」図形を分析し、最も単純な立方体についてはあなたに任せておきます。 徐々に、すべての図の操作方法を学ぶ必要があります。トピックごとにタスクの複雑さを増していきます。

問題の解決を始めましょう:

1. 四面体を描画し、前に提案したように座標系に配置します。 正四面体は正四面体なので、すべての面（底辺を含む）は正三角形です。 辺の長さは与えられていないので、等しいとみなすことができます。 角度は実際には四面体がどれだけ「伸ばされているか」に依存しないことが理解できたと思います。 四面体の高さと中央値も描きます。 途中で、そのベースを描きます（これは私たちにとっても役立ちます）。

と の間の角度を見つける必要があります。 私たちは何を知っているのでしょうか？ 私たちが知っているのは点の座標だけです。 これは、点の座標を見つける必要があることを意味します。 ここで、点とは三角形の高さ (または二等分線または中央線) の交点であると考えます。 そして、ドットは盛り上がった点です。 ポイントはセグメントの中央です。 次に、最後に点の座標を見つける必要があります。

最も単純なもの、つまり点の座標から始めましょう。 図を見てください: 点の適用がゼロに等しい (点が平面上にある) ことは明らかです。 その縦軸は等しい（中央値であるため）。 横軸を見つけるのはさらに困難です。 ただし、これはピタゴラスの定理に基づいて簡単に行うことができます。三角形を考えてみましょう。 その斜辺が等しく、その脚の 1 つが等しい場合、次のようになります。

最後に次のようになります。

次に、点の座標を見つけてみましょう。 その applicate が再びゼロに等しく、その縦座標が点の縦座標と同じであることは明らかです。 その横軸を求めてみましょう。 覚えていれば、これは非常に簡単に実行できます 正三角形の交点による高さを比例分割します。、上から数えて。 次のとおりであるため、セグメントの長さに等しい点の必要な横座標は次のようになります。 したがって、点の座標は次のようになります。

点の座標を求めてみましょう。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 そして、applicate はセグメントの長さに等しくなります。 - これは三角形の足の 1 つです。 三角形の斜辺はセグメント、つまり脚です。 それは私が太字で強調した理由によって求められています。

ポイントはセグメントの中央です。 次に、セグメントの中点の座標の公式を覚えておく必要があります。

これで、方向ベクトルの座標を探すことができます。

さて、すべての準備が整いました。すべてのデータを式に代入します。

したがって、

答え：

このような「恐ろしい」答えに怯える必要はありません。C2 タスクではこれが一般的な方法です。 むしろ、この部分の「美しい」答えに驚きたいと思います。 また、お気づきのとおり、私はピタゴラスの定理と正三角形の高度の性質以外にはほとんど頼っていません。 つまり、立体測定の問題を解決するために、最小限の立体測定を使用しました。 この利点は、かなり面倒な計算によって部分的に「消失」します。 しかし、それらは非常にアルゴリズム的です。

2. 正六角錐とその底辺を座標系とともに描いてみましょう。

線と線の間の角度を見つける必要があります。 したがって、私たちの仕事は、点の座標を見つけることになります。 小さな図面を使用して最後の 3 つの座標を見つけ、点の座標を通じて頂点の座標を見つけます。 やるべきことはたくさんありますが、まずは始めましょう!

a) 座標: その適用範囲と座標がゼロに等しいことは明らかです。 横軸を求めてみましょう。 これを行うには、直角三角形を考えてみましょう。 残念ながら、この中で私たちは斜辺、つまり等しいことしか知りません。 脚を見つけようとします (脚の長さを 2 倍にすると点の横座標が得られるのは明らかです)。 どうやって探せばいいのでしょうか？ ピラミッドの底辺にどのような図形があるかを思い出してみましょう。 これは正六角形です。 これはどういう意味ですか？ これは、すべての辺とすべての角度が等しいことを意味します。 私たちはそのような角度を見つける必要があります。 何かアイデアはありますか？ アイデアはたくさんありますが、公式があります。

正n角形の角度の合計は次のようになります。 .

したがって、正六角形の角度の合計は度に等しくなります。 この場合、それぞれの角度は次と等しくなります。

もう一度写真を見てみましょう。 セグメントが角度の二等分線であることは明らかです。 この場合、角度は度に等しくなります。 それから：

それではどこから。

したがって、座標があります

b) これで、点の座標を簡単に見つけることができます。

c) 点の座標を見つけます。 横軸はセグメントの長さと一致するため、等しくなります。 縦座標を見つけることもそれほど難しくありません。点を接続し、線の交点をたとえば のように指定すると、次のようになります。 （簡単な構造を自分で行います）。 したがって、点 B の縦座標はセグメントの長さの合計に等しくなります。 もう一度三角形を見てみましょう。 それから

その後、点は座標を持ちます

d) 次に、点の座標を見つけてみましょう。 長方形を考えて、次のことを証明してください。 したがって、点の座標は次のようになります。

e) 頂点の座標を見つけることが残っています。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 アプリを探してみましょう。 それ以来。 直角三角形を考えてみましょう。 問題の条件によると、サイドエッジ。 これは私の三角形の斜辺です。 するとピラミッドの高さは脚の高さになります。

次に、点には次の座標があります。

これで、興味のあるすべての点の座標がわかりました。 直線の方向ベクトルの座標を探しています。

これらのベクトルの間の角度を探します。

答え：

繰り返しになりますが、この問題を解く際に、正 n 角形の角度の合計の公式と、直角三角形のコサインとサインの定義以外の高度なテクニックは使用しませんでした。

3. ここでもピラミッドの辺の長さが与えられていないので、それらは 1 に等しいと考えます。 したがって、側面だけでなくすべての辺が互いに等しいため、ピラミッドの底面と私には正方形があり、側面は正三角形になります。 問題のテキストに示されているすべてのデータに注目して、このようなピラミッドとその底面を平面上に描画してみましょう。

と の間の角度を探しています。 点の座標を検索するときは、非常に簡単な計算を行います。 それらを「解読」する必要があります。

b) - セグメントの中央。 その座標:

c) 三角形のピタゴラスの定理を使って線分の長さを求めます。 三角形のピタゴラスの定理を使って求めることができます。

座標:

d) - セグメントの中央。 その座標は

e) ベクトル座標

f) ベクトル座標

g) 角度を探す:

立方体は最も単純な図形です。 きっと自分で解決できると思います。 問題 4 と 5 の答えは次のとおりです。

直線と平面の間の角度を求める

さて、単純なパズルの時間は終わりました。 例はさらに複雑になります。 直線と平面の間の角度を見つけるには、次のように進めます。

1. 3 つの点を使用して、平面の方程式を構築します。
   ,
   三次行列式を使用します。
2. 2 つの点を使用して、直線の方向ベクトルの座標を探します。
3. 次の公式を適用して、直線と平面の間の角度を計算します。

ご覧のとおり、この式は 2 つの直線の間の角度を求めるために使用した式と非常によく似ています。 右側の構造は単純に同じで、左側では以前のコサインではなくサインを探しています。 さて、厄介なアクションが 1 つ追加されました - 平面の方程式を検索するというものです。

先延ばしにしないようにしましょう 解決策の例:

1. メインだがヴァニームの直接プリズム、つまり私たちは等しい対貧しい三角形です。 直線と平面の間の角度を求めます

2. 西から見た長方形のパラル・ル・ル・ピ・ペ・ドで、直線と平面の間の角度を見つけます

3. 直角六隅のプリズムでは、すべての辺が等しいです。 直線と平面の間の角度を求めます。

4. 既知の肋骨のオス・ノ・ヴァ・ニエムのある右三角形のピ・ラ・ミ・デで、灰色の部分を通る、底面が平らでまっすぐな角を見つけます。肋骨と

5. 頂点をもつ直角四角形パイラミディのすべての辺の長さは等しい。 点がピラミディの端の中央にある場合、直線と平面の間の角度を見つけます。

繰り返しになりますが、最初の 2 つの問題は詳しく解決し、3 つ目は簡単に解決します。最後の 2 つは自分で解決してください。 また、三角錐と四角錐はすでに扱っていますが、角柱はまだ扱っていません。

解決策:

1. プリズムとその底面を描いてみましょう。 これを座標系と組み合わせて、問題ステートメントで指定されているすべてのデータに注目してみましょう。

比率に準拠していない点があったことをお詫びしますが、問題を解決するためには、これは実際にはそれほど重要ではありません。 平面は単に私のプリズムの「後壁」です。 このような平面の方程式は次の形式になると単純に推測するだけで十分です。

ただし、これは次のように直接示すことができます。

この平面上の任意の 3 点を選択してみましょう。たとえば、 です。

平面の方程式を作成しましょう。

演習: この行列式を自分で計算してください。 成功しましたか？ この場合、平面の方程式は次のようになります。

それともただ

したがって、

この例を解決するには、直線の方向ベクトルの座標を見つける必要があります。 点は座標の原点と一致するので、ベクトルの座標は単純に点の座標と一致します。これを行うには、まず点の座標を見つけます。

これを行うには、三角形を考えてみましょう。 頂点からの高さ (中央値や二等分線とも呼ばれます) を描きましょう。 したがって、点の縦座標は に等しい。 この点の横座標を見つけるには、セグメントの長さを計算する必要があります。 ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。

次に、点には次の座標があります。

ドットは「盛り上がった」ドットです。

この場合、ベクトル座標は次のようになります。

答え：

ご覧のとおり、このような問題を解決するとき、基本的に難しいことは何もありません。 実際には、プリズムなどの図形の「直線性」によってプロセスがもう少し簡略化されます。 次の例に進みましょう。

2. 直方体を描き、その中に平面と直線を描き、さらにその下底を個別に描きます。

まず、平面の方程式、つまりその中にある 3 点の座標を求めます。

(最初の 2 つの座標は明らかな方法で取得され、最後の座標は画像からその点に簡単に見つけることができます)。 次に、平面の方程式を作成します。

計算します:

誘導ベクトルの座標を探しています。その座標が点の座標と一致しているのは明らかですよね。 座標を見つけるにはどうすればよいですか? これらは、適用軸に沿って 1 つ上げられた点の座標です。 。 次に、目的の角度を探します。

答え：

3. 正六角錐を描き、その中に平面と直線を描きます。

ここでは、この問題を解決することは言うまでもなく、平面を描くことさえ問題になりますが、座標方法は関係ありません。 その多用途性が主な利点です。

平面は 3 つの点を通過します。 私たちは彼らの座標を探しています:

1) 。 最後の 2 点の座標を自分で見つけてください。 これには六角錐の問題を解く必要があります。

2) 平面の​​方程式を構築します。

ベクトルの座標を探しています: 。 （三角錐問題をもう一度見てください！）

3) 角度を探す:

答え：

ご覧のとおり、これらのタスクには超自然的に難しいことは何もありません。 ただ根元には細心の注意が必要です。 最後の 2 つの問題のみに答えます。

ご覧のとおり、問題を解決するためのテクニックはどこでも同じです。主なタスクは、頂点の座標を見つけて特定の式に代入することです。 角度を計算するために、さらにもう 1 つのクラスの問題を考慮する必要があります。

2 つの平面間の角度の計算

解決アルゴリズムは次のようになります。

1. 3 つの点を使用して、最初の平面の方程式を求めます。
2. 他の 3 つの点を使用して、2 番目の平面の方程式を求めます。
3. 次の式を適用します。

ご覧のとおり、この公式は前の 2 つの公式と非常によく似ており、これを利用して直線間の角度、および直線と平面間の角度を求めました。 したがって、これを覚えるのは難しくありません。 タスクの分析に進みましょう。

1. 直角三角柱の底面の辺は等しく、側面の対角も等しい。 平面とプリズムの軸の平面との間の角度を見つけます。

2. すべての辺が等しい右の四隅のピラミデで、ペンディクの点を通る平面と平面の骨の間の角度の正弦を求めます。嘘つきだけどストレート。

3. 正四隅角柱は、底辺の辺が等しく、辺の辺も等しい。 端にフロム・メー・チェ・オンという点があります。 平面間の角度を見つけて、

4. 直角柱では、底辺の辺は等しく、辺の辺も等しい。 点から端に点があるので、平面とのなす角を求めます。

5. 立方体で、平面と平面の間の角度の余弦を求めます。

問題の解決策:

1. 正三角柱 (底辺が正三角形) を描き、その上に問題文に現れる平面をマークします。

2 つの平面の方程式を見つける必要があります。基底の方程式は自明です。3 つの点を使用して対応する行列式を作成できますが、すぐに方程式を作成します。

ここで方程式を見つけてみましょう。 Point は座標 Point を持ちます。 は三角形の中央値と高度なので、三角形のピタゴラスの定理を使用して簡単に見つけることができます。 次に、点には座標があります。これを行うために、直角三角形を考えてみましょう。

次に、次の座標を取得します。 平面の方程式を作成します。

平面間の角度を計算します。

答え：

2. 図面の作成:

最も難しいのは、この点を垂直に通過するこの謎の飛行機がどのようなものであるかを理解することです。 さて、肝心なことは、それは何ですか？ 主なことは注意力です！ 実際、この線は垂直です。 直線も垂直です。 この場合、これら 2 つの直線を通る平面はその直線に対して垂直になり、ちなみに点を通過します。 この平面はピラミッドの頂上も通過します。 それから希望の飛行機 - そしてその飛行機はすでに私たちに与えられています。 点の座標を探しています。

点を介して点の座標を見つけます。 小さな画像から、点の座標は次のようになることが容易に推測できます。ピラミッドの頂点の座標を見つけるには、何が残っているでしょうか? 高さも計算する必要があります。 これは、同じピタゴラスの定理を使用して行われます。まず、それを証明します (底辺で正方形を形成する小さな三角形から自明のこと)。 条件によると、次のようになります。

これですべての準備が整いました: 頂点座標:

平面の方程式を作成します。

あなたはすでに行列式の計算の専門家です。 簡単に次のものが得られます。

あるいはそうでない場合 (両辺に 2 の根を掛ける場合)

次に、平面の方程式を求めてみましょう。

(平面方程式の求め方を忘れていませんよね? このマイナス 1 がどこから来たのか理解できない場合は、平面の方程式の定義に戻ってください! それは、その前にいつも判明しただけです私の飛行機は座標の原点に属していました!)

行列式を計算します。

(平面の方程式が点を通る直線の方程式と一致していることに気づくかもしれません。その理由を考えてください!)

次に、角度を計算してみましょう。

正弦を見つける必要があります。

答え：

3. 難しい質問: 直方体とは何だと思いますか? これはまさにあなたがよく知っている直方体です。 早速絵を描いてみましょう！ ここではベースを個別に描く必要さえありません。

前に述べたように、平面は方程式の形式で記述されます。

では、平面を作成してみましょう

すぐに平面の方程式を作成します。

角度を探しています:

最後の 2 つの問題に対する答えは次のとおりです。

さて、今は少し休憩するときです。あなたも私も素晴らしく、素晴らしい仕事をしてきたからです。

座標とベクトル。 上級レベル

この記事では、座標法を使用して解決できる別のクラスの問題、つまり距離計算問題について説明します。 つまり、次の場合を考えます。

1. 交差する線間の距離の計算。

これらの課題を難易度の高い順に並べました。 最も見つけやすいことが判明しました 点から面までの距離、そして最も難しいのは見つけることです 交差する線間の距離。 もちろん、不可能なことはありません。 先延ばしにせず、すぐに最初のクラスの問題の検討に進みましょう。

点から平面までの距離を計算する

この問題を解決するには何が必要でしょうか?

1. 点座標

したがって、必要なデータをすべて受信したらすぐに、次の式を適用します。

最後の部分で説明した以前の問題から、平面の方程式をどのように構築するかはすでに知っているはずです。 早速タスクに取り掛かりましょう。 スキームは次のとおりです。 1、2 - 決定をお手伝いします。詳細については、3、4 - 答えだけを示します。解決策を自分で実行して比較します。 始めましょう！

タスク:

1. 立方体が与えられます。 立方体の辺の長さは等しい。 セーレディーナの切り口から平面までの距離を求めます

2. 右の 4 つの石炭 pi-ra-mi-yes を考えると、辺の辺は底辺に等しい。 エッジ上の点から平面までの距離を見つけます。

3. オス・ノ・ヴァ・ニエムのある直角三角形のピ・ラ・ミ・デでは、辺が等しく、オス・ノ・ヴァ・ニエムの百ロも等しい。 頂上から平面までの距離を求めます。

4. 正六角柱では、すべての辺が等しい。 点から平面までの距離を求めます。

解決策:

1. 単一のエッジを持つ立方体を描き、セグメントと平面を作成し、セグメントの中央を文字で示します

.

まず、点の座標を見つけるという簡単なことから始めましょう。 それ以来 (セグメントの中央の座標を覚えておいてください!)

次に、3 つの点を使用して平面の方程式を作成します。

\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(配列)) \right| = 0\]

これで、距離を求め始めることができます。

2. すべてのデータをマークした図面から再び開始します。

ピラミッドの場合は、その底辺を個別に描画すると便利です。

たとえ私が前足で鶏のように絵を描いたとしても、この問題を簡単に解決することはできます。

点の座標を見つけるのが簡単になりました

点の座標なので、

2. 点 a の座標はセグメントの中央であるため、次のようになります。

問題なく、平面上のさらに 2 つの点の座標を見つけることができ、平面の方程式を作成して簡略化します。

\[\左| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(配列)) \right|) \right| = 0\]

点の座標は であるため、距離を計算します。

答え (非常にまれです!):

さて、わかりましたか？ ここでの内容はすべて、前のパートで説明した例と同様に技術的なものであるように思えます。 ですから、その内容をマスターしていれば、残りの 2 つの問題を解くのは難しくないと思います。 答えだけをお伝えします。

直線から平面までの距離を計算する

実際、ここには何も新しいことはありません。 直線と平面を相互に配置するにはどうすればよいでしょうか? 可能性は 1 つだけです。交差するか、直線が平面に平行であるかです。 直線からその直線が交差する平面までの距離は何だと思いますか? ここでは、そのような距離がゼロに等しいことが明らかであるように私には思えます。 興味深いケースではありません。

2 番目のケースはさらに厄介です。ここでは距離がすでにゼロではありません。 ただし、線は平面に平行であるため、線の各点はこの平面から等距離になります。

したがって：

これは、私のタスクが以前のタスクに減らされたことを意味します。直線上の任意の点の座標を探し、平面の方程式を探し、点から平面までの距離を計算します。 実際、統一国家試験ではそのような課題は非常にまれです。 なんとか問題を 1 つだけ見つけることができました。その中のデータは、座標法があまり適用できないものでした。

次に、別の、より重要な問題のクラスに移りましょう。

点から線までの距離を計算する

何が必要ですか?

1. 距離を求める点の座標:

2. 線上にある任意の点の座標

3. 直線の方向ベクトルの座標

どのような公式を使用するのでしょうか?

この分数の分母が何を意味するかは明らかです。これは直線の方向ベクトルの長さです。 これは非常に難しい分子です。 この式は、ベクトルのベクトル積の係数 (長さ) を意味し、ベクトル積の計算方法は、作業の前の部分で学習しました。 知識をリフレッシュしてください。今すぐに必要になります。

したがって、問題を解決するためのアルゴリズムは次のようになります。

1. 距離を求める点の座標を探します。

2. 距離を求める直線上の任意の点の座標を探します。

3. ベクトルを構築する

4. 直線の方向ベクトルを構築する

5. ベクトル積を計算する

6. 結果のベクトルの長さを調べます。

7. 距離を計算します。

やるべきことはたくさんあり、例は非常に複雑になります。 だから今、すべての注意を集中してください！

1. 頂点のある直角三角形のピラミダが与えられます。 ピ・ラ・ミ・ディに基づく百路は平等、あなたも平等です。 灰色の端から直線までの距離を見つけます。ここで、点 と は灰色の端と獣医からの距離です。

2. リブの長さと直角のダメな部分の長さは等しいので、頂点から直線までの距離を求めます。

3. 正六角柱ではすべての辺が等しいので、点から直線までの距離を求めます

解決策:

1. すべてのデータをマークしたきちんとした図面を作成します。

やるべきことはたくさんあります！ まず、何をどのような順序で探すのかを言葉で説明します。

1. 点の座標と

2. 点座標

3. 点の座標と

4. ベクトルの座標と

5. 外積

6. ベクトルの長さ

7. ベクトル積の長さ

8. からの距離

さて、私たちにはこれからたくさんの仕事が待っています！ 袖をまくって挑戦しましょう！

1. ピラミッドの高さの座標を見つけるには、その点の座標がゼロであり、その縦座標がその横座標に等しく、 がセグメントの長さに等しいことを知る必要があります。正三角形の場合、ここから頂点から数えて比率で分割します。 最後に、座標を取得しました。

点座標

2. - セグメントの中央

3. - セグメントの中央

セグメントの中点

4.座標

ベクトル座標

5. ベクトル積を計算します。

6. ベクトルの長さ: 置き換える最も簡単な方法は、セグメントを三角形の中線にすることです。これは、セグメントが底辺の半分に等しいことを意味します。 それで。

7. ベクトル積の長さを計算します。

8. 最後に、距離を求めます。

うーん、それです！ 正直に言いますが、この問題は従来の方法 (構築による) を使用して解決した方がはるかに早く解決できます。 しかし、ここではすべてを既成のアルゴリズムに縮小しました。 解決アルゴリズムは理解できたと思いますか? したがって、残りの 2 つの問題はご自身で解決していただきます。 答えを比べてみませんか？

繰り返しますが、これらの問題は、座標法に頼るよりも、構築によって解決する方が簡単 (迅速) です。 私がこの解決方法を示したのは、「何も構築し終えなくても」できる普遍的な方法を示すためだけです。

最後に、最後のクラスの問題を考えてみましょう。

交差する線間の距離の計算

ここで、問題を解決するためのアルゴリズムは前のアルゴリズムと同様になります。 私たちが持っているもの:

3. 1 番目と 2 番目の線の点を接続する任意のベクトル:

線間の距離はどうやって調べるのでしょうか?

式は次のとおりです。

分子は混合積の係数 (前の部分で導入しました)、分母は前の式と同様に (直線の方向ベクトルのベクトル積の係数、直線間の距離) です。探しています）。

思い出させておきます

それから 距離の式は次のように書き換えることができます。:

これは行列式を行列式で割ったものです。 とはいえ、正直に言うと、ここで冗談を言っている暇はありません。 実際、この式は非常に面倒で、非常に複雑な計算が必要になります。 私だったら、最後の手段としてのみそれに頼るでしょう。

上記の方法を使用していくつかの問題を解決してみましょう。

1. すべての辺が等しい直角三角柱の直線と直線の間の距離を求めます。

2. 直角三角柱を考えると、底面のすべての辺は本体リブを通る断面に等しく、セ・レ・ディ・ウェルリブは正方形になります。 直線間の距離を求めて、

1つ目は私が決めて、それを踏まえて2つ目はあなたが決めるのです！

1. プリズムを描いて直線をマークし、

点Cの座標：そのとき

点座標

ベクトル座標

点座標

ベクトル座標

ベクトル座標

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(配列)(*(20)(l))(\begin(配列)(*(20)(c))0&1&0\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20) (c))0&0&1\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(配列))\end(配列)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

ベクトル間のベクトル積を計算します。

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(配列)(l)\begin(配列)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(配列)\\\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(配列)\end(配列) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

次に、その長さを計算します。

答え：

次に、2 番目のタスクを慎重に完了してみてください。 それに対する答えは次のようになります。

座標とベクトル。 簡単な説明と基本的な公式

ベクトルは有向線分です。 - ベクトルの始まり、 - ベクトルの終わり。
ベクトルは or で表されます。

絶対値ベクトル - ベクトルを表すセグメントの長さ。 として示されます。

ベクトル座標:

,
ここで、ベクトル \displaystyle a の端は です。

ベクトルの合計: 。

ベクトルの積:

ベクトルの内積：

この記事ではこのトピックについて説明します « 点から線までの距離 », 座標法を使用した例を示しながら、点から線までの距離の定義について説明します。 最後の各理論ブロックでは、同様の問題を解決する例を示しています。

Yandex.RTB R-A-339285-1

点から線までの距離は、点から点までの距離を求めることによって求められます。 詳しく見てみましょう。

直線 a と、与えられた直線に属さない点 M 1 があるとします。 それを通して、直線aに垂直な直線bを描きます。 線の交点を H 1 とします。 M 1 H 1 は点 M 1 から直線 a まで下ろした垂線であることがわかります。

定義 1

点M1から直線aまでの距離は点 M 1 と H 1 の間の距離と呼ばれます。

垂線の長さを含む定義があります。

定義 2

点から線までの距離指定された点から指定された線に引かれた垂線の長さです。

定義は同等です。 以下の図を考えてみましょう。

点から線までの距離は可能な限り最小であることが知られています。 例を挙げて見てみましょう。

点 M 1 と一致しない直線 a 上にある点 Q を取ると、線分 M 1 Q は傾斜線分と呼ばれ、M 1 から直線 a まで下がっていることがわかります。 点 M 1 からの垂線が、その点から直線に引かれた他の傾斜線よりも小さいことを示す必要があります。

これを証明するために、三角形 M 1 Q 1 H 1 を考えてみましょう。ここで、M 1 Q 1 は斜辺です。 その長さは常にどの脚の長さよりも長いことが知られています。 これは、M 1 H 1 があることを意味します。< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

点から線までを求めるための初期データでは、ピタゴラスの定理、サイン、コサイン、角度のタンジェントの決定など、いくつかの解法を使用できます。 この種の課題のほとんどは、学校の幾何学の授業中に解決されます。

点から線までの距離を求める場合に、直交座標系を導入できる場合には、座標法が使用されます。 この段落では、特定の点から必要な距離を見つけるための主な 2 つの方法を検討します。

最初の方法では、M 1 から直線 a に引いた垂線として距離を検索します。 2 番目の方法では、直線 a の正規方程式を使用して必要な距離を求めます。

直交座標系の直線 a にある座標 M 1 (x 1 , y 1) の点が平面上にあり、距離 M 1 H 1 を求める必要がある場合、計算は 2 つの方法で行うことができます。方法。 それらを見てみましょう。

最初の方法

x 2、y 2 に等しい点 H 1 の座標がある場合、その点から線までの距離は、式 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) の座標を使用して計算されます。 -y 1) 2.

次に、点 H 1 の座標を求めます。

O x y の直線は​​平面上の直線の方程式に対応することが知られています。 直線の一般方程式または角度係数をもつ方程式を書いて直線 a を定義する方法を考えてみましょう。 与えられた直線 a に垂直な点 M 1 を通過する直線の方程式を作成します。 この直線を文字 b で表します。 H 1 は線 a と線 b の交点です。これは、2 つの線の交点の座標を扱う記事を使用するために必要な座標を決定することを意味します。

与えられた点 M 1 (x 1, y 1) から直線 a までの距離を求めるアルゴリズムは、次の点に従って実行されることがわかります。

定義 3

• A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 の形式を有する直線 a の一般方程式、または y = k 1 x + b 1 の形式を有する角度係数を伴う方程式を求める。
• 直線 b が点 M 1 と交差し、点 M 1 に垂直である場合、A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 の形式を持つ直線 b の一般方程式、または角度係数 y = k 2 x + b 2 を持つ方程式を取得します。指定された行 a;
• a と b の交点である点 H 1 の座標 x 2、y 2 を決定します。この目的のために、連立一次方程式が解かれます。 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 または y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• 式 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 を使用して、点から線までの必要な距離を計算します。

第二の方法

この定理は、平面上の特定の点から特定の直線までの距離を求めるという質問に答えるのに役立ちます。

定理

直交座標系は O x y に点 M 1 (x 1, y 1) を持ち、そこから平面に直線が引かれ、cos α x + cos β y の形式で平面の正規方程式によって与えられます。 - p = 0、次の値に等しい x = x 1、y = y 1 で計算された直線の正規方程式の左側で得られる絶対値は、M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β を意味します。・y1-p.

証拠

直線 a は、cos α x + cos β y - p = 0 の形式を持つ平面の正規方程式に対応します。その場合、n → = (cos α, cos β) は、原点からライン a まで p 単位で。 図内のすべてのデータを表示し、座標 M 1 (x 1, y 1) の点を追加する必要があります。ここで、点の半径ベクトル M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1)。 点から直線まで直線を引く必要があり、これを M 1 H 1 と表します。 点 M 1 と H 2 の点 O を通る直線への投影 M 2 と H 2 を、n → = (cos α, cos β) の形式の方向ベクトルで示す必要があります。 O M 1 → = (x 1, y 1) としてのベクトルを n → = (cos α , cos β) として n p n → O M 1 → として数値投影します。

変動は、M1 ポイント自体の位置によって異なります。 下の図を見てみましょう。

式 M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p を使用して結果を修正します。 次に、この等式を M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p にして、n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 を取得します。

ベクトルのスカラー積は、 n → 、 O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → という形式の変換された式になり、これは座標形式の積です。 n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 の形式。 これは、 n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 が得られることを意味します。 M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p となります。 定理は証明されました。

平面上の点 M 1 (x 1, y 1) から直線 a までの距離を求めるには、いくつかのアクションを実行する必要があることがわかります。

定義 4

• タスク内にない場合、直線 a cos α · x + cos β · y - p = 0 の正規方程式を取得します。
• 式 cos α · x 1 + cos β · y 1 - p の計算。結果の値は M 1 H 1 となります。

これらの方法を適用して、点から平面までの距離を求める問題を解決してみましょう。

例1

座標 M 1 (- 1, 2) の点から直線 4 x - 3 y + 35 = 0 までの距離を求めます。

解決

最初の方法を使用して解決しましょう。

これを行うには、指定された点 M 1 (- 1, 2) を通り、直線 4 x - 3 y + 35 = 0 に垂直な直線 b の一般方程式を見つける必要があります。 この条件から、直線 b は直線 a に垂直であり、その方向ベクトルの座標は (4, - 3) であることがわかります。 したがって、線 b に属する点 M 1 の座標があるため、線 b の正準方程式を平面上に書き留める機会があります。 直線bの方向ベクトルの座標を求めましょう。 x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 がわかります。 結果として得られる正準方程式は、一般方程式に変換する必要があります。 それならわかります

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 ・ (x + 1) = 4 ・ (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

線の交点の座標を見つけて、これを H 1 として指定します。 変換は次のようになります。

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

上に書いたことから、点 H 1 の座標は (-5; 5) に等しいことがわかります。

点M1から直線aまでの距離を計算する必要があります。 点 M 1 (- 1, 2) と H 1 (- 5, 5) の座標がわかったので、それらを式に代入して距離を求め、次の値を取得します。

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

2番目の解決策。

別の方法で解くには、直線の正規方程式を求める必要があります。 正規化係数の値を計算し、方程式 4 x - 3 y + 35 = 0 の両辺を乗算します。 ここから、正規化係数は - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 に等しいことがわかり、正規方程式は - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 の形式になります。 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 。

計算アルゴリズムによれば、直線の正規方程式を取得し、値 x = - 1、y = 2 で計算する必要があります。 それならわかります

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

これから、点 M 1 (- 1, 2) から指定された直線 4 x - 3 y + 35 = 0 までの距離の値は - 5 = 5 であることがわかります。

答え： 5 .

明らかに、 この方法この方法は最短であるため、直線の正規方程式を使用することが重要です。 ただし、最初の方法は、計算ポイントが多くなりますが、一貫性があり論理的であるため便利です。

例 2

平面上には、点 M 1 (8, 0) と直線 y = 1 2 x + 1 をもつ直交座標系 O x y があります。 指定された点から直線までの距離を求めます。

解決

最初の解決策はキャストです。 与えられた方程式一般方程式の傾きを計算します。 簡略化するために、別の方法で実行することもできます。

垂直線の角度係数の積の値が - 1 の場合、指定された線 y = 1 2 x + 1 に垂直な線の角度係数の値は 2 になります。 これで、座標 M 1 (8, 0) の点を通る直線の方程式が得られます。 y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 が成立します。

点 H 1 の座標、つまり y = - 2 x + 16 と y = 1 2 x + 1 の交点を求めます。 連立方程式を構成すると、次の結果が得られます。

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2・6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

座標 M 1 (8, 0) の点から直線 y = 1 2 x + 1 までの距離は、座標 M 1 (8, 0) の始点と終点からの距離に等しいことがわかります。 H 1 (6, 4) 。 M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 を計算して見つけてみましょう。

2 番目の方法の解決策は、係数を含む方程式から正規形に移行することです。 つまり、y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 が得られ、正規化係数の値は - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 となります。 したがって、直線の正規方程式は - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 の形になります。 点 M 1 8, 0 から - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 の形の直線まで計算を実行してみましょう。 得られるものは次のとおりです。

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

答え： 2 5 .

例 3

座標 M 1 (- 2, 4) の点から線 2 x - 3 = 0 および y + 1 = 0 までの距離を計算する必要があります。

解決

直線の正規形の方程式 2 x - 3 = 0 が得られます。

2×－3＝0⇔1 2 2×－3＝1 20 ⇔×－3 2＝0

次に、点 M 1 - 2, 4 から直線 x - 3 2 = 0 までの距離の計算に進みます。 得られるものは次のとおりです。

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

直線 y + 1 = 0 の方程式には、値が -1 の正規化係数があります。 これは、方程式が - y - 1 = 0 の形式になることを意味します。 点 M 1 (- 2, 4) から直線 - y - 1 = 0 までの距離の計算に進みます。 - 4 - 1 = 5 に等しいことがわかります。

答え： 3、1、2、5。

平面上の特定の点から座標軸 O x および O y までの距離を求める方法を詳しく見てみましょう。

直交座標系では、O 軸 y には不完全な直線の方程式があり、x = 0 および O x - y = 0 の形式になります。 方程式は座標軸に対して正規なので、座標 M 1 x 1, y 1 の点から線までの距離を求める必要があります。 これは、式 M 1 H 1 = x 1 および M 1 H 1 = y 1 に基づいて行われます。 下の図を見てみましょう。

例 4

点 M 1 (6, - 7) から O xy 平面にある座標線までの距離を求めます。

解決

方程式 y = 0 は直線 O x を参照しているため、この公式を使用して、指定された座標の M 1 からこの直線までの距離を求めることができます。 6 = 6 であることがわかります。

方程式 x = 0 は直線 O y を参照しているため、次の式を使用して M 1 からこの直線までの距離を求めることができます。 すると - 7 = 7 が得られます。

答え： M 1 から O x までの距離の値は 6、M 1 から O y までの距離の値は 7 です。

3 次元空間に座標 M 1 (x 1, y 1, z 1) の点がある場合、点 A から直線 a までの距離を求める必要があります。

空間内にある点から直線までの距離を計算できる 2 つの方法を考えてみましょう。 最初のケースでは、点 M 1 から線までの距離を考慮します。この線上の点は H 1 と呼ばれ、点 M 1 から線 a に引いた垂線の底辺になります。 2 番目のケースは、この平面の点を平行四辺形の高さとして求める必要があることを示唆しています。

最初の方法

定義から、直線 a 上にある点 M 1 からの距離は垂線 M 1 H 1 の長さであることがわかり、求められた点 H 1 の座標からそれを求め、M 間の距離を求めます。 1 (x 1, y 1, z 1 ) および H 1 (x 1 , y 1 , z 1) 、式 M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 に基づく-z12.

解決策全体は、M 1 から直線 a に引いた垂線の底辺の座標を見つけることに向かうことがわかります。 これは次のように行われます。H 1 は、直線 a が指定された点を通過する平面と交差する点です。

これは、点 M 1 (x 1, y 1, z 1) から空間内の線 a までの距離を決定するアルゴリズムには、いくつかの点が含まれることを意味します。

定義5

• 平面方程式χを、直線に対して垂直に位置する所定の点を通過する平面方程式として作成する。
• 直線ａと平面χとの交点である点Ｈ １ に属する座標（ｘ ２ 、ｙ ２ 、ｚ ２ ）を決定する。
• 式 M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 を使用して、点から線までの距離を計算します。

第二の方法

直線 a があるという条件から、座標 x 3、y 3、z 3 と直線 a に属する特定の点 M 3 をもつ方向ベクトル a → = a x、a y、a z を決定できます。 点 M 1 (x 1, y 1) および M 3 x 3, y 3, z 3 の座標があれば、M 3 M 1 → を計算できます。

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3、y 1 - y 3、z 1 - z 3)

点 M 3 からのベクトル a → = a x 、 a y 、 a z および M 3 M 1 → = x 1 - x 3 、 y 1 - y 3 、 z 1 - z 3 を脇に置き、それらを接続して平行四辺形を取得する必要があります。形。 M 1 H 1 は、平行四辺形の高さです。

下の図を見てみましょう。

高さ M 1 H 1 が必要な距離であることがわかり、公式を使用してそれを見つける必要があります。 つまり、M 1 H 1 を探しています。

ベクトル a → = (a x, a y, a z) および M 3 M 1 → = x 1 - x 3 を使用する式によって求められる、文字 S で平行四辺形の面積を表します。 y 1 - y 3、z 1 - z 3。 面積の公式は S = a → × M 3 M 1 → です。 また、図形の面積は辺の長さと高さの積に等しいので、 a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 から S = a → · M 1 H 1 が得られます。はベクトル a → = (a x , a y , a z) の長さであり、平行四辺形の辺と等しくなります。 これは、M 1 H 1 が点か​​ら線までの距離であることを意味します。 これは、式 M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → を使用して求められます。

空間内の座標 M 1 (x 1, y 1, z 1) の点から直線 a までの距離を求めるには、アルゴリズムのいくつかのステップを実行する必要があります。

定義6

• 直線の方向ベクトルの決定 a - a → = (a x, a y, a z);
• 方向ベクトルの長さを計算する a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• 直線ａ上に位置する点Ｍ ３ に属する座標ｘ ３ 、ｙ ３ 、ｚ ３ を取得する。
• ベクトル M 3 M 1 → の座標を計算します。
• ベクトル a → (a x , a y , a z) と M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 のベクトル積を a → × M 3 M 1 → = i として求めます。 → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 を使用して、式 a → × M 3 M 1 → を使用して長さを取得します。
• 点から線までの距離を計算します M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → 。

空間内の特定の点から特定の線までの距離を求める問題を解く

座標 M 1 2, - 4, - 1 の点から直線 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 までの距離を求めます。

解決

最初の方法は、M 1 を通り、与えられた点に垂直な平面 χ の方程式を書くことから始まります。 次のような式が得られます。

2(x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

条件で指定された直線とχ平面との交点である点H 1 の座標を求める必要がある。 正規ビューから交差ビューに移動する必要があります。 次に、次の形式の方程式系を取得します。

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 という式を計算する必要があります。 Cramer の方法で 2 x - y + 5 z = 3 を計算すると、次のようになります。

Δ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 Δ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = Δ x Δ = - 60 - 60 = 1 Δ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = Δy Δ = 60 - 60 = - 1 Δ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = Δ z Δ = 0 - 60 = 0

ここから、H 1 (1, - 1, 0) が得られます。

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

2 番目の方法は、正準方程式内の座標を検索することから始める必要があります。 これを行うには、分数の分母に注意を払う必要があります。 このとき、 a → = 2, - 1, 5 は、直線 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 の方向ベクトルです。 a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 の式を使用して長さを計算する必要があります。

直線 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 が点 M 3 (- 1 , 0 , - 5) と交差することは明らかです。したがって、原点 M 3 (- 1 , 0 , - 5)、点 M 1 2, - 4, - 1 での終点は M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 です。 ベクトル積 a → = (2, - 1, 5) と M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) を求めます。

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · という形式の式が得られます。 j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

ベクトルの積の長さは a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 に等しいことがわかります。

直線の点からの距離を計算する式を使用するためのデータがすべて揃っているので、それを適用して次を取得しましょう。

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

答え： 11 .

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点から線までの距離は、点から線に引いた垂線の長さです。 記述幾何学では、以下に示すアルゴリズムを使用してグラフィカルに決定されます。

アルゴリズム

1. 直線は、任意の投影面と平行になる位置に移動されます。 この目的のために、直交投影を変換する方法が使用されます。
2. 点から線に垂線を引きます。 この構造は直角の射影に関する定理に基づいています。
3. 垂線の長さは、投影を変換するか、直角三角形の方法を使用することによって決定されます。

次の図は、線分 CD によって定義される点 M と線 b の複雑な図を示しています。 それらの間の距離を見つける必要があります。

私たちのアルゴリズムによれば、最初に行うことは、投影面に平行な位置にラインを移動することです。 変換の実行後、点と線の間の実際の距離は変化しないことを理解することが重要です。 このため、ここでは、空間内で図形を移動しない平面置換方法を使用するのが便利です。

第一期工事の結果を以下に示す。 この図は、追加の前面 P 4 が b と平行にどのように導入されるかを示しています。 で 新しいシステム(P 1、P 4) 点 C"" 1、D"" 1、M"" 1 は、X 軸 1 から C""、D""、M"" の X 軸からの距離と同じ距離にあります。

アルゴリズムの 2 番目の部分を実行すると、b と MN の間の直角 MND が平面 P に投影されるため、M"" 1 から直線 b"" 1 までの垂線 M"" 1 N"" 1 を下げます。フルサイズで4枚。 通信回線を使用して、点 N" の位置を決定し、セグメント MN の投影 M"N" を実行します。

最終段階では、セグメント MN の投影 M"N" および M"" 1 N"" 1 からサイズを決定する必要があります。 これを行うには、直角三角形 M"" 1 N"" 1 N 0 を構築します。その脚 N"" 1 N 0 は、点 M" と N" の距離の差 (Y M 1 – Y N 1) に等しくなります。 X1軸から。 三角形 M"" 1 N"" 1 N 0 の斜辺 M"" 1 N 0 の長さは、M から b までの望ましい距離に対応します。

2 番目の解決策

• CD と並行して、新しい前額面 P 4 を導入します。 これは、X 1 軸に沿って P 1 と交差し、X 1 ∥C"D" と交差します。 平面を置き換える方法に従って、図に示すように、点 C"" 1、D"" 1、および M"" 1 の投影を決定します。
• C"" 1 D"" 1 に垂直に追加の水平面 P 5 を構築し、その上に直線 b を点 C" 2 = b" 2 に投影します。
• 点 M と線 b の間の距離は、赤で示された線分 M" 2 C" 2 の長さによって決まります。

同様のタスク:

さまざまな幾何学的オブジェクト間の距離を見つける機能は、形状の表面積とその体積を計算するときに重要です。 この記事では、空間および平面上の点から線までの距離を求める方法の問題を検討します。

線の数学的記述

点から線までの距離を求める方法を理解するには、これらの幾何学的オブジェクトの数学的定義の問題を理解する必要があります。

すべては点で単純であり、その数は空間の次元に対応する一連の座標によって記述されます。 たとえば、平面上ではこれらは 2 つの座標ですが、3 次元空間では 3 つです。

直線という一次元の物体については、それを記述するために数種類の方程式が使用されます。 そのうちの 2 つだけを考えてみましょう。

最初のタイプはベクトル方程式と呼ばれます。 以下は、3 次元および 2 次元空間の線の式です。

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

これらの式では、インデックスが 0 の座標は、特定の線が通過する点を表します。座標のセット (a; b; c) および (a; b) は、対応する線のいわゆる方向ベクトルです。α は、パラメータは実際の値を任意に取ることができます。

ベクトル方程式は、線の方向ベクトルが明示的に含まれているという意味で便利です。その座標は、さまざまな幾何学的オブジェクト (たとえば 2 つの直線) の平行度または垂直度の問題を解決するときに使用できます。

直線について検討する 2 番目のタイプの方程式は、一般と呼ばれます。 宇宙では、このタイプは 2 つの平面の一般方程式によって与えられます。 平面上では次のような形になります。

A × x + B × y + C = 0

グラフをプロットする場合、多くの場合、X/Y への依存関係として記述されます。つまり、次のようになります。

y = -A / B × x +(-C / B)

ここで、自由項 -C / B は線と y 軸の交点の座標に対応し、係数 -A / B は線の x 軸に対する傾斜角に関連付けられます。

線と点の間の距離の概念

方程式を理解したら、点から直線までの距離を求める方法に直接進むことができます。 7 年生になると、学校は適切な値を決定することによってこの問題を検討し始めます。

線と点の間の距離は、問題の点から省略された、この線に垂直な線分の長さです。 下の図は、直線 r と点 A を示しています。直線 r に垂直な線分は青色で示されています。 その長さが必要な距離です。

ここでは二次元の場合を示していますが、 この定義距離は 3 次元の問題にも有効です。

必要な数式

直線の方程式がどのような形式で記述されるか、またどの空間で問題が解決されるかに応じて、直線と点の間の距離を求める方法の質問に答える 2 つの基本的な公式を与えることができます。

既知の点を記号Ｐ ２ で表すことにする。 直線の方程式がベクトル形式で与えられる場合、検討中のオブジェクト間の距離 d に対して、次の式が有効になります。

d = || / |v￣|

つまり、d を決定するには、直線ベクトル v のガイドと、直線上の任意の点 P 1 に始点があるベクトル P 1 P 2 ￣ のベクトル積の係数を計算する必要があります。 、終端は点 P 2 にあり、この係数を長さ v ￣ で割ります。 この公式は平面空間と 3 次元空間に共通です。

問題が xy 座標系の平面上で考慮され、直線の方程式が一般形式で与えられる場合、次の式を使用して直線から点までの距離を求めることができます。

直線: A × x + B × y + C = 0;

点: P 2 (x 2; y 2; z 2);

距離: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

上の式は非常に単純ですが、その使用は上記の条件によって制限されます。

直線上への点の投影の座標と距離

与えられた式を暗記する必要のない別の方法で、点から線までの距離を求める方法という質問に答えることもできます。 この方法には、元の点の投影である線上の点を決定することが含まれます。

点Mと直線rがあるとします。 点Ｍのｒへの射影は、ある点Ｍ １ に対応する。 M から r までの距離は、ベクトル MM 1 â の長さに等しくなります。

M 1 の座標を見つけるにはどうすればよいですか? とてもシンプルです。 線ベクトル v が MM 1 に垂直であること、つまり、それらのスカラー積が 0 に等しくなければならないことを覚えておくだけで十分です。 この条件に、座標 M 1 が直線 r の方程式を満たさなければならないという事実を追加すると、単純な一次方程式系が得られます。 解の結果、点 M の r への投影の座標が得られます。

この段落で説明した線から点までの距離を求める手法は、平面にも空間にも使用できますが、その応用には線のベクトル方程式の知識が必要です。

飛行機の問題

ここで、提示された数学的装置を使用して実際の問題を解決する方法を説明します。 平面上に点 M(-4; 5) が与えられたとします。 点 M から直線までの距離を求める必要があります。これは次の一般式で表されます。

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

つまり、M は直線上にありません。

直線の方程式は一般的な形式では与えられないため、対応する公式を使用できるように、直線の方程式をそのような形式に縮小します。

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

これで、既知の数値を d の式に代入できます。

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

宇宙の問題

次に、宇宙の場合を考えてみましょう。 直線を次の方程式で表すとします。

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

そこから点 M(0; 2; -3) までの距離はいくらですか?

前のケースと同様に、M が指定された行に属しているかどうかを確認してみましょう。 これを行うには、方程式に座標を代入し、明示的に書き換えます。

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

異なるパラメータ α が得られるため、M はこの直線上にありません。 ここから直線までの距離を計算してみましょう。

d の公式を使用するには、線上の任意の点、たとえば P(1; -1; 0) を取得し、次のようにします。

PM￣ と直線 v￣ の方向ベクトルとのベクトル積を計算してみましょう。 得られるものは次のとおりです。

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

ここで、見つかったベクトルのモジュールとベクトル v￣ を d の式に代入すると、次のようになります。

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

この答えは、連立一次方程式を解くことを含む上記の手法を使用して取得できます。 この問題と前の問題では、直線から点までの距離の計算値は、対応する座標系の単位で表示されます。