Esej je završila učenica 8. razreda Opštinske obrazovne ustanove Gimnazija br. 9 Veronika Vjušina

Ekaterinburg

1. Uvod. Zlatni odnos. F i φ.

"Geometrija ima dva velika blaga. Prva je Pitagorina teorema, druga je podjela segmenta u ekstremnim i srednjim omjerima"

Johannes Kepler

Pravilni poligoni privukli su pažnju starogrčkih naučnika mnogo prije Arhimeda. Pitagorejci, koji su izabrali pentagram - zvijezdu petokraku - kao amblem svoje zajednice, pridavali su veliku važnost problemu podjele kruga na jednake dijelove, odnosno konstruisanja pravilnog upisanog poligona. Albrecht Durer (1471-1527), koji je postao oličenje renesanse u Njemačkoj, pruža teoretski tačan metod za konstruiranje pravilnog pentagona, pozajmljen iz Ptolomejevog velikog djela „Almagest“.

Direrov interes za izgradnju pravilnih poligona odražava njihovu upotrebu u srednjem vijeku u arapskom i gotičkom dizajnu, te nakon pronalaska vatrenog oružja u planiranju tvrđava.

Srednjovjekovne metode za konstruiranje pravilnih poligona bile su približne, ali su bile (ili nisu mogle a da ne budu) jednostavne: prednost je davana metodama konstrukcije koje nisu zahtijevale čak ni promjenu otvora kompasa. Leonardo da Vinci je također pisao mnogo o poligonima, ali je Direr, a ne Leonardo, prenio srednjovjekovne metode gradnje svojim potomcima. Dürer je, naravno, bio upoznat sa Euklidovim „Elementima“, ali nije u svom „Vodiču za merenje“ (o konstrukcijama pomoću šestara i lenjira) predstavio metod koji je Euklid predložio za konstruisanje pravilnog petougla, koji je bio teoretski tačan, kao i svi drugi. Euklidske konstrukcije. Euklid ne pokušava da podeli dati luk kružnice na tri jednaka dela, a Direr je znao, iako je dokaz pronađen tek u 19. veku, da je ovaj problem nerešiv.

Konstrukcija pravilnog pentagona koju je predložio Euklid uključuje podjelu pravolinijskog segmenta u srednjem i ekstremnom omjeru, koji je kasnije nazvan zlatnim presjekom i privlačio je pažnju umjetnika i arhitekata nekoliko stoljeća.

Tačka B dijeli segment ABE u prosječnom i ekstremnom omjeru ili formira zlatni rez ako je omjer većeg dijela segmenta prema manjem jednak omjeru cijelog segmenta prema većem dijelu.

Zlatni rez napisan u obliku jednakosti omjera ima oblik

AB/BE= AB/AE

Ako stavimo AB=a, i BE=a/F tako da je zlatni omjer jednak AB/BE=F, onda ćemo dobiti omjer

To jest, F zadovoljava jednačinu

Ova jednadžba ima jedan pozitivan korijen

F=(√5+1)/2=1,618034….

Imajte na umu da je 1/F = (√5 -1)/2, pošto (√5-1)(√5+1) =5-1=4. 1/F se smatra φ=0,618034….

F i φ su velika i mala slova grčkog slova "phi".

Ova oznaka je usvojena u čast starogrčkog vajara Fidija (5. vek pre nove ere) koji je nadgledao izgradnju Partenonskog hrama u Atini. Broj φ je više puta prisutan u proporcijama ovog hrama.

2.Istorija zlatnog preseka

Općenito je prihvaćeno da je koncept zlatne podjele u naučnu upotrebu uveo Pitagora, starogrčki filozof i matematičar (VI vijek prije nove ere). Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Zaista, proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa, predmeta za domaćinstvo i nakita iz Tutankamonove grobnice ukazuju na to da su egipatski majstori koristili omjere zlatnog podjela kada su ih stvarali. Francuski arhitekta Le Corbusier otkrio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I u Abydosu i na reljefu koji prikazuje faraona Ramzesa proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatnog podjela. Na reljefu je prikazan arhitekta Khesira drvena ploča iz grobnice nazvane po njemu, držeći u rukama merni instrumenti, u kojem su proporcije zlatne podjele fiksne.

Platon (427...347 pne) je takođe znao za zlatnu podjelu. Njegov dijalog "Timaeus" posvećen je matematičkim i estetskim pogledima pitagorejske škole i, posebno, pitanjima zlatne podjele.

Partenon ima 8 stupova na kratkim i 17 na dugim stranama. Odnos visine objekta i dužine je 0,618. Ako Partenon podijelimo prema „zlatnom presjeku“, dobićemo određene izbočine fasade. Tokom njegovih iskopavanja otkriveni su kompasi koje su koristili arhitekti i vajari antičkog svijeta. Pompejanski kompas (muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatne podjele.

U postojećem antičke književnosti Zlatna podjela se prvi put spominje u Euklidovim elementima. U 2. knjizi Elementi data je geometrijska konstrukcija zlatne podjele. Nakon Euklida, proučavanje zlatne podjele vršili su Hipsikle (II vijek pne), Papus (III vek nove ere) i drugi. srednjovjekovne Evrope Upoznali smo se sa zlatnom podjelom iz arapskih prijevoda Euklidovih elemenata. Prevodilac J. Campano iz Navare (III vek) dao je komentare na prevod. Tajne zlatne divizije ljubomorno su čuvane i držane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranim.

Tokom renesanse, interesovanje za zlatnu podjelu poraslo je među naučnicima i umjetnicima zbog njene upotrebe u geometriji i umjetnosti, posebno u arhitekturi. Leonardo da Vinči, umjetnik i naučnik, vidio je da talijanski umjetnici imaju mnogo empirijskog iskustva, ali nedostatak znanja. Začeo je i počeo pisati knjigu o geometriji, ali se u to vrijeme pojavila knjiga monaha Luce Paciolija, a Leonardo je odustao od svoje ideje. Prema savremenicima i istoričarima nauke, Luca Pacioli je bio pravo svetlo, najveći matematičar Italije u periodu između Fibonacija i Galileja.

Luca Pacioli je savršeno shvatio važnost nauke za umjetnost. Godine 1496., na poziv vojvode od Moreaua, dolazi u Milano, gdje je držao predavanja iz matematike. Leonardo da Vinči je takođe radio u Milanu na Moro dvoru u to vreme. Godine 1509. u Veneciji je objavljena knjiga Luce Paciolija "Božanska proporcija" sa sjajno izvedenim ilustracijama, zbog čega se vjeruje da ih je napravio Leonardo da Vinci. Knjiga je bila entuzijastična himna zlatnom rezu. Među brojnim prednostima zlatne proporcije, monah Luca Pacioli nije propustio da imenuje njenu „božansku suštinu“ kao izraz božanskog trojstva: Bog sin, Bog otac i Bog sveti duh (podrazumivalo se da mali segment je personifikacija Boga sina, veći segment je bog oca, a cijeli segment - Bog Duha Svetoga).

Leonardo da Vinci je takođe posvetio veliku pažnju proučavanju zlatne divizije. Napravio je presjeke stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokutnika, i svaki put je dobio pravougaonike sa omjerima u zlatnom podjeli. Stoga je ovoj podjeli dao naziv zlatni rez. Tako da i dalje ostaje kao najpopularniji.

U isto vrijeme, na sjeveru Evrope, u Njemačkoj, Albrecht Dürer je radio na istim problemima. On skicira uvod u prvu verziju rasprave o proporcijama. Dürer piše: "Neophodno je da neko ko zna da nešto uradi to nauči druge kojima je to potrebno. To je ono što sam nameravao da uradim."

Sudeći po jednom od Direrovih pisama, on se u Italiji susreo sa Lucom Paciolijem. Albrecht Durer detaljno razvija teoriju proporcija ljudskog tijela. Direr je pridao važno mesto u svom sistemu odnosa zlatnom preseku. Visina osobe je u zlatnim proporcijama podijeljena linijom pojasa, kao i linijom koja se provlači kroz vrhove srednjih prstiju spuštenih ruku, donji dio lica ustima itd. Direrov proporcionalni kompas je dobro poznat.

Konstrukcija niza segmenata zlatne proporcije može se vršiti kako u smjeru povećanja (rastući niz) tako i u smjeru opadanja (silazni niz).

Ova harmonija je upečatljiva po svojim razmjerima...

Zdravo, prijatelji!

Jeste li čuli nešto o božanskoj harmoniji ili zlatnom omjeru? Jeste li ikada razmišljali o tome zašto nam se nešto čini idealno i lijepo, a nešto nas odbija?

Ako niste, onda ste uspješno došli do ovog članka, jer ćemo u njemu raspravljati o zlatnom rezu, saznati šta je to, kako izgleda u prirodi i kod ljudi. Hajde da razgovaramo o njegovim principima, saznamo šta je Fibonačijev niz i još mnogo toga, uključujući koncept zlatnog pravougaonika i zlatne spirale.

Da, članak ima puno slika, formula, na kraju krajeva, zlatni rez je i matematika. Ali sve je dovoljno opisano jednostavnim jezikom, jasno. A na kraju članka saznat ćete zašto svi toliko vole mačke =)

Šta je zlatni omjer?

Jednostavno rečeno, zlatni rez je određeno pravilo proporcije, što stvara harmoniju?. Odnosno, ako ne prekršimo pravila ovih proporcija, onda ćemo dobiti vrlo skladnu kompoziciju.

Najsveobuhvatnija definicija zlatnog preseka kaže da je manji deo vezan za veći, kao što je veći deo za celinu.

Ali pored toga, zlatni rez je matematika: ima specifičnu formulu i određeni broj. Mnogi matematičari je općenito smatraju formulom božanske harmonije i nazivaju je “asimetričnom simetrijom”.

Zlatni rez je još od vremena stigao do naših savremenika Ancient Greece Međutim, postoji mišljenje da su sami Grci već uočili zlatni rez među Egipćanima. Zato što su mnoga umjetnička djela starog Egipta jasno izgrađena prema kanonima ove proporcije.

Smatra se da je Pitagora prvi uveo koncept zlatnog preseka. Euklidova djela su preživjela do danas (koristio je zlatni rez za izgradnju pravilnih peterokuta, zbog čega se takav pentagon naziva "zlatni"), a broj zlatnog preseka je nazvan po starogrčkom arhitekti Fidiji. Odnosno, ovo je naš broj “phi” (označen grčkim slovom φ), a jednak je 1,6180339887498948482... Naravno, ova vrijednost je zaokružena: φ = 1,618 ili φ = 1,62, a u procentima zlatni rez izgleda 62% i 38%.

Šta je jedinstveno u ovoj proporciji (a vjerujte mi, postoji)? Pokušajmo prvo to shvatiti koristeći primjer segmenta. Dakle, uzmemo dio i podijelimo ga na nejednake dijelove tako da se njegov manji dio odnosi na veći, kao što se veći dio odnosi na cjelinu. Shvaćam, još nije jasno šta je šta, pokušat ću to jasnije ilustrirati na primjeru segmenata:

Dakle, uzmemo odsječak i podijelimo ga na dva druga, tako da se manji segment a odnosi na veći segment b, kao što se segment b odnosi na cjelinu, odnosno na cijelu pravu (a + b). Matematički to izgleda ovako:

Ovo pravilo djeluje neograničeno; segmente možete dijeliti koliko god želite. I vidite kako je to jednostavno. Najvažnije je jednom shvatiti i to je to.

Ali sada pogledajmo izbliza složen primjer, što se vrlo često susreće, jer je zlatni rez također predstavljen u obliku zlatnog pravokutnika (čiji je omjer φ = 1,62). Ovo je vrlo zanimljiv pravougaonik: ako od njega "odsječemo" kvadrat, opet ćemo dobiti zlatni pravougaonik. I tako u nedogled. vidi:

Ali matematika ne bi bila matematika da nema formule. Dakle, prijatelji, sada će to malo "boliti". Rješenje zlatnog omjera sam sakrio ispod spojlera; formula ima puno, ali ne želim da napustim članak bez njih.

Fibonačijev niz i zlatni rez

Nastavljamo da stvaramo i posmatramo magiju matematike i zlatnog preseka. U srednjem vijeku postojao je takav drug - Fibonači (ili Fibonači, svuda se drugačije piše). Volio je matematiku i probleme, imao je i zanimljiv problem s razmnožavanjem zečeva =) Ali nije to poenta. Otkrio je niz brojeva, brojevi u njemu se zovu "Fibonačijevi brojevi".

Sama sekvenca izgleda ovako:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... i tako dalje do beskonačnosti.

Drugim riječima, Fibonačijev niz je niz brojeva gdje je svaki sljedeći broj jednak zbiru prethodna dva.

Kakve veze sa tim ima zlatni rez? Sad ćeš vidjeti.

Fibonačijeva spirala

Da biste vidjeli i osjetili cijelu vezu između Fibonačijevog niza brojeva i zlatnog omjera, morate ponovo pogledati formule.

Drugim rečima, od 9. člana Fibonačijevog niza počinjemo da dobijamo vrednosti zlatnog preseka. A ako vizualiziramo cijelu ovu sliku, vidjet ćemo kako Fibonačijev niz stvara pravokutnike sve bliže i bliže zlatnom pravokutniku. Ovo je veza.

Hajde sada da pričamo o Fibonačijevoj spirali, naziva se i „zlatna spirala“.

Zlatna spirala je logaritamska spirala čiji je koeficijent rasta φ4, gdje je φ zlatni omjer.

Općenito, sa matematičke tačke gledišta, zlatni rez je idealna proporcija. Ali ovo je tek početak njenih čuda. Gotovo cijeli svijet podliježe principima zlatnog omjera; priroda je sama stvorila ovu proporciju. Čak i ezoteričari u tome vide brojčanu moć. Ali definitivno nećemo pričati o tome u ovom članku, pa kako ne biste ništa propustili, možete se pretplatiti na ažuriranja stranice.

Zlatni rez u prirodi, čovjeku, umjetnosti

Pre nego što počnemo, želeo bih da razjasnim niz netačnosti. Prvo, sama definicija zlatnog preseka u ovom kontekstu nije sasvim tačna. Činjenica je da je sam koncept "presjeka" geometrijski pojam, koji uvijek označava ravan, ali ne i niz Fibonačijevih brojeva.

I, drugo, brojčani niz i odnos jednog prema drugom, naravno, pretvoreni su u neku vrstu šablone koja se može primijeniti na sve što izgleda sumnjivo, i čovjek može biti jako sretan kada postoje slučajnosti, ali ipak , zdrav razum ne treba gubiti.

Međutim, “sve se pomiješalo u našem kraljevstvu” i jedno je postalo sinonim za drugo. Dakle, generalno, značenje se iz ovoga ne gubi. Hajdemo sada na posao.

Iznenadit ćete se, ali zlatni rez, odnosno proporcije što je moguće bliže njemu, može se vidjeti gotovo svuda, čak i u ogledalu. Ne vjerujete mi? Počnimo s ovim.

Znate, kada sam učio da crtam, objašnjavali su nam kako je lakše izgraditi lice, tijelo i tako dalje. Sve se mora računati u odnosu na nešto drugo.

Sve, apsolutno sve je proporcionalno: kosti, naši prsti, dlanovi, udaljenosti na licu, rastojanje ispruženih ruku u odnosu na tijelo itd. Ali ni to nije sve, unutrašnja struktura našeg tijela, čak i ova, jednaka je ili gotovo jednaka formuli zlatnog presjeka. Evo udaljenosti i proporcija:

od ramena do tjemena do veličine glave = 1:1.618

od pupka do tjemena do segmenta od ramena do tjemena = 1:1,618

od pupka do koljena i od koljena do stopala = 1:1.618

od brade do krajnje tačke gornje usne i od nje do nosa = 1:1,618

Nije li ovo nevjerovatno!? Harmonija u čista forma, kako iznutra tako i spolja. I zato nam na nekom podsvjesnom nivou neki ljudi ne izgledaju lijepi, čak i ako imaju snažno, zategnuto tijelo, baršunastu kožu, lijepu kosu, oči itd, i sve ostalo. Ali, svejedno, i najmanja povreda proporcija tijela, a izgled već lagano "boli oči".

Ukratko, što nam se osoba čini ljepšom, to su njene proporcije bliže idealnim. A to se, inače, može pripisati ne samo ljudskom tijelu.

Zlatni rez u prirodi i njenim fenomenima

Klasičan primjer zlatnog omjera u prirodi je školjka mekušaca Nautilus pompilius i amonit. Ali to nije sve, ima još mnogo primjera:

u uvojcima ljudskog uha možemo vidjeti zlatnu spiralu;

isti (ili blizu njega) u spiralama duž kojih se galaksije uvijaju;

iu molekulu DNK;

Prema Fibonačijevom nizu, središte suncokreta je raspoređeno, češeri rastu, sredina cvijeća, ananasa i mnogih drugih plodova.

Prijatelji, ima toliko primjera da ću samo ostaviti video ovdje (on je odmah ispod) kako ne bih preopteretio članak tekstom. Jer ako se zadubite u ovu temu, možete ići dublje u sljedeću džunglu: čak su i stari Grci dokazali da je svemir i, općenito, sav prostor planiran po principu zlatnog omjera.

Iznenadit ćete se, ali ova pravila se mogu pronaći čak i u zvuku. vidi:

Najviša tačka zvuka koja uzrokuje bol i nelagodu u našim ušima je 130 decibela.

Omjer 130 podijelimo zlatnim rezom φ = 1,62 i dobijemo 80 decibela - zvuk ljudskog vriska.

Nastavljamo proporcionalno dijeliti i dobivamo, recimo, normalnu jačinu ljudskog govora: 80 / φ = 50 decibela.

Pa, posljednji zvuk koji dobijamo zahvaljujući formuli je prijatan šapat = 2.618.

Koristeći ovaj princip, moguće je odrediti optimalno-udoban, minimalni i maksimalni broj temperature, pritiska i vlažnosti. Nisam je testirao i ne znam koliko je ta teorija istinita, ali morate se složiti, zvuči impresivno.

U apsolutno svemu živom i neživom se može iščitati najveća ljepota i sklad.

Glavna stvar je da se ne zanosimo ovim, jer ako želimo nešto da vidimo u nečemu, videćemo to, čak i ako toga nema. Na primjer, obratio sam pažnju na dizajn PS4 i tamo vidio zlatni omjer =) Međutim, ova konzola je toliko kul da me ne bi iznenadilo da je dizajner tu zaista napravio nešto pametno.

Zlatni rez u umjetnosti

Ovo je također vrlo velika i opsežna tema koju vrijedi odvojeno razmotriti. Ovdje ću napomenuti samo nekoliko osnovnih tačaka. Najčudnije je to što su mnoga umjetnička i arhitektonska remek-djela antike (i ne samo) nastala po principima zlatnog omjera.

Egipatske i majanske piramide, Notre Dame de Paris, grčki Partenon i tako dalje.

U muzičkim delima Mocarta, Šopena, Šuberta, Baha i drugih.

U slikarstvu (ovo je jasno vidljivo): sve najpoznatije slike poznatih umjetnika napravljene su uzimajući u obzir pravila zlatnog omjera.

Ovi principi se mogu naći u Puškinovim pesmama i u bisti prelepe Nefertiti.

Čak i sada se pravila zlatnog omjera koriste, na primjer, u fotografiji. Pa, i naravno, u svim ostalim umjetnostima, uključujući kinematografiju i dizajn.

Zlatne Fibonačijeve mačke

I na kraju, o mačkama! Da li ste se ikada zapitali zašto svi toliko vole mačke? Oni su preuzeli internet! Mačke su svuda i divno je =)

A poenta je da su mačke savršene! Ne vjerujete mi? Sada ću vam to dokazati matematički!

Vidiš? Tajna je otkrivena! Mačke su idealne sa stanovišta matematike, prirode i univerzuma =)

*Šalim se, naravno. Ne, mačke su stvarno idealne) Ali niko ih nije matematički izmjerio, vjerovatno.

To je u suštini to, prijatelji! Vidimo se u narednim člancima. Sretno ti!

P.S. Slike preuzete sa media.com.

Geometrija je egzaktna i prilično složena nauka, koja je u isto vrijeme i vrsta umjetnosti. Linije, ravni, proporcije - sve to pomaže u stvaranju mnogih zaista lijepih stvari. I što je čudno, ovo se zasniva na geometriji u njenim najrazličitijim oblicima. U ovom članku ćemo pogledati jednu vrlo neobičnu stvar koja je direktno povezana s ovim. Zlatni omjer je upravo geometrijski pristup o kojem će biti riječi.

Oblik predmeta i njegova percepcija

Ljudi se najčešće oslanjaju na oblik objekta kako bi ga prepoznali među milionima drugih. Po njegovom obliku određujemo kakva stvar leži ispred nas ili stoji u daljini. Ljude prvo prepoznajemo po obliku tijela i lica. Stoga sa sigurnošću možemo reći da je sam oblik, njegova veličina i izgled jedna od najvažnijih stvari u ljudskoj percepciji.

Za ljude je forma bilo čega zanimljiva iz dva glavna razloga: ili je diktira vitalna nužnost, ili je uzrokovana estetskim užitkom od ljepote. Najbolja vizualna percepcija i osjećaj harmonije i ljepote najčešće dolazi kada čovjek posmatra formu u čijoj je konstrukciji korištena simetrija i poseban omjer, a koji se naziva zlatni rez.

Koncept zlatnog preseka

Dakle, zlatni presek je zlatni presek, koji je takođe harmonijska podela. Da bismo ovo jasnije objasnili, pogledajmo neke karakteristike obrasca. Naime: forma je nešto cjelina, a cjelina se, pak, uvijek sastoji od nekih dijelova. Ovi dijelovi najvjerovatnije imaju barem različite karakteristike različite veličine. Pa takve dimenzije su uvijek u određenom odnosu, kako među sobom tako i u odnosu na cjelinu.

To znači, drugim riječima, možemo reći da je zlatni rez omjer dvije veličine, koji ima svoju formulu. Korištenje ovog omjera pri kreiranju forme pomaže da se učini što ljepšim i skladnijim za ljudsko oko.

Iz davne istorije zlatnog preseka

Zlatni omjer se danas često koristi u mnogim različitim područjima života. Ali istorija ovog koncepta seže u davna vremena, kada su nauke poput matematike i filozofije tek nastajale. Kako naučni koncept Zlatni rez je ušao u upotrebu u doba Pitagore, odnosno u 6. veku pre nove ere. Ali i prije toga saznanja o takvom odnosu korištena su u praksi u Drevni Egipat i Vavilon. Jasan pokazatelj toga su piramide, za čiju je izgradnju upotrijebljena upravo ova zlatna proporcija.

Novi period

Renesansa je donela novi dah harmoničkoj podeli, posebno zahvaljujući Leonardu da Vinčiju. Ovaj odnos je sve više počeo da se koristi i u geometriji i u umetnosti. Naučnici i umjetnici počeli su dublje proučavati zlatni rez i stvarati knjige koje istražuju ovo pitanje.

Jedno od najvažnijih istorijskih djela vezanih za zlatni rez je knjiga Luce Pancholija pod nazivom Božanska proporcija. Istoričari sumnjaju da je ilustracije ove knjige uradio sam Leonardo prije Vinčija.

zlatni omjer

Matematika daje vrlo jasnu definiciju proporcije, koja kaže da je to jednakost dva omjera. Matematički, ovo se može izraziti sljedećom jednakošću: a: b = c: d, gdje su a, b, c, d neke specifične vrijednosti.

Ako uzmemo u obzir udio segmenta podijeljenog na dva dijela, možemo naići na samo nekoliko situacija:

• Segment je podeljen na dva apsolutno parna dela, što znači AB:AC = AB:BC, ako je AB tačan početak i kraj segmenta, a C tačka koja deli segment na dva jednaka dela.
• Segment je podijeljen na dva nejednaka dijela, koji mogu biti u samom različiti omjeri među sobom, što znači da su ovdje potpuno nesrazmjerni.
• Segment je podijeljen tako da je AB:AC = AC:BC.

Što se tiče zlatnog preseka, to je proporcionalna podela segmenta na nejednake delove, kada se ceo segment odnosi na veći deo, kao što se i sam veći deo odnosi na manji. Postoji još jedna formulacija: manji segment je vezan za veći, kao što je veći za cijeli segment. U matematičkom smislu, to izgleda ovako: a:b = b:c ili c:b = b:a. Upravo ovako izgleda formula zlatnog omjera.

Zlatni omjer u prirodi

Zlatni rez, čije ćemo primjere sada razmotriti, odnosi se na nevjerovatne pojave u prirodi. Ovo je veoma lijepi primjeričinjenica da matematika nisu samo brojevi i formule, već nauka koja ima više od stvarnog odraza u prirodi i našem životu uopšte.

Za žive organizme, jedan od glavnih zadataka u životu je rast. Ta želja da se zauzme svoje mjesto u prostoru, zapravo se javlja u nekoliko oblika - raste prema gore, gotovo horizontalno se širi po tlu, ili se spiralno uvija na nekoj vrsti oslonca. I koliko god to bilo nevjerovatno, mnoge biljke rastu prema zlatnom omjeru.

Još jedna gotovo nevjerovatna činjenica su odnosi u tijelu guštera. Njihovo tijelo izgleda prilično ugodno ljudskom oku, a to je moguće zahvaljujući istom zlatnom rezu. Da budemo precizniji, dužina njihovog repa se odnosi na dužinu cijelog tijela kao 62:38.

Zanimljive činjenice o pravilima zlatnog preseka

Zlatni rez je zaista neverovatan koncept, što znači da kroz istoriju možemo naići na mnoge zaista zanimljivosti o ovoj proporciji. Predstavljamo vam neke od njih:

Zlatni omjer u ljudskom tijelu

U ovom dijelu potrebno je spomenuti vrlo značajnu ličnost, a to je S. Zeizinga. Riječ je o njemačkom istraživaču koji je uradio ogroman posao na polju proučavanja zlatnog preseka. Objavio je rad pod naslovom Estetske studije. U svom radu predstavio je zlatni rez kao apsolutni pojam koji je univerzalan za sve pojave kako u prirodi tako i u umjetnosti. Ovdje se možemo prisjetiti zlatnog omjera piramide zajedno sa harmoničnim proporcijama ljudskog tijela i tako dalje.

Zeising je bio taj koji je uspio dokazati da je zlatni rez, u stvari, prosječan statistički zakon za ljudsko tijelo. To se pokazalo u praksi, jer je tokom svog rada morao da izmeri mnogo ljudskih tela. Povjesničari vjeruju da je u ovom eksperimentu učestvovalo više od dvije hiljade ljudi. Prema Zeisingovom istraživanju, glavni pokazatelj zlatnog preseka je podjela tijela tačkom pupka. Tako je muško tijelo sa prosječnim omjerom 13:8 nešto bliže zlatnom u odnosu na žensko tijelo, gdje je zlatni omjer 8:5. Zlatni rez se može uočiti i na drugim dijelovima tijela, kao što je šaka.

O izgradnji zlatnog preseka

U stvari, izgradnja zlatnog omjera je jednostavna stvar. Kao što vidimo, čak su se i drevni ljudi nosili s tim prilično lako. Šta tek reći o savremenim znanjima i tehnologijama čovečanstva. U ovom članku nećemo pokazati kako se to može učiniti jednostavno na komadu papira i s olovkom u ruci, ali ćemo pouzdano izjaviti da je to, zapravo, moguće. Štaviše, to se može učiniti na više načina.

Budući da je ovo prilično jednostavna geometrija, zlatni rez je prilično jednostavan za konstruiranje čak i u školi. Stoga se informacije o tome mogu lako pronaći u specijalizovanim knjigama. Proučavajući zlatni rez, učenici 6. razreda u potpunosti mogu razumjeti principe njegove konstrukcije, što znači da su čak i djeca dovoljno pametna da savladaju takav zadatak.

Zlatni presek u matematici

Prvo upoznavanje sa zlatnim rezom u praksi počinje jednostavnom podjelom pravocrtnog segmenta u istim omjerima. Najčešće se to radi pomoću ravnala, kompasa i, naravno, olovke.

Segmenti zlatne proporcije se izražavaju kao beskonačan iracionalni razlomak AE = 0,618..., ako se AB uzme kao jedan, BE = 0,382... Da bi ovi proračuni bili praktičniji, vrlo često koriste ne tačne, već približne vrijednosti, i to - 0 .62 i .38. Ako se segment AB uzme kao 100 dijelova, tada će njegov veći dio biti jednak 62, a manji dio će biti jednak 38 dijelova, respektivno.

Glavno svojstvo zlatnog preseka može se izraziti jednačinom: x 2 -x-1=0. Prilikom rješavanja dobijamo sljedeće korijene: x 1,2 =. Iako je matematika egzaktna i rigorozna nauka, kao i njen dio - geometrija, svojstva poput zakona zlatnog presjeka bacaju misteriju na ovu temu.

Harmonija u umjetnosti kroz zlatni rez

Da bismo rezimirali, ukratko razmotrimo ono o čemu je već bilo riječi.

U osnovi, mnoga umjetnička djela potpadaju pod pravilo zlatnog omjera, gdje se opaža omjer blizu 3/8 i 5/8. Ovo je gruba formula zlatnog omjera. U članku je već spomenuto dosta primjera korištenja odjeljka, ali ćemo ga ponovo pogledati kroz prizmu antičke i moderne umjetnosti. Dakle, najupečatljiviji primjeri iz antičkih vremena:

Što se tiče vjerovatno svjesne upotrebe proporcija, počevši od vremena Leonarda da Vinčija, ona je ušla u upotrebu u gotovo svim oblastima života – od nauke do umjetnosti. Čak su i biologija i medicina dokazale da zlatni omjer djeluje čak iu živim sistemima i organizmima.

20.05.2017

Zlatni omjer je nešto o čemu bi svaki dizajner trebao znati. Objasnit ćemo šta je to i kako ga možete koristiti.

U prirodi postoji opći matematički odnos koji se može koristiti u dizajnu za stvaranje ugodnih kompozicija prirodnog izgleda. Zove se zlatni omjer ili grčko slovo “phi”. Ako ste ilustrator, umjetnički direktor ili grafički dizajner, svakako biste trebali koristiti Zlatni omjer u svakom projektu.

U ovom članku ćemo objasniti kako ga koristiti i podijeliti neke sjajne alate za daljnju inspiraciju i učenje.

Usko povezan sa Fibonačijevim nizom, kojeg se možda sjećate sa časa matematike ili Da Vinčijevog koda Dana Browna, zlatni omjer opisuje savršeno simetričan odnos između dvije proporcije.

Približno jednak omjeru 1:1,61, zlatni omjer se može ilustrirati kao zlatni pravougaonik: veliki pravougaonik koji sadrži kvadrat (koje su stranice jednake dužini najkraće stranice pravougaonika) i manji pravougaonik.

Ako uklonite kvadrat iz pravokutnika, ostat će vam drugi, mali zlatni pravougaonik. Ovaj proces se može nastaviti neograničeno, baš kao i Fibonačijevi brojevi koji rade obrnuto. (Dodavanje kvadrata sa stranicama jednakim dužini najduže stranice pravougaonika približava vas zlatnom pravokutniku i zlatnom omjeru.)

Zlatni omjer u akciji

Vjeruje se da se zlatni omjer koristio oko 4000 godina u umjetnosti i dizajnu. Međutim, mnogi ljudi se slažu da je izgradnja egipatskih piramida također koristila ovaj princip.

U više modernim vremenima ovo pravilo se može vidjeti u muzici, umjetnosti i dizajnu oko nas. Koristeći sličnu metodologiju rada, možete unijeti iste karakteristike dizajna u svoj rad. Pogledajmo neke inspirativne primjere.

grčka arhitektura

U antičkoj grčkoj arhitekturi, zlatni omjer se koristio za određivanje ugodnog prostornog odnosa između širine zgrade i njene visine, veličine trijema, pa čak i položaja stupova koji podržavaju strukturu.

Rezultat je savršeno proporcionalna struktura. Pokret neoklasične arhitekture je također koristio ove principe.

poslednja večera

Leonardo Da Vinci, kao i mnogi drugi umjetnici prošlih godina, često je koristio zlatni omjer za stvaranje ugodnih kompozicija.

U Posljednjoj večeri, figure su smještene u donje dvije trećine (veći od dva dijela zlatnog omjera), a Isus je savršeno skiciran između zlatnih pravokutnika.

Zlatni omjer u prirodi

Mnogo je primjera zlatnog omjera u prirodi - možete ih pronaći oko sebe. Cvijeće, školjke, ananas, pa čak i saće pokazuju isti omjer.

Kako izračunati zlatni omjer

Izračunavanje zlatnog omjera je prilično jednostavno i počinje jednostavnim kvadratom:

01. Nacrtaj kvadrat

Ona čini dužinu kratke stranice pravougaonika.

02. Podijelite kvadrat

Podijelite kvadrat na pola koristeći okomitu liniju, stvarajući dva pravokutnika.

03. Nacrtajte dijagonalu

U jednom od pravougaonika povucite liniju od jednog ugla do suprotnog.

04. Okrenite se

Zarotirajte ovu liniju tako da leži vodoravno na prvi pravougaonik.

05. Kreirajte novi pravougaonik

Napravite pravougaonik koristeći novu horizontalnu liniju i prvi pravougaonik.

Kako koristiti zlatni omjer

Korištenje ovog principa je lakše nego što mislite. Postoji nekoliko brzih trikova koje možete koristiti u svojim izgledima ili odvojite malo više vremena i u potpunosti razjasnite koncept.

Brzi način

Ako ste se ikada susreli s pravilom trećina, bit ćete upoznati s idejom podjele prostora na jednake trećine vertikalno i horizontalno, gdje se linije seku kako bi stvorile prirodne točke za objekte.

Fotograf stavlja ključni subjekt na jednu od ovih linija koje se ukrštaju kako bi stvorio ugodnu kompoziciju. Ovaj princip se također može koristiti u izgledu vaše stranice i dizajnu postera.

Pravilo trećine može se primijeniti na bilo koji oblik, ali ako ga primijenite na pravougaonik s proporcijama otprilike 1:1,6, završit ćete vrlo blizu zlatnog pravokutnika, što će kompoziciju učiniti oku ugodnijom.

Potpuna implementacija

Ako želite u potpunosti implementirati Zlatni omjer u svoj dizajn, jednostavno uredite glavni sadržaj i bočnu traku (u web dizajnu) u omjeru 1:1,61.

Vrijednosti možete zaokružiti prema dolje ili prema gore: ako je područje sadržaja 640px, a bočna traka 400px, onda je ova oznaka sasvim prikladna za zlatni omjer.

Naravno, također možete podijeliti sadržaj i područja bočne trake u isti odnos, a odnos između zaglavlja web stranice, područja sadržaja, podnožja i navigacije također se može dizajnirati koristeći isti princip.

Korisni alati

Evo nekoliko alata koji će vam pomoći da koristite zlatni omjer u dizajnu i kreirate proporcionalne dizajne.

GoldenRATIO je aplikacija za kreiranje web dizajna, sučelja i šablona prikladnih za Zlatni omjer. Dostupno u Mac App Store-u za 2,99 USD. Uključuje vizuelni kalkulator Zlatni presek.

Aplikacija također ima funkciju “Favorites” koja čuva postavke za ponavljajuće zadatke i “Click-thru” mod koji vam omogućava da minimizirate aplikaciju u Photoshopu.

Ovaj kalkulator Zlatnog omjera iz Pearsonified-a pomaže vam da kreirate savršenu tipografiju za vašu web stranicu. Unesite veličinu fonta, širinu kontejnera u polje i kliknite na dugme Postavi moj tip! Ako trebate optimizirati broj slova po redu, možete dodatno unijeti CPL vrijednost.

Jednostavan je, koristan i besplatna aplikacija dostupno za Mac i PC. Unesite bilo koji broj i aplikacija će izračunati drugu cifru prema principu zlatnog omjera.

Ova aplikacija vam omogućava da dizajnirate sa zlatnim proporcijama, štedeći mnogo vremena na proračunima.

Možete promijeniti oblike i veličine kako biste se fokusirali na svoj projekt. Trajna licenca košta 49 dolara, ali možete preuzeti besplatnu verziju mjesec dana.

Trening Zlatnog preseka

Evo nekoliko korisnih tutorijala o zlatnom omjeru (engleski):

U ovom tutorijalu za digitalnu umjetnost, Roberto Marras pokazuje kako koristiti zlatni omjer u svom umjetničkom radu.

Tutorijal od Tuts+ koji pokazuje kako koristiti zlatne principe u projektima web dizajna.

Tutorijal iz Smashing Magazina o proporcijama i pravilu trećine.

Zlatni rez je univerzalna manifestacija strukturne harmonije. Nalazi se u prirodi, nauci, umjetnosti – u svemu sa čim čovjek može doći u kontakt. Jednom kada se upoznalo sa zlatnim pravilom, čovečanstvo ga više nije izdalo.

DEFINICIJA

Najsveobuhvatnija definicija zlatnog preseka kaže da se manji deo odnosi na veći, kao što se veći deo odnosi na celinu. Njegova približna vrijednost je 1,6180339887. U zaokruženoj procentualnoj vrijednosti, proporcije dijelova cjeline će odgovarati 62% do 38%. Ovaj odnos djeluje u oblicima prostora i vremena.

Stari su zlatni rez smatrali odrazom kosmičkog poretka, a Johannes Kepler ga je nazvao jednim od blaga geometrije. Moderna nauka zlatni rez smatra „asimetričnom simetrijom“, nazivajući ga u širem smislu univerzalno pravilo koje odražava strukturu i poredak našeg svjetskog poretka.

PRIČA

Stari Egipćani su imali ideju o zlatnim proporcijama, znali su za njih u Rusiji, ali je prvi put zlatni rez naučno objasnio monah Luca Pacioli u knjizi „Božanska proporcija“ (1509), čije su ilustracije navodno napravio Leonardo da Vinci. Pacioli je vidio u zlatnom omjeru božansko trojstvo: mali segment je predstavljao Sina, veliki segment je predstavljao Oca, a cijeli segment predstavljao je Svetog Duha.

Ime italijanskog matematičara Leonarda Fibonačija direktno je povezano sa pravilom zlatnog preseka. Kao rezultat rješavanja jednog od problema, naučnik je došao do niza brojeva danas poznatih kao Fibonačijev niz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, itd. Kepler je skrenuo pažnju na odnos ovog niza prema zlatnoj proporciji: „Uređen je na način da dva donja člana ove beskrajne proporcije sabiraju treći član, a bilo koja dva posljednja člana, ako se dodaju, daju sljedeći termin, a isti omjer se održava do beskonačnosti" Sada je Fibonačijev niz aritmetička osnova za izračunavanje proporcija zlatnog preseka u svim njegovim manifestacijama.

Leonardo da Vinci je također posvetio puno vremena proučavanju karakteristika zlatnog omjera; najvjerovatnije, sam pojam pripada njemu. Njegovi crteži stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokutnika dokazuju da svaki od pravougaonika dobijenih presjekom daje omjer širine i visine u zlatnom podjeli.

Vremenom je pravilo zlatnog omjera postalo akademska rutina, a tek mu je filozof Adolf Zeising dao drugi život 1855. On je proporcije zlatnog preseka doveo do apsoluta, čineći ih univerzalnim za sve pojave okolnog sveta. Međutim, njegova "matematička estetika" izazvala je mnogo kritika.

NATURE

Čak i bez upuštanja u kalkulacije, zlatni rez se lako može naći u prirodi. Dakle, omjer repa i tijela guštera, udaljenosti između listova na grani padaju ispod njega, postoji zlatni omjer u obliku jajeta, ako se kroz njegov najširi dio povuče uvjetna linija.

Bjeloruski naučnik Eduard Soroko, koji je proučavao oblike zlatnih podjela u prirodi, primijetio je da je sve što raste i teži da zauzme svoje mjesto u svemiru obdareno proporcijama zlatnog presjeka. Po njegovom mišljenju, jedan od najzanimljivijih oblika je spiralno uvijanje.

Arhimed je, obraćajući pažnju na spiralu, izveo jednačinu na osnovu njenog oblika, koja se i danas koristi u tehnici. Goethe je kasnije primijetio privlačnost prirode prema spiralnim oblicima, nazivajući spiralu "krivulja života". Moderni znanstvenici su otkrili da takve manifestacije spiralnih oblika u prirodi kao što su školjka puža, raspored sjemenki suncokreta, obrasci paukove mreže, kretanje uragana, struktura DNK, pa čak i struktura galaksija, sadrže Fibonaccijevu seriju.

ČOVJEK

Modni dizajneri i dizajneri odjeće sve kalkulacije prave na osnovu proporcija zlatnog omjera. Čovek je univerzalna forma za ispitivanje zakona zlatnog preseka. Naravno, po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije, što stvara određene poteškoće pri odabiru odjeće.

U dnevniku Leonarda da Vinčija nalazi se crtež nagog muškarca upisanog u krug, u dva međusobno postavljena položaja. Na osnovu istraživanja rimskog arhitekte Vitruvija, Leonardo je na sličan način pokušao utvrditi proporcije ljudskog tijela. Kasnije je francuski arhitekta Le Korbizje, koristeći Leonardovog „Vitruvijanskog čoveka“, stvorio sopstvenu skalu „harmoničnih proporcija“, koja je uticala na estetiku arhitekture 20. veka.

Adolf Zeising, proučavajući proporcionalnost osobe, napravio je kolosalan posao. Izmjerio je oko dvije hiljade ljudskih tijela, kao i mnoge drevne statue, i zaključio da zlatni rez izražava prosječni statistički zakon. Kod osobe su joj podređeni gotovo svi dijelovi tijela, ali glavni pokazatelj zlatnog omjera je podjela tijela pupkom.
Kao rezultat mjerenja, istraživač je otkrio da su proporcije muškog tijela 13:8 bliže zlatnom rezu nego proporcije ženskog tijela - 8:5.

UMJETNOST PROSTORNIH FORMA

Umjetnik Vasilij Surikov rekao je "da u kompoziciji postoji nepromjenjiv zakon, kada na slici ne možete ništa ukloniti ili dodati, ne možete dodati ni dodatni bod, to je prava matematika." Za dugo vremena umjetnici su ovaj zakon slijedili intuitivno, ali nakon Leonarda da Vincija, proces stvaranja slike više se ne može ostvariti bez rješavanja geometrijskih problema. Na primjer, Albrecht Durer je koristio proporcionalni kompas koji je izumio da odredi tačke zlatnog preseka.

Likovni kritičar F.V. Kovalev, nakon što je detaljno ispitao sliku Nikolaja Gea „Aleksandar Sergejevič Puškin u selu Mihajlovskoe“, napominje da je svaki detalj platna, bilo da je to kamin, polica za knjige, fotelja ili sam pesnik, strogo upisan u zlatnim proporcijama.

Istraživači zlatnog omjera neumorno proučavaju i mjere arhitektonska remek-djela, tvrdeći da su takva postala jer su nastala po zlatnim kanonima: na njihovoj listi su Velike piramide u Gizi, katedrala Notre Dame, katedrala Vasilija Blaženog i Partenon.

I danas, u bilo kojoj umjetnosti prostornih oblika, pokušavaju pratiti proporcije zlatnog presjeka, jer, prema likovnim kritičarima, olakšavaju percepciju djela i formiraju estetski osjećaj kod gledatelja.

RIJEČ, ZVUK I FILM

Oblici privremene umjetnosti na svoj način nam pokazuju princip zlatne podjele. Književnici su, na primjer, primijetili da najpopularniji broj redova u pjesmama kasnog perioda Puškinovog stvaralaštva odgovara Fibonačijevom nizu - 5, 8, 13, 21, 34.

Pravilo zlatnog preseka važi i za pojedinačna dela ruskog klasika. Dakle, vrhunac “Pikove dame” je dramatična scena Hermana i grofice, koja se završava smrću potonje. Priča ima 853 reda, a vrhunac se događa na 535. redu (853:535 = 1,6) - ovo je tačka zlatnog preseka.

Sovjetski muzikolog E.K. Rosenov bilježi zadivljujuću tačnost zlatnog omjera u strogim i slobodnim oblicima djela Johanna Sebastiana Bacha, što odgovara promišljenom, koncentrisanom, tehnički provjerenom stilu majstora. To važi i za izvanredna djela drugih kompozitora, gdje se najupečatljivije ili najneočekivanije muzičko rješenje obično javlja u tački zlatnog preseka.

Filmski režiser Sergej Ejzenštajn namerno je uskladio scenario svog filma „Bojni brod Potemkin” sa pravilom zlatnog preseka, podelivši film na pet delova. U prva tri dijela radnja se odvija na brodu, au posljednje dvije - u Odesi. Prelazak na scene u gradu je zlatna sredina filma.