Tato služba je navržena tak, aby rozložila zlomek formuláře:

Součet jednoduchých zlomků. Tato služba bude užitečná pro řešení integrálů. viz příklad.

Návod. Zadejte čitatel a jmenovatel zlomku. Klikněte na tlačítko Vyřešit.

Pravidla zadávání funkcí

Pravidla zadávání funkcí

Algoritmus metody neurčitých koeficientů

1. Faktorizace jmenovatele.
2. Rozklad zlomku jako součet jednoduchých zlomků s neurčitými koeficienty.
3. Seskupení čitatele se stejnými mocninami x .
4. Získání soustavy lineárních algebraických rovnic s neurčitými koeficienty jako neznámými.
5. Řešení SLAE: Cramerova metoda, Gaussova metoda, metoda inverzní matice nebo eliminace neznámých.

Příklad. Používáme metodu rozkladu na nejjednodušší. Pojďme si funkci rozložit na jednoduché pojmy:


Srovnejte čitatele a vezměte v úvahu, že koeficienty mají stejné mocniny X, stojící vlevo a vpravo se musí shodovat
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A-2B+C+4D=0
Když to vyřešíme, zjistíme:
A = 1/16; B = -1/9; C = -5/12; D = 7/144;

Integrace zlomkově-racionální funkce.
Metoda neurčitých koeficientů

Pokračujeme v práci na integraci zlomků. V lekci jsme již uvažovali o integrálech některých typů zlomků a tuto lekci lze v jistém smyslu považovat za pokračování. K úspěšnému pochopení látky jsou nutné základní integrační dovednosti, takže pokud jste právě začali studovat integrály, to znamená, že jste čajník, musíte začít s článkem Neurčitý integrál. Příklady řešení.

Kupodivu se nyní nebudeme zabývat ani tak hledáním integrálů, jako spíše ... řešením soustav lineárních rovnic. V tomto spojení silně Doporučuji navštívit lekci Jmenovitě je potřeba se dobře orientovat v substitučních metodách („školní“ metodě a metodě sčítání (odčítání) soustav soustav po členech).

Co je to zlomková racionální funkce? Jednoduše řečeno, zlomkově-racionální funkce je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou polynomy nebo součiny polynomů. Zlomky jsou přitom sofistikovanější než ty, o kterých se v článku mluví. Integrace některých zlomků.

Integrace správné frakčně-racionální funkce

Okamžitě příklad a typický algoritmus pro řešení integrálu zlomkové racionální funkce.

Příklad 1

Krok 1. První věc, kterou VŽDY uděláme při řešení integrálu racionálně-zlomkové funkce, je položit si následující otázku: je zlomek správný? Tento krok se provádí ústně a nyní vysvětlím, jak:

Nejprve se podívejte na čitatel a zjistěte vyšší stupeň polynom:

Nejvyšší mocnina čitatele je dvě.

Nyní se podívejte na jmenovatele a zjistěte to vyšší stupeň jmenovatel. Zřejmým způsobem je otevřít závorky a uvést podobné podmínky, ale můžete to udělat jednodušeji každý závorky najít nejvyšší stupeň

a mentálně vynásobte: - tedy nejvyšší stupeň jmenovatele se rovná třem. Je zcela zřejmé, že pokud opravdu otevřeme závorky, pak nedostaneme stupeň větší než tři.

Závěr: Nejvyšší mocnina čitatele PŘÍSNĚ menší než nejvyšší mocnina jmenovatele, pak je zlomek správný.

Pokud v tento příkladčitatel obsahoval polynom 3, 4, 5 atd. stupně, pak by zlomek byl špatně.

Nyní budeme uvažovat pouze správné zlomkově-racionální funkce. Případ, kdy je stupeň čitatele větší nebo roven stupni jmenovatele, rozebereme na konci lekce.

Krok 2 Rozložme jmenovatele na faktor. Podívejme se na našeho jmenovatele:

Obecně řečeno, zde je již součin faktorů, ale přesto si klademe otázku: je možné rozšířit ještě něco? Předmětem mučení bude samozřejmě čtvercový trojčlen. Řešíme kvadratickou rovnici:

Diskriminant je větší než nula, což znamená, že trinom je skutečně faktorizován:

Obecné pravidlo: VŠECHNO, co ve jmenovateli LZE faktorizovat - faktorizovat

Začněme se rozhodovat:

Krok 3 Metodou neurčitých koeficientů rozšíříme integrand na součet jednoduchých (elementárních) zlomků. Teď to bude jasnější.

Podívejme se na naši integrandovou funkci:

A, víte, nějak proklouzla intuitivní myšlenka, že by bylo hezké přeměnit náš velký zlomek na několik malých. Například takto:

Nabízí se otázka, je to vůbec možné? Vydechneme úlevou, odpovídající věta matematického rozboru říká – JE TO MOŽNÉ. Takový rozklad existuje a je jedinečný.

Má to jen jeden háček, koeficienty my sbohem neznáme, odtud název - metoda neurčitých koeficientů.

Hádáte správně, následná gesta se tak, nehihněte! bude zaměřena právě na jejich NAUČENÍ – zjistit, čemu se rovnají.

Pozor, jednou podrobně vysvětluji!

Takže začneme tančit od:

Na levé straně přivedeme výraz ke společnému jmenovateli:

Nyní se bezpečně zbavíme jmenovatelů (protože jsou stejné):

Na levé straně otevřeme závorky, přičemž se zatím nedotýkáme neznámých koeficientů:

Zároveň opakujeme školní řád násobení polynomů. Když jsem byl učitel, naučil jsem se říkat toto pravidlo s vážnou tváří: Chcete-li vynásobit polynom polynomem, musíte vynásobit každý člen jednoho polynomu každým členem druhého polynomu..

Z hlediska jasného vysvětlení je lepší dát koeficienty do závorek (i když já osobně to kvůli úspoře času nikdy nedělám):

Sestavíme soustavu lineárních rovnic.
Nejprve hledáme vyšší tituly:

A odpovídající koeficienty zapíšeme do první rovnice systému:

Dobře si pamatujte následující nuanci. Co by se stalo, kdyby pravá strana vůbec neexistovala? Řekněte, že by se to jen předvádělo bez jakéhokoli čtverce? V tomto případě by v rovnici soustavy bylo nutné umístit nulu zprava: . Proč nula? A protože na pravé straně můžete vždy stejný čtverec přiřadit nule: Pokud na pravé straně nejsou žádné proměnné nebo (a) volný člen, dáme nuly na pravé strany odpovídajících rovnic systému.

Odpovídající koeficienty zapíšeme do druhé rovnice soustavy:

A nakonec minerální voda, vybíráme bezplatné členy.

Eh... dělal jsem si srandu. Vtipy stranou – matematika je vážná věda. V naší ústavní skupině se nikdo nesmál, když paní docentka řekla, že rozhází členy po číselné ose a vybere největšího z nich. Pojďme vážně. I když... kdo se dožije konce této lekce, bude se stále tiše usmívat.

Systém připraven:

Řešíme systém:

(1) Z první rovnice ji vyjádříme a dosadíme do 2. a 3. rovnice soustavy. Ve skutečnosti bylo možné vyjádřit (nebo jiné písmeno) z jiné rovnice, ale v tomto případě je výhodné vyjádřit to z 1. rovnice, protože tam nejmenší šance.

(2) Ve 2. a 3. rovnici uvádíme podobné členy.

(3) Sečteme 2. a 3. rovnici člen po členu, přičemž dostáváme rovnost , z čehož vyplývá, že

(4) Dosadíme do druhé (nebo třetí) rovnice, ze které to zjistíme

(5) Dosadíme a do první rovnice, dostaneme .

Pokud máte nějaké potíže s metodami řešení systému, vypracujte je ve třídě. Jak vyřešit soustavu lineárních rovnic?

Po vyřešení systému je vždy užitečné provést kontrolu - dosadit nalezené hodnoty v každém rovnice systému, v důsledku toho by vše mělo „konvergovat“.

Téměř dorazil. Koeficienty jsou nalezeny, zatímco:

Čistá práce by měla vypadat nějak takto:

Jak vidíte, hlavní obtížností úkolu bylo sestavit (správně!) a vyřešit (správně!) soustavu lineárních rovnic. A v konečné fázi není vše tak obtížné: využíváme vlastnosti linearity neurčitého integrálu a integrujeme. Upozorňuji na skutečnost, že pod každým ze tří integrálů máme „volnou“ komplexní funkci, o rysech její integrace jsem hovořil v lekci Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu.

Kontrola: Rozlišujte odpověď:

Původní integrand byl získán, což znamená, že integrál byl nalezen správně.
Při ověřování bylo nutné výraz přivést na společného jmenovatele, a to není náhodné. Metoda neurčitých koeficientů a uvedení výrazu do společného jmenovatele jsou vzájemně inverzní akce.

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál.

Vraťme se ke zlomku z prvního příkladu: . Je snadné vidět, že ve jmenovateli jsou všechny faktory RŮZNÉ. Nabízí se otázka, co dělat, když je dán například takový zlomek: ? Zde máme stupně ve jmenovateli, nebo, matematicky řečeno, více faktorů. Navíc existuje nerozložitelný čtvercový trinom (lze snadno ověřit, že diskriminant rovnice je záporná, takže trojčlen nelze žádným způsobem zohlednit). Co dělat? Expanze do součtu elementárních zlomků bude vypadat s neznámými koeficienty nahoře nebo nějakým jiným způsobem?

Příklad 3

Odeslat funkci

Krok 1. Kontrola, zda máme správný zlomek
Nejvyšší mocnina v čitateli: 2
Nejvyšší jmenovatel: 8
, takže zlomek je správný.

Krok 2 Lze něco započítat do jmenovatele? Očividně ne, vše je již připraveno. Čtvercová trojčlenka se z výše uvedených důvodů nerozšíří do součinu. Dobrý. Méně práce.

Krok 3 Představme si zlomkově-racionální funkci jako součet elementárních zlomků.
V tomto případě má rozklad následující formu:

Podívejme se na našeho jmenovatele:
Při rozkladu zlomkově-racionální funkce na součet elementárních zlomků lze rozlišit tři základní body:

1) Pokud jmenovatel obsahuje na prvním stupni „osamělý“ faktor (v našem případě), pak dáme na začátek (v našem případě) neurčitý koeficient. Příklady č. 1, 2 se skládaly pouze z takových „osamělých“ faktorů.

2) Pokud jmenovatel obsahuje násobek multiplikátor, pak musíte provést rozklad takto:
- tj. postupně seřadit všechny stupně "x" od prvního do n-tého stupně. V našem příkladu existují dva různé faktory: a , podívejte se znovu na rozklad, který jsem uvedl, a ujistěte se, že jsou rozloženy přesně podle tohoto pravidla.

3) Pokud jmenovatel obsahuje nerozložitelný polynom druhého stupně (v našem případě ), pak při rozbalení v čitateli je potřeba napsat lineární funkci s neurčitými koeficienty (v našem případě s neurčitými koeficienty a ).

Ve skutečnosti existuje také 4. případ, ale o tom pomlčím, protože v praxi je extrémně vzácný.

Příklad 4

Odeslat funkci jako součet elementárních zlomků s neznámými koeficienty.

Toto je příklad pro nezávislé řešení. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.
Přísně dodržujte algoritmus!

Pokud jste přišli na principy, podle kterých potřebujete rozložit zlomkově-racionální funkci na součet, můžete rozlousknout téměř jakýkoli integrál uvažovaného typu.

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál.

Krok 1. Je zřejmé, že zlomek je správný:

Krok 2 Lze něco započítat do jmenovatele? Umět. Zde je součet kostek . Rozložení jmenovatele pomocí zkráceného násobícího vzorce

Krok 3 Pomocí metody neurčitých koeficientů rozšíříme integrand na součet elementárních zlomků:

Všimněte si, že polynom je nerozložitelný (zkontrolujte, zda je diskriminant záporný), takže na začátek dáme lineární funkci s neznámými koeficienty, nikoli pouze jedno písmeno.

Zlomek přivedeme na společného jmenovatele:

Pojďme vytvořit a vyřešit systém:

(1) Z první rovnice vyjádříme a dosadíme do druhé rovnice soustavy (to je nejracionálnější způsob).

(2) Ve druhé rovnici uvádíme podobné členy.

(3) Druhou a třetí rovnici soustavy sčítáme člen po členu.

Všechny další výpočty jsou v zásadě ústní, protože systém je jednoduchý.

(1) Součet zlomků zapíšeme podle nalezených koeficientů .

(2) Použijeme vlastnosti linearity neurčitého integrálu. Co se stalo ve druhém integrálu? Tuto metodu najdete v posledním odstavci lekce. Integrace některých zlomků.

(3) Opět použijeme vlastnosti linearity. Ve třetím integrálu začneme vybírat celý čtverec (předposlední odstavec lekce Integrace některých zlomků).

(4) Vezmeme druhý integrál, ve třetím vybereme plný čtverec.

(5) Vezmeme třetí integrál. Připraven.

MINISTERSTVO VĚDY A ŠKOLSTVÍ REPUBLIKY BAŠKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

učitel matematiky Baškir

Vysoká škola architektury a pozemního stavitelství

UFA

2014

Úvod ____________________________________________________3

Kapitola já Teoretické aspekty použití metody nejistých koeficientů _______________________________________________4

Kapitola II. Hledejte řešení úloh s polynomy metodou neurčitých koeficientů ________________________________7

2.1. Rozložení polynomu ______________________ 7

2.2. Úlohy s parametry____________________________________ 10

2.3. Řešení rovnic _____________________________________14

2.4. Funkční rovnice ______________________________19

Závěr__________________________________________________23

Seznam referencí _____________________________24

aplikace ________________________________________________25

Úvod.

Tato práce je věnována teoretickým a praktickým aspektům zavedení metody neurčitých koeficientů do kurzu školní matematiky. Relevantnost tohoto tématu je určena následujícími okolnostmi.

Nikdo nebude argumentovat tím, že matematika jako věda nestojí na jednom místě, neustále se vyvíjí, objevují se nové úkoly se zvýšenou složitostí, což často způsobuje určité potíže, protože tyto úkoly jsou obvykle spojeny s výzkumem. Takové úkoly v minulé roky byly nabízeny na školních, krajských a republikových matematických olympiádách, jsou dostupné i ve verzích USE. Proto byla potřeba speciální metoda, která by umožnila vyřešit alespoň některé z nich co nejrychleji, nejefektivněji a nejlevněji. V této práci je přístupným způsobem podán obsah metody neurčitých koeficientů, která je široce používána v celé řadě oblastí matematiky, od otázek zařazených do kurzu všeobecně vzdělávací školy až po její nejpokročilejší části. Zvláště zajímavé a efektivní jsou aplikace metody neurčitých koeficientů při řešení úloh s parametry, zlomkové racionální a funkcionální rovnice; mohou snadno zaujmout každého, kdo se zajímá o matematiku. Hlavním účelem navrhované práce a výběru problémů je poskytnout dostatek příležitostí pro zdokonalování a rozvoj schopnosti nalézat krátká a nestandardní řešení.

Tato práce se skládá ze dvou kapitol. První se zabývá teoretickými aspekty použití

metoda nejistých koeficientů, ve druhé - praktické a metodologické aspekty takového použití.

V příloze práce jsou uvedeny podmínky konkrétních úloh pro samostatné řešení.

Kapitola já . Teoretické aspekty použití metoda nejistých koeficientů

"Člověk... se narodil, aby byl mistrem,

mistr, král přírody, ale moudrost,

kterým by měl vládnout, není mu dáno

od narození: získává se učením“

N. I. Lobačevskij

Existovat různé cesty a metody řešení problémů, ale jednou z nejpohodlnějších, nejefektivnějších, originálních, elegantních a zároveň velmi jednoduchých a srozumitelných pro každého je metoda neurčitých koeficientů. Metoda neurčitých koeficientů je metoda používaná v matematice k nalezení koeficientů výrazů, jejichž tvar je předem znám.

Než se budeme zabývat aplikací metody neurčitých koeficientů na řešení různých druhů problémů, uvádíme řadu teoretických informací.

Ať jsou dány

A n (X) = A 0 X n + A 1 X n-1 + A 2 X n-2 + ··· + A n-1 X + A n

B m (X ) = b 0 X m + b 1 X m -1 + b 2 X m -2 + ··· + b m-1 X + b m ,

polynomy vzhledem k X s jakýmkoliv poměrem.

Teorém. Dva polynomy v závislosti na jednom a stejného argumentu jsou identicky stejné právě tehdy a jen tehdyn = m a jejich příslušné koeficienty jsouA 0 = b 0 , A 1 = b 1 , A 2 = b 2 ,··· , A n -1 = b m -1 , A n = b m A T. d.

Je zřejmé, že pro všechny hodnoty platí stejné polynomy X stejné hodnoty. Naopak, pokud jsou hodnoty dvou polynomů stejné pro všechny hodnoty X, pak polynomy jsou stejné, tedy jejich koeficienty při stejných mocnináchX sladit se.

Myšlenka použití metody neurčitých koeficientů na řešení problémů je proto následující.

Uvědomme si, že v důsledku některých transformací se získá výraz určitého tvaru a pouze koeficienty v tomto výrazu jsou neznámé. Pak se tyto koeficienty označí písmeny a považují se za neznámé. Poté se sestaví soustava rovnic pro určení těchto neznámých.

Například v případě polynomů jsou tyto rovnice složeny z podmínky rovnosti koeficientů při stejných mocninách X pro dva stejné polynomy.

Výše uvedené si ukážeme na následujících konkrétních příkladech a začneme tím nejjednodušším.

Takže např. na základě teoretických úvah zlomek

lze vyjádřit jako součet

, Kde A , b A C - koeficienty, které mají být stanoveny. Abychom je našli, srovnáme druhý výraz s prvním:

=

a zbavení se jmenovatele a sbírání podmínek se stejnými pravomocemi nalevo X, dostaneme:

(A + b + C )X 2 + ( b - C )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Protože poslední rovnost musí platit pro všechny hodnoty X, pak koeficienty při stejných mocnináchX vpravo a vlevo by měly být stejné. Pro určení tří neznámých koeficientů jsou tedy získány tři rovnice:

a+b+c = 2

b - C = - 5

A= 1, odkud A = 1 , b = - 2 , C = 3

Proto,

=
,

platnost této rovnosti lze snadno přímo ověřit.

Představme si také zlomek

tak jako A + b
+ C
+ d
, Kde A , b , C A d- neznámé racionální koeficienty. Přirovnejte druhý výraz k prvnímu:

A + b
+ C
+ d
=
nebo, zbavíme-li se jmenovatele, vyjmeme tam, kde je to možné, racionální faktory zpod znamének kořenů a přidáme podobné pojmy na levé straně, dostaneme:

(A- 2 b + 3 C ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (před naším letopočtem + d )
= 1 +
-
.

Ale taková rovnost je možná pouze v případě, kdy jsou racionální členy obou částí a koeficienty u stejných radikálů stejné. Tak jsou získány čtyři rovnice pro hledání neznámých koeficientů A , b , C A d :

A- 2b+ 3C = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - C + d= 0, odkud A = 0 ; b = - ; C = 0 ; d= , tj
= -
+
.

Kapitola II. Hledání řešení problémů s polynomy metoda nejistých koeficientů.

„Nic nepřispívá k asimilaci subjektu

jak s ním jednat v různých situacích"

Akademik B. V. Gnedenko

2. 1. Rozklad polynomu na faktory.

Metody faktorizace polynomů:

1) vyjmutí společného činitele ze závorek 2) metoda seskupování; 3) aplikace základních vzorců násobení; 4) zavedení pomocných členů 5) předběžná transformace daného polynomu pomocí různých vzorců; 6) expanze nalezením kořenů daného polynomu; 7) metoda zavádění parametrů; 8) metoda neurčitých koeficientů.

Úloha 1. Rozložte polynom na reálné faktory X 4 + X 2 + 1 .

Řešení. Mezi děliteli volného členu tohoto polynomu nejsou žádné kořeny. Nemůžeme najít kořeny polynomu jinými elementárními prostředky. Proto není možné provést požadované rozšíření nejprve nalezením kořenů tohoto polynomu. Zbývá hledat řešení problému buď zavedením pomocných členů, nebo metodou neurčitých koeficientů. To je zřejmé X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Výsledné čtvercové trinomy nemají žádné kořeny, a proto je nelze rozložit na reálné lineární faktory.

Popsaná metoda je technicky jednoduchá, ale obtížná svou umělostí. Vymyslet potřebné pomocné termíny je skutečně velmi obtížné. K nalezení tohoto rozšíření nám pomohl pouze odhad. Ale

je jich víc spolehlivými způsobyřešení takových problémů.

Dalo by se postupovat následovně: předpokládejme, že daný polynom expanduje do součinu

(X 2 + A X + b )(X 2 + C X + d )

dva čtvercové trinomy s celočíselnými koeficienty.

Tím pádem to budeme mít

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + C X + d )

Zbývá určit koeficientyA , b , C A d .

Vynásobením polynomů na pravé straně poslední rovnosti dostaneme:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A C + d ) X 2 + (inzerát + před naším letopočtem ) x + bd .

Ale protože potřebujeme, aby se pravá strana této rovnosti změnila ve stejný polynom, který je na levé straně, vyžadujeme provedení následující podmínky:

a + c = 0

b + A C + d = 1

inzerát + před naším letopočtem = 0

bd = 1 .

Výsledkem je soustava čtyř rovnic se čtyřmi neznámýmiA , b , C A d . Z tohoto systému je snadné najít koeficientyA = 1 , b = 1 , C = -1 A d = 1.

Nyní je problém zcela vyřešen. Máme:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Úloha 2. Rozložte polynom na reálné faktory X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Řešení. Tento polynom reprezentujeme ve tvaru

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + C), kde A , b A S - dosud neurčené koeficienty. Protože dva polynomy jsou shodně stejné právě tehdy, když koeficienty mají stejné mocninyX jsou tedy rovny, přičemž koeficienty, v tomto pořadí, atX 2 , X a volné podmínky, dostaneme tři rovnice se třemi neznámými:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Řešení této soustavy se značně zjednoduší, vezmeme-li v úvahu, že číslo 3 (dělitel volného členu) je kořenem této rovnice, a tedyA = - 3 ,

b = - 3 A S = 5 .

Pak X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 X + 5).

Použitá metoda neurčitých koeficientů ve srovnání s výše uvedenou metodou zavádění pomocných pojmů neobsahuje nic umělého, vyžaduje však aplikaci mnoha teoretických ustanovení a je doprovázena poměrně rozsáhlými výpočty. Pro polynomy vyššího stupně vede tato metoda neurčitých koeficientů k těžkopádným soustavám rovnic.

2.2 Úkoly a s parametry.

V posledních letech byly ve variantách USE navrženy úlohy s parametry. Jejich řešení často způsobuje určité potíže. Při řešení úloh s parametry lze spolu s dalšími metodami efektivně uplatnit metodu neurčitých koeficientů. Přesně tato metoda je mnohem snazší je vyřešit a získat rychlou odpověď.

Úkol 3. Určete, při jakých hodnotách parametru A rovnice 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 má právě dva kořeny.

Řešení. 1 způsob. S pomocí derivace.

Tuto rovnici znázorňujeme ve formě dvou funkcí

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

F (X) = 2x 3-3 X 2 – 36 X– 3 a φ( X ) = – A .

Zkoumání funkceF (X) = 2x 3-3 X 2 – 36 X - 3 pomocí derivace a sestrojte její graf schematicky (obr. 1.).

F( – X )F (X ) , F (– X ) – F (X ). Funkce není ani sudá, ani lichá.

3. Najděte kritické body funkce, její intervaly nárůstu a poklesu, extrémy. F / (X ) = 6 X 2 – 6 X – 36. D (F / ) = R , takže řešením rovnice najdeme všechny kritické body funkce F / (X ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 větou převést na větu Vieta.

F / (X ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 X

F / (X) > 0 pro všechny X< – 2 a X > 3 a funkce je v bodech spojitáx =– 2 a X = 3 , proto se zvyšuje na každém z intervalů (- ; - 2] a [3; ).

F / (X ) < 0 v - 2 < X< 3 tedy klesá na intervalu [- 2; 3 ].

X = - 2 maximální bod, protože v tomto okamžiku se znaménko derivace změní z"+" až "-".

F (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 je minimální bod, protože v tomto bodě se mění znaménko derivace"-" až "+".

F (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Graf funkce φ(X ) = – A je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem se souřadnicemi (0; – A ). Grafy mají dva společné body na −A= 41, tj. a =- 41 a - A= -84, tj. A = 84 .

na

41 φ( X)

2 3 X

3 F ( X ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 způsobem. Metoda neurčitých koeficientů.

Vzhledem k tomu, že podle podmínky úlohy by tato rovnice měla mít pouze dva kořeny, je splnění rovnosti zřejmé:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 X + C ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 X 3 + (4 b + C ) X 2 + (2 b 2 + +2 před naším letopočtem ) X + b 2 C ,

Nyní srovnejme koeficienty se stejnými mocninami X, získáme soustavu rovnic

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc=- 36

b 2 C = A – 3 .

Z prvních dvou rovnic soustavy najdemeb 2 + b – 6 = 0, odkud b 1 = - 3 nebo b 2 = 2. Příslušné hodnotyS 1 a S 2 je snadné najít z první rovnice systému:S 1 = 9 nebo S 2 = -11. Nakonec lze požadovanou hodnotu parametru určit z poslední rovnice systému:

A = b 2 C + 3 , A 1 = - 41 nebo A 2 = 84.

Odpověď: tato rovnice má přesně dva různé

kořen v A= - 41 a A= 84 .

Úkol 4. Najděte největší hodnotu parametruA , pro který platí rovniceX 3 + 5 X 2 + Ach + b = 0

s celočíselnými koeficienty má tři různé kořeny, z nichž jeden je - 2 .

Řešení. 1 způsob. Střídání X= - 2 na levou stranu rovnice, dostaneme

8 + 20 – 2 A + b= 0, což znamená b = 2 A – 12 .

Protože číslo - 2 je kořen, můžete vyjmout společný faktor X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ach + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ach + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) – 6 X + Ach + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) + (A – 6)(X +2) - 2(A – 6)+ (2 a - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 X + (A – 6) ) .

Podle podmínky existují další dva kořeny rovnice. Diskriminační prvek druhého faktoru je tedy kladný.

D =3 2 - 4 (A – 6) = 33 – 4 A > 0, tzn A < 8,25 .

Zdálo by se, že odpověď bude a = 8. Ale když dosadíme číslo 8 v původní rovnici, dostaneme:

X 3 + 5 X 2 + Ach + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 X + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

to znamená, že rovnice má pouze dva odlišné kořeny. Ale při a = 7 má skutečně tři různé kořeny.

2 způsobem. Metoda neurčitých koeficientů.

Pokud rovnice X 3 + 5 X 2 + Ach + b = 0 má kořen X = - 2, pak můžete vždy vyzvednout číslaC A d takže pro všechnyX rovnost byla pravdivá

X 3 + 5 X 2 + Ach + b = (X + 2)(X 2 + S X + d ).

Pro hledání číselC A d otevřete závorky na pravé straně, zadejte podobné podmínky a získejte

X 3 + 5 X 2 + Ach + b = X 3 + (2 + S ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Vyrovnání koeficientů u odpovídajících mocnin X máme systém

2 + S = 5

2 S + d = A

2 d = b , kde c = 3 .

Proto, X 2 + 3 X + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 nebo

d < 2,25, takže d (- ; 2 ].

Podmínka problému je splněna hodnotou d = 1. Konečná požadovaná hodnota parametruA = 7.

A n e t: kdy a = 7 tato rovnice má tři různé kořeny.

2.3. Řešení rovnic.

„Pamatuj, že když řešíš malé problémy, ty

připravte se na velké a obtížné řešení

úkoly."

Akademik S.L. Sobolev

Při řešení některých rovnic je možné a nutné projevit vynalézavost a vtip, uplatnit se speciální triky. V matematice je velmi důležité mít různé metody transformací a schopnost logického uvažování. Jedním z těchto triků je přidat a odečíst nějaký dobře zvolený výraz nebo číslo. Samotná uvedená skutečnost je samozřejmě každému dobře známá - hlavní problém je vidět v konkrétní konfiguraci ty transformace rovnic, na které je vhodné a účelné ji aplikovat.

Na jednoduché algebraické rovnici ilustrujeme jednu nestandardní metodu řešení rovnic.

Úloha 5. Řešte rovnici

=
.

Řešení. Vynásobte obě strany této rovnice 5 a přepište následovně

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 nebo
= 0

Výsledné rovnice řešíme metodou neurčitých koeficientů

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ach + b )(X 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A C + d ) X 2 + (inzerát + před naším letopočtem ) x++ bd

Vyrovnání koeficientů při X 3 , X 2 , X a volné podmínky, získáme systém

a + c = -1

b + A C + d = 0

inzerát + před naším letopočtem = -7

bd = -3 , odkud najdeme:A = -2 ; b = - 1 ;

S = 1 ; d = 3 .

Tak X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 nebo X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
žádné kořeny.

Podobně to máme my

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kde X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Odpovědět: X 1,2 =

Úloha 6. Řešte rovnici

= 10.

Řešení. K vyřešení této rovnice je nutné zvolit číslaA A b takže čitatelé obou zlomků jsou stejné. Proto máme systém:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Úkolem je tedy sebrat číslaA A b , pro které je rovnost

(a + 6) X 2 + ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) X + b

Nyní, podle věty o rovnosti polynomů, je nutné, aby se pravá strana této rovnosti změnila ve stejný polynom, který je na levé straně.

Jinými slovy, vztahy musí vydržet

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , ze kterého zjistíme hodnotyA = - 5 ;

b = - 5 .

S těmito hodnotamiA A b rovnost A + b = - 10 je také platné.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 nebo X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Odpovědět: X 1,2 =
, X 3,4 =

Úloha 7. Řešte rovnici

= 4

Řešení. Tato rovnice je složitější než předchozí, a proto ji seskupujeme tak, že X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Z podmínky rovnosti dvou polynomů

Ach 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) X – 3 b ,

získáme a vyřešíme soustavu rovnic pro neznámé koeficientyA A b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , kde a = 1 , b = - 4 .

Polynomy - 3 - 6X + cx 2 + 8 cx A X 2 + 21 + 12 d – dx jsou navzájem identické pouze tehdy, když

S = 1

8 s - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , S = 1 , d = - 2 .

Pro hodnotya = 1 , b = - 4 , S = 1 , d = - 2

rovnost
= - 4 je spravedlivé.

V důsledku toho má tato rovnice následující tvar:

= 0 nebo
= 0 nebo
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Z uvažovaných příkladů je zřejmé, jak dovedné použití metody nejistých koeficientů,

pomáhá zjednodušit řešení poměrně složité, neobvyklé rovnice.

2.4. Funkcionální rovnice.

„Nejvyšší účel matematiky... spočívá

v nálezu skrytý řád PROTI

chaos, který nás obklopuje

N. Wiener

Funkcionální rovnice jsou velmi obecnou třídou rovnic, ve kterých je nějaká funkce požadovaná. Funkční rovnicí v užším slova smyslu se rozumí rovnice, ve kterých jsou požadované funkce vztaženy ke známým funkcím jedné nebo více proměnných pomocí operace tvorby komplexní funkce. Funkční rovnici lze také považovat za vyjádření vlastnosti, která charakterizuje určitou třídu funkcí

[ například funkcionální rovnice F ( X ) = F (- X ) charakterizuje třídu sudých funkcí, funkcionální rovniciF (X + 1) = F (X ) je třída funkcí s periodou 1 atd.].

Jednou z nejjednodušších funkcionálních rovnic je rovniceF (X + y ) = F (X ) + F (y ). Spojitá řešení této funkcionální rovnice mají tvar

F (X ) = CX . Ve třídě nespojitých funkcí má však tato funkcionální rovnice i jiná řešení. Uvažovaná funkční rovnice je spojena

F (X + y ) = F (X ) · F (y ), F (X y ) = F (X ) + F (y ), F (X y ) = F (X )· F (y ),

spojitá řešení, která mají resp

E cx , SlnX , X α (X > 0).

Tyto funkcionální rovnice tedy mohou sloužit k definování exponenciálních, logaritmických a mocninných funkcí.

Nejpoužívanější jsou rovnice, v jejichž komplexních funkcích jsou žádoucími funkcemi vnějšími. Teoretické a praktické aplikace

byly to přesně takové rovnice, které přiměly významné matematiky k jejich studiu.

Například, na zarovnání

F 2 (X) = F (X - y)· F (X + y)

N. I. Lobačevskijpoužívá se při určování úhlu rovnoběžnosti v jeho geometrii.

Úlohy spojené s řešením funkcionálních rovnic jsou v posledních letech poměrně často nabízeny na matematických olympiádách. Jejich řešení nevyžaduje znalosti přesahující rámec učiva matematiky všeobecně vzdělávacích škol. Řešení funkcionálních rovnic však často způsobuje určité potíže.

Jednou z cest k řešení funkcionálních rovnic je metoda neurčitých koeficientů. Může být aplikován, když vzhled rovnic, můžete určit obecný tvar požadované funkce. To se týká především těch případů, kdy je třeba hledat řešení rovnic mezi celými nebo zlomkově-racionálními funkcemi.

Vysvětleme podstatu této techniky řešením následujících problémů.

Úkol 8. FunkceF (X ) je definován pro všechna reálná x a vyhovuje pro všechnyX R stav

3 F(X) - 2 F(1- X) = X 2 .

NaléztF (X ).

Řešení. Protože na levé straně této rovnice nad nezávislou proměnnou x a hodnotami funkceF jsou prováděny pouze lineární operace a pravá strana rovnice je kvadratická funkce, je přirozené předpokládat, že požadovaná funkce je také kvadratická:

F (X) = sekera 2 + bx + C , KdeA, b, C – koeficienty, které mají být stanoveny, tj. neurčené koeficienty.

Dosazením funkce do rovnice dospějeme k identitě:

3(sekera 2 + bx+c) – 2(A(1 – X) 2 + b(1 – X) + C) = X 2 .

sekera 2 + (5 b + 4 A) X + (C – 2 A – 2 b) = X 2 .

Dva polynomy budou shodné, pokud se rovnají

koeficienty při stejných mocninách proměnné:

A = 1

5b + 4A = 0

C– 2 A – 2 b = 0.

Z tohoto systému zjistíme koeficienty

A = 1 , b = - , c = , Takysplňujerovnost

3 F (X ) - 2 F (1- X ) = X 2 na množině všech reálných čísel. Zároveň existujeX 0 Úkol 9. Funkcey=F(X) pro všechny x je definováno, spojité a splňuje podmínkuF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X . Najděte dvě takové funkce.

Řešení. Na požadované funkci se provádějí dvě akce - operace sestavení komplexní funkce a

odčítání. Vzhledem k tomu, že pravá strana rovnice je lineární funkce, je přirozené předpokládat, že požadovaná funkce je také lineární:F(X) = sekera +b , KdeA Ab jsou nedefinované koeficienty. Nahrazení této funkce doF (F ( (X ) = - X - 1 ;

F 2 (X ) = 2 X+ , což jsou řešení funkcionální rovniceF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X .

Závěr.

Závěrem je třeba poznamenat, že tato práce jistě přispěje k dalšímu studiu původní a účinná metodařešení různých matematických úloh, které jsou úlohami zvýšené obtížnosti a vyžadují hlubokou znalost školního kurzu matematiky a vysokou logickou kulturu.Každý, kdo si chce samostatně prohloubit své znalosti z matematiky, najde v této práci také materiál k zamyšlení a zajímavé problémy, jejichž řešení přinese užitek a uspokojení.

Práce v rámci stávajícího školní osnovy a formou přístupnou pro efektivní vnímání je prezentována metoda neurčitých koeficientů, která přispívá k prohloubení kurzu školní matematiky.

Všechny možnosti metody neurčitých koeficientů samozřejmě nelze ukázat v jedné práci. Ve skutečnosti metoda stále vyžaduje další studium a výzkum.

Seznam použité literatury.

Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole.-M.: Vzdělávání, 1983.

Gomonov S.A. Funkcionální rovnice ve školním kurzu matematiky // Matematika ve škole. -2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Manuál o matematice.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebraické rovnice libovolných stupňů.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Elementární úvod do funkcionálních rovnic. - Petrohrad. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G. Vysvětlující slovník matematických termínů.-M.: Enlightenment, 1971

Modenov V.P. Matematická příručka. Ch.1.-M.: Moskevská státní univerzita, 1977.

Modenov V.P. Problémy s parametry.-M.: Zkouška, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra a analýza elementárních funkcí.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Je možné řešit snadněji // Matematika ve škole. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Rozbalte polynom 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 pro násobiče s celočíselnými koeficienty.

5. V jaké hodnotě A X 3 + 6X 2 + Ach+ 12 na X+ 4 ?

6. Při jaké hodnotě parametruA rovniceX 3 +5 X 2 + + Ach + b = 0 s celočíselnými koeficienty má dva různé kořeny, z nichž jeden je roven 1 ?

7. Mezi kořeny polynomu X 4 + X 3 – 18X 2 + Ach + b s celočíselnými koeficienty jsou tři stejná celá čísla. Najděte hodnotu b .

8. Najděte největší celočíselnou hodnotu parametru A, pod kterým je rovnice X 3 – 8X 2 + ach +b = 0 s celočíselnými koeficienty má tři různé kořeny, z nichž jeden je roven 2.

9. Na jaké hodnoty A A b rozdělení beze zbytku X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ach + b na X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktorizujte polynomy:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 PROTI)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 E)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 E)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Řešte rovnice:

A)
= 2 = 2 F (1 – X ) = X 2 .

Nalézt F (X) .

13. Funkce na= F (X) pro všechny X je definován, spojitý a splňuje podmínku F ( F (X)) = F (X) + X. Najděte dvě takové funkce.