Mezi celou řadou logaritmických nerovnic jsou samostatně studovány nerovnice s proměnnou bází. Jsou řešeny pomocí speciálního vzorce, který se z nějakého důvodu ve škole vyučuje jen zřídka. Prezentace představuje řešení úloh C3 Jednotné státní zkoušky - 2014 z matematiky.

Stažení:

Náhled:

Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Řešení logaritmických nerovnic obsahujících proměnnou na bázi logaritmu: metody, techniky, ekvivalentní přechody, učitel matematiky, SŠ č. 143 Knyazkina T.V.

Mezi celou řadou logaritmických nerovnic jsou samostatně studovány nerovnice s proměnnou bází. Řeší se pomocí speciálního vzorce, který se ve škole z nějakého důvodu málokdy vyučuje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Namísto zaškrtávacího políčka „∨“ můžete zadat libovolné znaménko nerovnosti: více nebo méně. Hlavní je, že v obou nerovnostech jsou znaménka stejná. Tímto způsobem se zbavíme logaritmů a redukujeme problém na racionální nerovnost. To je mnohem snazší vyřešit, ale při zahození logaritmů se mohou objevit další kořeny. K jejich odříznutí stačí najít oblast přijatelné hodnoty. Nezapomeňte na ODZ logaritmu! Vše, co souvisí s rozsahem přijatelných hodnot, musí být zapsáno a řešeno samostatně: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Tyto čtyři nerovnosti tvoří systém a musí být splněny současně. Když je nalezen rozsah přijatelných hodnot, zbývá jej pouze protnout řešením racionální nerovnost- a odpověď je připravena.

Řešte nerovnici: Řešení Nejprve si vypišme OD logaritmu První dvě nerovnice jsou splněny automaticky, ale poslední bude muset být zapsána. Protože druhá mocnina čísla je rovna nule právě tehdy, když se samotné číslo rovná nule, máme: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Ukazuje se, že ODZ logaritmu jsou všechna čísla kromě nuly: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Nyní vyřešíme hlavní nerovnost: Provedeme přechod od logaritmické nerovnosti k racionální. Původní nerovnost má znaménko „menší než“, což znamená, že výsledná nerovnost musí mít také znaménko „menší než“.

Máme: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformace logaritmických nerovností Původní nerovnost je často odlišná od výše uvedené. To lze snadno opravit pomocí standardních pravidel pro práci s logaritmy. Jmenovitě: Libovolné číslo může být reprezentováno jako logaritmus s daným základem; Součet a rozdíl logaritmů se stejnými základy lze nahradit jedním logaritmem. Samostatně bych vám rád připomněl rozsah přijatelných hodnot. Protože v původní nerovnosti může být několik logaritmů, je nutné najít VA každého z nich. Tím pádem, obecné schémařešení logaritmických nerovností jsou následující: Najděte ODZ každého logaritmu zahrnutého v nerovnosti; Snižte nerovnost na standardní pomocí vzorců pro sčítání a odečítání logaritmů; Výslednou nerovnici vyřešte pomocí výše uvedeného schématu.

Řešte nerovnici: Řešení Najděte definiční obor (DO) prvního logaritmu: Řešte metodou intervalů. Najděte nuly v čitateli: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Potom - nuly ve jmenovateli: x − 1 = 0; x = 1. Označte nuly a znaménka na souřadnicové čáře:

Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Druhý logaritmus bude mít stejnou VA. Pokud tomu nevěříte, můžete si to ověřit. Nyní převedeme druhý logaritmus tak, aby na základně byla dvojka: Jak vidíte, trojky na základně a před logaritmem byly zrušeny. Máme dva logaritmy se stejným základem. Sečtěte je: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Zajímá nás průnik množin, proto vybíráme intervaly, které jsou na obou šipkách stínované. Dostaneme: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - všechny body jsou proraženy. Odpověď: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Řešení úloh USE-2014 typu C3

Řešení soustavy nerovnic. ODZ:  1) 2)

Vyřešte soustavu nerovnic 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (pokračování)

Vyřešte soustavu nerovnic 4) Obecné řešení: a -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (pokračování)

Vyřešte nerovnici (pokračování) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Řešení nerovnosti Řešení. ODZ: 

Vyřešte nerovnost (pokračování)

Řešení nerovnosti Řešení. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Lekce o jedné nerovnosti rozvíjí badatelské dovednosti, probouzí myšlenky studentů, rozvíjí inteligenci a zvyšuje zájem studentů o práci. Nejlepší je provést ji, když studenti ovládají potřebné pojmy a analyzují řadu konkrétních technik pro řešení logaritmických nerovností. V této lekci jsou studenti aktivními účastníky při hledání řešení.

• vzdělávací
: rozvíjet dovednosti a schopnosti řešit logaritmické nerovnosti zadaný typ různé způsoby; učit samostatně získávat znalosti (vlastní aktivity studentů ke studiu a zvládnutí obsahu vzdělávací materiál);
• rozvíjející se
: práce na rozvoji řeči; naučit se analyzovat, zdůrazňovat to hlavní, dokazovat a vyvracet logické závěry;
• vzdělávací
: formování mravních vlastností, humánní vztahy, přesnost, disciplína, sebeúcta, zodpovědný přístup k dosažení cíle.

Ústní práce.

Zapište matematickým jazykem následující věty: „Čísla a a b jsou na stejné straně jednotky“, „Čísla a a b jsou na opačných stranách jednotky“ a dokažte výsledné nerovnosti. (Jeden ze studentů si předem připravil řešení na tabuli).

Při analýze možností přijímacích zkoušek z matematiky si lze všimnout, že z teorie logaritmů se u zkoušek často setkáváme s logaritmickými nerovnostmi obsahujícími proměnnou pod logaritmem a na bázi logaritmu.

Naše lekce je lekce jedné nerovnosti, obsahující proměnnou pod logaritmem a na bázi logaritmu,řešeny různými způsoby. Říká se, že je lepší vyřešit jednu nerovnost, ale různými způsoby, než několik nerovností stejným způsobem. Ve skutečnosti byste měli mít možnost kontrolovat svá rozhodnutí. Není lepší test, než vyřešit problém jiným způsobem a získat stejnou odpověď (můžete dospět ke stejným systémům, stejným nerovnostem, rovnicím různými způsoby). Ale nejen tento cíl je sledován při řešení úkolů různými způsoby. Hledání různých řešení, zvažování všech možných případů, Kritické hodnocení Aby vyzdvihli to nejracionálnější, nejkrásnější, což je důležitý faktor rozvoje matematického myšlení, jsou odváděni od šablony. Proto dnes vyřešíme pouze jednu nerovnost, ale pokusíme se najít více způsobů, jak ji vyřešit.

Zde je řešení této nerovnosti, převzaté z jedné zkouškové písemky. Pozorně si to prohlédněte a pokuste se analyzovat řešení. (Řešení nerovnice je předem napsáno na tabuli)

log x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2 x – 3< 1;

x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 – 2 x – 4< 0;

x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

c) řešení systému

Možná vysvětlení studentů:

Nejedná se o rovnici, ale o nerovnost, proto při přechodu od logaritmické nerovnosti k racionální bude znaménko nerovnosti záviset na bázi logaritmu a monotónnosti logaritmické funkce.

Takovým rozhodnutím je možné získat nadbytečná řešení, nebo řešení ztratit a je možné, že nesprávným rozhodnutím bude získána správná odpověď.

Jak tedy bylo nutné vyřešit tuto nerovnost, ve které je proměnná pod logaritmickým znaménkem a v základně logaritmu?!

Tato nerovnost je ekvivalentní kombinaci dvou systémů nerovností.

První systém nerovností nemá řešení.

Řešením systému nerovností bude

V navrženém řešení nerovnosti ze zkouškové písemky byla odpověď správná. Proč?

Možné odpovědi studentů:

Protože definiční obor funkce na levé straně nerovnice sestává z čísel větších než 3, je tedy funkce y = log x t rostoucí. Proto se odpověď ukázala jako správná.

Jak bylo možné zapsat matematicky správné řešení do písemky?

Nalezněme definiční obor funkce na levé straně nerovnosti a poté, s přihlédnutím k definičnímu oboru, uvažujme pouze jeden případ

Jak jinak lze tuto nerovnost vyřešit? Jaké vzorce lze použít?

Vzorec pro přesun na nový základ a > 0, a 1

Je možné na samotnou nerovnost aplikovat fakt, že logaritmus je menší než nula?

Ano. Výraz pod logaritmem a základ logaritmu jsou na opačných stranách jednoho, ale jsou kladné!

To znamená, že opět získáme stejnou množinu dvou systémů nerovností:

Všechny uvažované metody vedou ke kombinaci dvou systémů nerovností. Ve všech případech je získána stejná odpověď. Všechny metody jsou teoreticky opodstatněné.

Otázka pro studenty: Proč si myslíte, že byla v domácím úkolu položena otázka, která nesouvisela s látkou probíranou v 11. ročníku?

Znalost vlastností logaritmu, že log a b< 0 , Pokud A A b na opačných stranách 1,

log a b > 0 pokud A A b na jedné straně 1, můžete získat velmi zajímavý a nečekaný způsob, jak vyřešit nerovnost. O této metodě se píše v článku „Některé užitečné logaritmické vztahy“ v časopise „Quantum“ č. 10 za rok 1990.

log g(x) f(x) > 0, jestliže

log g(x) f(x)< 0, если

(Proč podmínka g(x) 1 není nutné psát?)

Řešení nerovnosti log x (x 2 – 2x – 3)< 0 vypadá takto:

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1) (x 2 – 2x – 4)< 0;

c) řešení soustavy nerovností

Intervalová metoda. („Řešení logaritmických nerovnic intervalovou metodou“ je tématem další lekce).

1. Jakými způsoby byla nerovnost vyřešena? Kolika způsoby to vyřešit

Našli jsme nějaké nerovnosti?

2. Který z nich je nejracionálnější? Krásná?

3. Na jakém základě bylo řešení nerovnosti v každém případě založeno?

4. Proč je tato nerovnost zajímavá?

Kvalitativní charakteristiky práce učitele ve třídě.

Je možné tuto nerovnost považovat za speciální případ obecnějšího problému?

Nerovnost tvaru log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) lze snížit na nerovnost log g(x) p(x)<(>) 0 pomocí vlastností logaritmů a vlastností nerovnic.

Vyřešte nerovnost

log x (x 2 + 3x – 3) > 1

kteroukoli z uvažovaných metod.

1. Vyřešte nerovnice (z možností přijímacích zkoušek z matematiky):

2. V další lekci se budeme zabývat logaritmickými nerovnicemi, které jsou řešeny intervalovou metodou. Opakujte algoritmus pro řešení nerovnic intervalovou metodou.

3. Seřaďte čísla vzestupně (vysvětlete, proč toto uspořádání):

log 0,35; ; ; log 0,5 3 (opakujte pro další lekci).

Mezi celou řadou logaritmických nerovnic jsou samostatně studovány nerovnice s proměnnou bází. Jsou řešeny pomocí speciálního vzorce, který se z nějakého důvodu ve škole zřídka vyučuje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Namísto zaškrtávacího políčka „∨“ můžete zadat jakýkoli znak nerovnosti: více nebo méně. Hlavní je, že v obou nerovnostech jsou znaménka stejná.

Tímto způsobem se zbavíme logaritmů a redukujeme problém na racionální nerovnost. To je mnohem snazší vyřešit, ale při zahození logaritmů se mohou objevit další kořeny. K jejich odříznutí stačí najít rozsah přijatelných hodnot. Pokud jste zapomněli ODZ logaritmu, důrazně doporučuji opakovat - viz „Co je to logaritmus“.

Vše, co souvisí s rozsahem přijatelných hodnot, musí být zapsáno a vyřešeno samostatně:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Tyto čtyři nerovnosti tvoří systém a musí být uspokojeny současně. Když je nalezen rozsah přijatelných hodnot, zbývá jej pouze protnout řešením racionální nerovnosti - a odpověď je připravena.

Úkol. Vyřešte nerovnost:

Nejprve si vypišme ODZ logaritmu:

První dvě nerovnosti jsou splněny automaticky, ale poslední bude muset být vypsána. Protože druhá mocnina čísla je nula právě tehdy, když samotné číslo je nula, máme:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ukazuje se, že ODZ logaritmu jsou všechna čísla kromě nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nyní řešíme hlavní nerovnost:

Provádíme přechod od logaritmické nerovnosti k racionální. Původní nerovnost má znaménko „menší než“, což znamená, že výsledná nerovnost musí mít také znaménko „menší než“. My máme:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nuly tohoto výrazu jsou: x = 3; x = -3; x = 0. Navíc x = 0 je odmocninou druhé násobnosti, což znamená, že při průchodu přes ni se znaménko funkce nemění. My máme:

Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Tato množina je zcela obsažena v ODZ logaritmu, což znamená, že toto je odpověď.

Převod logaritmických nerovností

Často se původní nerovnost liší od výše uvedené. To lze snadno opravit pomocí standardních pravidel pro práci s logaritmy – viz „Základní vlastnosti logaritmů“. A to:

1. Jakékoli číslo může být reprezentováno jako logaritmus s daným základem;
2. Součet a rozdíl logaritmů se stejnými základy lze nahradit jedním logaritmem.

Samostatně bych vám rád připomněl rozsah přijatelných hodnot. Protože v původní nerovnosti může být několik logaritmů, je nutné najít VA každého z nich. Obecné schéma řešení logaritmických nerovností je tedy následující:

1. Najděte VA každého logaritmu zahrnutého v nerovnosti;
2. Snižte nerovnost na standardní pomocí vzorců pro sčítání a odečítání logaritmů;
3. Výslednou nerovnici vyřešte pomocí výše uvedeného schématu.

Úkol. Vyřešte nerovnost:

Pojďme najít doménu definice (DO) prvního logaritmu:

Řešíme pomocí intervalové metody. Nalezení nul v čitateli:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Pak - nuly ve jmenovateli:

x - 1 = 0;
x = 1.

Na šipce souřadnice označujeme nuly a znaménka:

Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus bude mít stejnou VA. Pokud tomu nevěříte, můžete si to ověřit. Nyní transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ byl dva:

Jak vidíte, trojky na základně a před logaritmem byly zmenšeny. Máme dva logaritmy se stejným základem. Pojďme je sečíst:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Získali jsme standardní logaritmickou nerovnost. Pomocí vzorce se zbavíme logaritmů. Protože původní nerovnost obsahuje znaménko „menší než“, výsledný racionální výraz musí být také menší než nula. My máme:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Máme dvě sady:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odpověď kandidáta: x ∈ (−1; 3).

Zbývá protnout tyto množiny - dostaneme skutečnou odpověď:

Zajímá nás průnik množin, proto vybíráme intervaly, které jsou na obou šipkách stínované. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - všechny body jsou proraženy.

Myslíte si, že do Jednotné státní zkoušky je ještě čas a stihnete se připravit? Možná je to tak. Ale v každém případě, čím dříve student začne s přípravou, tím úspěšněji zkoušky složí. Dnes jsme se rozhodli věnovat článek logaritmickým nerovnostem. Jedná se o jeden z úkolů, který znamená možnost získat kredit navíc.

Už víte, co je to logaritmus? Opravdu v to doufáme. Ale i když na tuto otázku nemáte odpověď, není to problém. Pochopení toho, co je logaritmus, je velmi jednoduché.

Proč 4? Musíte zvýšit číslo 3 na tuto moc, abyste získali 81. Jakmile pochopíte princip, můžete přistoupit ke složitějším výpočtům.

Před pár lety jste prošli nerovnostmi. A od té doby se s nimi v matematice neustále setkáváte. Pokud máte problémy s řešením nerovností, podívejte se do příslušné sekce.
Nyní, když jsme se seznámili s pojmy jednotlivě, přejděme k jejich obecnému zvažování.

Nejjednodušší logaritmická nerovnost.

Nejjednodušší logaritmické nerovnosti nejsou omezeny na tento příklad, jsou zde další tři, pouze s různými znaménky. Proč je to nutné? Abychom lépe pochopili, jak řešit nerovnice pomocí logaritmu. Nyní uveďme použitelnější příklad, stále poměrně jednoduchý, složité logaritmické nerovnosti si necháme na později.

Jak to vyřešit? Vše začíná ODZ. Pokud chcete vždy snadno vyřešit jakoukoli nerovnost, stojí za to vědět o tom více.

Co je ODZ? ODZ pro logaritmické nerovnosti

Zkratka znamená rozsah přijatelných hodnot. Tato formulace se často objevuje v úkolech pro jednotnou státní zkoušku. ODZ se vám bude hodit nejen v případě logaritmických nerovností.

Podívejte se znovu na výše uvedený příklad. ODZ budeme uvažovat na jeho základě, abyste princip pochopili a řešení logaritmických nerovností nevzbuzovalo otázky. Z definice logaritmu vyplývá, že 2x+4 musí být větší než nula. V našem případě to znamená následující.

Toto číslo musí být podle definice kladné. Vyřešte výše uvedenou nerovnost. To lze provést i ústně, zde je zřejmé, že X nemůže být menší než 2. Řešením nerovnosti bude definice rozsahu přijatelných hodnot.
Nyní přejdeme k řešení nejjednodušší logaritmické nerovnosti.

Samotné logaritmy z obou stran nerovnosti zahodíme. Co nám ve výsledku zbývá? Jednoduchá nerovnost.

Není těžké to vyřešit. X musí být větší než -0,5. Nyní zkombinujeme dvě získané hodnoty do systému. Tím pádem,

Toto bude rozsah přijatelných hodnot pro uvažovanou logaritmickou nerovnost.

Proč vůbec potřebujeme ODZ? Toto je příležitost k odstranění nesprávných a nemožných odpovědí. Pokud odpověď není v rozmezí přijatelných hodnot, pak odpověď jednoduše nedává smysl. To stojí za to pamatovat na dlouhou dobu, protože v Jednotné státní zkoušce je často potřeba hledat ODZ, a to se netýká pouze logaritmických nerovností.

Algoritmus pro řešení logaritmické nerovnosti

Řešení se skládá z několika fází. Nejprve musíte najít rozsah přijatelných hodnot. V ODZ budou dva významy, o tom jsme diskutovali výše. Dále je potřeba vyřešit samotnou nerovnost. Metody řešení jsou následující:

• metoda náhrady multiplikátoru;
• rozklad;
• racionalizační metoda.

V závislosti na situaci se vyplatí použít jednu z výše uvedených metod. Přejděme přímo k řešení. Pojďme si prozradit nejoblíbenější metodu, která je vhodná pro řešení úloh Jednotné státní zkoušky téměř ve všech případech. Dále se podíváme na metodu rozkladu. Může vám pomoci, když narazíte na obzvlášť záludnou nerovnost. Takže algoritmus pro řešení logaritmické nerovnosti.

Příklady řešení :

Ne nadarmo jsme vzali přesně tuto nerovnost! Věnujte pozornost základně. Pamatujte: je-li větší než jedna, znaménko zůstává při hledání rozsahu přijatelných hodnot stejné; jinak musíte změnit znaménko nerovnosti.

V důsledku toho dostaneme nerovnost:

Nyní zmenšíme levou stranu do tvaru rovnice rovné nule. Místo znaménka „menší než“ dáme „rovná se“ a rovnici vyřešíme. Najdeme tedy ODZ. Doufáme, že s řešením tak jednoduché rovnice nebudete mít problémy. Odpovědi jsou -4 a -2. To není vše. Tyto body musíte zobrazit v grafu umístěním „+“ a „-“. Co je pro to potřeba udělat? Dosaďte do výrazu čísla z intervalů. Pokud jsou hodnoty kladné, dáme tam „+“.

Odpovědět: x nemůže být větší než -4 a menší než -2.

Našli jsme rozsah přijatelných hodnot pouze pro levou stranu, nyní musíme najít rozsah přijatelných hodnot pro pravou stranu. To je mnohem jednodušší. Odpověď: -2. Obě výsledné oblasti protneme.

A teprve nyní se začínáme zabývat samotnou nerovností.

Pojďme si to co nejvíce zjednodušit, aby se to snáze řešilo.

Při řešení opět použijeme intervalovou metodu. Přeskočme výpočty, vše je již jasné z předchozího příkladu. Odpovědět.

Tato metoda je však vhodná, pokud má logaritmická nerovnost stejné základy.

Řešení logaritmické rovnice a nerovnosti s z různých důvodů předpokládá počáteční redukci na jeden základ. Dále použijte metodu popsanou výše. Ale je toho víc těžký případ. Podívejme se na jeden z nejsložitějších typů logaritmických nerovností.

Logaritmické nerovnosti s proměnnou bází

Jak řešit nerovnosti s takovými charakteristikami? Ano, a takoví lidé se v Jednotné státní zkoušce najdou. Řešení nerovností následujícím způsobem bude mít příznivý vliv i na váš vzdělávací proces. Podívejme se na problematiku podrobně. Zahoďme teorii a pojďme rovnou k praxi. K vyřešení logaritmických nerovností se stačí s příkladem jednou seznámit.

K vyřešení logaritmické nerovnosti prezentovaného tvaru je nutné redukovat pravou stranu na logaritmus se stejným základem. Princip připomíná ekvivalentní přechody. Ve výsledku bude nerovnost vypadat takto.

Ve skutečnosti zbývá pouze vytvořit systém nerovností bez logaritmů. Pomocí racionalizační metody přejdeme k ekvivalentnímu systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumíte, když dosadíte příslušné hodnoty a budete sledovat jejich změny. Systém bude mít následující nerovnosti.

Při použití racionalizační metody při řešení nerovnic je třeba pamatovat na následující: jedna musí být odečtena od základny, x se podle definice logaritmu odečte od obou stran nerovnosti (zprava zleva), dva výrazy se násobí a nastavte pod původní znaménko ve vztahu k nule.

Další řešení se provádí intervalovou metodou, zde je vše jednoduché. Je důležité, abyste porozuměli rozdílům v metodách řešení, pak vše začne snadno fungovat.

V logaritmických nerovnostech je mnoho nuancí. Nejjednodušší z nich jsou poměrně snadno řešitelné. Jak můžete vyřešit každý z nich bez problémů? Všechny odpovědi jste již dostali v tomto článku. Nyní vás čeká dlouhá praxe. Neustále trénujte řešení různých problémů ve zkoušce a budete moci získat nejvyšší skóre. Hodně štěstí ve vašem obtížném úkolu!