Algebra třída 11

Téma: « Metody řešení logaritmické rovnice »

Cíle lekce:

vzdělávací: budování znalostí o různé způsobyřešení logaritmických rovnic, schopnost je aplikovat v každé konkrétní situaci a zvolit libovolnou metodu řešení;

rozvíjející se: rozvoj dovedností pozorovat, porovnávat, aplikovat znalosti v nové situaci, identifikovat vzorce, zobecňovat; formování dovedností vzájemné kontroly a sebekontroly;

vzdělávací: výchova odpovědného přístupu k výchovné práci, pečlivé vnímání látky v hodině, přesnost vedení záznamů.

Typ lekce : lekce seznamování s novým materiálem.

"Vynález logaritmů tím, že zkrátil práci astronoma, prodloužil jeho život."
Francouzský matematik a astronom P.S. Laplace

Během vyučování

I. Stanovení cíle lekce

Prostudovaná definice logaritmu, vlastnosti logaritmů a logaritmické funkce nám umožní řešit logaritmické rovnice. Všechny logaritmické rovnice, bez ohledu na to, jak složité jsou, se řeší pomocí stejných algoritmů. Tyto algoritmy budeme zvažovat dnes v lekci. Je jich málo. Pokud je zvládnete, pak bude pro každého z vás proveditelná jakákoli rovnice s logaritmy.

Napište si do sešitu téma lekce: "Metody řešení logaritmických rovnic." Zvu všechny ke spolupráci.

II. Aktualizace základních znalostí

Připravme se na studium tématu lekce. Každou úlohu vyřešíte a odpověď zapíšete, podmínku napsat nemůžete. Pracovat v párech.

1) Pro jaké hodnoty x má funkce smysl:

A)

b)

PROTI)

E)

(Odpovědi jsou kontrolovány pro každý snímek a jsou vytříděny chyby)

2) Shodují se grafy funkcí?

a) y = x a

b)A

3) Přepište rovnosti jako logaritmické rovnosti:

4) Zapište čísla jako logaritmy se základem 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítejte :

6) Pokuste se obnovit nebo doplnit chybějící prvky v těchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Výpis se zobrazí na obrazovce:

"Rovnice je zlatý klíč, který odemyká veškerý matematický sezam."
Moderní polský matematik S. Koval

Pokuste se formulovat definici logaritmické rovnice. (Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem logaritmu ).

Zvážitnejjednodušší logaritmická rovnice: log A x = b (kde a>0, a ≠ 1). Protože logaritmická funkce roste (nebo klesá) na množině kladných čísel a nabývá všech reálných hodnot, vyplývá z kořenové věty, že pro libovolné b má tato rovnice navíc pouze jedno řešení, a to kladné.

Pamatujte na definici logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je exponent, na který musí být základ a zvýšen, abychom dostali číslo x ). Z definice logaritmu okamžitě vyplývá, žeA PROTI je takové řešení.

Napište název:Metody řešení logaritmických rovnic

1. Podle definice logaritmu .

Takto vypadají nejjednodušší rovnice tvaru.

Zvážitč. 514(a ): Vyřešte rovnici

Jak to navrhujete řešit? (Podle definice logaritmu )

Řešení . , tedy 2x - 4 = 4; x = 4.

Odpověď: 4.

V této úloze 2x - 4 > 0, od> 0, takže se nemohou objevit žádné cizí kořeny aověření není nutné . Podmínku 2x - 4 > 0 v této úloze není nutné vypisovat.

2. Potenciace (přechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Zvážitč. 519(g): log 5 ( X 2 +8)- log 5 ( X+1)=3 log 5 2

Jaké funkce jste si všimli?(Základy jsou stejné a logaritmy obou výrazů jsou stejné) . co se dá dělat?(potenciovat).

V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že jakékoli řešení je obsaženo mezi všemi x, pro které jsou logaritmické výrazy kladné.

Řešení: ODZ:

X 2 +8>0 nerovnost navíc

log 5 ( X 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( X+1)

log 5 ( X 2 +8)= log 5 (8 X+8)

Zesilujte původní rovnici

X 2 +8= 8 X+8

dostaneme rovniciX 2 +8= 8 X+8

Pojďme to vyřešit:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Odpověď: 0; 8

Obecněpřechod na ekvivalentní systém :

Rovnice

(Systém obsahuje nadbytečnou podmínku – jednu z nerovností lze ignorovat).

Otázka do třídy : Které z těchto tří řešení se vám nejvíce líbilo? (Diskuse o metodách).

Máte právo se jakýmkoli způsobem rozhodnout.

3. Zavedení nové proměnné .

Zvážitč. 520(g) . .

čeho sis všiml? (Toto je kvadratická rovnice pro log3x) Tvoje návrhy? (Zavést novou proměnnou)

Řešení . ODZ: x > 0.

Nechat, pak rovnice bude mít tvar:. Diskriminant D > 0. Odmocniny podle Vietovy věty:.

Zpět k výměně:nebo.

Řešením nejjednodušších logaritmických rovnic dostaneme:

; .

Odpovědět : 27;

4. Logaritmus obou stran rovnice.

Řešte rovnici:.

Řešení : ODZ: x>0, vezmeme logaritmus obou stran rovnice v základu 10:

. Použijte vlastnost logaritmu stupně:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Nechť lgx = y, pak (y + 3)y = 4

, (D > 0) kořeny podle Vietovy věty: y1 = -4 a y2 = 1.

Vraťme se k nahrazení, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to následovně: pokud jedna z funkcí y = f(x) zvyšuje a další y = g(x) klesá na intervalu X, pak rovnice f(x)=g(x) má nejvýše jeden kořen na intervalu X .

Pokud existuje kořen, lze jej uhodnout. .

Odpovědět : 2

« Správné použití metodám se lze naučit
pouze jejich aplikací na různé příklady.
Dánský historik matematiky G. G. Zeiten

já proti. Domácí práce

S. 39 zvažte příklad 3, řešte č. 514 (b), č. 529 (b), č. 520 (b), č. 523 (b)

V. Shrnutí lekce

Jaké metody řešení logaritmických rovnic jsme v lekci uvažovali?

V příští lekci se podíváme na více složité rovnice. K jejich řešení jsou užitečné studované metody.

Zobrazuje se poslední snímek:

„Co je víc než cokoli na světě?
Prostor.
Co je nejmoudřejší?
Čas.
Co je nejpříjemnější?
Dosáhni toho, co chceš."
Thales

Chci, aby každý dosáhl toho, co chce. Děkujeme za spolupráci a pochopení.

Tímto videem začínám dlouhou sérii lekcí o logaritmických rovnicích. Nyní máte tři příklady najednou, na základě kterých se naučíme řešit ty nejjednodušší úlohy, které se nazývají tak - prvoci.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Dovolte mi připomenout, že nejjednodušší logaritmická rovnice je následující:

log a f(x) = b

Je důležité, aby proměnná x byla přítomna pouze uvnitř argumentu, tedy pouze ve funkci f(x). A čísla a a b jsou jen čísla a v žádném případě to nejsou funkce obsahující proměnnou x.

Základní metody řešení

Existuje mnoho způsobů, jak takové struktury řešit. Většina učitelů ve škole například navrhuje tento způsob: Okamžitě vyjádřete funkci f ( x ) pomocí vzorce F( x) = a b To znamená, že když se setkáte s nejjednodušší konstrukcí, můžete okamžitě přistoupit k řešení bez dalších akcí a konstrukcí.

Ano, samozřejmě, rozhodnutí se ukáže jako správné. Problémem tohoto vzorce je však většina studentů nerozumím, odkud pochází a proč přesně zvedáme písmeno a na písmeno b.

V důsledku toho často pozoruji velmi urážlivé chyby, kdy se například tato písmena zaměňují. Tento vzorec je třeba buď pochopit, nebo si jej zapamatovat, a druhá metoda vede k chybám v nejnevhodnějších a nejdůležitějších okamžicích: u zkoušek, testů atd.

Proto všem svým studentům navrhuji, aby opustili standardní školní vzorec a použili druhý přístup k řešení logaritmických rovnic, který, jak jste pravděpodobně uhodli z názvu, se nazývá kanonická forma.

Myšlenka kanonické formy je jednoduchá. Podívejme se znovu na náš úkol: vlevo máme log a , přičemž písmeno a znamená přesně to číslo a v žádném případě funkci obsahující proměnnou x. Proto tento dopis podléhá všem omezením, která jsou uložena na základě logaritmu. a to:

1 ≠ a > 0

Na druhou stranu ze stejné rovnice vidíme, že logaritmus se musí rovnat číslu b a na toto písmeno nejsou uvalena žádná omezení, protože může nabývat libovolné hodnoty – kladné i záporné. Vše závisí na tom, jaké hodnoty funkce f(x) nabývá.

A zde si pamatujeme naše úžasné pravidlo, že libovolné číslo b může být reprezentováno jako logaritmus v základu a od a po mocninu b:

b = log a a b

Jak si zapamatovat tento vzorec? Ano, velmi jednoduché. Zapišme si následující konstrukci:

b = b 1 = b log a a

Samozřejmě v tomto případě vznikají všechna omezení, která jsme si sepsali na začátku. A nyní použijeme základní vlastnost logaritmu a zadáme faktor b jako mocninu a. Dostaneme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

V důsledku toho bude původní rovnice přepsána do následujícího tvaru:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je vše. Nová funkce již neobsahuje logaritmus a je řešena standardními algebraickými technikami.

Samozřejmě teď někdo namítne: proč bylo vůbec nutné vymýšlet nějakou kanonickou formuli, proč provádět dva zbytečné kroky navíc, když bylo možné okamžitě přejít od původní konstrukce ke konečné formuli? Ano, už jen proto, že většina studentů nechápe, odkud tento vzorec pochází, a v důsledku toho při jeho aplikaci pravidelně chybují.

Ale taková posloupnost akcí, sestávající ze tří kroků, vám umožňuje vyřešit původní logaritmickou rovnici, i když nerozumíte, odkud tento konečný vzorec pochází. Mimochodem, tento záznam se nazývá kanonický vzorec:

log a f(x) = log a a b

Pohodlí kanonické formy spočívá také v tom, že ji lze použít k řešení velmi široké třídy logaritmických rovnic, a to nejen těch nejjednodušších, o kterých dnes uvažujeme.

Příklady řešení

A nyní uvažujme skutečné příklady. Pojďme se tedy rozhodnout:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Přepišme to takto:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnoho studentů spěchá a snaží se okamžitě zvýšit číslo 0,5 na sílu, která nám přišla z původního problému. A skutečně, když jste již dobře vyškoleni v řešení takových problémů, můžete tento krok okamžitě provést.

Pokud však nyní toto téma teprve začínáte studovat, je lepší nikam nespěchat, abyste se nedopustili urážlivých chyb. Máme tedy kanonickou formu. My máme:

3x - 1 = 0,5 -3

Toto již není logaritmická rovnice, ale lineární vzhledem k proměnné x. Abychom to vyřešili, pojďme se nejprve zabývat číslem 0,5 na mocninu −3. Všimněte si, že 0,5 je 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Při řešení logaritmické rovnice převeďte všechna desetinná místa na zlomky.

Přepíšeme a dostaneme:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Vše jsme dostali odpověď. První úkol je vyřešen.

Druhý úkol

Pojďme k druhému úkolu:

Jak vidíte, tato rovnice již není nejjednodušší. Už jen proto, že rozdíl je vlevo a není jediný logaritmus v jedné základně.

Proto se musíte nějak zbavit tohoto rozdílu. V tomto případě je vše velmi jednoduché. Podívejme se blíže na základy: vlevo je číslo pod kořenem:

Obecné doporučení: ve všech logaritmických rovnicích se snažte zbavit radikálů, tedy od zápisů s odmocninami a přejít k mocninným funkcím, jednoduše proto, že exponenty těchto mocnin lze snadno vyjmout ze znaménka logaritmu a v konečném důsledku např. zápis značně zjednodušuje a urychluje výpočty. Napišme to takto:

Nyní vzpomínáme úžasná nemovitost logaritmus: z argumentu, stejně jako ze základny, můžete odebírat stupně. V případě základen se stane následující:

log a k b = 1/k loga b

Jinými slovy, číslo, které stálo ve stupni základny, je posunuto dopředu a zároveň převráceno, to znamená, že se stane převráceným číslem. V našem případě se jednalo o stupeň základny s ukazatelem 1/2. Proto to můžeme vzít jako 2/1. Dostaneme:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Poznámka: v žádném případě byste se v tomto kroku neměli zbavovat logaritmů. Vzpomeňte si na matematiku 4.–5. třídy a pořadí operací: nejprve se provádí násobení a teprve potom se sčítání a odčítání. V tomto případě odečteme jeden ze stejných prvků od 10 prvků:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nyní naše rovnice vypadá, jak by měla. Tento nejjednodušší design a vyřešíme to kanonickým tvarem:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

To je vše. Druhý problém je vyřešen.

Třetí příklad

Pojďme ke třetímu úkolu:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Připomeňme si následující vzorec:

log b = log 10 b

Pokud jste z nějakého důvodu zmateni psaním lg b , pak při provádění všech výpočtů můžete jednoduše napsat log 10 b . S desítkovými logaritmy můžete pracovat stejným způsobem jako s ostatními: odeberte mocniny, sečtěte a reprezentujte libovolné číslo jako lg 10.

Právě tyto vlastnosti nyní použijeme k řešení problému, protože to není ta nejjednodušší, kterou jsme si zapsali na samém začátku naší lekce.

Nejprve si všimněte, že faktor 2 před lg 5 lze vložit a stane se mocninou základu 5. Kromě toho může být volný člen 3 také reprezentován jako logaritmus - to lze velmi snadno zjistit z našeho zápisu.

Posuďte sami: libovolné číslo může být reprezentováno jako log k základně 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Přepišme původní problém s přihlédnutím k přijatým změnám:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Před námi je opět kanonický tvar a ten jsme získali obcházením fáze transformací, tedy nejjednodušší logaritmická rovnice u nás nikde nepřišla.

To je to, o čem jsem mluvil na samém začátku lekce. Kanonická forma umožňuje řešit širší třídu problémů než standardní školní vzorec, který uvádí většina učitelů školy.

To je vše, zbavíme se znaménka dekadického logaritmu a získáme jednoduchou lineární konstrukci:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Všechno! Problém je vyřešen.

Poznámka k rozsahu

Zde bych rád učinil důležitou poznámku o doméně definice. Jistě se nyní najdou studenti a učitelé, kteří řeknou: „Když řešíme výrazy pomocí logaritmu, je nutné mít na paměti, že argument f (x) musí být větší než nula! V tomto ohledu se nabízí logická otázka: proč jsme v žádném z uvažovaných problémů nepožadovali, aby byla tato nerovnost uspokojena?

Neboj se. V těchto případech se neobjeví žádné extra kořeny. A to je další skvělý trik, který umožňuje urychlit řešení. Jen vězte, že pokud se v úloze proměnná x vyskytuje pouze na jednom místě (přesněji v jediném argumentu jediného logaritmu) a nikde jinde v našem případě proměnná x, pak napište definiční obor není třeba protože se spustí automaticky.

Posuďte sami: v první rovnici jsme dostali, že 3x - 1, tedy argument by se měl rovnat 8. To automaticky znamená, že 3x - 1 bude větší než nula.

Se stejným úspěchem můžeme napsat, že ve druhém případě se x musí rovnat 5 2, tj. je jistě větší než nula. A ve třetím případě, kde x + 3 = 25 000, tedy opět zjevně větší než nula. Jinými slovy, rozsah je automatický, ale pouze pokud se x vyskytuje pouze v argumentu pouze jednoho logaritmu.

To je vše, co potřebujete vědět k řešení jednoduchých problémů. Toto pravidlo samo o sobě spolu s transformačními pravidly vám umožní řešit velmi širokou třídu problémů.

Ale buďme upřímní: abychom tuto techniku ​​konečně pochopili, abychom se naučili aplikovat kanonickou formu logaritmické rovnice, nestačí se jen podívat na jednu video lekci. Stáhněte si tedy možnosti právě teď nezávislé řešení, které jsou připojeny k tomuto videonávodu a začnou řešit alespoň jedno z těchto dvou nezávislých děl.

Zabere vám to jen pár minut. Účinek takového tréninku však bude mnohem vyšší ve srovnání s tím, kdybyste se právě dívali na tento videonávod.

Doufám, že vám tato lekce pomůže porozumět logaritmickým rovnicím. Použijte kanonickou formu, zjednodušte výrazy pomocí pravidel pro práci s logaritmy - a nebudete se bát žádných úkolů. A to je pro dnešek vše, co mám.

Zvážení rozsahu

Nyní si promluvme o oboru logaritmické funkce a také o tom, jak to ovlivňuje řešení logaritmických rovnic. Zvažte konstrukci formuláře

log a f(x) = b

Takový výraz se nazývá nejjednodušší - má pouze jednu funkci a čísla a a b jsou jen čísla a v žádném případě nejsou funkcí, která závisí na proměnné x. Řeší se to velmi jednoduše. Stačí použít vzorec:

b = log a a b

Tento vzorec je jednou z klíčových vlastností logaritmu a při dosazení do našeho původního výrazu dostaneme následující:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

To je již známý vzorec ze školních učebnic. Mnoho studentů bude mít pravděpodobně otázku: protože funkce f ( x ) v původním výrazu je pod logem, jsou na ni uvalena následující omezení:

f(x) > 0

Toto omezení je platné, protože logaritmus záporných čísel neexistuje. Takže možná kvůli tomuto omezení byste měli zavést kontrolu odpovědí? Možná je třeba je nahradit ve zdroji?

Ne, v nejjednodušších logaritmických rovnicích je další kontrola zbytečná. A právě proto. Podívejte se na náš konečný vzorec:

f(x) = a b

Faktem je, že číslo a je v každém případě větší než 0 - tento požadavek také ukládá logaritmus. Číslo a je základ. V tomto případě se na počet b nevztahují žádná omezení. To ale nevadí, protože bez ohledu na to, o jaký stupeň kladné číslo zvedneme, na výstupu stále dostaneme kladné číslo. Požadavek f (x) > 0 je tedy splněn automaticky.

Co opravdu stojí za kontrolu, je rozsah funkce pod logem. Mohou existovat poměrně složité návrhy a v procesu jejich řešení je určitě musíte dodržovat. Pojďme se podívat.

První úkol:

První krok: převeďte zlomek vpravo. Dostaneme:

Zbavíme se znaménka logaritmu a dostaneme obvyklou iracionální rovnici:

Ze získaných kořenů nám vyhovuje pouze první, protože druhý kořen je menší než nula. Jedinou odpovědí bude číslo 9. To je vše, problém je vyřešen. Nejsou vyžadovány žádné další kontroly, že výraz pod logaritmickým znaménkem je větší než 0, protože není jen větší než 0, ale podle podmínky rovnice je roven 2. Proto je automaticky požadavek "větší než nula" splnil.

Pojďme k druhému úkolu:

Všechno je tu stejné. Přepíšeme konstrukci a nahradíme trojici:

Zbavíme se znamének logaritmu a dostaneme iracionální rovnici:

Umocníme obě části, vezmeme-li v úvahu omezení, a dostaneme:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Výslednou rovnici řešíme přes diskriminant:

D \u003d 49–24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Ale x = −6 nám nevyhovuje, protože pokud toto číslo dosadíme do naší nerovnosti, dostaneme:

−6 + 4 = −2 < 0

V našem případě je požadováno, aby byl větší než 0 nebo v extrémních případech rovný. Ale x = −1 nám vyhovuje:

−1 + 4 = 3 > 0

Jediná odpověď v našem případě je x = −1. To je celé řešení. Vraťme se na úplný začátek našich výpočtů.

Hlavním závěrem této lekce je, že není nutné kontrolovat limity funkce v nejjednodušších logaritmických rovnicích. Protože v procesu řešení jsou všechna omezení prováděna automaticky.

To však v žádném případě neznamená, že můžete na ověření úplně zapomenout. V procesu práce na logaritmické rovnici se může dobře změnit v rovnici iracionální, která bude mít svá vlastní omezení a požadavky na pravou stranu, což jsme dnes viděli na dvou různých příkladech.

Neváhejte a řešte takové problémy a buďte obzvláště opatrní, pokud je v hádce kořen.

Logaritmické rovnice s různými bázemi

Pokračujeme ve studiu logaritmických rovnic a rozebíráme další dva poměrně zajímavé triky, s nimiž je v módě řešit složitější struktury. Nejprve si však připomeňme, jak se řeší nejjednodušší úkoly:

log a f(x) = b

V tomto zápisu jsou a a b jen čísla a ve funkci f (x) musí být proměnná x přítomna a pouze tam, tedy x musí být pouze v argumentu. Tyto logaritmické rovnice transformujeme pomocí kanonické formy. K tomu poznamenáváme

b = log a a b

A b je jen argument. Přepišme tento výraz takto:

log a f(x) = log a a b

To je přesně to, čeho se snažíme dosáhnout, takže jak nalevo, tak napravo existuje logaritmus k základně a. V tomto případě můžeme, obrazně řečeno, škrtnout znaménka log a z hlediska matematiky můžeme říci, že argumenty jednoduše srovnáme:

f(x) = a b

Ve výsledku získáme nový výraz, který se bude řešit mnohem snadněji. Aplikujme toto pravidlo na naše dnešní úkoly.

Takže první design:

Nejprve podotýkám, že vpravo je zlomek, jehož jmenovatelem je log. Když uvidíte výraz jako je tento, stojí za to si zapamatovat úžasnou vlastnost logaritmů:

V překladu do ruštiny to znamená, že jakýkoli logaritmus může být reprezentován jako podíl dvou logaritmů s libovolným základem c. Samozřejmě, 0< с ≠ 1.

Takže: tento vzorec má jeden úžasný speciální případ, kdy se proměnná c rovná proměnné b. V tomto případě dostaneme konstrukci formuláře:

Právě tuto konstrukci pozorujeme ze znaménka vpravo v naší rovnici. Nahradíme tuto konstrukci log a b , dostaneme:

Jinými slovy, ve srovnání s původní úlohou jsme prohodili argument a základ logaritmu. Místo toho jsme museli zlomek obrátit.

Připomínáme, že ze základny lze odebrat jakýkoli stupeň podle následujícího pravidla:

Jinými slovy, koeficient k, což je stupeň základny, se bere jako převrácený zlomek. Vezměme to jako obrácený zlomek:

Zlomkový faktor nelze ponechat v popředí, protože v tomto případě nebudeme moci reprezentovat tento záznam jako kanonickou formu (ostatně v kanonické formě není před druhým logaritmem žádný další faktor). Dejme tedy zlomek 1/4 v argumentu jako mocninu:

Nyní srovnáme argumenty, jejichž základy jsou stejné (a skutečně máme stejné základy), a napíšeme:

x + 5 = 1

x = -4

To je vše. Dostali jsme odpověď na první logaritmickou rovnici. Pozor: v původním problému se proměnná x vyskytuje pouze v jednom logu a je v jeho argumentu. Není tedy třeba kontrolovat doménu a naše číslo x = −4 je skutečně odpovědí.

Nyní přejdeme k druhému výrazu:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Zde budeme muset kromě obvyklých logaritmů pracovat s lg f (x). Jak takovou rovnici vyřešit? Nepřipravenému studentovi se může zdát, že jde o nějaký plecháč, ale ve skutečnosti je vše vyřešeno elementárně.

Podívejte se pozorně na termín lg 2 log 2 7. Co o něm můžeme říci? Základy a argumenty log a lg jsou stejné a to by mělo napovědět. Připomeňme si ještě jednou, jak se stupně odebírají pod znaménkem logaritmu:

log a b n = n log a b

Jinými slovy, jaká byla síla čísla b v argumentu se stává faktorem před samotným log. Aplikujme tento vzorec na výraz lg 2 log 2 7. Nebojte se lg 2 – to je nejběžnější výraz. Můžete to přepsat takto:

Pro něj platí všechna pravidla, která platí pro jakýkoli jiný logaritmus. Zejména faktor vpředu může být zaveden do síly argumentu. Pojďme psát:

Studenti velmi často tuto akci nevidí, protože není dobré zadávat jeden protokol pod znak druhého. Ve skutečnosti v tom není nic zločinného. Navíc získáme vzorec, který lze snadno vypočítat, pokud si pamatujete důležité pravidlo:

Tento vzorec lze považovat jak za definici, tak za jednu z jeho vlastností. V každém případě, pokud převedete logaritmickou rovnici, měli byste tento vzorec znát stejným způsobem jako reprezentaci libovolného čísla ve formě log.

Vracíme se k našemu úkolu. Přepíšeme jej s ohledem na skutečnost, že první člen napravo od rovnítka bude jednoduše roven lg 7. Máme:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

Přesuneme lg 7 doleva, dostaneme:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Odečteme výrazy vlevo, protože mají stejný základ:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Nyní se podívejme blíže na rovnici, kterou máme. Je to prakticky kanonická forma, ale vpravo je faktor -3. Uveďme to do správného argumentu lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Před námi je kanonický tvar logaritmické rovnice, takže přeškrtneme znaménka lg a srovnáme argumenty:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

To je vše! Vyřešili jsme druhou logaritmickou rovnici. V tomto případě nejsou vyžadovány žádné další kontroly, protože v původním problému bylo x přítomno pouze v jednom argumentu.

Vypíšu znovu Klíčové body tuto lekci.

Hlavním vzorcem, který je studován ve všech lekcích na této stránce věnované řešení logaritmických rovnic, je kanonický tvar. A nenechte se odradit tím, že většina školních učebnic vás učí řešit podobné problémy jiným způsobem. Tento nástroj funguje velmi efektivně a umožňuje vám řešit mnohem širší třídu problémů, než jsou ty nejjednodušší, které jsme studovali na samém začátku naší lekce.

Navíc pro řešení logaritmických rovnic bude užitečné znát základní vlastnosti. A to:

1. Vzorec pro přesun na jednu základnu a speciální případ, kdy překlopíme log (to se nám velmi hodilo v prvním úkolu);
2. Vzorec pro vnášení a odebírání mocnin ze znamení logaritmu. Zde se mnoho studentů zasekne a nevidí přímo, že odebíraná a přiváděná energie může sama o sobě obsahovat log f (x). Není na tom nic špatného. Můžeme zavést jeden log podle znaménka druhého a zároveň výrazně zjednodušit řešení problému, což pozorujeme v druhém případě.

Na závěr bych rád dodal, že není nutné v každém z těchto případů kontrolovat rozsah, protože všude je proměnná x přítomna pouze v jednom znaku log a zároveň je ve svém argumentu. V důsledku toho jsou všechny požadavky na doménu splněny automaticky.

Problémy s variabilní základnou

Dnes se budeme zabývat logaritmickými rovnicemi, které se mnohým studentům zdají nestandardní, ne-li zcela neřešitelné. Mluvíme o výrazech, které nejsou založeny na číslech, ale na proměnných a dokonce funkcích. Takové konstrukce vyřešíme naší standardní technikou, a to prostřednictvím kanonické formy.

Pro začátek si připomeňme, jak se řeší ty nejjednodušší úlohy, které vycházejí z obyčejných čísel. Nejjednodušší konstrukce se tedy nazývá

log a f(x) = b

K vyřešení takových problémů můžeme použít následující vzorec:

b = log a a b

Přepíšeme svůj původní výraz a dostaneme:

log a f(x) = log a a b

Potom srovnáme argumenty, tj. napíšeme:

f(x) = a b

Tím se zbavíme loga a vyřešíme obvyklý problém. V tomto případě budou kořeny získané v řešení kořeny původní logaritmické rovnice. Navíc záznam, kdy jsou levá i pravá strana na stejném logaritmu se stejným základem, se nazývá kanonická forma. Právě na takový zápis se pokusíme zredukovat dnešní konstrukce. Tak pojďme.

První úkol:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Nahraďte 1 logem x − 2 (x − 2) 1 . Stupeň, který pozorujeme v argumentu, je ve skutečnosti číslo b , které bylo napravo od rovnítka. Přepišme tedy náš výraz. Dostaneme:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

co vidíme? Před námi je kanonický tvar logaritmické rovnice, takže můžeme bezpečně srovnat argumenty. Dostaneme:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Tím ale řešení nekončí, protože tato rovnice není ekvivalentní té původní. Výsledná konstrukce se totiž skládá z funkcí, které jsou definovány na celé číselné ose a naše původní logaritmy nejsou definovány všude a ne vždy.

Proto musíme definiční obor zapsat samostatně. Nebuďme moudřejší a sepišme si nejprve všechny požadavky:

Za prvé, argument každého z logaritmů musí být větší než 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Za druhé, základ musí být nejen větší než 0, ale také odlišný od 1:

x − 2 ≠ 1

V důsledku toho získáme systém:

Ale nelekejte se: při zpracování logaritmických rovnic lze takový systém značně zjednodušit.

Posuďte sami: jednak se po nás požaduje, aby kvadratická funkce byla větší než nula, jednak je tato kvadratická funkce přirovnána k nějakému lineárnímu výrazu, u kterého je také požadováno, aby byla větší než nula.

Pokud v tomto případě požadujeme, aby x − 2 > 0, pak bude automaticky splněn požadavek 2x 2 − 13x + 18 > 0. Nerovnici obsahující kvadratickou funkci tedy můžeme klidně proškrtnout. Tím se počet výrazů obsažených v našem systému sníží na tři.

Samozřejmě můžeme také škrtnout lineární nerovnost, tj. škrtněte x − 2 > 0 a požadujte, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale musíte souhlasit, že je mnohem rychlejší a snazší vyřešit nejjednodušší lineární nerovnici, než tato soustava dostaneme stejné kořeny.

Obecně se snažte optimalizovat výpočty, kdykoli je to možné. A v případě logaritmických rovnic škrtněte nejobtížnější nerovnosti.

Pojďme přepsat náš systém:

Zde je takový systém tří výrazů, z nichž dva jsme ve skutečnosti již vymysleli. Pojďme samostatně napsat kvadratickou rovnici a vyřešit ji:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Před námi je zmenšený čtvercový trojčlen, a proto můžeme použít vzorce Vieta. Dostaneme:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nyní zpět k našemu systému zjistíme, že x = 2 nám nevyhovuje, protože musíme mít x přísně větší než 2.

Ale x \u003d 5 nám docela vyhovuje: číslo 5 je větší než 2 a zároveň 5 se nerovná 3. Proto bude jediným řešením tohoto systému x \u003d 5.

Vše, úkol je vyřešen, včetně zohlednění ODZ. Přejděme k druhé rovnici. Zde čekáme na zajímavější a smysluplnější výpočty:

První krok: stejně jako minule přivádíme celý tento obchod do kanonické podoby. K tomu můžeme zapsat číslo 9 takto:

Báze s kořenem se nelze dotknout, ale je lepší argument transformovat. Přejděme od kořene k mocnině s racionálním exponentem. Pojďme psát:

Dovolte mi, abych nepřepisoval celou naši velkou logaritmickou rovnici, ale rovnou dal rovnítko mezi argumenty:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4 x + 3 = 0

Před námi je opět zmenšený čtvercový trojčlen, použijeme vzorce Vieta a napíšeme:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Takže jsme dostali kořeny, ale nikdo nám nezaručil, že budou odpovídat původní logaritmické rovnici. Logové značky totiž ukládají další omezení (zde bychom museli systém zapisovat, ale vzhledem k těžkopádnosti celé konstrukce jsem se rozhodl doménu definice vypočítat samostatně).

Nejprve si pamatujte, že argumenty musí být větší než 0, konkrétně:

To jsou požadavky kladené doménou definice.

Hned si všimneme, že vzhledem k tomu, že dáváme rovnítko mezi první dva výrazy systému, můžeme kterýkoli z nich škrtnout. První škrtneme, protože vypadá hrozivěji než to druhé.

Navíc si všimněte, že řešení druhé a třetí nerovnice budou stejné množiny (krychle nějakého čísla je větší než nula, pokud je toto číslo samo větší než nula; podobně jako u kořene třetího stupně - tyto nerovnosti jsou zcela podobné, takže jeden z nich můžeme škrtnout).

Ale s třetí nerovností to nepůjde. Zbavme se znaku radikála vlevo, u kterého obě části zvedneme na kostku. Dostaneme:

Dostáváme tedy následující požadavky:

−2 ≠ x > −3

Který z našich kořenů: x 1 = -3 nebo x 2 = -1 splňuje tyto požadavky? Je zřejmé, že pouze x = −1, protože x = −3 nesplňuje první nerovnost (protože naše nerovnost je přísná). Celkem, když se vrátíme k našemu problému, dostaneme jeden kořen: x = −1. To je vše, problém vyřešen.

Ještě jednou, hlavní body tohoto úkolu:

1. Nebojte se používat a řešit logaritmické rovnice pomocí kanonické formy. Studenti, kteří takový záznam pořídí a nepřejdou přímo od původního problému ke konstrukci jako log a f ( x ) = b , dělají mnohem méně chyb než ti, kteří někam spěchají a přeskakují mezikroky výpočtů;
2. Jakmile se v logaritmu objeví proměnná báze, problém přestává být tím nejjednodušším. Proto je při jeho řešení nutné vzít v úvahu definiční obor: argumenty musí být větší než nula a základy nejen větší než 0, ale také nesmí být rovny 1.

Poslední požadavky na konečné odpovědi můžete klást různými způsoby. Například je možné řešit celý systém obsahující všechny doménové požadavky. Na druhou stranu můžete nejprve vyřešit samotný problém a poté si vzpomenout na doménu definice, vypracovat jej samostatně ve formě systému a aplikovat jej na získané kořeny.

Jaký způsob řešení konkrétní logaritmické rovnice zvolíte, je na vás. V každém případě bude odpověď stejná.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme sbírat různé informace včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Logaritmické výrazy, řešení příkladů. V tomto článku se budeme zabývat problémy souvisejícími s řešením logaritmů. Úkoly nastolují otázku hledání hodnoty výrazu. Je třeba poznamenat, že koncept logaritmu se používá v mnoha úlohách a je nesmírně důležité porozumět jeho významu. Pokud jde o USE, logaritmus se používá při řešení rovnic, v aplikovaných úlohách a také v úlohách spojených se studiem funkcí.

Zde jsou příklady pro pochopení samotného významu logaritmu:

Základní logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmů, které si musíte vždy pamatovat:

*Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů faktorů.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) se rovná rozdílu logaritmů faktorů.

* * *

* Logaritmus stupně se rovná součinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Přechod na novou základnu

* * *

Další vlastnosti:

* * *

Počítání logaritmů úzce souvisí s využitím vlastností exponentů.

Uvádíme některé z nich:

Podstatou této vlastnosti je, že při převodu čitatele na jmenovatele a naopak se znaménko exponentu změní na opačné. Například:

Důsledek této vlastnosti:

* * *

Při zvýšení mocniny na mocninu zůstává základ stejný, ale exponenty se násobí.

* * *

Jak vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavní věc je, že je potřeba dobrá praxe, která dává určitou dovednost. Znalost vzorců je určitě povinná. Pokud není vytvořena dovednost převádět elementární logaritmy, pak se při řešení jednoduchých úkolů může snadno udělat chyba.

Cvičte, řešte nejprve nejjednodušší příklady z matematického kurzu, poté přejděte ke složitějším. V budoucnu určitě ukážu, jak se řeší „ošklivé“ logaritmy, u zkoušky takové nebudou, ale je o ně zájem, nenechte si to ujít!

To je vše! Hodně štěstí!

S pozdravem Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.