Այս ծառայությունը նախատեսված է ձևի մի մասը քայքայելու համար.

Պարզ կոտորակների գումարը. Այս ծառայությունը օգտակար կլինի ինտեգրալների լուծման համար։ տես օրինակ.

Հրահանգ. Մուտքագրեք կոտորակի համարիչը և հայտարարը: Սեղմեք Լուծել կոճակը:

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ

Անորոշ գործակիցների մեթոդի ալգորիթմ

1. Հայտարարի գործոնացում.
2. Կոտորակի տարրալուծումը որպես անորոշ գործակիցներով պարզ կոտորակների գումար:
3. Խմբավորելով համարիչը x-ի նույն հզորություններով:
4. Անորոշ գործակիցներով որպես անհայտ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ստացում:
5. SLAE լուծում. Կրամերի մեթոդ, Գաուսի մեթոդ, հակադարձ մատրիցային մեթոդ կամ անհայտների վերացում:

Օրինակ. Մենք օգտագործում ենք տարրալուծման մեթոդը ամենապարզին: Եկեք բաժանենք ֆունկցիան պարզ բառերի.


Հավասարեցրեք համարիչները և հաշվի առեք, որ գործակիցները նույն հզորությամբ են X, ձախ և աջ կողմում կանգնածները պետք է համընկնեն
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A-2B+C+4D=0
Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք.
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում.
Չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ

Մենք շարունակում ենք աշխատել կոտորակների ինտեգրման վրա: Դասում արդեն դիտարկել ենք կոտորակների որոշ տեսակների ինտեգրալներ, և այս դասը ինչ-որ իմաստով կարելի է համարել շարունակություն։ Նյութը հաջողությամբ հասկանալու համար պահանջվում են հիմնական ինտեգրման հմտություններ, այնպես որ, եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել ինտեգրալները, այսինքն՝ թեյնիկ եք, ապա պետք է սկսել հոդվածից։ Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծման օրինակներ.

Տարօրինակ է, բայց հիմա մենք կզբաղվենք ոչ այնքան ինտեգրալների, որքան ... գծային հավասարումների համակարգերի լուծմամբ: Այս կապակցությամբ խիստԵս խորհուրդ եմ տալիս այցելել դասը: Մասնավորապես, դուք պետք է լավ տիրապետեք փոխարինման մեթոդներին («դպրոցական» մեթոդը և համակարգի հավասարումների ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդը):

Ի՞նչ է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան: Պարզ բառերով, կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան այն կոտորակն է, որի համարիչում և հայտարարում բազմանդամներ են կամ բազմանդամների արտադրյալներ։ Միևնույն ժամանակ, ֆրակցիաներն ավելի բարդ են, քան հոդվածում քննարկվածները: Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

Ճիշտ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում

Անմիջապես օրինակ և տիպիկ ալգորիթմ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալի լուծման համար։

Օրինակ 1

Քայլ 1.Առաջին բանը, որ մենք ՄԻՇՏ անում ենք ռացիոնալ-կոտորակային ֆունկցիայի ինտեգրալ լուծելիս հետևյալ հարցն է. ճի՞շտ է կոտորակըԱյս քայլը կատարվում է բանավոր, և այժմ ես կբացատրեմ, թե ինչպես.

Նախ նայեք համարիչին և պարզեք ավագ աստիճանբազմանդամ:

Համարիչի ամենաբարձր հզորությունը երկուսն է։

Հիմա նայեք հայտարարին և պարզեք ավագ աստիճանհայտարար. Ակնհայտ ճանապարհը փակագծերը բացելն ու նմանատիպ պայմաններ բերելն է, բայց դուք կարող եք դա անել ավելի հեշտ՝ ներսում յուրաքանչյուրըփակագծերը գտնել ամենաբարձր աստիճանը

և մտավոր բազմապատկել՝ - այսպիսով, հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը հավասար է երեքի: Միանգամայն ակնհայտ է, որ եթե իսկապես բացենք փակագծերը, ապա երեքից մեծ աստիճան չենք ստանա։

ԵզրակացությունՀամարիչի ամենաբարձր հզորությունը ԽԻՍՏպակաս է հայտարարի ամենաբարձր հզորությունից, ուրեմն կոտորակը ճիշտ է:

Եթե ​​ներս այս օրինակըհամարիչը պարունակում էր 3, 4, 5 և այլն բազմանդամը։ աստիճան, ապա կոտորակը կլիներ սխալ.

Այժմ մենք կդիտարկենք միայն պատշաճ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաները. Այն դեպքը, երբ համարիչի աստիճանը մեծ կամ հավասար է հայտարարի աստիճանին, մենք կվերլուծենք դասի վերջում։

Քայլ 2Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Եկեք նայենք մեր հայտարարին.

Ընդհանրապես, այստեղ արդեն գործոնների արդյունք է, բայց, այնուամենայնիվ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ հնարավո՞ր է այլ բան ընդլայնել։ Խոշտանգումների առարկան, անշուշտ, կլինի քառակուսի եռանկյունը։ Մենք լուծում ենք քառակուսի հավասարումը.

Տարբերիչը զրոյից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ եռանդամն իսկապես գործոնացված է.

Ընդհանուր կանոնԱՄԵՆ ԻՆՉ, ինչ հայտարարի մեջ ԿԱՐԵԼԻ Է ֆակտորիզացվել՝ ֆակտորիզացնել

Եկեք սկսենք որոշում կայացնել.

Քայլ 3Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը՝ ինտեգրանդը ընդլայնում ենք պարզ (տարրական) կոտորակների գումարի մեջ։ Հիմա ավելի պարզ կլինի։

Եկեք նայենք մեր ինտեգրման գործառույթին.

Եվ, գիտեք, մի ինտուիտիվ միտք ինչ-որ կերպ սահում է, որ լավ կլիներ մեր մեծ կոտորակը վերածել մի քանի փոքրի: Օրինակ, այսպես.

Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է դա անել։ Եկեք թեթեւացած շունչ քաշենք, մաթեմատիկական անալիզի համապատասխան թեորեմում ասվում է՝ ՀՆԱՐԱՎՈՐ Է։ Նման տարրալուծում կա և եզակի է.

Կա միայն մեկ բռնում, գործակիցները մենք Ցտեսությունչգիտենք, այստեղից էլ անվանումը՝ անորոշ գործակիցների մեթոդ։

Դուք գուշակեցիք, որ հաջորդող ժեստերը, այնպես որ, մի քրքջացեք: ուղղված կլինի հենց նրանց ՍՈՎՈՐԵԼՈՒ - պարզել, թե ինչին են նրանք հավասար:

Զգույշ եղեք, մի անգամ մանրամասն բացատրում եմ!

Այսպիսով, եկեք սկսենք պարել հետևյալից.

Ձախ կողմում արտահայտությունը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Այժմ մենք ապահով կերպով ազատվում ենք հայտարարներից (քանի որ դրանք նույնն են).

Ձախ կողմում բացում ենք փակագծերը, մինչդեռ անհայտ գործակիցներին դեռ չենք շոշափում.

Միաժամանակ կրկնում ենք դպրոցի կանոնբազմանդամների բազմապատկում. Երբ ես ուսուցիչ էի, ես սովորեցի ուղիղ դեմքով ասել այս կանոնը. Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով։.

Հստակ բացատրության տեսանկյունից ավելի լավ է գործակիցները դնել փակագծերում (չնայած ես անձամբ երբեք դա չեմ անում՝ ժամանակ խնայելու համար).

Մենք կազմում ենք գծային հավասարումների համակարգ:
Նախ, մենք փնտրում ենք ավագ աստիճաններ.

Իսկ համակարգի առաջին հավասարման մեջ գրում ենք համապատասխան գործակիցները.

Լավ հիշեք հետևյալ նրբերանգը. Ի՞նչ կլիներ, եթե աջ կողմն ընդհանրապես չլիներ։ Ասա, դա ուղղակի կցուցադրվի՞ առանց որևէ քառակուսու: Այս դեպքում համակարգի հավասարման մեջ անհրաժեշտ կլիներ աջ կողմում զրո դնել. Ինչու՞ զրո: Եվ քանի որ աջ կողմում միշտ կարող եք վերագրել այս նույն քառակուսին զրոյով. Եթե աջ կողմում չկան փոփոխականներ կամ (և) ազատ անդամ, ապա մենք զրո ենք դնում համակարգի համապատասխան հավասարումների աջ կողմերում։

Համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ գրում ենք համապատասխան գործակիցները.

Եվ, վերջապես, հանքային ջուր, մենք ընտրում ենք անվճար անդամներ:

Էհ, ... կատակում էի։ Կատակները մի կողմ՝ մաթեմատիկան լուրջ գիտություն է։ Մեր ինստիտուտի խմբում ոչ ոք չծիծաղեց, երբ ասիստենտն ասաց, որ անդամներին ցրելու է թվային գծով և ընտրել նրանցից ամենամեծը։ Եկեք լրջանանք. Թեև ... ով ապրում է այս դասի ավարտը տեսնելու համար, միեւնույն է, հանգիստ կժպտա:

Համակարգը պատրաստ է.

Մենք լուծում ենք համակարգը.

(1) Առաջին հավասարումից մենք այն արտահայտում և փոխարինում ենք համակարգի 2-րդ և 3-րդ հավասարումներով: Իրականում հնարավոր էր արտահայտել (կամ մեկ այլ տառ) մեկ այլ հավասարումից, բայց այս դեպքում ձեռնտու է այն արտահայտել 1-ին հավասարումից, քանի որ կա. ամենափոքր հավանականությունը.

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ 2-րդ և 3-րդ հավասարումներում:

(3) 2-րդ և 3-րդ հավասարումները գումարում ենք անդամ առ անդամ՝ ստանալով հավասարություն, որից հետևում է.

(4) Մենք փոխարինում ենք երկրորդ (կամ երրորդ) հավասարմանը, որից մենք գտնում ենք, որ

(5) Մենք փոխարինում ենք և մտնում առաջին հավասարման մեջ՝ ստանալով .

Եթե ​​համակարգի լուծման մեթոդների հետ կապված դժվարություններ ունեք, դրանք մշակեք դասարանում։ Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:

Համակարգը լուծելուց հետո միշտ օգտակար է ստուգում կատարել՝ փոխարինել գտնված արժեքները յուրաքանչյուրումհամակարգի հավասարումը, արդյունքում ամեն ինչ պետք է «համընկնի»։

Գրեթե հասել է: Գործակիցները գտնված են, մինչդեռ.

Մաքուր աշխատանքը պետք է նման լինի հետևյալին.

Ինչպես տեսնում եք, առաջադրանքի հիմնական դժվարությունը գծային հավասարումների համակարգ կազմելն էր (ճիշտ!) և լուծելը (ճիշտ): Իսկ վերջնական փուլում ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ՝ մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունները և ինտեգրում։ Ես ձեր ուշադրությունը հրավիրում եմ այն ​​փաստի վրա, որ երեք ինտեգրալներից յուրաքանչյուրի տակ մենք ունենք «անվճար» բարդ գործառույթ, ես դասում խոսեցի դրա ինտեգրման առանձնահատկությունների մասին. Փոփոխական փոփոխության մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.

Ստուգեք. Տարբերեք պատասխանը.

Ստացվել է սկզբնական ինտեգրանդը, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։
Ստուգման ժամանակ անհրաժեշտ էր արտահայտությունը բերել ընդհանուր հայտարարի, և դա պատահական չէ։ Անորոշ գործակիցների մեթոդը և արտահայտությունը ընդհանուր հայտարարի բերելը փոխադարձ հակադարձ գործողություններ են։

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Եկեք վերադառնանք առաջին օրինակի կոտորակին. . Հեշտ է տեսնել, որ հայտարարում բոլոր գործոնները ՏԱՐԲԵՐ են: Հարց է առաջանում՝ ի՞նչ անել, եթե, օրինակ, տրվի այսպիսի կոտորակ. ? Այստեղ մենք ունենք աստիճաններ հայտարարի մեջ, կամ, մաթեմատիկական առումով, բազմաթիվ գործոններ. Բացի այդ, գոյություն ունի անբաժանելի քառակուսի եռանկյուն (հեշտ է ստուգել, ​​որ հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի եռանկյունը չի կարող որևէ կերպ գործոնավորվել): Ինչ անել? Տարրական կոտորակների գումարի ընդլայնումը նման կլինի վերևում անհայտ գործակիցներով, թե՞ այլ կերպ:

Օրինակ 3

Ներկայացրեք գործառույթ

Քայլ 1.Ստուգում, թե արդյոք ունենք ճիշտ կոտորակ
Համարիչի ամենաբարձր հզորությունը՝ 2
Ամենաբարձր հայտարարը՝ 8
, ուրեմն կոտորակը ճիշտ է։

Քայլ 2Կարո՞ղ է ինչ-որ բան հաշվի առնել հայտարարի մեջ: Ակնհայտորեն ոչ, ամեն ինչ արդեն շարադրված է։ Քառակուսի եռանկյունը վերը նշված պատճառներով չի վերածվում ապրանքի: Լավ. Ավելի քիչ աշխատանք.

Քայլ 3Ներկայացնենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան որպես տարրական կոտորակների գումար:
Այս դեպքում տարրալուծումն ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք նայենք մեր հայտարարին.
Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան տարրական կոտորակների գումարի բաժանելիս կարելի է առանձնացնել երեք հիմնարար կետ.

1) Եթե հայտարարը պարունակում է «միայնակ» գործակից առաջին աստիճանում (մեր դեպքում), ապա վերևում դնում ենք անորոշ գործակից (մեր դեպքում): Թիվ 1,2 օրինակները բաղկացած էին միայն այդպիսի «մենակ» գործոններից։

2) Եթե հայտարարը պարունակում է բազմակիբազմապատկիչ, ապա դուք պետք է քայքայեք հետևյալ կերպ.
- այսինքն՝ հաջորդաբար դասավորել «x»-ի բոլոր աստիճանները՝ առաջինից մինչև n-րդ աստիճան: Մեր օրինակում կան երկու բազմաթիվ գործոններ. և, ևս մեկ նայեք իմ տված տարրալուծմանը և համոզվեք, որ դրանք քայքայված են հենց այս կանոնի համաձայն:

3) Եթե հայտարարը պարունակում է երկրորդ աստիճանի անբաժանելի բազմանդամ (մեր դեպքում), ապա համարիչում ընդլայնելիս անհրաժեշտ է գրել գծային ֆունկցիա անորոշ գործակիցներով (մեր դեպքում՝ անորոշ գործակիցներով և ):

Փաստորեն, կա նաև 4-րդ դեպքը, բայց ես կլռեմ, քանի որ գործնականում դա չափազանց հազվադեպ է։

Օրինակ 4

Ներկայացրեք գործառույթ որպես անհայտ գործակիցներով տարրական կոտորակների գումար:

Սա օրինակ է անկախ լուծում. Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։
Խստորեն հետևեք ալգորիթմին:

Եթե ​​դուք պարզել եք այն սկզբունքները, որոնցով պետք է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան գումարի վերածել, ապա կարող եք կոտրել դիտարկվող տեսակի գրեթե ցանկացած ինտեգրալ:

Օրինակ 5

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Քայլ 1.Ակնհայտ է, որ կոտորակը ճիշտ է.

Քայլ 2Կարո՞ղ է ինչ-որ բան հաշվի առնել հայտարարի մեջ: Կարող է. Ահա խորանարդների գումարը . Հայտարարի գործակցում` օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը

Քայլ 3Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը, մենք ինտեգրանդը ընդլայնում ենք տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Նկատի ունեցեք, որ բազմանդամն անբաժանելի է (ստուգեք, որ դիսկրիմինանտը բացասական է), ուստի վերևում դնում ենք անհայտ գործակիցներով գծային ֆունկցիա և ոչ միայն մեկ տառ:

Կոտորակը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Եկեք ստեղծենք և լուծենք համակարգը.

(1) Առաջին հավասարումից մենք արտահայտում և փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ (սա ամենառացիոնալ ձևն է):

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ երկրորդ հավասարման մեջ:

(3) Մենք տերմին առ անդամ ավելացնում ենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումները:

Հետագա բոլոր հաշվարկները, սկզբունքորեն, բանավոր են, քանի որ համակարգը պարզ է:

(1) Կոտորակների գումարը գրում ենք հայտնաբերված գործակիցներին համապատասխան:

(2) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունները: Ի՞նչ է տեղի ունեցել երկրորդ ինտեգրալում։ Այս մեթոդը կարող եք գտնել դասի վերջին պարբերությունում: Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

(3) Կրկին օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները: Երրորդ ինտեգրալում մենք սկսում ենք ընտրել լրիվ քառակուսի (դասի նախավերջին պարբերությունը Որոշ կոտորակների ինտեգրում).

(4) Վերցնում ենք երկրորդ ինտեգրալը, երրորդում ընտրում ենք լրիվ քառակուսին։

(5) Մենք վերցնում ենք երրորդ ինտեգրալը: Պատրաստ.

ԲԱՇԿՈՐՏՈԻ ՀԱՆՐԱՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

GAOU SPO Բաշկիրիայի ճարտարապետության և քաղաքացիական ճարտարագիտության քոլեջ

Խալյուլին Ասխատ Ադելզյանովիչ,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ բաշկիր

Ճարտարապետության և քաղաքացիական ճարտարագիտության քոլեջ

UFA

2014 թ

Ներածություն _________________________________________________3

Գլուխ Ի. Տեսական ասպեկտներանորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառում ________________________________________________4

Գլուխ II. Բազմանդամների հետ խնդիրների լուծումների որոնում անորոշ գործակիցների մեթոդով _________________________________7

2.1 Բազմանդամի գործակցում _____________________ 7

2.2. Պարամետրերով առաջադրանքներ________________________________ 10

2.3. Հավասարումների լուծում _________________________________14

2.4. Ֆունկցիոնալ հավասարումներ _________________________________19

Եզրակացություն________________________________________________23

Տեղեկանքների ցանկ ________________________________24

Դիմում ________________________________________________25

Ներածություն.

Այս աշխատանքը նվիրված է դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթաց անորոշ գործակիցների մեթոդի ներդրման տեսական և գործնական ասպեկտներին։ Այս թեմայի արդիականությունը որոշվում է հետևյալ հանգամանքներով.

Ոչ ոք չի վիճի այն փաստի հետ, որ մաթեմատիկան որպես գիտություն չի կանգնում մեկ տեղում, այն զարգանում է անընդհատ, առաջանում են ավելացած բարդության նոր առաջադրանքներ, ինչը հաճախ որոշակի դժվարություններ է առաջացնում, քանի որ այդ առաջադրանքները սովորաբար կապված են հետազոտության հետ: Նման առաջադրանքները ներս վերջին տարիներըառաջարկվել են դպրոցական, մարզային և հանրապետական ​​մաթեմատիկական օլիմպիադաներում, հասանելի են նաև USE տարբերակներով։ Ուստի պահանջվում էր հատուկ մեթոդ, որը թույլ կտար լուծել դրանցից գոնե մի քանիսը ամենաարագ, արդյունավետ և մատչելի։ Այս աշխատանքում մատչելի ձևով ներկայացված է անորոշ գործակիցների մեթոդի բովանդակությունը, որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում՝ սկսած հանրակրթական դպրոցի կուրսում ներառված հարցերից մինչև ամենաառաջադեմ մասերը: Մասնավորապես, հատկապես հետաքրքիր և արդյունավետ են անորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառումը պարամետրերով, կոտորակային ռացիոնալ և ֆունկցիոնալ հավասարումներով խնդիրներ լուծելիս. նրանք հեշտությամբ կարող են հետաքրքրել բոլոր նրանց, ովքեր հետաքրքրված են մաթեմատիկայով: Առաջարկվող աշխատանքի և խնդիրների ընտրության հիմնական նպատակն է լայն հնարավորություններ ընձեռել հղկման և կարճ և ոչ ստանդարտ լուծումներ գտնելու կարողության զարգացման համար:

Այս աշխատանքը բաղկացած է երկու գլխից. Առաջինը վերաբերում է օգտագործման տեսական ասպեկտներին

անորոշ գործակիցների մեթոդ, երկրորդում՝ նման օգտագործման գործնական և մեթոդական ասպեկտները։

Աշխատանքի հավելվածը պարունակում է ինքնուրույն լուծման կոնկրետ առաջադրանքների պայմանները:

Գլուխ Ի . Օգտագործման տեսական կողմերըանորոշ գործակիցների մեթոդ

«Մարդը ծնվել է վարպետ լինելու համար,

վարպետ, բնության արքա, բայց իմաստություն,

որով նա պետք է իշխի, նրան տրված չէ

ծնվելուց. այն ձեռք է բերվում սովորելով»

Ն.Ի.Լոբաչևսկի

Գոյություն ունենալ տարբեր ձևերովեւ խնդիրների լուծման մեթոդներ, բայց ամենահարմար, ամենաարդյունավետ, օրիգինալ, էլեգանտ ու միաժամանակ շատ պարզ ու բոլորին հասկանալիներից է անորոշ գործակիցների մեթոդը։ Անորոշ գործակիցների մեթոդը մաթեմատիկայում կիրառվող մեթոդ է արտահայտությունների գործակիցները գտնելու համար, որի ձևը նախապես հայտնի է։

Նախքան անորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառումը տարբեր տեսակի խնդիրներ լուծելու համար մենք ներկայացնում ենք մի շարք տեսական տեղեկություններ։

Թող տրվեն

Ա n (x) = ա 0 x n + ա 1 x n-1 + ա 2 x n-2 + ··· + ա n-1 x + ա n

Բ մ (x ) = բ 0 x մ + բ 1 x մ -1 + բ 2 x մ -2 + ··· + բ մ-1 x + բ մ ,

բազմանդամների նկատմամբ Xցանկացած հարաբերակցությամբ։

Թեորեմ. Երկու բազմանդամ՝ կախված մեկից և նույն արգումենտի նույնականորեն հավասար են, եթե և միայն, եթեn = մ և դրանց համապատասխան գործակիցներն ենա 0 = բ 0 , ա 1 = բ 1 , ա 2 = բ 2 ,··· , ա n -1 = բ մ -1 , ա n = բ մ Եվ Տ. դ.

Ակնհայտ է, որ հավասար բազմանդամները վերցնում են բոլոր արժեքները Xնույն արժեքները: Ընդհակառակը, եթե երկու բազմանդամների արժեքները հավասար են բոլոր արժեքներին X, ապա բազմանդամները հավասար են, այսինքն՝ նրանց գործակիցները նույն հզորությամբXհամապատասխանեցնել.

Հետևաբար, խնդիրների լուծման համար անորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառման գաղափարը հետևյալն է.

Տեղեկացնենք, որ որոշ փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է որոշակի ձևի արտահայտություն և անհայտ են միայն այս արտահայտության գործակիցները։ Այնուհետև այդ գործակիցները նշվում են տառերով և համարվում են անհայտ։ Այնուհետև այս անհայտները որոշելու համար կազմվում է հավասարումների համակարգ:

Օրինակ, բազմանդամների դեպքում այս հավասարումները կազմված են նույն հզորությունների գործակիցների հավասարության պայմանից. Xերկու հավասար բազմանդամների համար.

Վերը նշվածը ցույց կտանք հետևյալ կոնկրետ օրինակներով, և կսկսենք ամենապարզից։

Այսպիսով, օրինակ, տեսական նկատառումների հիման վրա կոտորակը

կարող է ներկայացվել որպես գումար

, Որտեղ ա , բ Եվ գ - գործակիցները, որոնք պետք է որոշվեն: Դրանք գտնելու համար երկրորդ արտահայտությունը հավասարեցնում ենք առաջինին.

=

իսկ հայտարարից ազատվելով և ձախ կողմում հավաքելով նույն լիազորություններով տերմինները X, ստանում ենք.

(ա + բ + գ )X 2 + ( բ - գ )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Քանի որ վերջին հավասարությունը պետք է պահպանվի բոլոր արժեքների համար X, ապա գործակիցները նույն հզորությամբXաջն ու ձախը պետք է նույնը լինեն: Այսպիսով, երեք անհայտ գործակիցները որոշելու համար ստացվում են երեք հավասարումներ.

ա+բ+գ = 2

բ - գ = - 5

Ա= 1, որտեղից ա = 1 , բ = - 2 , գ = 3

Հետևաբար,

=
,

Այս հավասարության վավերականությունը հեշտ է ուղղակիորեն ստուգել:

Պատկերացնենք նաև կոտորակ

ինչպես ա + բ
+ գ
+ դ
, Որտեղ ա , բ , գ Եվ դ- անհայտ ռացիոնալ գործակիցներ. Երկրորդ արտահայտությունը հավասարեցրու առաջինին.

ա + բ
+ գ
+ դ
=
կամ, ազատվելով հայտարարից, արմատների նշանների տակից հանելով, հնարավորության դեպքում, ռացիոնալ գործոնները և ձախ կողմում բերելով նման տերմիններ, ստանում ենք.

(ա- 2 բ + 3 գ ) + (- ա+բ +3 դ )
+ (ա+գ - 2 դ )
+

+ (բ-գ + դ )
= 1 +
-
.

Բայց նման հավասարություն հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու մասերի ռացիոնալ անդամները և գործակիցները նույն ռադիկալների մոտ հավասար են։ Այսպիսով, չորս հավասարումներ են ստացվում անհայտ գործակիցներ գտնելու համար ա , բ , գ Եվ դ :

ա- 2բ + 3գ = 1

- ա+բ +3 դ = 1

ա+գ - 2 դ = - 1

բ - գ + դ= 0, որտեղից ա = 0 ; բ = - ; գ = 0 ; դ= , այսինքն
= -
+
.

Գլուխ II. Բազմանդամների հետ խնդիրների լուծումների որոնում անորոշ գործակիցների մեթոդ.

«Ոչինչ չի նպաստում առարկայի յուրացմանը

ինչպես վարվել նրա հետ տարբեր իրավիճակներում»

Ակադեմիկոս Բ.Վ.Գնեդենկո

2. 1. Բազմանդամի տարրալուծումը գործակիցների.

Բազմանդամների ֆակտորինգի մեթոդներ.

1) ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելը, 2) խմբավորման եղանակը. 3) բազմապատկման հիմնական բանաձեւերի կիրառումը. 4) օժանդակ տերմինների ներմուծում, 5) որոշակի բանաձեւերի օգնությամբ տրված բազմանդամի նախնական փոխակերպում. 6) ընդլայնում` գտնելով տրված բազմանդամի արմատները. 7) պարամետրերի ներդրման եղանակը. 8) անորոշ գործակիցների մեթոդ.

Խնդիր 1. Բազմանդամը տարրալուծիր իրական գործակիցների X 4 + X 2 + 1 .

Լուծում. Այս բազմանդամի ազատ անդամի բաժանարարների մեջ արմատներ չկան։ Այլ տարրական միջոցներով մենք չենք կարող գտնել բազմանդամի արմատները։ Ուստի հնարավոր չէ կատարել պահանջվող ընդլայնումը՝ նախ գտնելով այս բազմանդամի արմատները։ Մնում է խնդրի լուծումը փնտրել կա՛մ օժանդակ տերմինների ներդրմամբ, կա՛մ անորոշ գործակիցների մեթոդով։ Ակնհայտ է, որ X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ստացված քառակուսի եռանկյունները արմատներ չունեն, հետևաբար չեն կարող քայքայվել իրական գծային գործոնների։

Նկարագրված մեթոդը տեխնիկապես պարզ է, բայց դժվար իր արհեստականության պատճառով։ Իսկապես, շատ դժվար է պահանջվող օժանդակ պայմաններով հանդես գալը։ Միայն գուշակությունն օգնեց մեզ գտնել այս տարրալուծումը: Բայց

կան ավելին հուսալի ուղիներնման խնդիրների լուծում.

Կարելի է գործել հետևյալ կերպ. ենթադրենք, որ տրված բազմանդամն ընդարձակվում է արտադրյալի

(X 2 + Ա X + բ )(X 2 + գ X + դ )

երկու քառակուսի եռանկյուն՝ ամբողջ թվային գործակիցներով։

Այսպիսով, մենք կունենանք դա

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + Ա X + բ )(X 2 + գ X + դ )

Մնում է որոշել գործակիցներըա , բ , գ Եվ դ .

Բազմապատկելով վերջին հավասարության աջ կողմի բազմանդամները՝ ստանում ենք.X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (ա + գ ) X 3 + (բ + Ա գ + դ ) X 2 + (Հայտարարություն + մ.թ.ա ) x + բդ .

Բայց քանի որ մեզ անհրաժեշտ է, որ այս հավասարության աջ կողմը վերածվի նույն բազմանդամի, որը գտնվում է ձախ կողմում, մենք պահանջում ենք կատարել հետևյալ պայմանները:

ա + գ = 0

բ + Ա գ + դ = 1

Հայտարարություն + մ.թ.ա = 0

բդ = 1 .

Արդյունքը չորս անհայտներով չորս հավասարումների համակարգ էա , բ , գ Եվ դ . Այս համակարգից հեշտ է գտնել գործակիցներա = 1 , բ = 1 , գ = -1 Եվ դ = 1.

Այժմ խնդիրն ամբողջությամբ լուծված է։ Մենք ստացել ենք.

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Խնդիր 2. Բազմանդամը տարանջատի՛ր իրական գործակիցների X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Լուծում. Մենք ներկայացնում ենք այս բազմանդամը ձևով

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + Ա )(X 2 + bx + գ), որտեղ ա , բ Եվ Հետ - դեռ որոշված ​​գործակիցներ. Քանի որ երկու բազմանդամները նույնական են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործակիցները նույն հզորությամբ ենX հավասար են, ուրեմն՝ հավասարեցնելով գործակիցները, համապատասխանաբար, ժամըX 2 , X և անվճար պայմաններ, մենք ստանում ենք երեքերեք անհայտներով հավասարումներ.

ա+բ= - 6

ab+c = 14

ակ = - 15 .

Այս համակարգի լուծումը մեծապես կպարզեցվի, եթե հաշվի առնենք, որ 3 թիվը (ազատ անդամի բաժանարարը) այս հավասարման արմատն է, և, հետևաբար,ա = - 3 ,

բ = - 3 Եվ Հետ = 5 .

Հետո X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Անորոշ գործակիցների կիրառվող մեթոդը, օժանդակ տերմինների ներդրման վերը նշված մեթոդի համեմատ, արհեստական ​​ոչինչ չի պարունակում, սակայն պահանջում է տեսական բազմաթիվ դրույթների կիրառում և ուղեկցվում է բավականին մեծ հաշվարկներով։ Ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների համար անորոշ գործակիցների այս մեթոդը հանգեցնում է հավասարումների ծանր համակարգերի:

2.2 Առաջադրանքներ և պարամետրերով։

Վերջին տարիներին պարամետրերով առաջադրանքներ են առաջարկվել USE տարբերակներում: Դրանց լուծումը հաճախ որոշակի դժվարություններ է առաջացնում։ Պարամետրերով խնդիրներ լուծելիս, այլ մեթոդների հետ մեկտեղ, հնարավոր է արդյունավետորեն կիրառել անորոշ գործակիցների մեթոդը։ Հենց ճիշտ այս մեթոդըշատ ավելի հեշտ է դարձնում դրանք լուծելն ու արագ պատասխան ստանալը:

Առաջադրանք 3. Որոշեք պարամետրի ինչ արժեքներով Ահավասարում 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + Ա – 3 = 0-ն ունի ուղիղ երկու արմատ:

Լուծում. 1 ճանապարհ. Ածանցյալի օգնությամբ։

Մենք ներկայացնում ենք այս հավասարումը երկու ֆունկցիայի տեսքով

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – Ա .

զ (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X– 3 և φ( X ) = – Ա .

Գործառույթի ուսումնասիրությունզ (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 ածանցյալի օգնությամբ և սխեմատիկորեն կառուցիր դրա գրաֆիկը (նկ. 1.):

զ( – x )զ (x ) , զ (– x ) – զ (x ). Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

3. Գտե՛ք ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը, նրա աճի ու նվազման միջակայքերը, ծայրահեղությունները: զ / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. Դ (զ / ) = Ռ , ուստի մենք գտնում ենք ֆունկցիայի բոլոր կրիտիկական կետերը՝ լուծելով հավասարումը զ / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 թեորեմով հակասում է Վիետայի թեորեմին:

զ / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ առավելագույնը - ր +

2 3 x

զ / (x) > 0 բոլորի համար X< – 2 և X > 3 և ֆունկցիան կետերում շարունակական էx =– 2 և X = 3, հետևաբար, այն մեծանում է յուրաքանչյուր ինտերվալում (- ; - 2] և [3; ).

զ / (x ) < 0 - 2 < X< 3, հետևաբար, այն նվազում է [- 2; 3 ].

X = - 2 առավելագույն միավոր, քանի որ այս պահին ածանցյալի նշանը փոխվում է«+»-ից «-»:

զ (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3-ը նվազագույն կետն է, քանի որ այս պահին փոխվում է ածանցյալի նշանը«-» դեպի «+»:

զ (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84:

φ ֆունկցիայի գրաֆիկըX ) = – Ա ուղիղ գիծ է x-ի առանցքին զուգահեռ և անցնում է կոորդինատներով կետով (0; – Ա ) Գրաֆիկները ունեն երկու ընդհանուր կետ −-ումԱ= 41, այսինքն. ա =- 41 և - Ա= - 84, այսինքն. Ա = 84 .

ժամը

41 φ( X)

2 3 X

3 զ ( x ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 ճանապարհ. Անորոշ գործակիցների մեթոդ.

Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանի, այս հավասարումը պետք է ունենա միայն երկու արմատ, ապա հավասարության կատարումն ակնհայտ է.

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + Ա – 3 = (x + բ ) 2 (2 x + գ ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + Ա – 3 = 2 x 3 + (4 բ + գ ) x 2 + (2 բ 2 + +2 մ.թ.ա ) x + բ 2 գ ,

Այժմ գործակիցները հավասարեցնելով նույն հզորություններին X, ստանում ենք հավասարումների համակարգ

4 բ + գ ​​= - 3

2բ 2 + 2bc=- 36

բ 2 գ = ա – 3 .

Համակարգի առաջին երկու հավասարումներից մենք գտնում ենքբ 2 + բ – 6 = 0, որտեղից բ 1 = - 3 կամ բ 2 = 2. Համապատասխան արժեքներՀետ 1 և Հետ 2 Համակարգի առաջին հավասարումից հեշտ է գտնել.Հետ 1 = 9 կամ Հետ 2 = - 11. Վերջապես, պարամետրի ցանկալի արժեքը կարող է որոշվել համակարգի վերջին հավասարումից.

Ա = բ 2 գ + 3 , ա 1 = - 41 կամ ա 2 = 84.

Պատասխան. այս հավասարումը ունի ուղիղ երկու տարբեր

արմատ ժամը Ա= - 41 և Ա= 84 .

Առաջադրանք 4. Գտեք պարամետրի ամենամեծ արժեքըԱ , որի համար հավասարումըX 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = 0

ամբողջ թվային գործակիցներով ունի երեք տարբեր արմատներ, որոնցից մեկը - 2 է:

Լուծում. 1 ճանապարհ. Փոխարինող X= - 2 հավասարման ձախ կողմում, մենք ստանում ենք

8 + 20 – 2 Ա + բ= 0, ինչը նշանակում է բ = 2 ա – 12 .

Քանի որ թիվ 2-ը արմատն է, կարող եք հանել ընդհանուր գործոնը X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Օ՜ + (2 ա – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Օ՜ + (2 ա – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (ա – 6)(x +2) - 2(ա – 6)+ (2 ա - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (ա – 6) ) .

Ըստ պայմանի՝ հավասարման ևս երկու արմատ կա։ Այսպիսով, երկրորդ գործոնի տարբերակիչը դրական է։

Դ =3 2 - 4 (ա – 6) = 33 – 4 ա > 0, այսինքն Ա < 8,25 .

Թվում էր, թե պատասխանը կլինի ա = 8 . Բայց սկզբնական հավասարման մեջ 8 թիվը փոխարինելիս ստանում ենք.

X 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

այսինքն՝ հավասարումն ունի միայն երկու տարբեր արմատներ։ Բայց ժամը ա = 7-ն իսկապես ստանում է երեք տարբեր արմատներ:

2 ճանապարհ. Անորոշ գործակիցների մեթոդ.

Եթե ​​հավասարումը X 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = 0-ն ունի արմատ X = - 2, ապա միշտ կարող եք թվեր վերցնելգ Եվ դ այնպես որ բոլորի համարX ճիշտ էր հավասարությունը

X 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = (X + 2)(X 2 + Հետ x + դ ).

Թվեր գտնելու համարգ Եվ դ բացեք աջ կողմի փակագծերը, տվեք նմանատիպ տերմիններ և ստացեք

X 3 + 5 X 2 + Օ՜ + բ = X 3 + (2 + Հետ ) X 2 +(2 +-ով դ ) X + 2 դ

Գործակիցների հավասարեցում համապատասխան հզորություններով Xմենք ունենք համակարգ

2 + Հետ = 5

2 Հետ + դ = ա

2 դ = բ , որտեղ գ = 3 .

Հետևաբար, X 2 + 3 x + դ = 0 , Դ = 9 – 4 դ > 0 կամ

դ < 2.25, այսպես դ (- ; 2 ].

Խնդրի պայմանը բավարարում է արժեքով դ = 1 . Պարամետրի վերջնական ցանկալի արժեքըԱ = 7.

A n e t: երբ ա = 7 Այս հավասարումն ունի երեք տարբեր արմատներ:

2.3. Հավասարումների լուծում.

«Հիշեք, որ երբ փոքր խնդիրներ եք լուծում, դուք

պատրաստվեք մեծ ու դժվարին լուծելու համար

առաջադրանքներ»։

ակադեմիկոս Ս.Լ.Սոբոլև

Որոշ հավասարումներ լուծելիս կարելի է և անհրաժեշտ է ցուցաբերել հնարամտություն և խելք, կիրառել հատուկ հնարքներ. Մաթեմատիկայում մեծ նշանակություն ունի փոխակերպումների տարբեր մեթոդների տիրապետումը և տրամաբանական դատողություն վարելու կարողությունը։ Այս հնարքներից մեկը լավ ընտրված արտահայտություն կամ թիվ գումարելն ու հանելն է: Հայտարարված փաստն ինքնին, իհարկե, բոլորին քաջ հայտնի է. հիմնական դժվարությունը հատուկ կազմաձևում տեսնելն է հավասարումների այն փոխակերպումները, որոնց համար հարմար և նպատակահարմար է կիրառել այն:

Պարզ հանրահաշվական հավասարման վրա մենք ցույց ենք տալիս հավասարումների լուծման մեկ ոչ ստանդարտ մեթոդ:

Խնդիր 5. Լուծե՛ք հավասարումը

=
.

Լուծում. Այս հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 5-ով և վերագրեք հետևյալ կերպ

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 կամ
= 0

Ստացված հավասարումները լուծում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ախ + բ )(x 2 + cx + դ ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (ա + գ ) X 3 + (բ + Ա գ + դ ) X 2 + (Հայտարարություն + մ.թ.ա ) x++ բդ

Գործակիցները հավասարեցնելով X 3 , X 2 , Xև անվճար պայմաններ, մենք ստանում ենք համակարգը

ա + գ = -1

բ + Ա գ + դ = 0

Հայտարարություն + մ.թ.ա = -7

բդ = -3, որտեղից մենք գտնում ենք.Ա = -2 ; բ = - 1 ;

Հետ = 1 ; դ = 3 .

Այսպիսով X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 կամ X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
ոչ մի արմատ:

Նմանապես, մենք ունենք

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

որտեղ X 2 + 2 X + 5 = 0 , Դ = - 16 < 0 , нет корней.

Պատասխան. X 1,2 =

Խնդիր 6. Լուծե՛ք հավասարումը

= 10.

Լուծում. Այս հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել թվերըԱԵվ բ այնպես որ երկու կոտորակների համարիչները նույնն են։ Այսպիսով, մենք ունենք համակարգ.

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Այսպիսով, խնդիրը թվերը վերցնելն էԱԵվ բ , որի համար հավասարությունը

(ա + 6) X 2 + ա- 5 = X 2 + (5 + 2 բ ) x + բ

Այժմ, ըստ բազմանդամների հավասարության թեորեմի, անհրաժեշտ է, որ այս հավասարության աջ կողմը վերածվի նույն բազմանդամի, որը գտնվում է ձախ կողմում։

Այսինքն՝ հարաբերությունները պետք է պահպանվեն

ա + 6 = 1

Ա = 5 + 2 բ

– 5 = բ , որից գտնում ենք արժեքներըԱ = - 5 ;

բ = - 5 .

Այս արժեքներովԱԵվ բ հավասարություն Ա + բ = - 10-ը նույնպես վավեր է:

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 կամ X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Պատասխան. X 1,2 =
, X 3,4 =

Խնդիր 7. Լուծե՛ք հավասարումը

= 4

Լուծում. Այս հավասարումը ավելի բարդ է, քան նախորդները, ուստի մենք խմբավորում ենք այն այնպես, որ X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Երկու բազմանդամների հավասարության պայմանից

Օ՜ 2 + (ա + 6) X + 12 = X 2 + (բ + 11) x – 3 բ ,

ստանում և լուծում ենք անհայտ գործակիցների հավասարումների համակարգըԱԵվ բ :

Ա = 1

ա + 6 = բ + 11

12 = – 3 բ , որտեղ ա = 1 , բ = - 4 .

Բազմանդամներ - 3 - 6X + cx 2 + 8 cxԵվ X 2 + 21 + 12 դ – dx նույնական են միմյանց հետ միայն այն դեպքում, երբ

Հետ = 1

8 Հետ - 6 = - դ

3 = 21 + 12 դ , Հետ = 1 , դ = - 2 .

Արժեքների համարա = 1 , բ = - 4 , Հետ = 1 , դ = - 2

հավասարություն
= - 4-ը արդար է:

Արդյունքում այս հավասարումը ստանում է հետևյալ ձևը.

= 0 կամ
= 0 կամ
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Դիտարկված օրինակներից պարզ է դառնում, թե ինչպես է անորոշ գործակիցների մեթոդի հմուտ օգտագործումը,

օգնում է պարզեցնել բավականին բարդ, անսովոր հավասարման լուծումը:

2.4. Ֆունկցիոնալ հավասարումներ.

«Մաթեմատիկայի բարձրագույն նպատակը ... բաղկացած է

գտնելու մեջ թաքնված կարգըՎ

քաոս, որը շրջապատում է մեզ

Ն. Վիներ

Ֆունկցիոնալ հավասարումները հավասարումների շատ ընդհանուր դաս են, որոնցում որոշ ֆունկցիաներ ցանկալին են: Ֆունկցիոնալ հավասարումը բառի նեղ իմաստով հասկացվում է որպես հավասարումներ, որոնցում ցանկալի գործառույթները կապված են մեկ կամ մի քանի փոփոխականների հայտնի գործառույթների հետ՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիա ձևավորելու գործողությունը: Ֆունկցիոնալ հավասարումը կարող է դիտվել նաև որպես ֆունկցիաների որոշակի դասի բնութագրող հատկության արտահայտություն

[ օրինակ՝ ֆունկցիոնալ հավասարումը զ ( x ) = զ (- x ) բնութագրում է զույգ ֆունկցիաների դասը, ֆունկցիոնալ հավասարումըզ (x + 1) = զ (x ) 1-ին կետով ֆունկցիաների դասն է և այլն։].

Ամենապարզ ֆունկցիոնալ հավասարումներից մեկը հավասարումն էզ (x + y ) = զ (x ) + զ (y ) Այս ֆունկցիոնալ հավասարման շարունակական լուծումներն ունեն ձև

զ (x ) = Գx . Սակայն ընդհատվող ֆունկցիաների դասում այս ֆունկցիոնալ հավասարումն ունի նաև այլ լուծումներ։ Դիտարկվող ֆունկցիոնալ հավասարումը միացված է

զ (x + y ) = զ (x ) · զ (y ), զ (x y ) = զ (x ) + զ (y ), զ (x y ) = զ (x )· զ (y ),

շարունակական լուծումներ, որոնք, համապատասխանաբար, ունեն ձև

ե cx , ՀԵՏlnx , x α (x > 0).

Այսպիսով, այս ֆունկցիոնալ հավասարումները կարող են ծառայել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և ուժային ֆունկցիաների սահմանմանը:

Առավել լայնորեն կիրառվում են հավասարումները, որոնց բարդ ֆունկցիաներում ցանկալին արտաքին ֆունկցիաներն են։ Տեսական և գործնական կիրառություններ

Հենց այդպիսի հավասարումներն էին, որ դրդեցին ականավոր մաթեմատիկոսներին ուսումնասիրել դրանք:

Օրինակ, ժամըհավասարեցում

զ 2 (x) = զ (x - y)· զ (x + y)

Ն.Ի.Լոբաչևսկիօգտագործվում է նրա երկրաչափության մեջ զուգահեռության անկյունը որոշելիս։

Վերջին տարիներին մաթեմատիկական օլիմպիադաներում բավականին հաճախ են առաջարկվում ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծման հետ կապված խնդիրներ։ Դրանց լուծումը չի պահանջում գիտելիքներ, որոնք դուրս են հանրակրթական դպրոցների մաթեմատիկայի ուսումնական ծրագրի շրջանակներից։ Սակայն ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծումը հաճախ որոշակի դժվարություններ է առաջացնում։

Ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծումներ գտնելու ուղիներից է անորոշ գործակիցների մեթոդը։ Այն կարող է կիրառվել, երբ տեսքըհավասարումներ, կարող եք որոշել ցանկալի ֆունկցիայի ընդհանուր ձևը: Սա առաջին հերթին վերաբերում է այն դեպքերին, երբ հավասարումների լուծումները պետք է փնտրել ամբողջական կամ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների մեջ։

Եկեք բացատրենք այս տեխնիկայի էությունը՝ լուծելով հետևյալ խնդիրները.

Առաջադրանք 8. Գործառույթզ (x ) սահմանվում է բոլոր իրական x-ի համար և բավարարում է բոլորի համարX Ռ վիճակ

3 զ(x) - 2 զ(1- x) = x 2 .

Գտեքզ (x ).

Լուծում. Քանի որ այս հավասարման ձախ կողմում x անկախ փոփոխականի և ֆունկցիայի արժեքների վրազ կատարվում են միայն գծային գործողություններ, իսկ հավասարման աջ կողմը քառակուսի ֆունկցիա է, բնական է ենթադրել, որ ցանկալի ֆունկցիան նույնպես քառակուսի է.

զ (X) = կացին 2 + bx + գ , Որտեղա, բ, գ – որոշվող գործակիցներ, այսինքն՝ չորոշված ​​գործակիցներ:

Ֆունկցիան փոխարինելով հավասարման մեջ՝ մենք հասնում ենք նույնությանը.

3(կացին 2 + bx+գ) – 2(ա(1 – x) 2 + բ(1 – x) + գ) = x 2 .

կացին 2 + (5 բ + 4 ա) x + (գ – 2 ա – 2 բ) = x 2 .

Երկու բազմանդամները նույնականորեն հավասար կլինեն, եթե հավասար են

գործակիցները փոփոխականի նույն հզորությամբ.

ա = 1

5բ + 4ա = 0

գ– 2 ա – 2 բ = 0.

Այս համակարգից մենք գտնում ենք գործակիցները

ա = 1 , բ = - , ք = , Նաևբավարարում էհավասարություն

3 զ (x ) - 2 զ (1- x ) = x 2 բոլոր իրական թվերի բազմության վրա։ Միևնույն ժամանակ կաx 0 Առաջադրանք 9. Գործառույթy=զ(x) բոլորի համար x-ը սահմանված է, շարունակական և բավարարում է պայմանըզ (զ (x)) – զ(x) = 1 + 2 x . Գտեք երկու նման գործառույթ:

Լուծում. Ցանկալի ֆունկցիայի վրա կատարվում է երկու գործողություն՝ բարդ ֆունկցիա կազմելու օպերացիա և

հանում. Հաշվի առնելով, որ հավասարման աջ կողմն է գծային ֆունկցիա, բնական է ենթադրել, որ ցանկալի ֆունկցիան նույնպես գծային է.զ(x) = կացին +բ , ՈրտեղԱ Եվբ չսահմանված գործակիցներ են։ Այս ֆունկցիան փոխարինելովզ (զ ( (x ) = - X - 1 ;

զ 2 (x ) = 2 X+ , որոնք ֆունկցիոնալ հավասարման լուծումներ ենզ (զ (x)) – զ(x) = 1 + 2 x .

Եզրակացություն.

Եզրափակելով, հարկ է նշել, որ այս աշխատությունը անշուշտ կնպաստի բնագրի հետագա ուսումնասիրությանը և արդյունավետ մեթոդլուծել տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնք ավելի բարդ խնդիրներ են և պահանջում են մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի խորը իմացություն և բարձր տրամաբանական մշակույթ: Յուրաքանչյուր ոք, ով ցանկանում է ինքնուրույն խորացնել մաթեմատիկայի իրենց գիտելիքները, այս աշխատանքում կգտնի նաև արտացոլման նյութ և հետաքրքիր խնդիրներ: , որի լուծումը կբերի օգուտ ու գոհունակություն։

Գործող շրջանակներում գործող դպրոցական ծրագիրեւ արդյունավետ ընկալման համար մատչելի ձեւով ներկայացված է անորոշ գործակիցների մեթոդը, որը նպաստում է դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի խորացմանը։

Իհարկե, անորոշ գործակիցների մեթոդի բոլոր հնարավորությունները չեն կարող ցուցադրվել մեկ աշխատանքում։ Փաստորեն, մեթոդը դեռ պահանջում է հետագա ուսումնասիրություն և հետազոտություն:

Օգտագործված գրականության ցանկ.

Glazer G.I. Մաթեմատիկայի պատմությունը դպրոցում:-M.: Կրթություն, 1983 թ.

Գոմոնով Ս.Ա. Ֆունկցիոնալ հավասարումներ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում // Մաթեմատիկա դպրոցում. - 2000 թ. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Ձեռնարկ մաթեմատիկայի վերաբերյալ:- M.: Nauka, 1972 թ.

Կուրոշ Ա.Գ. կամայական աստիճանների հանրահաշվական հավասարումներ.-Մ.: Նաուկա, 1983 թ.

Լիխտարնիկով Լ.Մ. Տարրական ներածություն ֆունկցիոնալ հավասարումների. - Սանկտ Պետերբուրգ. Լան, 1997 թ.

Մանտուրով Օ.Վ., Սոլնցև Յու.Կ., Սորոկին Յու.Ի., Ֆեդին Ն.Գ. Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան.-Մ.: Լուսավորություն, 1971 թ.

Modenov V.P. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ. Գլ.1.-Մ.: Մոսկվայի պետական ​​համալսարան, 1977 թ.

Modenov V.P. Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ:-Մ.: Քննություն, 2006 թ.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Հանրահաշիվ և տարրական գործառույթների վերլուծություն:- M.: Nauka, 1980 թ.

Khaliullin A.A.. Հնարավոր է ավելի հեշտ լուծել // Մաթեմատիկա դպրոցում. – 2003 . - №8 .

Խալիուլլին.

4. Ընդարձակի՛ր 2 բազմանդամըX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 ամբողջ թվային գործակիցներով բազմապատկիչների համար:

5. Ինչ արժեքով Ա X 3 + 6X 2 + Օ՜+ 12-ը X+ 4 ?

6. Պարամետրի ինչ արժեքովԱ հավասարումըX 3 +5 X 2 + + Օ՜ + բ = 0-ն ամբողջ թվով գործակիցներով ունի երկու տարբեր արմատներ, որոնցից մեկը հավասար է 1-ի ?

7. Բազմանդամի արմատներից X 4 + X 3 – 18X 2 + Օ՜ + բ ամբողջ թվային գործակիցներով կան երեք հավասար ամբողջ թվեր: Գտեք արժեքը բ .

8. Գտե՛ք պարամետրի ամենամեծ ամբողջ թիվը Ա,որի ներքո հավասարումը X 3 – 8X 2 + ախ +բ = 0-ն ամբողջ թվով գործակիցներով ունի երեք տարբեր արմատներ, որոնցից մեկը հավասար է 2-ի։

9. Ինչ արժեքներով ԱԵվ բ բաժանում առանց մնացորդի X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Օ՜ + բ վրա X 2 – 3X + 2 ?

10. Գործոնացնել բազմանդամները.

Ա)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 ե)X 4 + 12X – 5

բ)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 է)X 4 – 3X –2 ե)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Լուծե՛ք հավասարումները.

Ա)
= 2 = 2 զ (1 – X ) = X 2 .

Գտեք զ (X) .

13. Գործառույթ ժամը= զ (X) բոլորի համար Xսահմանված է, շարունակական և բավարարում է պայմանը զ ( զ (X)) = զ (X) + X.Գտեք երկու նման գործառույթ: