քառակուսիներ երկրաչափական ձևեր- թվային արժեքներ, որոնք բնութագրում են դրանց չափերը երկչափ տարածության մեջ: Այս արժեքը կարող է չափվել համակարգային և ոչ համակարգային միավորներով: Այսպիսով, օրինակ, տարածքի արտահամակարգային միավորը հարյուրն է, հեկտարը։ Սա այն դեպքն է, եթե չափված մակերեսը հողատարածք է: Տարածքի համակարգի միավորը երկարության քառակուսին է: SI համակարգում ընդունված է համարել, որ հարթ մակերեսի միավոր մակերեսն է քառակուսի մետր. CGS-ում մակերեսի միավորն արտահայտվում է քառակուսի սանտիմետրերով:

Երկրաչափությունը և տարածքի բանաձևերը անքակտելիորեն կապված են: Այս կապը կայանում է նրանում, որ հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկը հիմնված է հենց դրանց կիրառման վրա։ Շատ թվերի համար ստացվում են մի քանի տարբերակներ, որոնց համաձայն հաշվարկվում են դրանց քառակուսի չափերը։ Հիմնվելով խնդրի հայտարարության տվյալների վրա՝ մենք կարող ենք որոշել դրա լուծման ամենապարզ ճանապարհը: Սա հեշտացնում է հաշվարկը և նվազագույնի է հասցնում հաշվարկների սխալների հավանականությունը: Դա անելու համար հաշվի առեք երկրաչափության ֆիգուրների հիմնական տարածքը:

Ցանկացած եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևերը ներկայացված են մի քանի ձևով.

1) Եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է a հիմքից և h բարձրությունից: Հիմքը գործչի այն կողմն է, որի վրա բարձրությունը իջեցված է: Այնուհետև եռանկյան մակերեսը հետևյալն է.

2) Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է ճիշտ նույն կերպ, եթե հիպոթենուսը համարվում է հիմք: Եթե, այնուամենայնիվ, ոտքը վերցված է որպես հիմք, ապա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը հավասար կլինի կիսով չափ կրճատված ոտքերի արտադրյալին:

Ցանկացած եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևերը դրանով չեն ավարտվում: Մեկ այլ արտահայտություն պարունակում է կողմերը a,bև a-ի և b-ի միջև γ անկյան սինուսոիդային ֆունկցիան: Սինուսի արժեքը հայտնաբերված է աղյուսակներում: Այն կարելի է գտնել նաև հաշվիչի միջոցով: Այնուհետև եռանկյան մակերեսը հետևյալն է.

Այս հավասարության համաձայն, կարող եք նաև համոզվել, որ ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը որոշվում է ոտքերի երկարությամբ: Որովհետեւ γ անկյունը ուղիղ անկյուն է, ուստի ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է առանց սինուսի ֆունկցիայի վրա բազմապատկելու:

3) Դիտարկենք հատուկ դեպք՝ կանոնավոր եռանկյուն, որի a կողմը հայտնի է պայմանով կամ կարելի է գտնել դրա երկարությունը լուծելիս: Երկրաչափության խնդրի գործչի մասին ավելին ոչինչ հայտնի չէ: Այդ դեպքում ինչպե՞ս գտնել տարածքը այս վիճակում: Այս դեպքում կիրառվում է կանոնավոր եռանկյունի տարածքի բանաձևը.

Ուղղանկյուն

Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյունի մակերեսը և օգտագործել ընդհանուր գագաթ ունեցող կողմերի չափերը: Հաշվարկի արտահայտությունը հետևյալն է.

Եթե ​​ցանկանում եք օգտագործել անկյունագծերի երկարությունները՝ ուղղանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար, ապա ձեզ անհրաժեշտ է անկյան սինուս ֆունկցիան, որը ձևավորվում է դրանց հատման ժամանակ: Ուղղանկյունի մակերեսի բանաձևը հետևյալն է.

Քառակուսի

Քառակուսու մակերեսը սահմանվում է որպես կողմի երկարության երկրորդ հզորություն.

Ապացույցը բխում է այն սահմանումից, որ ուղղանկյունը կոչվում է քառակուսի։ Քառակուսի կազմող բոլոր կողմերն ունեն նույն չափերը։ Հետևաբար, նման ուղղանկյունի տարածքի հաշվարկը կրճատվում է մինչև մեկը մյուսով բազմապատկելը, այսինքն՝ մինչև կողմի երկրորդ ուժը: Եվ քառակուսու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը կստանա ցանկալի ձևը:

Քառակուսու մակերեսը կարելի է գտնել այլ կերպ, օրինակ, եթե օգտագործում եք անկյունագիծ.

Ինչպե՞ս հաշվարկել այն գործչի մակերեսը, որը ձևավորվում է հարթության մի մասով, որը սահմանափակվում է շրջանակով: Տարածքը հաշվարկելու համար բանաձևերը հետևյալն են.

Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագծի համար բանաձեւը պարունակում է կողմի գծային չափերը, բարձրությունը, իսկ մաթեմատիկական գործողությունը՝ բազմապատկում։ Եթե ​​բարձրությունը անհայտ է, ապա ինչպե՞ս գտնել զուգահեռագծի մակերեսը: Հաշվարկելու մեկ այլ տարբերակ կա. Դա որոշակի արժեք կպահանջի, որը կվերցնի եռանկյունաչափական ֆունկցիահարակից կողմերի կողմից ձևավորված անկյունը, ինչպես նաև դրանց երկարությունը.

Զուգահեռագծի մակերեսի բանաձևերն են.

Ռոմբուս

Ինչպե՞ս գտնել ռոմբ կոչվող քառանկյունի մակերեսը: Ռոմբի մակերեսը որոշվում է շեղանկյուններով պարզ մաթեմատիկական գործողություններ օգտագործելով: Ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ d1 և d2 անկյունագծային հատվածները հատվում են ուղիղ անկյան տակ։ Սինուսների աղյուսակը ցույց է տալիս, որ համար Աջ անկյունըայս ֆունկցիան հավասար է մեկի: Հետևաբար, ռոմբի մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Ռոմբուսի տարածքը կարելի է գտնել նաև այլ կերպ. Դժվար չէ նաև դա ապացուցել՝ հաշվի առնելով, որ դրա կողքերը երկարությամբ նույնն են։ Այնուհետև դրանց արտադրյալը փոխարինեք զուգահեռագրով համանման արտահայտությամբ: Ի վերջո, այս կոնկրետ գործչի հատուկ դեպքը ռոմբն է: Այստեղ γ-ը ռոմբի ներքին անկյունն է: Ռոմբի մակերեսը որոշվում է հետևյալ կերպ.

Trapeze

Ինչպե՞ս գտնել տրապեզոիդի տարածքը հիմքերի միջով (a և b), եթե դրանց երկարությունները նշված են խնդրի մեջ: Այստեղ, առանց բարձրության h երկարության հայտնի արժեքի, հնարավոր չի լինի հաշվարկել նման trapezoid-ի տարածքը: Որովհետեւ այս արժեքը պարունակում է հաշվարկման արտահայտությունը.

Նույն կերպ կարելի է հաշվարկել նաև ուղղանկյուն տրապիզոնի քառակուսի չափը։ Միաժամանակ հաշվի է առնվում, որ ուղղանկյուն տրապիզոիդում համակցված են բարձրություն և կողմ հասկացությունները։ Հետեւաբար, ուղղանկյուն trapezoid- ի համար պետք է նշեք կողմի երկարությունը բարձրության փոխարեն:

Մխոց և զուգահեռական

Մտածեք, թե ինչ է անհրաժեշտ ամբողջ մխոցի մակերեսը հաշվարկելու համար: Այս գործչի տարածքը զույգ շրջանակներ են, որոնք կոչվում են հիմքեր և կողային մակերես. Շրջանակներ կազմող շրջանակներն ունեն r-ի շառավղով երկարություն: Մխոցի մակերեսի համար կատարվում է հետևյալ հաշվարկը.

Ինչպե՞ս գտնել զուգահեռականի տարածքը, որը բաղկացած է երեք զույգ դեմքերից: Դրա չափումները համապատասխանում են որոշակի զույգին: Հակառակ դեմքերն ունեն նույն պարամետրերը: Նախ գտեք S(1), S(2), S(3) - անհավասար դեմքերի քառակուսի չափսեր: Այնուհետև զուգահեռականի մակերեսը.

Մատանի

Ընդհանուր կենտրոնով երկու շրջանակները օղակ են կազմում: Նրանք նաև սահմանափակում են ռինգի տարածքը: Այս դեպքում երկու հաշվարկների բանաձեւերը հաշվի են առնում յուրաքանչյուր շրջանագծի չափերը: Առաջինը, որը հաշվարկում է օղակի տարածքը, պարունակում է ավելի մեծ R և ավելի փոքր r շառավիղներ: Ավելի հաճախ դրանք կոչվում են արտաքին և ներքին: Երկրորդ արտահայտության մեջ օղակի տարածքը հաշվարկվում է ավելի մեծ D և փոքր d տրամագծերի միջոցով: Այսպիսով, ռինգի տարածքը ըստ հայտնի շառավղների հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Օղակի մակերեսը, օգտագործելով տրամագծերի երկարությունները, որոշվում է հետևյալ կերպ.

Բազմանկյուն

Ինչպե՞ս գտնել պոլիգոնի մակերեսը, որի ձևը ճիշտ չէ: Նման թվերի տարածքի ընդհանուր բանաձև չկա: Բայց եթե այն պատկերված է կոորդինատային հարթության վրա, օրինակ, կարելի է վանդակավոր թուղթ, ապա ինչպե՞ս գտնել այս դեպքում մակերեսի մակերեսը։ Այստեղ նրանք օգտագործում են մեթոդ, որը չի պահանջում մոտավորապես չափել գործիչը։ Նրանք դա անում են՝ եթե գտնում են կետեր, որոնք ընկնում են բջջի անկյունում կամ ունեն ամբողջ թվային կոորդինատներ, ապա հաշվի են առնվում միայն դրանք։ Այնուհետև պարզելու համար, թե որն է տարածքը, օգտագործեք Pick-ի կողմից ապացուցված բանաձևը: Պետք է գումարել պոլիգծի ներսում գտնվող կետերի թիվը դրա վրա ընկած կետերի կեսով և հանել մեկը, այսինքն՝ հաշվարկվում է այսպես.

որտեղ C, D - համապատասխանաբար ներսում և ամբողջ պոլիգծի վրա տեղակայված կետերի քանակը:

Հարթության թվերի տարածքի բոլոր բանաձևերը

Հավասարաչափ տրապեզոիդի տարածք

1. Հավասարաչափ տրապիզոնի մակերեսի բանաձևը կողմերի և անկյան առումով

ա - ստորին հիմքը

բ - վերին հիմք

գ - հավասար կողմեր

α - անկյուն ստորին հիմքում

Հավասարաչափ տրապեզոիդի մակերեսի բանաձևը՝ ըստ կողմերի, (S).

Կողմերի և անկյան առումով հավասարաչափ տրապիզոնի մակերեսի բանաձևը (S).

2. Հավասարաչափ տրապեզի մակերեսի բանաձևը ներգծված շրջանագծի շառավղով

R- ներգծված շրջանագծի շառավիղը

D- ներգծված շրջանագծի տրամագիծը

O - մակագրված շրջանագծի կենտրոն

H- trapezoid-ի բարձրությունը

α, β - trapezoid անկյուններ

Հավասարսուռ տրապեզի մակերեսի բանաձևը՝ ներգծված շրջանագծի շառավղով, (S).

ԱՐԴԱՐ, ներգծված շրջանագծի համար հավասարաչափ տրապիզոիդում.

3. Հավասարաչափ տրապեզի մակերեսի բանաձևը անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան առումով

d-շեղանկյուն trapezoid

α, β- անկյունները անկյունագծերի միջև

Հավասարսուռ տրապեզի մակերեսի բանաձևը անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան առումով (S).

4. Միջին գծի, կողային կողմի և հիմքի անկյան միջով հավասարաչափ տրապիզոնի տարածքի բանաձևը

գ- կողմը

m- trapezoid-ի միջին գիծ

α, β - անկյունները հիմքում

Հավասարաչափ տրապիզոիդի մակերեսի բանաձևը միջին գծի, կողային կողմի և հիմքի անկյան առումով.

(S):

5. Հավասարաչափ տրապեզի մակերեսի բանաձևը հիմքերի և բարձրության առումով

ա - ստորին հիմքը

բ - վերին հիմք

h - trapezoid- ի բարձրությունը

Հավասարաչափ տրապեզի մակերեսի բանաձևը հիմքերի և բարձրության առումով (S).

Եռանկյան մակերեսը տրված կողմ և երկու անկյուն, բանաձև.

a, b, c - եռանկյան կողմերը

α, β, γ - հակառակ անկյունները

Եռանկյան մակերեսը մի կողմի և երկու անկյունների միջով (S).

Կանոնավոր բազմանկյունի տարածքի բանաձևը

ա - բազմանկյուն կողմը

n - կողմերի թիվը

Կանոնավոր բազմանկյունի մակերեսը, (S):

Եռանկյան մակերեսի (Հերոնյան) բանաձևը կիսաշրջագծով (S).

Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հետևյալն է.

Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու բանաձևեր.

ա - եռանկյունու կողմը

h - բարձրություն

Ինչպե՞ս հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը:

բ - եռանկյունու հիմքը

ա - հավասար կողմեր

h - բարձրություն

3. Տրապիզոնի մակերեսի բանաձևը չորս կողմերի առումով

ա - ստորին հիմքը

բ - վերին հիմք

գ, դ - կողմերը

Կողմերի և անկյունագծերի վրա տրապեզի շրջագծված շրջանագծի շառավիղը

ա - trapezoid- ի կողմերը

գ - ստորին հիմքը

բ - վերին հիմք

դ - անկյունագծային

h - բարձրություն

Trapezoid-ի շրջագծային շրջանագծի շառավիղի բանաձևը (R)

գտե՛ք հավասարաչափ եռանկյան շրջագծի շառավիղը կողմերի երկայնքով

Իմանալով հավասարաչափ եռանկյան կողմերը՝ կարող եք բանաձևով գտնել այս եռանկյան շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը։

a, b - եռանկյունու կողմերը

Հավասարաչափ եռանկյան շրջագծի շառավիղը (R).

Վեցանկյունի մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը

ա - վեցանկյան կողմը

Վեցանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, (r):

Ռոմբի մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը

r - ներգծված շրջանագծի շառավիղը

ա - ռոմբի կողմը

D, d - անկյունագծեր

h - ադամանդի բարձրությունը

Արձանագրված շրջանագծի շառավիղը հավասարաչափ տրապիզոիդում

գ - ստորին հիմք

բ - վերին հիմք

ա - կողմերը

h - բարձրություն

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը

a, b - եռանկյունու ոտքեր

գ - հիպոթենուզա

Հավասարաչափ եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը

a, b - եռանկյունու կողմերը

Ապացուցեք, որ մակագրված քառանկյան մակերեսն է

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, իսկ a, b, c և d-ը քառանկյան կողմերն են:

Ապացուցեք, որ շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսը հավասար է

1/2 (ab + cb) sin α, որտեղ a, b, c և d քառանկյան կողմերն են, իսկ α-ն անկյունն է a և b կողմերի միջև:

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β): - Կարդալ ավելին FB.ru կայքում.

Կամայական քառանկյունի մակերեսը (Նկար 1.13) կարող է արտահայտվել նրա a, b, c կողմերի և մի զույգ հակադիր անկյունների գումարով.

որտեղ p քառանկյան կիսաշրջագիծն է:

Շրջանակով ներգծված քառանկյան մակերեսը () (Նկար 1.14, ա) հաշվարկվում է Բրահմագուպտայի բանաձևով

եւ նկարագրված (նկ. 1.14, բ) () - ըստ բանաձեւի

Եթե ​​քառանկյունը մակագրված և նկարագրված է միաժամանակ (նկ. 1.14, գ), ապա բանաձևը դառնում է բավականին պարզ.

Պիկ բանաձեւ

Վանդակավոր թղթի վրա բազմանկյունի տարածքը գնահատելու համար բավական է հաշվարկել, թե քանի բջիջ է ծածկում այս բազմանկյունը (բջջի տարածքը վերցնում ենք որպես միավոր): Ավելի ճիշտ, եթե S-ը բազմանկյունի տարածքն է, ապա այն բջիջների թիվն է, որոնք ամբողջությամբ գտնվում են պոլիգոնի ներսում, և այն բջիջների թիվն է, որոնք ունեն առնվազն մեկ ընդհանուր կետ պոլիգոնի ինտերիերի հետ:

Ստորև մենք կքննարկենք միայն այնպիսի բազմանկյուններ, որոնց բոլոր գագաթները գտնվում են հանգույցներում վանդակավոր թուղթ- նրանցում, որտեղ ցանցի գծերը հատվում են: Ստացվում է, որ նման բազմանկյունների համար կարող եք նշել հետևյալ բանաձևը.

որտեղ է տարածքը, r-ն այն հանգույցների թիվն է, որոնք գտնվում են խիստ պոլիգոնի ներսում:

Այս բանաձևը կոչվում է «Պիկ բանաձև» այն մաթեմատիկոսի անունով, ով հայտնաբերեց այն 1899 թ.

Համացանցում կարելի է գտնել եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու ավելի քան 10 բանաձև, որոնցից շատերն օգտագործվում են եռանկյան հայտնի կողմերի և անկյունների հետ կապված խնդիրների դեպքում: Այնուամենայնիվ, կան մի շարք դժվար օրինակներորտեղ, ըստ հանձնարարության պայմանի, հայտնի են եռանկյան միայն մեկ կողմն ու անկյունները, կամ շրջագծված կամ ներգծված շրջանագծի շառավիղը և ևս մեկ հատկանիշ։ Նման դեպքերում պարզ բանաձեւ չի կարող կիրառվել.

Ստորև բերված բանաձևերը կլուծեն այն խնդիրների 95 տոկոսը, որոնցում անհրաժեշտ է գտնել եռանկյունու մակերեսը:
Անցնենք ընդհանուր տարածքի բանաձևերի քննարկմանը:
Դիտարկենք ստորև բերված նկարում պատկերված եռանկյունը

Նկարում և հետագայում բանաձևերում ներկայացված են նրա բոլոր բնութագրերի դասական նշանակումները
a,b,c եռանկյան կողմերն են,
R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է,
r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է,
h[b],h[a],h[c] - a,b,c կողմերին համապատասխան գծված բարձրություններ:
ալֆա, բետա, համմա - գագաթների մոտ գտնվող անկյուններ:

Եռանկյունի տարածքի հիմնական բանաձևերը

1. Մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի և այս կողմ իջեցված բարձրության արտադրյալի կեսին: Բանաձևի լեզվով այս սահմանումը կարելի է գրել այսպես

Այսպիսով, եթե կողմն ու բարձրությունը հայտնի են, ապա յուրաքանչյուր ուսանող կգտնի տարածքը:
Ի դեպ, այս բանաձևից կարելի է ստանալ մեկ օգտակար հարաբերություն բարձրությունների միջև

2. Եթե հաշվի առնենք, որ հարակից կողմով եռանկյան բարձրությունը արտահայտվում է կախվածությամբ.

Այնուհետև տարածքի առաջին բանաձևից հետևեք երկրորդի նույն տիպին

Ուշադիր նայեք բանաձևերին. դրանք հեշտ է հիշել, քանի որ աշխատանքն ունի երկու կողմ և նրանց միջև անկյուն: Եթե ​​մենք ճիշտ նշանակենք եռանկյան կողմերն ու անկյունները (ինչպես վերը նշված նկարում), ապա կստանանք երկու կողմեր ​​a, b. իսկ անկյունը կապված է երրորդի հետ C (համմա):

3. Եռանկյան անկյունների համար կապը

Կախվածությունը թույլ է տալիս հաշվարկներում կիրառել հետևյալ բանաձևերը եռանկյունի տարածքի համար

Այս կախվածության օրինակները չափազանց հազվադեպ են, բայց պետք է հիշել, որ կա նման բանաձև.

4. Եթե կողմն ու երկու հարակից անկյունները հայտնի են, ապա մակերեսը գտնում ենք բանաձեւով

5. Տարածքի բանաձևը կողմի և հարակից անկյունների կոտանգենսի առումով հետևյալն է.

Ինդեքսները վերադասավորելով՝ կարող եք կախվածություն ստանալ մյուս կողմերի համար։

6. Ստորև բերված տարածքի բանաձևը օգտագործվում է առաջադրանքներում, երբ եռանկյան գագաթները տրված են հարթության վրա կոորդինատներով: Այս դեպքում տարածքը հավասար է մոդուլային որոշիչի կեսին:

7. Հերոնի բանաձեւըօգտագործվում է եռանկյան հայտնի կողմերով օրինակներում:
Նախ գտե՛ք եռանկյան կիսաշրջագիծը

Եվ հետո որոշեք տարածքը բանաձևով

կամ

Այն հաճախ օգտագործվում է հաշվիչ ծրագրերի կոդում։

8. Եթե հայտնի են եռանկյան բոլոր բարձրությունները, ապա մակերեսը որոշվում է բանաձեւով

Հաշվիչի վրա դժվար է հաշվարկել, սակայն MathCad, Mathematica, Maple փաթեթներում տարածքը «մեկ երկու» է։

9. Հետևյալ բանաձևերում օգտագործվում են ներգծված և շրջագծված շրջանագծերի հայտնի շառավիղները:

Մասնավորապես, եթե հայտնի են եռանկյան շառավիղը և կողմերը կամ նրա պարագիծը, ապա մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

10. Օրինակներում, որտեղ տրված են շրջագծված շրջանագծի կողմերը և շառավիղը կամ տրամագիծը, տարածքը գտնում ենք բանաձևով.

11. Հետևյալ բանաձևը որոշում է եռանկյան մակերեսը եռանկյան կողմի և անկյունների առումով:

Եվ վերջապես, հատուկ դեպքեր.
Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը a և b ոտքերով հավասար է դրանց արտադրյալի կեսին

Հավասարակողմ (կանոնավոր) եռանկյան մակերեսի բանաձևը=

\u003d կողմի քառակուսու և երեքի արմատի արտադրյալի մեկ չորրորդը:

Երկրաչափական տարածք- երկրաչափական գործչի թվային բնութագիրը, որը ցույց է տալիս այս գործչի չափը (մակերեսի մի մասը, որը սահմանափակված է այս նկարի փակ եզրագծով): Տարածքի չափը արտահայտվում է դրանում պարունակվող քառակուսի միավորների քանակով։

Եռանկյունի տարածքի բանաձևեր

1. Եռանկյունի տարածքի բանաձևը կողմի և բարձրության համար
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կողմի երկարության և այս կողմի բարձրության երկարության արտադրյալի կեսին
   
2. Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերին և շրջագծված շրջանագծի շառավղին
   
3. Եռանկյունի մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերով և ներգծված շրջանագծի շառավղով
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կիսաշրջագծի և ներգծված շրջանագծի շառավիղի արտադրյալին։
   
որտեղ S-ը եռանկյան մակերեսն է,
- եռանկյան կողմերի երկարությունները,
- եռանկյունու բարձրությունը,
- կողմերի միջև եղած անկյունը,
- ներգծված շրջանագծի շառավիղը,
R - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը,

Քառակուսի տարածքի բանաձևեր

1. Քառակուսու մակերեսի բանաձևը, որը տրված է կողմի երկարությանը
   քառակուսի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսուն։
2. Քառակուսու մակերեսի բանաձևը, հաշվի առնելով անկյունագծի երկարությունը
   քառակուսի տարածքհավասար է իր անկյունագծի երկարության քառակուսու կեսին:
   

   S=	1	2
   	2

որտեղ S-ը քառակուսու մակերեսն է,
քառակուսու կողմի երկարությունն է,
քառակուսու շեղանկյունի երկարությունն է։

Ուղղանկյուն տարածքի բանաձևը

Ուղղանկյունի տարածքհավասար է նրա երկու հարակից կողմերի երկարությունների արտադրյալին

որտեղ S-ն ուղղանկյան մակերեսն է,
ուղղանկյան կողմերի երկարություններն են:

Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևեր

1. Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը կողմի երկարության և բարձրության համար
   Զուգահեռագծի տարածք
2. Զուգահեռագծի մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին
   Զուգահեռագծի տարածքհավասար է նրա կողմերի երկարությունների արտադրյալին՝ բազմապատկած նրանց միջև անկյան սինուսով։
   

   a b sinα

որտեղ S-ը զուգահեռագծի մակերեսն է,
զուգահեռագծի կողմերի երկարություններն են,
զուգահեռագծի բարձրությունն է,
զուգահեռագծի կողմերի միջև եղած անկյունն է:

Ռոմբի մակերեսի բանաձևեր

1. Ռոմբի տարածքի բանաձևը, որը տրված է կողմի երկարությանը և բարձրությանը
   Ռոմբի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության և այս կողմ իջեցված բարձրության երկարության արտադրյալին։
2. Ռոմբի մակերեսի բանաձևը՝ հաշվի առնելով կողմի երկարությունը և անկյունը
   Ռոմբի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսու և ռոմբի կողմերի միջև անկյան սինուսի արտադրյալին։
3. Ռոմբի մակերեսի բանաձևը նրա անկյունագծերի երկարություններից
   Ռոմբի տարածքհավասար է նրա անկյունագծերի երկարությունների արտադրյալի կեսին։
որտեղ S-ը ռոմբի մակերեսն է,
- ռոմբի կողմի երկարությունը,
- ռոմբի բարձրության երկարությունը,
- ռոմբի կողմերի միջև եղած անկյունը,
1, 2 - անկյունագծերի երկարությունները:

Trapezium տարածքի բանաձեւեր

1. Հերոնի բանաձևը trapezoid-ի համար

   Որտեղ S-ը trapezoid-ի մակերեսն է,
   - trapezoid-ի հիմքերի երկարությունը,
   - trapezoid-ի կողմերի երկարությունը,
   

Երկրաչափության խնդիրները լուծելու համար դուք պետք է իմանաք բանաձևեր, ինչպիսիք են եռանկյան մակերեսը կամ զուգահեռագծի մակերեսը, ինչպես նաև պարզ հնարքներորի մասին կխոսենք։

Նախ, եկեք սովորենք թվերի տարածքների բանաձևերը: Մենք դրանք հատուկ հավաքել ենք հարմար սեղանի մեջ։ Տպե՛ք, սովորե՛ք և կիրառե՛ք:

Իհարկե, ոչ բոլոր երկրաչափական բանաձեւերն են մեր աղյուսակում: Օրինակ՝ երկրորդ մասում երկրաչափության և կարծրամետրիայի խնդիրներ լուծել պրոֆիլի քննությունՄաթեմատիկայի մեջ օգտագործվում են նաև եռանկյունի մակերեսի այլ բանաձևեր: Մենք ձեզ անպայման կպատմենք դրանց մասին։

Բայց ի՞նչ, եթե ձեզ հարկավոր է գտնել ոչ թե տրապեզոիդի կամ եռանկյունու տարածք, այլ ինչ-որ բարդ գործչի տարածք: Ուտել ունիվերսալ ուղիներ! Մենք նրանց ցույց կտանք՝ օգտագործելով FIPI առաջադրանքների բանկի օրինակները:

1. Ինչպե՞ս գտնել ոչ ստանդարտ գործչի մակերեսը: Օրինակ՝ կամայական քառանկյունի՞։ Պարզ տեխնիկա. եկեք այս թվերը բաժանենք նրանց, որոնց մասին մենք բոլորս գիտենք, և գտնենք դրա տարածքը որպես այս թվերի տարածքների գումար:

Այս քառանկյունը հորիզոնական գծով բաժանեք երկու եռանկյունների, որոնց ընդհանուր հիմքը հավասար է . Այս եռանկյունների բարձրությունները հավասար են և . Այնուհետև քառանկյունի մակերեսը հավասար է երկու եռանկյունների մակերեսների գումարին.

Պատասխան.

2. Որոշ դեպքերում, գործչի տարածքը կարող է ներկայացվել որպես ցանկացած տարածքների տարբերություն:

Այնքան էլ հեշտ չէ հաշվարկել, թե ինչի են հավասար այս եռանկյան հիմքը և բարձրությունը։ Բայց կարող ենք ասել, որ նրա մակերեսը հավասար է կողմ և երեք ուղղանկյուն եռանկյուն ունեցող քառակուսու մակերեսների տարբերությանը։ Տեսնու՞մ եք նրանց նկարում: Մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

3. Երբեմն առաջադրանքում անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գործչի, այլ նրա մասի մակերեսը։ Սովորաբար մենք խոսում ենք հատվածի մակերեսի մասին՝ շրջանագծի մասի մասին։ Գտե՛ք շառավղով շրջանագծի հատվածի մակերեսը, որի աղեղի երկարությունը հավասար է։

Այս նկարում մենք տեսնում ենք շրջանագծի մի մասը: Ամբողջ շրջանի մակերեսը հավասար է, քանի որ. Մնում է պարզել, թե շրջանագծի որ հատվածն է պատկերված։ Քանի որ ամբողջ շրջանի երկարությունը (սկսած), և այս հատվածի աղեղի երկարությունը հավասար է, հետևաբար, աղեղի երկարությունը մի քանի անգամ պակաս է ամբողջ շրջանի երկարությունից: Անկյունը, որի վրա հենվում է այս աղեղը, նույնպես մեկ անգամ փոքր է ամբողջական շրջանից (այսինքն՝ աստիճաններից): Սա նշանակում է, որ հատվածի տարածքը մի քանի անգամ պակաս կլինի ամբողջ շրջանի տարածքից: