Ներածություն

Լոգարիթմները հորինվել են հաշվարկներն արագացնելու և պարզեցնելու համար։ Լոգարիթմի գաղափարը, այսինքն՝ թվերը որպես նույն հիմքի ուժ արտահայտելու գաղափարը պատկանում է Միխայիլ Շտիֆելին։ Բայց Շտիֆելի ժամանակ մաթեմատիկան այնքան էլ զարգացած չէր, և լոգարիթմի գաղափարը չգտավ իր զարգացումը: Լոգարիթմները հետագայում միաժամանակ և անկախ հորինվել են շոտլանդացի գիտնական Ջոն Նապիերի (1550-1617) և շվեյցարացի Ջոբսթ Բուրգիի (1552-1632) կողմից:Նապիերն առաջինն է, ով հրատարակել է աշխատանքը 1614 թվականին: «Լոգարիթմների զարմանահրաշ աղյուսակի նկարագրությունը» վերնագրված, Նապիերի լոգարիթմների տեսությունը տրվել է բավականին ամբողջական ծավալով, լոգարիթմների հաշվարկման մեթոդը տրվել է ամենապարզ ձևով, հետևաբար Նապիերի արժանիքները լոգարիթմների գյուտի մեջ ավելի մեծ են, քան Բուրգիինը։ Բուրգին աշխատել է սեղանների վրա Նապիերի հետ միաժամանակ, բայց երկար ժամանակովգաղտնի պահեց դրանք և հրապարակեց միայն 1620 թ. Նապիերը յուրացրել է լոգարիթմի գաղափարը մոտ 1594 թվականին։ չնայած աղյուսակները հրապարակվել են 20 տարի անց։ Սկզբում նա իր լոգարիթմներն անվանեց «արհեստական ​​թվեր» և միայն հետո առաջարկեց այդ «արհեստական ​​թվերը» անվանել մեկ բառով «լոգարիթմ», որը հունարենում «կապված թվեր» է՝ վերցված մեկը թվաբանական պրոգրեսիայից, իսկ մյուսը՝ դրա համար հատուկ ընտրված երկրաչափական պրոգրեսիա։ Ռուսերեն առաջին աղյուսակները հրապարակվել են 1703 թվականին։ 18-րդ դարի նշանավոր ուսուցչի մասնակցությամբ։ L. F. Magnitsky. Լոգարիթմների տեսության զարգացման գործում մեծ նշանակություն է ունեցել Պետերբուրգի ակադեմիկոս Լեոնարդ Էյլերի աշխատանքը։ Նա առաջինն էր, ով համարեց լոգարիթմը որպես հզորության հակադարձ, նա ներմուծեց «լոգարիթմի հիմք» և «մանտիսա» տերմինները: Բրիգսը կազմել է լոգարիթմների աղյուսակներ 10 հիմքով: Տասնորդական աղյուսակներն ավելի հարմար են գործնական օգտագործման համար, դրանց տեսությունն ավելի պարզ է, քան Նապիերի լոգարիթմներից։ Հետեւաբար, տասնորդական լոգարիթմները երբեմն կոչվում են բրիգեր: «Բնութագիր» տերմինը ներմուծել է Բրիգսը։

Այն հեռավոր ժամանակներում, երբ իմաստունները առաջին անգամ սկսեցին մտածել անհայտ քանակություններ պարունակող հավասարությունների մասին, հավանաբար դեռ մետաղադրամներ կամ դրամապանակներ չկային։ Բայց մյուս կողմից կային կույտեր, ինչպես նաև կաթսաներ, զամբյուղներ, որոնք կատարյալ էին անհայտ քանակությամբ իրեր պարունակող պահոց-խանութների դերի համար։ Միջագետքի, Հնդկաստանի, Չինաստանի, Հունաստանի հնագույն մաթեմատիկական խնդիրներում անհայտ քանակություններն արտահայտել են այգում սիրամարգերի թիվը, նախիրում ցլերի թիվը, գույքը բաժանելիս հաշվի առնված իրերի ամբողջությունը։ Դպիրները, պաշտոնյաները և քահանաները, որոնք ձեռք են բերել գաղտնի գիտելիքներ, լավ պատրաստված հաշվելու գիտության մեջ, բավականին հաջողությամբ են գլուխ հանում նման խնդիրներից:

Մեզ հասած աղբյուրները ցույց են տալիս, որ հնագույն գիտնականները պատկանում էին որոշներին ընդհանուր հնարքներանհայտ քանակներով խնդիրների լուծում. Այնուամենայնիվ, ոչ մի պապիրուս, ոչ մի կավե պլանշետ չի տալիս այս տեխնիկայի նկարագրությունը: Հեղինակները միայն երբեմն տրամադրում էին իրենց թվային հաշվարկները միջին մեկնաբանություններով, ինչպիսիք են՝ «Նայի՛ր», «Արա՛», «Ճիշտ ես գտել»: Այս առումով բացառություն է կազմում հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտ Ալեքսանդրացու «Թվաբանությունը» (III դար)՝ դրանց լուծումների համակարգված ներկայացմամբ հավասարումներ կազմելու խնդիրների հավաքածու։

Սակայն 9-րդ դարի բաղդադագետի աշխատանքը դարձավ խնդիրների լուծման առաջին ձեռնարկը, որը լայն ճանաչում գտավ։ Մուհամմադ բին Մուսա ալ-Խվարիզմի. «Ալ-Ջաբր» բառը այս տրակտատի արաբերեն վերնագրից՝ «Kitab al-jaber wal-muqabala» («Վերականգնման և հակադրման գիրք») ժամանակի ընթացքում վերածվեց բոլորին հայտնի «հանրահաշվ» բառի, և Ալ-Խվարեզմիի աշխատանքն ինքնին ելակետ հանդիսացավ հավասարումների լուծման գիտության զարգացման մեջ:

Լոգարիթմական հավասարումներև անհավասարություններ

1. Լոգարիթմական հավասարումներ

Լոգարիթմի նշանի տակ կամ հիմքում անհայտ պարունակող հավասարումը կոչվում է լոգարիթմական հավասարում։

Ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը ձևի հավասարումն է

գերան ա x = բ . (1)

Հայտարարություն 1. Եթե ա > 0, ա≠ 1, հավասարումը (1) ցանկացած իրականի համար բունի միակ լուծումը x = ա բ .

Օրինակ 1. Լուծել հավասարումներ.

ա) մատյան 2 x= 3, բ) մատյան 3 x= -1, գ)

Լուծում. Օգտագործելով 1-ին հայտարարությունը՝ մենք ստանում ենք ա) x= 2 3 կամ x= 8; բ) x= 3 -1 կամ x= 1/3; գ)

Ներկայացնում ենք լոգարիթմի հիմնական հատկությունները.

P1. Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Որտեղ ա > 0, ա≠ 1 և բ > 0.

R2. Դրական գործոնների արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է այս գործոնների լոգարիթմների գումարին.

գերան ա Ն 1 · Ն 2 = գերան ա Ն 1 + գերան ա Ն 2 (ա > 0, ա ≠ 1, Ն 1 > 0, Ն 2 > 0).

Մեկնաբանություն. Եթե Ն 1 · Ն 2 > 0, ապա P2 հատկությունը ստանում է ձև

գերան ա Ն 1 · Ն 2 = գերան ա |Ն 1 | +log ա |Ն 2 | (ա > 0, ա ≠ 1, Ն 1 · Ն 2 > 0).

P3. Երկու դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը.

Մեկնաբանություն. Եթե

P4. Դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այս թվի ցուցիչի և լոգարիթմի արտադրյալին.

գերան ա Ն կ = կգերան ա Ն (ա > 0, ա ≠ 1, Ն > 0).

Մեկնաբանություն. Եթե կ- զույգ թիվ ( կ = 2ս), դա

գերան ա Ն 2ս = 2սգերան ա |Ն | (ա > 0, ա ≠ 1, Ն ≠ 0).

P5. Մեկ այլ բազա տեղափոխվելու բանաձևը հետևյալն է.

մասնավորապես, եթե Ն = բ, ստանում ենք

Օգտագործելով P4 և P5 հատկությունները, հեշտ է ստանալ հետևյալ հատկությունները

և եթե (5) գ- զույգ թիվ ( գ = 2n), տեղի է ունենում

Մենք թվարկում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները զ (x) = գերան ա x :

1. Լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթը դրական թվերի բազմությունն է։

2. Լոգարիթմական ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը իրական թվերի բազմությունն է:

3. Երբ ա> 1 լոգարիթմական ֆունկցիան խիստ աճում է (0< x 1 < x 2 մատյան ա x 1 < logա x 2), իսկ 0-ում< ա < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 մատյան ա x 1 > մատյան ա x 2).

4 մատյան ա 1 = 0 և գրանցամատյան ա ա = 1 (ա > 0, ա ≠ 1).

5. Եթե ա> 1, ապա լոգարիթմական ֆունկցիան բացասական է x(0;1) և դրական է x(1;+∞), իսկ եթե 0< ա < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) և բացասական է x (1;+∞).

6. Եթե ա> 1, ապա լոգարիթմական ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի վեր, և եթե ա(0;1) - ուռուցիկ ներքեւ:

Հետևյալ պնդումները (տե՛ս, օրինակ, ) օգտագործվում են լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս.

Մենք բոլորս ծանոթ ենք հավասարումների: տարրական դպրոց. Նույնիսկ այնտեղ մենք սովորեցինք լուծել ամենապարզ օրինակները, և պետք է խոստովանել, որ դրանք իրենց կիրառությունը գտնում են նույնիսկ բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ։ Ամեն ինչ պարզ է հավասարումների հետ, ներառյալ քառակուսիները: Եթե ​​այս թեմայի հետ կապված խնդիրներ ունեք, խորհուրդ ենք տալիս նորից փորձել:

Լոգարիթմներ, հավանաբար, դուք նույնպես արդեն անցել եք: Այդուհանդերձ, կարևոր ենք համարում ասել, թե ինչ է դա նրանց համար, ովքեր դեռ չգիտեն։ Լոգարիթմը հավասար է այն հզորությանը, որով հիմքը պետք է բարձրացվի լոգարիթմի նշանից աջ համարը ստանալու համար: Բերենք մի օրինակ, որի հիման վրա ձեզ ամեն ինչ պարզ կդառնա։

Եթե ​​3-ը բարձրացնեք չորրորդ աստիճանի, կստանաք 81: Այժմ թվերը փոխարինեք անալոգիայով և վերջապես կհասկանաք, թե ինչպես են լուծվում լոգարիթմները: Այժմ մնում է միայն համատեղել երկու դիտարկված հասկացությունները։ Ի սկզբանե իրավիճակը չափազանց բարդ է թվում, բայց ավելի ուշադիր ուսումնասիրելուց հետո քաշն իր տեղն է ընկնում։ Համոզված ենք, որ այս կարճ հոդվածից հետո քննության այս հատվածում խնդիրներ չեք ունենա։

Այսօր նման կառույցները լուծելու բազմաթիվ ուղիներ կան։ Մենք կխոսենք USE առաջադրանքների դեպքում ամենապարզ, ամենաարդյունավետ և կիրառելի մասին: Լոգարիթմական հավասարումների լուծումը պետք է սկսել հենց սկզբից։ պարզ օրինակ. Ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումները բաղկացած են ֆունկցիայից և նրանում մեկ փոփոխականից։

Կարևոր է նշել, որ x-ը արգումենտի ներսում է: A և b-ը պետք է թվեր լինեն: Այս դեպքում դուք կարող եք պարզապես ֆունկցիան արտահայտել հզորության մեջ թվով: Կարծես սա է.

Իհարկե, այս կերպ լոգարիթմական հավասարումը լուծելը ձեզ կհանգեցնի ճիշտ պատասխանին: Բայց ուսանողների ճնշող մեծամասնության խնդիրն այս դեպքում այն ​​է, որ նրանք չեն հասկանում, թե դա ինչից և որտեղից է գալիս։ Արդյունքում պետք է համակերպվել սխալների հետ ու չստանալ ցանկալի միավորները։ Ամենավիրավորական սխալը կլինի, եթե տառերը տեղ-տեղ խառնեք: Այս ձևով հավասարումը լուծելու համար հարկավոր է անգիր սովորել այս ստանդարտ դպրոցական բանաձևը, քանի որ դժվար է այն հասկանալ:

Դա հեշտացնելու համար կարող եք դիմել մեկ այլ մեթոդի՝ կանոնական ձևի: Գաղափարը չափազանց պարզ է. Նորից ուշադրություն դարձրեք առաջադրանքին. Հիշեք, որ a տառը թիվ է, այլ ոչ թե ֆունկցիա կամ փոփոխական: A-ն հավասար չէ մեկի և մեծ է զրոյից: Բ-ի նկատմամբ սահմանափակումներ չկան. Այժմ բոլոր բանաձեւերից մենք հիշում ենք մեկը. B-ն կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Սրանից հետևում է, որ լոգարիթմներով բոլոր սկզբնական հավասարումները կարող են ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Այժմ մենք կարող ենք հրաժարվել լոգարիթմներից: Պարզվում է պարզ դիզայն, որը մենք նախկինում տեսել ենք։

Այս բանաձևի հարմարավետությունը կայանում է նրանում, որ այն կարող է օգտագործվել տարբեր դեպքերում, և ոչ միայն ամենապարզ դիզայնի համար:

Մի անհանգստացեք OOF-ի համար:

Շատ փորձառու մաթեմատիկոսներ կնկատեն, որ մենք ուշադրություն չենք դարձրել սահմանման տիրույթին։ Կանոնը հանգում է նրան, որ F(x)-ն անպայմանորեն մեծ է 0-ից: Ոչ, մենք այս կետը բաց չենք թողել: Այժմ խոսքը կանոնական ձեւի մեկ այլ լուրջ առավելության մասին է.

Այստեղ ավելորդ արմատներ չեն լինի: Եթե ​​փոփոխականը կհայտնվի միայն մեկ տեղում, ապա շրջանակն անհրաժեշտ չէ: Այն աշխատում է ավտոմատ կերպով: Այս դատողությունը ստուգելու համար հաշվի առեք մի քանի պարզ օրինակներ:

Ինչպես լուծել լոգարիթմական հավասարումներ տարբեր հիմքերով

Սրանք արդեն բարդ լոգարիթմական հավասարումներ են, և դրանց լուծման մոտեցումը պետք է լինի հատուկ: Այստեղ հազվադեպ է հնարավոր սահմանափակվել տխրահռչակ կանոնական ձևով: Սկսենք մեր մանրամասն պատմություն. Մենք ունենք հետևյալ շինարարությունը.

Ուշադրություն դարձրեք կոտորակին. Այն պարունակում է լոգարիթմ: Եթե ​​առաջադրանքում սա տեսնում եք, արժե հիշել մեկ հետաքրքիր հնարք.

Ինչ է դա նշանակում? Յուրաքանչյուր լոգարիթմ կարող է արտահայտվել որպես հարմար հիմք ունեցող երկու լոգարիթմների քանորդ: Եվ այս բանաձևն ունի հատուկ դեպք, որը կիրառելի է այս օրինակի համար (նկատի ունենք, եթե c=b):

Սա հենց այն է, ինչ մենք տեսնում ենք մեր օրինակում: Այսպիսով.

Փաստորեն, կոտորակը շուռ տվեցին ու ավելի հարմար արտահայտություն ստացան։ Հիշեք այս ալգորիթմը.

Այժմ մեզ անհրաժեշտ է, որ լոգարիթմական հավասարումը տարբեր հիմքեր չպարունակի: Ներկայացնենք հիմքը որպես կոտորակ:

Մաթեմատիկայի մեջ կա մի կանոն, որի հիման վրա կարելի է աստիճանը հանել հիմքից։ Ստացվում է հետեւյալ շինարարությունը.

Թվում է, թե հիմա ի՞նչն է մեզ խանգարում մեր արտահայտությունը վերածել կանոնական ձևի և տարրականորեն լուծել այն։ Ոչ այնքան պարզ: Լոգարիթմից առաջ կոտորակներ չպետք է լինեն: Եկեք շտկենք այս իրավիճակը: Կոտորակը թույլատրվում է հանել որպես աստիճան։

Համապատասխանաբար.

Եթե ​​հիմքերը նույնն են, մենք կարող ենք հեռացնել լոգարիթմները և նույնացնել արտահայտությունները: Այսպիսով, իրավիճակը շատ անգամ ավելի հեշտ կդառնա, քան եղել է։ Կլինի տարրական հավասարում, որը մեզանից յուրաքանչյուրը գիտեր լուծել դեռ 8-րդ կամ նույնիսկ 7-րդ դասարանում: Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հաշվարկները:

Մենք ստացանք այս լոգարիթմական հավասարման միակ ճշմարիտ արմատը: Լոգարիթմական հավասարումների լուծման օրինակները բավականին պարզ են, չէ՞: Այժմ դուք կկարողանաք ինքնուրույն գործ ունենալ նույնիսկ ամենաշատի հետ դժվար առաջադրանքներքննության նախապատրաստման և հանձնման համար.

Ի՞նչ է ստացվում:

Ցանկացած լոգարիթմական հավասարումների դեպքում մենք սկսում ենք շատից կարևոր կանոն. Պետք է գործել այնպես, որ արտահայտությունը հասցվի առավելագույնի պարզ տեսարան. Այս դեպքում դուք ավելի շատ շանսեր կունենաք ոչ միայն խնդիրը ճիշտ լուծելու, այլեւ դա անելու ամենապարզ ու տրամաբանական եղանակով։ Այդպես են միշտ աշխատում մաթեմատիկոսները։

Մենք կտրականապես խորհուրդ չենք տալիս դժվար ճանապարհներ փնտրել, հատկապես այս դեպքում: Հիշեք մի քանի պարզ կանոններ, որոնք թույլ կտան վերափոխել ցանկացած արտահայտություն։ Օրինակ, բերեք երկու կամ երեք լոգարիթմ նույն հիմքի վրա, կամ հիմքից վերցրեք հզորություն և շահեք դրա վրա:

Հարկ է նաև հիշել, որ լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս պետք է անընդհատ մարզվել։ Աստիճանաբար դուք կանցնեք ավելի ու ավելի բարդ կառույցների, և դա կհանգեցնի ձեզ վստահորեն լուծելու քննության խնդիրների բոլոր տարբերակները: Նախապես պատրաստվեք ձեր քննություններին և հաջողություն:

Լոգարիթմական հավասարումների լուծում. Մաս 1.

Լոգարիթմական հավասարումկոչվում է հավասարում, որում անհայտը պարունակվում է լոգարիթմի նշանի տակ (մասնավորապես՝ լոգարիթմի հիմքում):

Նախակենդանիներ լոգարիթմական հավասարումնման է:

Ցանկացած լոգարիթմական հավասարման լուծումներառում է լոգարիթմներից անցում դեպի արտահայտություններ լոգարիթմների նշանի տակ: Այնուամենայնիվ, այս գործողությունը ընդլայնում է շրջանակը թույլատրելի արժեքներհավասարումներ և կարող են հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացման: Խուսափելու կողմնակի արմատների տեսքիցդուք կարող եք դա անել երեք եղանակներից մեկով.

1. Կատարեք համարժեք անցումսկզբնական հավասարումից մինչև համակարգ, ներառյալ

կախված նրանից, թե որ անհավասարությունն է, թե ավելի հեշտ:

Եթե ​​հավասարումը պարունակում է անհայտ լոգարիթմի հիմքում.

այնուհետև մենք գնում ենք համակարգ.

2. Առանձին-առանձին գտեք հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը, ապա լուծե՛ք հավասարումը և ստուգե՛ք, արդյոք գտնված լուծումները բավարարում են հավասարմանը։

3. Լուծի՛ր հավասարումը, իսկ հետո ստուգեք.Գտնված լուծումները փոխարինի՛ր սկզբնական հավասարմամբ և ստուգի՛ր, թե արդյոք ճիշտ հավասարություն ենք ստանում:

Բարդության ցանկացած մակարդակի լոգարիթմական հավասարումը միշտ ի վերջո վերածվում է ամենապարզ լոգարիթմական հավասարման:

Բոլոր լոգարիթմական հավասարումները կարելի է բաժանել չորս տեսակի.

1 . Հավասարումներ, որոնք պարունակում են միայն առաջին հզորության լոգարիթմներ: Փոխակերպումների և օգտագործման օգնությամբ դրանք վերածվում են ձևի

Օրինակ. Եկեք լուծենք հավասարումը.

Հավասարեցրեք արտահայտությունները լոգարիթմի նշանի տակ.

Եկեք ստուգենք, արդյոք հավասարման մեր արմատը բավարարում է.

Այո, բավարարում է։

Պատասխան՝ x=5

2 . Հավասարումներ, որոնք պարունակում են 1-ից տարբեր աստիճանի լոգարիթմներ (մասնավորապես՝ կոտորակի հայտարարում): Այս հավասարումները լուծվում են օգտագործելով փոփոխականի փոփոխություն ներմուծելով.

Օրինակ.Եկեք լուծենք հավասարումը.

Եկեք գտնենք ODZ հավասարումը.

Հավասարումը պարունակում է քառակուսի լոգարիթմներ, ուստի այն լուծվում է փոփոխականի փոփոխությամբ:

Կարևոր. Նախքան փոխարինումը ներմուծելը, դուք պետք է «քաշեք» հավասարման մաս կազմող լոգարիթմները «աղյուսների» մեջ՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները:

Լոգարիթմները «քաշելիս» կարևոր է շատ ուշադիր կիրառել լոգարիթմների հատկությունները.

Բացի այդ, այստեղ կա ևս մեկ նուրբ տեղ, և սովորական սխալից խուսափելու համար մենք կօգտագործենք միջանկյալ հավասարություն. լոգարիթմի աստիճանը գրում ենք այս ձևով.

Նմանապես,

Ստացված արտահայտությունները փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Այժմ մենք տեսնում ենք, որ անհայտը պարունակվում է հավասարման մեջ որպես մաս: Ներկայացնում ենք փոխարինումը: Քանի որ այն կարող է վերցնել ցանկացած իրական արժեք, մենք որևէ սահմանափակում չենք դնում փոփոխականի վրա:

Լոգարիթմական հավասարումներ. Մենք շարունակում ենք առաջադրանքները դիտարկել մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության Բ մասից: Մենք արդեն դիտարկել ենք որոշ հավասարումների լուծումները «», «» հոդվածներում։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք լոգարիթմական հավասարումները: Անմիջապես պետք է ասեմ, որ USE-ում նման հավասարումներ լուծելիս բարդ փոխակերպումներ չեն լինի: Նրանք պարզ են.

Բավական է իմանալ և հասկանալ հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը, իմանալ լոգարիթմի հատկությունները։ Ուշադրություն դարձրեք, որ որոշումից հետո ՊԱՐՏԱԴԻՐ է ստուգում կատարել՝ ստացված արժեքը փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ և հաշվարկել, արդյունքում պետք է ճիշտ հավասարություն ստանալ։

Սահմանում:

a թվի լոգարիթմը b հիմքի նկատմամբ ցուցիչն է,որին պետք է բարձրացվի b-ն՝ a ստանալու համար:

Օրինակ:

Մատյան 3 9 = 2, քանի որ 3 2 = 9

Լոգարիթմների հատկությունները.

Լոգարիթմների հատուկ դեպքեր.

Մենք խնդիրներ ենք լուծում. Առաջին օրինակում մենք ստուգում ենք կատարելու։ Ինքներդ կատարեք հետևյալ ստուգումը.

Գտե՛ք հավասարման արմատը՝ log 3 (4–x) = 4

Քանի որ log b a = x b x = a, ապա

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Փորձաքննություն:

մատյան 3 (4–(–77)) = 4

մատյան 3 81 = 4

3 4 = 81 Ճիշտ է:

Պատասխան՝ 77

Ինքներդ որոշեք.

Գտե՛ք հավասարման արմատը՝ log 2 (4 - x) = 7

Գտե՛ք log 5 հավասարման արմատը(4 + x) = 2

Մենք օգտագործում ենք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Քանի որ log a b = x b x = a, ապա

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Փորձաքննություն:

մատյան 5 (4 + 21) = 2

մատյան 5 25 = 2

5 2 = 25 Ճիշտ է:

Պատասխան՝ 21

Գտեք log 3 (14 - x) հավասարման արմատը = log 3 5:

Տեղի է ունենում հետևյալ հատկությունը, դրա իմաստը հետևյալն է՝ եթե հավասարման ձախ և աջ կողմերում ունենք նույն հիմքով լոգարիթմներ, ապա կարող ենք հավասարեցնել լոգարիթմների նշանների տակ եղած արտահայտությունները։

14 - x = 5

x=9

Ստուգեք.

Պատասխան՝ 9

Ինքներդ որոշեք.

Գտեք log 5 (5 - x) հավասարման արմատը = log 5 3:

Գտե՛ք հավասարման արմատը՝ log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15):

Եթե ​​log c a = log c b, ապա a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Ստուգեք.

Պատասխան՝ 6

Գտեք 1/8 (13 - x) = - 2 հավասարման լոգարի արմատը:

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Ստուգեք.

Փոքր հավելում - այստեղ օգտագործվում է գույքը

աստիճան().

Պատասխան՝ - 51

Ինքներդ որոշեք.

Գտե՛ք հավասարման արմատը՝ log 1/7 (7 - x) = - 2

Գտե՛ք log 2 (4 - x) = 2 log 2 5 հավասարման արմատը։

Եկեք վերափոխենք աջ կողմը: օգտագործել գույքը.

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Եթե ​​log c a = log c b, ապա a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Ստուգեք.

Պատասխան՝ - 21

Ինքներդ որոշեք.

Գտե՛ք հավասարման արմատը՝ log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Լուծեք log 5 հավասարումը (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Եթե ​​log c a = log c b, ապա a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Ստուգեք.

Պատասխան՝ 2.75

Ինքներդ որոշեք.

Գտե՛ք log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) հավասարման արմատը։

Լուծեք log 2 (2 - x) հավասարումը = log 2 (2 - 3x) +1:

Հավասարման աջ կողմում դուք պետք է ստանաք ձևի արտահայտություն.

մատյան 2 (......)

1-ը որպես հիմք 2 լոգարիթմ ներկայացնելը.

1 = մատյան 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Մենք ստանում ենք.

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Եթե ​​log c a = log c b, ապա a = b, ապա

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

Ստուգեք.

Պատասխան՝ 0.4

Ինքներդ որոշեք. Հաջորդը, դուք պետք է լուծեք քառակուսի հավասարում: Իմիջայլոց,

արմատները 6 և -4 են։

Արմատ» -4»-ը լուծում չէ, քանի որ լոգարիթմի հիմքը պետք է լինի զրոյից մեծ, իսկ «.– 4»-ը հավասար է « – 5" Լուծումը արմատ 6 է:Ստուգեք.

Պատասխան՝ 6.

Ռ ինքնուրույն ուտել.

Լուծե՛ք հավասարման log x –5 49 = 2: Եթե հավասարումն ունի մեկից ավելի արմատ, պատասխանե՛ք փոքրին:

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմական հավասարումներով բարդ փոխակերպումներ չկանՈչ Բավական է իմանալ լոգարիթմի հատկությունները և կարողանալ դրանք կիրառել։ Լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման հետ կապված USE առաջադրանքներում կատարվում են ավելի լուրջ փոխակերպումներ և պահանջվում են ավելի խորը լուծելու հմտություններ։ Մենք կքննարկենք նման օրինակներ, բաց մի թողեք:Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!!!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին: