Լոգարիթմական հավասարումկոչվում է այն հավասարումը, որում անհայտը (x) և նրա հետ արտահայտությունները գտնվում են լոգարիթմական ֆունկցիայի նշանի տակ։ Լոգարիթմական հավասարումների լուծումը ենթադրում է, որ դուք արդեն ծանոթ եք և .
Ինչպես որոշել լոգարիթմական հավասարումներ?

Ամենապարզ հավասարումն է log a x = b, որտեղ a-ն և b-ը որոշ թվեր են, x-ը անհայտ է:
Լոգարիթմական հավասարման լուծումտրամադրվում է x = a b՝ a > 0, a 1:

Պետք է նշել, որ եթե x-ը լոգարիթմից դուրս ինչ-որ տեղ է, օրինակ log 2 x \u003d x-2, ապա նման հավասարումն արդեն կոչվում է խառը, և դրա լուծման համար անհրաժեշտ է հատուկ մոտեցում:

Իդեալական դեպքն այն է, երբ հանդիպում եք մի հավասարման, որում միայն թվերն են լոգարիթմի նշանի տակ, օրինակ x + 2 \u003d log 2 2: Այստեղ այն լուծելու համար բավական է իմանալ լոգարիթմների հատկությունները: Բայց նման բախտը հաճախ չի պատահում, այնպես որ պատրաստվեք ավելի դժվար բաների:

Բայց նախ, ի վերջո, եկեք սկսենք պարզ հավասարումներից: Դրանք լուծելու համար ցանկալի է ունենալ լոգարիթմի ամենաընդհանուր պատկերացումը։

Պարզ լոգարիթմական հավասարումների լուծում

Դրանք ներառում են այնպիսի հավասարումներ, ինչպիսիք են log 2 x \u003d log 2 16: Անզեն աչքով կարելի է տեսնել, որ լոգարիթմի նշանը բաց թողնելով մենք ստանում ենք x \u003d 16:

Ավելի բարդ լոգարիթմական հավասարումը լուծելու համար այն սովորաբար տանում են դեպի սովորական հանրահաշվական հավասարման կամ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարման log a x = b լուծմանը։ Ամենապարզ հավասարումներում դա տեղի է ունենում մեկ շարժման մեջ, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզ:

Լոգարիթմները հանելու վերը նշված մեթոդը լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման հիմնական ուղիներից մեկն է։ Մաթեմատիկայի մեջ այս գործողությունը կոչվում է հզորացում: Գոյություն ունենալ որոշակի կանոններկամ սահմանափակումներ այս տեսակի գործողությունների համար.

• լոգարիթմներն ունեն նույն թվային հիմքերը
• Հավասարման երկու մասերում էլ լոգարիթմներն ազատ են, այսինքն. առանց գործակիցների և այլ տարբեր տեսակի արտահայտությունների։

Ենթադրենք, հավասարման գրանցամատյանում 2 x \u003d 2log 2 (1- x), հզորացումը կիրառելի չէ. աջ կողմում գտնվող 2 գործակիցը թույլ չի տալիս: Հետևյալ օրինակում log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) սահմանափակումներից մեկը նույնպես չի բավարարվում. ձախ կողմում կա երկու լոգարիթմ: Դա կլինի մեկ, բոլորովին այլ հարց:

Ընդհանուր առմամբ, դուք կարող եք հեռացնել լոգարիթմները միայն այն դեպքում, եթե հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.

log a (...) = log a (...)

Բացարձակապես ցանկացած արտահայտություն կարող է լինել փակագծերում, սա բացարձակապես չի ազդում ուժեղացման գործողության վրա: Իսկ լոգարիթմների վերացումից հետո կմնա ավելի պարզ հավասարում` գծային, քառակուսի, էքսպոնենցիալ և այլն, որոնք դուք արդեն, հուսով եմ, գիտեք ինչպես լուծել:

Բերենք ևս մեկ օրինակ.

log 3 (2x-5) = log 3 x

Կիրառելով հզորացում՝ մենք ստանում ենք.

մատյան 3 (2x-1) = 2

Ելնելով լոգարիթմի սահմանումից, այն է, որ լոգարիթմը այն թիվն է, որի վրա հիմքը պետք է բարձրացվի, որպեսզի ստանանք արտահայտություն, որը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ, այսինքն. (4x-1), մենք ստանում ենք.

Կրկին գեղեցիկ պատասխան ստացանք. Այստեղ մենք արեցինք առանց լոգարիթմների վերացման, բայց հզորացումն այստեղ նույնպես կիրառելի է, քանի որ լոգարիթմը կարող է կազմվել ցանկացած թվից և հենց այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Այս մեթոդը շատ օգտակար է լոգարիթմական հավասարումների և հատկապես անհավասարությունների լուծման համար:

Եկեք լուծենք մեր լոգարիթմական հավասարման log 3 (2x-1) = 2՝ օգտագործելով հզորացում.

Ներկայացնենք 2 թիվը որպես լոգարիթմ, օրինակ՝ այսպիսի log 3 9, քանի որ 3 2 =9։

Այնուհետև log 3 (2x-1) = log 3 9 և կրկին ստանում ենք նույն հավասարումը 2x-1 = 9: Հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է:

Այսպիսով, մենք նայեցինք, թե ինչպես լուծել ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումները, որոնք իրականում շատ կարևոր են, քանի որ լոգարիթմական հավասարումների լուծում, նույնիսկ ամենասարսափելին ու ոլորվածները, վերջում միշտ հանգում են ամենապարզ հավասարումների լուծմանը։

Այն ամենում, ինչ մենք արել ենք վերևում, մենք անտեսել ենք մեկը կարևոր կետորը որոշիչ դեր է ունենալու ապագայում։ Փաստն այն է, որ ցանկացած լոգարիթմական, նույնիսկ ամենատարրական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու համարժեք մասերից։ Առաջինը ինքնին հավասարման լուծումն է, երկրորդը՝ տարածքի հետ աշխատելը թույլատրելի արժեքներ(ՕՁ): Սա ընդամենը առաջին մասն է, որը մենք յուրացրել ենք: Վերոնշյալ օրինակներում ODD-ն ոչ մի կերպ չի ազդում պատասխանի վրա, ուստի մենք այն չենք դիտարկել:

Բերենք ևս մեկ օրինակ.

մատյան 3 (x 2 -3) = մատյան 3 (2x)

Արտաքնապես այս հավասարումը չի տարբերվում տարրականից, որը շատ հաջող լուծվում է։ Բայց դա այդպես չէ։ Չէ, իհարկե կլուծենք, բայց ամենայն հավանականությամբ սխալ կլինի, քանի որ մեջը մի փոքրիկ դարան է, որի մեջ միանգամից ընկնում են թե՛ Գ-ի ուսանողները, թե՛ գերազանցիկները։ Եկեք մանրամասն նայենք դրան:

Ենթադրենք, դուք պետք է գտնեք հավասարման արմատը կամ արմատների գումարը, եթե կան մի քանիսը.

մատյան 3 (x 2 -3) = մատյան 3 (2x)

Մենք կիրառում ենք ուժեղացում, այստեղ դա թույլատրելի է։ Արդյունքում մենք ստանում ենք սովորական քառակուսի հավասարումը:

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները.

Երկու արմատ կա.

Պատասխան՝ 3 և -1

Առաջին հայացքից ամեն ինչ ճիշտ է։ Բայց եկեք ստուգենք արդյունքը և այն փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ:

Սկսենք x 1 = 3:

մատյան 3 6 = մատյան 3 6

Ստուգումը հաջող էր, այժմ հերթը x 2 = -1:

մատյան 3 (-2) = մատյան 3 (-2)

Այո՛, կանգ առե՛ք։ Արտաքինից ամեն ինչ կատարյալ է։ Մի պահ - բացասական թվերից լոգարիթմներ չկան: Եվ սա նշանակում է, որ x \u003d -1 արմատը հարմար չէ մեր հավասարումը լուծելու համար: Եվ հետևաբար ճիշտ պատասխանը կլինի 3, ոչ թե 2, ինչպես գրել ենք։

Հենց այստեղ ՕՁ-ն խաղաց իր ճակատագրական դերը, որի մասին մենք մոռացանք։

Հիշեցնեմ ձեզ, որ թույլատրելի արժեքների տարածքի ներքո ընդունվում են x-ի այնպիսի արժեքներ, որոնք թույլատրված են կամ իմաստ ունեն սկզբնական օրինակի համար:

Առանց ODZ-ի ցանկացած հավասարման, նույնիսկ բացարձակապես ճիշտ լուծումը վերածվում է վիճակախաղի` 50/50:

Ինչպե՞ս կարող էինք բռնվել տարրական թվացող օրինակ լուծելիս: Եվ ահա այն հզորացման պահին։ Լոգարիթմները վերացել են, և դրանց հետ միասին բոլոր սահմանափակումները:

Ի՞նչ անել նման դեպքում։ Հրաժարվո՞ւմ եք վերացնել լոգարիթմները: Եվ ամբողջությամբ հրաժարվել այս հավասարման լուծումից:

Ոչ, մենք պարզապես, ինչպես մեկ հայտնի երգի իսկական հերոսները, կշրջենք:

Նախքան որևէ լոգարիթմական հավասարման լուծման անցնելը, մենք կգրենք ODZ-ը: Բայց դրանից հետո դուք կարող եք անել այն, ինչ ձեր սիրտը ցանկանում է մեր հավասարման հետ: Պատասխանը ստանալով՝ մենք ուղղակի դուրս ենք նետում այն ​​արմատները, որոնք ներառված չեն մեր ODZ-ում, և գրում ենք վերջնական տարբերակը։

Հիմա եկեք որոշենք, թե ինչպես գրել ODZ-ը: Դա անելու համար մենք ուշադիր ուսումնասիրում ենք սկզբնական հավասարումը և դրանում կասկածելի տեղեր ենք փնտրում, ինչպիսիք են բաժանումը x-ով, զույգ աստիճանի արմատը և այլն: Քանի դեռ չենք լուծել հավասարումը, մենք չգիտենք, թե ինչին է հավասար x, բայց մենք հաստատ գիտենք, որ այնպիսի x, որը փոխարինելիս կտա բաժանում 0-ի կամ դուրս հանելով բացասական թվի քառակուսի արմատը, ակնհայտորեն հարմար չեն: պատասխանի համար։ Հետևաբար, նման x-երն անընդունելի են, մինչդեռ մնացածը կկազմեն ODZ-ը:

Կրկին օգտագործենք նույն հավասարումը.

մատյան 3 (x 2 -3) = մատյան 3 (2x)

մատյան 3 (x 2 -3) = մատյան 3 (2x)

Ինչպես տեսնում եք, 0-ի բաժանում չկա, քառակուսի արմատներնույնպես ոչ, բայց լոգարիթմի մարմնում կան x-ով արտահայտություններ։ Մենք անմիջապես հիշում ենք, որ լոգարիթմի ներսում արտահայտությունը միշտ պետք է լինի > 0: Այս պայմանը գրված է ODZ ձևով.

Նրանք. մենք դեռ ոչինչ չենք լուծել, բայց մենք արդեն գրել ենք պարտադիր պայման ամբողջ ենթալոգարիթմական արտահայտության համար։ Գանգուր բրեկետը նշանակում է, որ այս պայմանները պետք է պահպանվեն միաժամանակ:

ODZ-ը գրված է, բայց անհրաժեշտ է նաև լուծել առաջացած անհավասարությունների համակարգը, ինչը մենք կանենք։ Մենք ստանում ենք x > v3 պատասխանը: Հիմա մենք հաստատ գիտենք, թե որ x-ը մեզ չի սազում։ Եվ հետո մենք սկսում ենք լուծել հենց լոգարիթմական հավասարումը, որը մենք արեցինք վերևում:

Ստանալով x 1 \u003d 3 և x 2 \u003d -1 պատասխանները, հեշտ է տեսնել, որ միայն x1 \u003d 3-ն է հարմար մեզ համար, և մենք այն գրում ենք որպես վերջնական պատասխան:

Ապագայի համար շատ կարևոր է հիշել հետևյալը՝ ցանկացած լոգարիթմական հավասարում լուծում ենք 2 փուլով։ Առաջինը՝ մենք լուծում ենք ինքնին հավասարումը, երկրորդը՝ լուծում ենք ODZ-ի պայմանը: Երկու փուլերն էլ կատարվում են միմյանցից անկախ և համեմատվում են միայն պատասխանը գրելիս, այսինքն. մենք հրաժարվում ենք բոլոր ավելորդներից և գրում ենք ճիշտ պատասխանը:

Նյութը համախմբելու համար խորհուրդ ենք տալիս դիտել տեսանյութը.

Տեսանյութում գերանը լուծելու այլ օրինակներ. հավասարումներ և գործնականում ինտերվալների մեթոդի մշակում:

Այս թեմայի շուրջ, ինչպես լուծել լոգարիթմական հավասարումներըմինչև ամեն ինչ. Եթե ​​ինչ-որ բան ըստ գերանի որոշման. հավասարումները մնացին անհասկանալի կամ անհասկանալի, գրեք ձեր հարցերը մեկնաբանություններում։

Ծանոթագրություն. Սոցիալական կրթության ակադեմիան (ՍԿԿԱ) պատրաստ է ընդունելու նոր ուսանողներ:

Հրահանգ

Գրի՛ր տրված լոգարիթմական արտահայտությունը. Եթե ​​արտահայտությունն օգտագործում է 10-ի լոգարիթմը, ապա դրա նշումը կրճատվում է և ունի հետևյալ տեսքը. lg b-ն տասնորդական լոգարիթմ է։ Եթե ​​լոգարիթմն ունի e թիվը որպես հիմք, ապա արտահայտությունը գրվում է. ln b բնական լոգարիթմն է։ Հասկանալի է, որ ցանկացածի արդյունքը այն հզորությունն է, որին պետք է բարձրացնել բազային թիվը՝ b թիվը ստանալու համար:

Երկու ֆունկցիաների գումարը գտնելիս պարզապես անհրաժեշտ է դրանք մեկ առ մեկ տարբերակել և ավելացնել արդյունքները՝ (u+v)" = u"+v";

Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալը գտնելիս անհրաժեշտ է առաջին ֆունկցիայի ածանցյալը բազմապատկել երկրորդով և ավելացնել երկրորդ ֆունկցիայի ածանցյալը՝ բազմապատկված առաջին ֆունկցիայով՝ (u*v)" = u"*: v+v"*u;

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է շահաբաժնի ածանցյալի արտադրյալից, որը բազմապատկվում է բաժանարար ֆունկցիայի վրա, հանել բաժանարարի ածանցյալի արտադրյալը՝ բազմապատկելով բաժանարար ֆունկցիայով և բաժանել. այս ամենը բաժանարար ֆունկցիայի քառակուսիով: (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Եթե ​​տրված է բարդ ֆունկցիա, ապա անհրաժեշտ է բազմապատկել ներքին ֆունկցիայի ածանցյալը և արտաքինի ածանցյալը։ Թող y=u(v(x)), ապա y"(x)=y"(u)*v"(x):

Օգտագործելով վերևում ստացվածը, կարող եք տարբերակել գրեթե ցանկացած գործառույթ: Այսպիսով, եկեք դիտենք մի քանի օրինակ.

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Կան նաև առաջադրանքներ՝ ածանցյալը մի կետում հաշվարկելու համար։ Թող տրվի y=e^(x^2+6x+5) ֆունկցիան, պետք է գտնել ֆունկցիայի արժեքը x=1 կետում։
1) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6):

2) Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը տրված կետ y"(1)=8*e^0=8

Առնչվող տեսանյութեր

Օգտակար խորհուրդ

Իմացեք տարրական ածանցյալների աղյուսակը: Սա շատ ժամանակ կխնայի:

Աղբյուրներ:

• հաստատուն ածանցյալ

Այսպիսով, ո՞րն է տարբերությունը իռացիոնալ հավասարման և ռացիոնալ հավասարման միջև: Եթե ​​անհայտ փոփոխականը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա հավասարումը համարվում է իռացիոնալ։

Հրահանգ

Նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը երկու կողմերի բարձրացման մեթոդն է հավասարումներքառակուսու մեջ. Այնուամենայնիվ. սա բնական է, առաջին քայլը նշանից ազատվելն է: Տեխնիկապես այս մեթոդը դժվար չէ, բայց երբեմն այն կարող է հանգեցնել անախորժությունների: Օրինակ՝ v(2x-5)=v(4x-7) հավասարումը: Երկու կողմերն էլ քառակուսի դնելով՝ ստանում ենք 2x-5=4x-7: Նման հավասարումը դժվար չէ լուծել. x=1. Բայց թիվ 1 չի տրվի հավասարումներ. Ինչո՞ւ։ Հավասարման միավորը փոխարինի՛ր x արժեքի փոխարեն, իսկ աջ և ձախ կողմերում կլինեն անիմաստ արտահայտություններ, այսինքն. Նման արժեքը վավեր չէ քառակուսի արմատի համար: Հետևաբար, 1-ը կողմնակի արմատ է, և, հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի:

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծվում է դրա երկու մասերը քառակուսելու մեթոդով։ Եվ լուծելով հավասարումը, անհրաժեշտ է կտրել կողմնակի արմատները: Դա անելու համար գտած արմատները փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ:

Դիտարկենք ևս մեկը։
2x+vx-3=0
Իհարկե, այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով նույն հավասարումը, ինչ նախորդը։ Փոխանցման միացություններ հավասարումներ, որոնք չունեն քառակուսի արմատ, ուղղեք աջ կողմը և օգտագործեք քառակուսի մեթոդը։ լուծել ստացված ռացիոնալ հավասարումը և արմատները. Բայց մեկ այլ, ավելի էլեգանտ: Մուտքագրեք նոր փոփոխական; vx=y. Համապատասխանաբար, դուք կստանաք 2y2+y-3=0 նման հավասարում: Դա սովորական քառակուսի հավասարումն է։ Գտեք դրա արմատները; y1=1 և y2=-3/2: Հաջորդը, լուծեք երկուսը հավասարումներ vx=1; vx \u003d -3/2. Երկրորդ հավասարումը արմատներ չունի, առաջինից գտնում ենք, որ x=1։ Մի մոռացեք արմատները ստուգելու անհրաժեշտության մասին:

Ինքնությունը լուծելը բավականին հեշտ է. Սա պահանջում է նույնական փոխակերպումներ կատարել, քանի դեռ նպատակին չի հասել: Այսպիսով, ամենապարզ թվաբանական գործողությունների օգնությամբ խնդիրը կլուծվի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - թուղթ;
• - գրիչ:

Հրահանգ

Ամենապարզ նման փոխակերպումները հանրահաշվական կրճատ բազմապատկումներն են (օրինակ՝ գումարի քառակուսին (տարբերություն), քառակուսիների տարբերություն, գումար (տարբերություն), գումարի (տարբերություն) խորանարդ)։ Բացի այդ, կան բազմաթիվ եռանկյունաչափական բանաձևեր, որոնք ըստ էության նույն ինքնություններն են:

Իրոք, երկու անդամների գումարի քառակուսին հավասար է առաջինի քառակուսուն գումարած առաջինի և երկրորդի գումարած երկրորդի քառակուսու կրկնապատիկը, այսինքն՝ (a+b)^2= (a+b): )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Պարզեցրեք երկուսն էլ

Լուծման ընդհանուր սկզբունքներ

Փոփոխական փոխարինման մեթոդ

Երկրորդ տեսակի ինտեգրալների լուծում

Ինտեգրման սահմանների փոխարինում

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրարկման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Լոգարիթմական արտահայտություններ, օրինակների լուծում. Այս հոդվածում մենք կքննարկենք լոգարիթմների լուծման հետ կապված խնդիրները: Առաջադրանքները բարձրացնում են արտահայտության արժեքը գտնելու հարցը: Հարկ է նշել, որ լոգարիթմի հասկացությունն օգտագործվում է բազմաթիվ առաջադրանքներում, և չափազանց կարևոր է հասկանալ դրա իմաստը։ Ինչ վերաբերում է USE-ին, ապա լոգարիթմն օգտագործվում է հավասարումների լուծման, կիրառական խնդիրների, ինչպես նաև ֆունկցիաների ուսումնասիրության հետ կապված առաջադրանքների մեջ։

Ահա օրինակներ՝ լոգարիթմի բուն իմաստը հասկանալու համար.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Լոգարիթմների հատկությունները, որոնք դուք միշտ պետք է հիշեք.

*Արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների գումարին։

* * *

* Քաղորդի (կոտորակի) լոգարիթմը հավասար է գործակիցների լոգարիթմների տարբերությանը։

* * *

* Աստիճանի լոգարիթմը հավասար է ցուցիչի և նրա հիմքի լոգարիթմի արտադրյալին:

* * *

*Անցում դեպի նոր բազա

* * *

Լրացուցիչ հատկություններ.

* * *

Լոգարիթմների հաշվարկը սերտորեն կապված է ցուցիչների հատկությունների օգտագործման հետ:

Մենք թվարկում ենք դրանցից մի քանիսը.

Այս հատկության էությունը կայանում է նրանում, որ համարիչը հայտարարին և հակառակը փոխանցելիս ցուցիչի նշանը փոխվում է հակառակի վրա։ Օրինակ:

Այս հատկության հետևանքը.

* * *

Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, բայց աստիճանները բազմապատկվում են:

* * *

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմի գաղափարը պարզ է: Գլխավորն այն է, որ լավ պրակտիկա է պետք, որը տալիս է որոշակի հմտություն։ Իհարկե, բանաձևերի իմացությունը պարտադիր է։ Եթե ​​տարրական լոգարիթմները փոխակերպելու հմտություն չի ձևավորվել, ապա պարզ առաջադրանքներ լուծելիս հեշտությամբ կարելի է սխալվել։

Զբաղվե՛ք, նախ լուծե՛ք մաթեմատիկայի դասընթացից ամենապարզ օրինակները, ապա անցե՛ք ավելի բարդին: Հետագայում անպայման ցույց կտամ, թե ինչպես են լուծվում «տգեղ» լոգարիթմները, քննությանը նմաններ չեն լինի, բայց հետաքրքրություն են ներկայացնում, բաց մի՛ թողեք։

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին:

Հանրահաշիվ 11-րդ դասարան

Թեմա՝ «Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ»

Դասի նպատակները.

կրթական: մասին գիտելիքների ձևավորում տարբեր ճանապարհներլոգարիթմական հավասարումների լուծում, յուրաքանչյուր կոնկրետ իրավիճակում դրանք կիրառելու և լուծման ցանկացած մեթոդ ընտրելու ունակություն.

զարգացող: Դիտարկելու, համեմատելու, նոր իրավիճակում գիտելիքները կիրառելու, օրինաչափությունները բացահայտելու, ընդհանրացնելու հմտությունների զարգացում. փոխադարձ վերահսկողության և ինքնատիրապետման հմտությունների ձևավորում.

կրթական: ուսումնական աշխատանքի նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունքի կրթություն, դասի նյութի մանրակրկիտ ընկալում, հաշվառման ճշգրտություն.

Դասի տեսակը նոր նյութին ծանոթանալու դաս.

«Լոգարիթմների գյուտը, կարճացնելով աստղագետի աշխատանքը, երկարացրել է նրա կյանքը»։
Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Պ.Ս. Լապլասը

Դասերի ժամանակ

I. Դասի նպատակի սահմանում

Լոգարիթմի ուսումնասիրված սահմանումը, լոգարիթմների հատկությունները և լոգարիթմական ֆունկցիան թույլ կտան լուծել լոգարիթմական հավասարումներ։ Բոլոր լոգարիթմական հավասարումները, անկախ նրանից, թե որքան բարդ են դրանք, լուծվում են նույն ալգորիթմների միջոցով: Այս ալգորիթմները մենք կդիտարկենք այսօր դասում: Դրանք քիչ են։ Եթե ​​դուք տիրապետում եք դրանց, ապա լոգարիթմների հետ ցանկացած հավասարում հնարավոր կլինի ձեզանից յուրաքանչյուրի համար:

Տետրումդ գրի՛ր դասի թեման՝ «Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ»։ Բոլորին հրավիրում եմ համագործակցության։

II. Հիմնական գիտելիքների թարմացում

Եկեք պատրաստվենք ուսումնասիրելու դասի թեման: Յուրաքանչյուր առաջադրանք լուծում ես և պատասխանը գրում, պայմանը չես կարող գրել։ Աշխատանք զույգերով.

1) x-ի ո՞ր արժեքների համար է ֆունկցիան իմաստավորում.

Ա)

բ)

V)

ե)

(Պատասխանները ստուգվում են յուրաքանչյուր սլայդի համար, և սխալները դասավորված են)

2) Արդյո՞ք ֆունկցիաների գրաֆիկները համընկնում են:

ա) y = x և

բ)Եվ

3) Հավասարությունները վերագրեք որպես լոգարիթմական հավասարումներ.

4) Թվերը գրեք որպես լոգարիթմներ 2 հիմքով.

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Հաշվել :

6) Փորձեք վերականգնել կամ լրացնել այս հավասարություններում բացակայող տարրերը:

III. Ներածություն նոր նյութին

Հայտարարությունը ցուցադրվում է էկրանին.

«Հավասարումը ոսկե բանալին է, որը բացում է բոլոր մաթեմատիկական քնջութը»:
Ժամանակակից լեհ մաթեմատիկոս Ս.Կովալ

Փորձեք ձևակերպել լոգարիթմական հավասարման սահմանումը: (Լոգարիթմի նշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարում ).

Հաշվի առեքամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը. գերան Ա x = b (որտեղ a>0, a ≠ 1): Քանի որ լոգարիթմական ֆունկցիան մեծանում է (կամ նվազում) դրական թվերի բազմության վրա և ընդունում է բոլոր իրական արժեքները, արմատի թեորեմից հետևում է, որ ցանկացած b-ի համար այս հավասարումն ունի, ընդ որում, միայն մեկ լուծում և դրական:

Հիշեք լոգարիթմի սահմանումը: (x թվի լոգարիթմը դեպի a հիմքը այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a հիմքը՝ x թիվը ստանալու համար: ) Լոգարիթմի սահմանումից անմիջապես հետեւում է, որԱ Վ այդպիսի լուծում է.

Վերնագիրը գրի՛ր.Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ

1. Լոգարիթմի սահմանմամբ .

Այսպես են ձևի ամենապարզ հավասարումները.

Հաշվի առեքԹիվ 514 (ա ): Լուծե՛ք հավասարումը

Ինչպե՞ս եք առաջարկում լուծել այն: (Լոգարիթմի սահմանմամբ )

Լուծում . , Հետեւաբար 2x - 4 = 4; x = 4.

Պատասխան՝ 4.

Այս առաջադրանքում 2x - 4 > 0, քանի որ> 0, այնպես որ ոչ մի կողմնակի արմատ չի կարող հայտնվել, ևստուգումը անհրաժեշտ չէ . Այս առաջադրանքում 2x - 4 > 0 պայմանը պետք չէ դուրս գրել:

2. Հզորացում (տվյալ արտահայտության լոգարիթմից անցում հենց այս արտահայտությանը):

Հաշվի առեքԹիվ 519 (g): գերան 5 ( x 2 +8)- գերան 5 ( x+1)=3 գերան 5 2

Ի՞նչ հատկանիշ եք նկատել:(Հիմքերը նույնն են, և երկու արտահայտությունների լոգարիթմները հավասար են) . Ի՞նչ կարելի է անել։(ուժեղացնել):

Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ ցանկացած լուծում պարունակվում է բոլոր x-երի մեջ, որոնց համար լոգարիթմի արտահայտությունները դրական են։

Լուծում: ՕՁ:

X 2 +8>0 հավելյալ անհավասարություն

գերան 5 ( x 2 +8) = գերան 5 2 3 + գերան 5 ( x+1)

գերան 5 ( x 2 +8)= գերան 5 (8 x+8)

Հզորացրեք սկզբնական հավասարումը

x 2 +8= 8 x+8

մենք ստանում ենք հավասարումըx 2 +8= 8 x+8

Եկեք լուծենք.x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Պատասխան՝ 0; 8

Ընդհանուր առմամբանցում համարժեք համակարգի :

Հավասարումը

(Համակարգը պարունակում է ավելորդ պայման՝ անհավասարություններից մեկը կարելի է անտեսել):

Հարց դասարանին Այս երեք լուծումներից ո՞րն է ձեզ ամենաշատը դուր եկել: (Մեթոդների քննարկում):

Դուք իրավունք ունեք որոշելու ցանկացած ձևով:

3. Նոր փոփոխականի ներդրում .

Հաշվի առեքԹիվ 520 (գ) . .

Ի՞նչ նկատեցիք։ (Սա քառակուսի հավասարում է log3x-ի համար) Ձեր առաջարկները. (Ներկայացնել նոր փոփոխական)

Լուծում . ՕՁ՝ x > 0:

Թող, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.. Դրիմինանտ D > 0. Արմատները Վիետայի թեորեմով..

Վերադարձ դեպի փոխարինում՝կամ.

Լուծելով ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումները՝ ստանում ենք.

; .

Պատասխանել : 27;

4. Հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմ.

Լուծե՛ք հավասարումը..

Լուծում ODZ՝ x>0, 10 հիմքում վերցնում ենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը.

. Կիրառել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը.

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Թող lgx = y, ապա (y + 3)y = 4

, (D > 0) արմատներն ըստ Վիետայի թեորեմի՝ y1 = -4 և y2 = 1։

Եկեք վերադառնանք փոխարինմանը, մենք ստանում ենք. lgx = -4,; logx = 1,. . Դա հետեւյալն է: եթե գործառույթներից մեկը y = f(x) ավելանում է և մյուսը y = g(x) նվազում է X միջակայքում, ապա հավասարումը f(x)=g(x) ունի առավելագույնը մեկ արմատ X միջակայքում .

Եթե ​​արմատ կա, ուրեմն կարելի է կռահել։ .

Պատասխանել : 2

« Ճիշտ օգտագործումըմեթոդները կարելի է սովորել
միայն դրանք կիրառելով տարբեր օրինակների վրա:
Դանիացի մաթեմատիկայի պատմաբան G. G. Zeiten

Ի v. Տնային աշխատանք

P. 39 հաշվի առեք օրինակ 3-ը, լուծեք թիվ 514 (բ), թիվ 529 (բ), թիվ 520 (բ), թիվ 523 (բ)

V. Դասի ամփոփում

Լոգարիթմական հավասարումների լուծման ի՞նչ մեթոդներ ենք դիտարկել դասում:

Հաջորդ դասում մենք ավելին կանդրադառնանք բարդ հավասարումներ. Դրանք լուծելու համար օգտակար են ուսումնասիրված մեթոդները։

Ցուցադրվում է վերջին սլայդը.

«Ի՞նչն է ավելին, քան ամեն ինչ աշխարհում:
Տիեզերք.
Ո՞րն է ամենաիմաստունը:
Ժամանակը.
Ո՞րն է ամենահաճելին:
Հասնի՛ր քո ուզածին»։
Թալես

Ես ուզում եմ, որ յուրաքանչյուրը հասնի իր ուզածին։ Շնորհակալություն համագործակցության և փոխըմբռնման համար։