正方形 幾何学的形状- 2次元空間におけるサイズを特徴付ける数値。 この値は、システム単位および非システム単位で測定できます。 したがって、たとえば、システム外の面積単位は 100、つまり 1 ヘクタールです。 これは、測定された表面が土地の場合に当てはまります。 面積のシステム単位は長さの 2 乗です。 SI 系では、平面の単位面積を次のように考えるのが通例です。 平方メートル。 CGS では、面積の単位は平方センチメートルで表されます。

幾何学式と面積式は密接に関係しています。 この関係は、平面図形の面積の計算がそのアプリケーションに正確に基づいているという事実にあります。 多くの図形では、正方形のサイズが計算されるに従っていくつかのオプションが導出されます。 問題ステートメントのデータに基づいて、それを解決する最も簡単な方法を決定できます。 これにより計算が容易になり、計算エラーの可能性が最小限に抑えられます。 これを行うには、幾何学における図形の主要な領域を考慮します。

三角形の面積を求める公式は、いくつかの方法で示されます。

1) 三角形の面積は底辺aと高さhから計算されます。 ベースとは、フィギュアの高さが低くなっている側です。 すると、三角形の面積は次のようになります。

2) 直角三角形の面積は、斜辺を底辺とみなした場合とまったく同じ方法で計算されます。 ただし、脚を底辺とした場合、直角三角形の面積は脚の半分の積に等しくなります。

三角形の面積を計算する公式はこれで終わりではありません。 別の式には次のものが含まれます a面、b面 aとbの間の角度γの正弦関数。 サインの値は表に記載されています。 電卓を使って求めることもできます。 すると、三角形の面積は次のようになります。

この等式に従って、直角三角形の面積が脚の長さによって決定されることも確認できます。 なぜなら 角度γは直角なので、直角三角形の面積はsin関数を掛けずに計算されます。

3) 特殊なケース、つまり辺 a が条件によって既知であるか、または解くときにその長さがわかる正三角形を考えてみましょう。 幾何学問題の図形についてはそれ以上何もわかっていません。 では、このような条件で面積を求めるにはどうすればよいでしょうか？ この場合、正三角形の面積の公式が適用されます。

矩形

長方形の面積を見つけて、共通の頂点を持つ辺の寸法を使用する方法は? 計算式は次のとおりです。

対角線の長さを使用して長方形の面積を計算したい場合は、対角線が交差するときに形成される角度の正弦関数が必要です。 長方形の面積の公式は次のとおりです。

四角

正方形の面積は辺の長さの 2 乗として定義されます。

証明は、長方形が正方形と呼ばれるという定義から導き出されます。 正方形を形成するすべての辺は同じ寸法です。 したがって、そのような長方形の面積の計算は、一方と他方の乗算、つまり辺の2乗に短縮されます。 そして、正方形の面積を計算する式は望ましい形になります。

正方形の面積は、たとえば対角線を使用する場合など、別の方法でも求めることができます。

円で囲まれた平面の一部によって形成される図形の面積を計算するにはどうすればよいですか? 面積を計算するには、次の式を使用します。

平行四辺形

平行四辺形の場合、式には辺の長さの寸法、高さ、および数学演算 (乗算) が含まれます。 高さがわからない場合、平行四辺形の面積を求めるにはどうすればよいでしょうか? 別の計算方法もあります。 特定の値が必要になります。 三角関数隣接する辺によって形成される角度とその長さ。

平行四辺形の面積の公式は次のとおりです。

ひし形

ひし形と呼ばれる四角形の面積を求めるにはどうすればよいですか? ひし形の面積は、対角線を使用した単純な数学演算を使用して決定されます。 この証明は、d1 と d2 の対角線分が直角に交差するという事実に基づいています。 サインの表は、次のことを示しています。 直角この関数は 1 に等しい。 したがって、ひし形の面積は次のように計算されます。

ひし形の面積は別の方法でも求めることができます。 辺の長さが同じであることを考えると、これを証明することも難しくありません。 次に、その積を同様の平行四辺形の式に代入します。 結局のところ、この特定の図の特殊なケースはひし形です。 ここで、γはひし形の内角です。 ひし形の面積は次のように求められます。

空中ブランコ

問題に長さが示されている場合、底辺（aとb）を通る台形の面積を見つけるにはどうすればよいですか？ ここで、高さ長さ h の既知の値がなければ、そのような台形の面積を計算することはできません。 なぜなら この値には計算式が含まれています。

長方形台形の正方形サイズも同様に計算できます。 同時に、直方体台形では高さと辺の概念が組み合わされることも考慮されます。 したがって、長方形台形の場合は、高さの代わりに辺の長さを指定する必要があります。

円柱と直方体

円柱全体の表面を計算するには何が必要かを考えてみましょう。 この図形の面積は底辺と呼ばれる一対の円であり、 側面。 円を形成する円の半径の長さは r に等しい。 円柱の面積については、次の計算が行われます。

3 組の面で構成される平行六面体の面積を求めるにはどうすればよいですか? その測定値は特定のペアと一致しています。 反対側の面は同じパラメータを持ちます。 まず、S(1)、S(2)、S(3)、つまり不等な面の正方形の寸法を求めます。 次に、直方体の表面積は次のようになります。

指輪

共通の中心を持つ 2 つの円がリングを形成します。 また、リングの面積も制限されます。 この場合、両方の計算式で各円の寸法が考慮されます。 最初のものはリングの面積を計算し、より大きな R 半径とより小さな R 半径を含みます。 多くの場合、それらは外部および内部と呼ばれます。 2 番目の式では、リングの面積は、大きい方の D 直径と小さい方の直径 d を使用して計算されます。 したがって、既知の半径によるリングの面積は次のように計算されます。

リングの面積は、直径の長さを使用して次のように決定されます。

ポリゴン

形状が正しくない多角形の面積を求めるにはどうすればよいですか? このような数値の面積を表す一般的な公式はありません。 しかし、それが座標平面上に描かれている場合、たとえば市松模様の紙である場合、この場合の表面積はどのように見つければよいのでしょうか? ここでは、おおよその数値を測定する必要のない方法が使用されています。 これは、セルの隅に該当する点、または整数の座標を持つ点を見つけた場合、それらのみが考慮されます。 次に、面積が何であるかを調べるには、Pick によって証明された公式を使用します。 半分の点がポリライン上にあるポリラインの内側にある点の数を加算し、1 を引く必要があります。つまり、次のように計算されます。

ここで、C、D - それぞれポリラインの内部とポリライン全体にある点の数です。

平面図形の面積のすべての公式

二等辺台形の面積

1. 辺と角度に関する二等辺台形の面積の公式

a - 下底

b - トップベース

c - 等しい辺

α - 下底の角度

二等辺台形の辺に関する面積の公式(S):

辺と角度に関する二等辺台形の面積の公式 (S):

2. 内接円の半径から見た二等辺台形の面積の公式

R- 内接円の半径

D- 内接円の直径

O - 内接円の中心

H- 台形の高さ

α、β - 台形角

内接円の半径に関する二等辺台形の面積の公式 (S):

FAIR、二等辺台形の内接円の場合：

3. 対角線とそれらの間の角度に関する等脚台形の面積の公式

台形のd対角線

α、β - 対角線間の角度

対角線とそれらの間の角度に関する二等辺台形の面積の公式 (S):

4. 二等脚台形の正中線、側辺、底面の角度を通る面積の公式

C側

m-台形の中心線

α、β - 底面の角度

二等脚台形の正中線、側辺、底面の角度から面積を求める公式は、

(S):

5. 底辺と高さに関する二等辺台形の面積の公式

a - 底部ベース

b - トップベース

h - 台形の高さ

底辺と高さに関する二等辺台形の面積の公式 (S):

辺と 2 つの角度が与えられた三角形の面積の公式。

a、b、c - 三角形の辺

α、β、γ - 反対の角度

辺と 2 つの角を通る三角形の面積 (S):

正多角形の面積の公式

a - 多角形の辺

n - 辺の数

正多角形の面積（S）：

半周長 (S) に関する三角形の面積の (ヘロニアン) 式:

正三角形の面積は次のとおりです。

正三角形の面積を計算する公式。

三角形の a - 辺

h - 高さ

二等辺三角形の面積を計算するにはどうすればよいですか?

b - 三角形の底辺

a - 等しい辺

h - 高さ

3. 台形の4辺の面積の公式

a - 底部ベース

b - トップベース

c、d - 側面

台形の辺と対角の外接円の半径

a - 台形の辺

c - 底部ベース

b - トップベース

d - 対角線

h - 高さ

台形の外接円の半径の公式(R)

二等辺三角形の辺に沿った外接円の半径を求めます

二等辺三角形の辺がわかれば、公式を使用してこの三角形の外接円の半径を求めることができます。

a、b - 三角形の辺

二等辺三角形の外接円の半径（R）：

六角形の内接円の半径

六角形の a - 辺

六角形の内接円の半径 (r):

ひし形の内接円の半径

r - 内接円の半径

ひし形のa面

D、d - 対角線

h - ダイヤモンドの高さ

二等辺台形の内接円の半径

c - 下底

b - トップベース

a - 側面

h - 高さ

直角三角形の内接円の半径

a、b - 三角形の脚

c - 斜辺

二等辺三角形の内接円の半径

a、b - 三角形の辺

内接四角形の面積は

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d)、

ここで、p は半周長、a、b、c、d は四角形の辺です。

円に内接する四角形の面積は

1/2 (ab + cb) sin α。ここで、a、b、c、d は四角形の辺、α は辺 a と b の間の角度です。

S = √[ a ƀ c d] sin 1/2 (α + β)。 - FB.ru で詳細をご覧ください:

任意の四角形の面積 (図 1.13) は、その辺 a、b、c、および一対の対角の合計で表すことができます。

ここで、p は四角形の半周長です。

円（）に内接する四角形の面積（図1.14、a）は、ブラーマグプタの公式を使用して計算されます

そして説明されています（図1.14、b）（）-式に従って

四角形が内接され、同時に記述される場合 (図 1.14、c)、式は非常に単純になります。

ピーク式

市松模様の紙上の多角形の面積を推定するには、この多角形がカバーするセルの数を計算するだけで十分です（セルの面積を単位とします）。 より正確には、S が多角形の面積である場合、 は多角形の内部に完全に存在するセルの数、および多角形の内部と少なくとも 1 つの共通点を持つセルの数です。

以下では、すべての頂点がノードにあるようなポリゴンのみを考慮します。 市松模様の紙- グリッド線が交差する場所。 このようなポリゴンの場合、次の式を指定できることがわかります。

ここで、 は面積、r は厳密にポリゴンの内側にあるノードの数です。

この公式は、1899 年に発見した数学者の名前にちなんで「ピーク公式」と呼ばれています。

インターネット上には三角形の面積を計算するための公式が 10 以上あり、その多くは既知の三角形の辺と角度の問題で使用されます。 ただし、数はあります 難しい例ここで、割り当ての条件に従って、三角形の 1 つの辺と角度、または外接円または内接円の半径と、もう 1 つの特性だけがわかっています。 このような場合、単純な計算式は適用できません。

以下の公式は、三角形の面積を求める問題の 95% を解決します。
共用部の式の考察に移りましょう。
下の図に描かれている三角形を考えてみましょう

この図とさらに式では、そのすべての特性の古典的な名称が導入されています。
a、b、c は三角形の辺であり、
Rは外接円の半径、
rは内接円の半径、
h[b],h[a],h[c] - 辺 a、b、c に従って描画される高さ。
アルファ、ベータ、ハンマ - 頂点近くのコーナー。

三角形の面積の基本公式

1. 面積は、三角形の辺と、その辺に下がった高さの積の半分に等しくなります。 数式言語では、この定義は次のように記述できます。

したがって、辺と高さがわかっていれば、各生徒は面積を見つけることができます。
ところで、身長間の有用な関係の 1 つがこの公式から導き出されます。

2. 隣接する辺を通る三角形の高さが依存関係によって表されることを考慮すると、

次に、面積の最初の式から、同じタイプの 2 番目の式に従います。

公式を注意深く見てください。作品には 2 つの側面とその間の角度があるため、覚えやすいです。 (上の図のように) 三角形の辺と角度を正しく指定すると、2 つの辺 a、b が得られます。 そして角度は3番目に関係します C（ハンマ）。

3. 三角形の角度については、次の関係があります。

依存関係を使用すると、計算時に三角形の面積に次の式を適用できます。

この依存関係の例は非常にまれですが、そのような公式があることを覚えておく必要があります。

4. 辺と隣接する 2 つの角度がわかっている場合、面積は次の式で求められます。

5. 辺と隣接する角の余接に関する面積の公式は次のとおりです。

インデックスを再配置すると、反対側の依存関係を取得できます。

6. 以下の面積公式は、三角形の頂点が平面上に座標で与えられる場合にタスクで使用されます。 この場合、面積はモジュロ行列式の半分に等しくなります。

7. ヘロンの公式三角形の既知の辺を持つ例で使用されます。
まず三角形の半周長を求めます

そして、次の式で面積を求めます。

また

電卓プログラムのコードでよく使用されます。

8. 三角形の高さがすべてわかっている場合、面積は次の式で求められます。

電卓で計算するのは難しいですが、MathCad、Mathematica、Maple のパッケージでは、面積は「1 2」です。

9. 次の式は、内接円と外接円の既知の半径を使用します。

特に、三角形の半径と辺、またはその周囲長がわかっている場合、面積は次の式に従って計算されます。

10. 外接円の辺と半径または直径が与えられた例では、面積は次の式で求められます。

11. 次の式は、三角形の辺と角度の観点から三角形の面積を決定します。

そして最後に - 特殊なケース:
直角三角形の面積脚 a と b の場合、積の半分に等しい

正三角形の面積の公式=

\u003d辺の平方根と3の平方根の積の4分の1。

幾何学的領域- この図形のサイズを示す幾何学的図形の数値特性 (この図形の閉じた輪郭によって境界付けられる表面の一部)。 領域のサイズは、その領域に含まれる正方形の単位の数で表されます。

三角形の面積の公式

1. 辺と高さの三角形の面積公式
   三角形の面積三角形の一辺の長さと、この辺に描かれた高度の長さの積の半分に等しい
   
2. 3つの辺と外接円の半径を与えられた三角形の面積の公式
   
3. 3つの辺と内接円の半径を与えられた三角形の面積の公式
   三角形の面積三角形の半周と内接円の半径の積に等しい。
   
ここで、S は三角形の面積、
- 三角形の辺の長さ、
- 三角形の高さ、
- 側面間の角度と、
- 内接円の半径、
R - 外接円の半径、

正方形の面積の公式

1. 辺の長さを指定した正方形の面積の公式
   正方形の領域は辺の長さの二乗に等しい。
2. 対角線の長さを与えられた正方形の面積の公式
   正方形の領域対角線の長さの正方形の半分に等しい。
   

   S=	1	2
   	2

ここで、S は正方形の面積、
は正方形の辺の長さであり、
正方形の対角線の長さです。

長方形の面積の計算式

長方形領域隣接する 2 つの辺の長さの積に等しい

ここで、S は長方形の面積、
は長方形の辺の長さです。

平行四辺形の面積の公式

1. 辺の長さと高さの平行四辺形の面積公式
   平行四辺形領域
2. 2つの辺とそれらの間の角度が与えられた場合の、平行四辺形の面積の公式
   平行四辺形領域は、辺の長さにそれらの間の角度の正弦を乗じた積に等しい。
   

   a b sinα

ここで、S は平行四辺形の面積、
は平行四辺形の辺の長さであり、
は平行四辺形の高さ、
は、平行四辺形の辺間の角度です。

ひし形の面積の公式

1. 辺の長さと高さが与えられた菱形の面積公式
   ひし形領域辺の長さと、こちら側に下がった高さの長さの積に等しい。
2. 辺の長さと角度からひし形の面積を求める公式
   ひし形領域は、ひし形の辺の長さの二乗と、ひし形の辺の間の角度の正弦との積に等しい。
3. 対角線の長さからひし形の面積を求める公式
   ひし形領域は対角線の長さの積の半分に等しい。
ここで、Sはひし形の面積、
- ひし形の辺の長さ、
- ひし形の高さの長さ、
- ひし形の辺間の角度、
1、2 - 対角線の長さ。

台形の面積公式

1. ヘロンの台形公式

   S が台形の面積である場合、
   - 台形の底辺の長さ、
   - 台形の辺の長さ、
   

幾何学の問題を解決するには、三角形の面積や平行四辺形の面積などの公式と、 簡単なトリックそれについてはこれからお話します。

まずは図形の面積の公式を覚えましょう。 それらを便利な表に特別にまとめました。 印刷して学んで応用しましょう！

もちろん、すべての幾何学式がこの表に含まれているわけではありません。 たとえば、第 2 部で幾何学および立体測定の問題を解決するには プロフィール試験数学では、三角形の面積を求める他の公式も使用されます。 それらについては必ずお伝えします。

しかし、台形や三角形の面積ではなく、複雑な図形の面積を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 食べる 普遍的な方法！ FIPI タスク バンクの例を使用して説明します。

1. 非標準図形の面積を求めるにはどうすればよいですか? たとえば、任意の四角形でしょうか？ 簡単なテクニック - この図形を私たち全員が知っている図形に分割し、その面積をこれらの図形の面積の合計として求めましょう。

この四角形を水平線で に等しい底辺を持つ 2 つの三角形に分割します。 これらの三角形の高さは と に等しい。 この場合、四角形の面積は 2 つの三角形の面積の合計に等しくなります。

答え： 。

2. 場合によっては、図の面積を任意の面積の差として表すことができます。

この三角形の底辺と高さがいくらに等しいかを計算するのは、それほど簡単ではありません。 しかし、その面積は、1辺のある正方形と3つの直角三角形の面積の差に等しいと言えます。 写真の中に見えますか？ 我々が得る： 。

答え： 。

3. タスクでは、図形全体ではなく、その一部の領域を見つける必要がある場合があります。 通常、円の一部である扇形の面積について話しますが、円弧の長さが に等しい、半径 の円の扇形の面積を求めます。

この写真では円の一部が見えています。 円全体の面積は に等しいので、 です。 円のどの部分が描かれているかを知ることは残っています。 円全体の長さは (since) であり、この扇形の円弧の長さは等しいので、円弧の長さは円全体の長さの数分の 1 です。 この円弧がかかる角度も、完全な円より 1 倍小さい (つまり、度) です。 これは、セクターの面積が円全体の面積よりも数倍小さくなることを意味します。