TRÓJKĄTY.

§ 17. SYMETRIA WZGLĘDNIE PRAWEJ PROSTEJ.

1. Liczby, które są względem siebie symetryczne.

Narysujmy tuszem jakąś figurę na kartce papieru, a na zewnątrz ołówkiem - dowolną linię prostą. Następnie, nie pozwalając, aby farba wyschła, zaginamy kartkę papieru po tej linii prostej tak, aby jedna część kartki zachodziła na drugą. Ta druga część arkusza będzie zatem stanowić odcisk tej figury.

Jeśli następnie ponownie wyprostujesz kartkę papieru, pojawią się na niej dwie postacie, które nazywają się symetryczny względem danej linii (ryc. 128).

Dwie figury nazywane są symetrycznymi w stosunku do określonej linii prostej, jeśli podczas zginania płaszczyzny rysunku wzdłuż tej linii prostej są one wyrównane.

Linię prostą, względem której te figury są symetryczne, nazywa się ich oś symetrii.

Z definicji figur symetrycznych wynika, że ​​wszystkie figury symetryczne są równe.

Figury symetryczne można uzyskać bez użycia zginania płaszczyzny, ale za pomocą konstrukcji geometrycznej. Niech będzie konieczne zbudowanie punktu C" symetrycznego do danego punktu C względem prostej AB. Skreślmy prostopadłą z punktu C
CD do prostej AB i jako jej kontynuację ułożymy odcinek DC" = DC. Jeśli zagniemy płaszczyznę rysunkową wzdłuż AB, to punkt C zrówna się z punktem C": punkty C i C" są symetryczne (ryc. 129) ).

Załóżmy teraz, że musimy skonstruować odcinek C „D”, symetryczny do danego odcinka CD względem prostej AB. Skonstruujmy punkty C" i D", symetryczne do punktów C i D. Jeśli zagniemy płaszczyznę rysunkową wzdłuż AB, wówczas punkty C i D będą pokrywać się odpowiednio z punktami C" i D" (Rysunek 130). CD i C „D” będą się pokrywać, będą symetryczne.

Skonstruujmy teraz figurę symetryczną do danego wielokąta ABCDE względem zadanej osi symetrii MN (rys. 131).

Aby rozwiązać ten problem, porzućmy prostopadłe A A, W B, Z Z, D D i E mi do osi symetrii MN. Następnie na przedłużeniach tych prostopadłych nanosimy odcinki
A A" = A A, B B" = B B, Z C” = Cs; D D"" =D D I mi E" = E mi.

Wielokąt A"B"C"D"E" będzie symetryczny do wielokąta ABCDE. Rzeczywiście, jeśli zagniesz rysunek wzdłuż linii prostej MN, wówczas odpowiednie wierzchołki obu wielokątów wyrównają się, a zatem same wielokąty się wyrównają ; dowodzi to, że wielokąty ABCDE i A" B"C"D"E" są symetryczne względem prostej MN.

2. Figury składające się z części symetrycznych.

Często spotykane figury geometryczne, które są podzielone prostą linią na dwie symetryczne części. Takie liczby nazywane są symetryczny.

Na przykład kąt jest figurą symetryczną, a dwusieczna kąta jest jego osią symetrii, ponieważ po zgięciu wzdłuż niego jedna część kąta jest łączona z drugą (ryc. 132).

W okręgu osią symetrii jest jego średnica, ponieważ podczas zginania się wzdłuż niego jedno półkole łączy się z drugim (ryc. 133). Figury na rysunkach 134, a, b są dokładnie symetryczne.

Symetryczne figury często można spotkać w przyrodzie, budownictwie i biżuterii. Obrazy umieszczone na rysunkach 135 i 136 są symetryczne.

Należy zauważyć, że figury symetryczne można łączyć po prostu poruszając się po płaszczyźnie tylko w niektórych przypadkach. Aby połączyć figury symetryczne, z reguły należy obrócić jedną z nich przeciwną stroną,

Ta para środków określa położenie elementów kompozycji względem głównej osi. Jeśli jest taki sam, kompozycja wydaje się symetryczna; jeśli występuje niewielkie odchylenie w bok, kompozycja jest asymetryczna. Jeśli takie odchylenie jest znaczne, staje się asymetryczne.

Bardzo często symetria, podobnie jak asymetria, wyraża się w zestawieniu kilku osi kompozycyjnych. Najprostszym przypadkiem jest relacja osi głównej z osiami jej podrzędnymi, które określają położenie wtórnych części kompozycji. Jeśli osie drugorzędne znacznie odbiegają od osi głównej, kompozycja może się zawalić. Aby osiągnąć jego integralność, stosuje się różne techniki: zbliżanie osi, łączenie ich, przyjęcie wspólnego kierunku. Rycina 17 przedstawia zbudowane na ich podstawie kompozycje formalne (schematy).

Rysunek 17 - Kompozycje o różnych osiach symetrii

Zadanie praktyczne

1 Utwórz symetryczną kompozycję (różne rodzaje symetrii) (Załącznik A, rysunki 15-16).

2 Utwórz asymetryczną kompozycję (Załącznik A, Rysunek 17).

Wymagania:

Przeprowadza się 7-10 wariantów wyszukiwania kompozycji;

zwróć szczególną uwagę na rozmieszczenie elementów; Realizując główną ideę zadbaj o dokładność wykonania.

Ołówek, tusz, akwarela, kredki. Format arkusza – A3.

równowaga

Prawidłowo skonstruowana kompozycja jest zbilansowana.

równowaga- jest to rozmieszczenie elementów kompozycji, w którym każdy element znajduje się w stabilnej pozycji. Nie ma wątpliwości co do jego umiejscowienia i braku chęci przesuwania go w płaszczyźnie obrazowej. Nie wymaga to dokładnego lustrzanego dopasowania prawej i lewej strony. Ilościowy stosunek kontrastów tonalnych i kolorystycznych lewej i prawej części kompozycji powinien być równy. Jeśli w jednej części występuje więcej kontrastujących plam, należy wzmocnić współczynniki kontrastu w drugiej części lub osłabić kontrasty w pierwszej. Możesz zmieniać kontury obiektów, zwiększając obwód kontrastujących relacji.

Aby zachować równowagę w kompozycji, ważny jest kształt, kierunek i umiejscowienie elementów wizualnych (ryc. 18).

Rysunek 18 - Bilans kontrastujących plam w kompozycji

Niezrównoważona kompozycja wygląda na przypadkową i nieracjonalną, powodując chęć dalszej pracy nad nią (przestawienia elementów i ich szczegółów) (Rysunek 19).

Rysunek 19 – Zrównoważona i niezrównoważona kompozycja

Prawidłowo skonstruowana kompozycja nie może budzić wątpliwości i poczucia niepewności. Powinna mieć klarowność relacji i proporcje, które koją oko.

Rozważmy najprostsze schematy konstruowania kompozycji:

Rysunek 20 – Schematy bilansu składu

Obraz A jest zrównoważony. W połączeniu jego kwadratów i prostokątów o różnych rozmiarach i proporcjach czuje się życie, nie chce się niczego zmieniać ani dodawać, panuje kompozycyjna klarowność proporcji.

Można porównać stabilną pionową linię na rysunku 20, A z oscylującą na rysunku 20, B. Proporcje na rysunku B opierają się na małych różnicach, które utrudniają określenie ich równoważności, zrozumienie tego, co jest przedstawione - prostokąt lub plac.

Na rysunku 20, B, każdy dysk z osobna wydaje się niezrównoważony. Razem tworzą parę, która jest w spoczynku. Na rysunku 20, D ta sama para wygląda na całkowicie niezrównoważoną, ponieważ przesunięty względem osi kwadratu.

Istnieją dwa rodzaje równowagi.

Statyczny równowaga występuje, gdy figury są symetrycznie rozmieszczone na płaszczyźnie względem osi pionowej i poziomej formatu kompozycji o symetrycznym kształcie (ryc. 21).

Rysunek 21 - Równowaga statyczna

Dynamiczny równowaga występuje, gdy figury są ułożone asymetrycznie na płaszczyźnie, tj. gdy zostaną przesunięte w prawo, w lewo, w górę, w dół (Rysunek 22).

Rysunek 22 - Równowaga dynamiczna

Aby figura wydawała się przedstawiona w środku płaszczyzny, należy ją nieznacznie przesunąć w górę względem osi formatu. Okrąg znajdujący się w środku sprawia wrażenie przesuniętego w dół, efekt ten potęguje się, gdy dolna część koła zostanie pomalowana na ciemny kolor (ryc. 23).

Rysunek 23 – Bilans koła

Duża figura po lewej stronie płaszczyzny jest w stanie zrównoważyć mały kontrastowy element po prawej stronie, który jest aktywny ze względu na swoją tonalną relację z tłem (ryc. 24).

Rysunek 24 – Bilans dużych i małych elementów

Zadanie praktyczne

1 Stwórz zrównoważoną kompozycję, wykorzystując dowolne motywy (Załącznik A, rysunek 18).

2 Wykonaj niezrównoważoną kompozycję (Załącznik A, Rysunek 19).

Wymagania:

wykonaj opcje wyszukiwania (5-7 szt.) w projektowaniu achromatycznym ze znalezieniem relacji tonalnych;

praca musi być schludna.

Materiał i wymiary kompozycji

Tusz do rzęs. Format arkusza – A3.

Cele:

• edukacyjny:
  • dać wyobrażenie o symetrii;
  • przedstawić główne rodzaje symetrii na płaszczyźnie i w przestrzeni;
  • rozwijać silne umiejętności konstruowania figur symetrycznych;
  • poszerz swoją wiedzę o znanych postaciach, wprowadzając właściwości związane z symetrią;
  • pokazać możliwości wykorzystania symetrii w rozwiązywaniu różnych problemów;
  • utrwalić zdobytą wiedzę;
• ogólne wykształcenie:
  • naucz się przygotowywać do pracy;
  • naucz panować nad sobą i sąsiadem przy biurku;
  • naucz oceniać siebie i sąsiada przy biurku;
• rozwijanie:
  • zintensyfikować niezależna działalność;
  • rozwijać aktywność poznawcza;
  • nauczyć się podsumowywać i systematyzować otrzymane informacje;
• edukacyjny:
  • rozwijać u uczniów „zmysł ramion”;
  • rozwijać umiejętności komunikacyjne;
  • zaszczepić kulturę komunikacji.

PODCZAS ZAJĘĆ

Przed każdą osobą znajdują się nożyczki i kartka papieru.

Ćwiczenie 1(3 minuty).

- Weźmy kartkę papieru, złóżmy ją na kawałki i wytnijmy jakąś figurę. Teraz rozłóżmy arkusz i spójrzmy na linię zagięcia.

Pytanie: Jaką funkcję pełni ta linia?

Sugerowana odpowiedź: Linia ta dzieli figurę na pół.

Pytanie: W jaki sposób wszystkie punkty figury znajdują się na dwóch powstałych połówkach?

Sugerowana odpowiedź: Wszystkie punkty połówek znajdują się w równej odległości od linii zagięcia i na tym samym poziomie.

– Oznacza to, że linia zagięcia dzieli figurę na pół tak, aby 1 połowa była kopią 2 połówek, tj. linia ta nie jest prosta, ma niezwykłą właściwość (wszystkie punkty względem niej są w tej samej odległości), linia ta jest osią symetrii.

Zadanie 2 (2 minuty).

– Wytnij płatek śniegu, znajdź oś symetrii, scharakteryzuj go.

Zadanie 3 (5 minut).

– Narysuj okrąg w swoim zeszycie.

Pytanie: Określić, jak przebiega oś symetrii?

Sugerowana odpowiedź: Różnie.

Pytanie: Ile zatem osi symetrii ma okrąg?

Sugerowana odpowiedź: Dużo.

– Zgadza się, okrąg ma wiele osi symetrii. Równie niezwykłą figurą jest kula (figura przestrzenna)

Pytanie: Jakie inne figury mają więcej niż jedną oś symetrii?

Sugerowana odpowiedź: Kwadrat, prostokąt, równoramienny i trójkąt równoboczny.

– Rozważ figury trójwymiarowe: sześcian, piramida, stożek, walec itp. Figury te mają również oś symetrii. Ustal, ile osi symetrii ma kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny i proponowane figury trójwymiarowe?

Rozdaję uczniom połówki figurek z plasteliny.

Zadanie 4 (3 minuty).

– Korzystając z otrzymanych informacji, uzupełnij brakującą część rysunku.

Notatka: figura może być zarówno płaska, jak i trójwymiarowa. Ważne jest, aby uczniowie określili, jak przebiega oś symetrii i uzupełnili brakujący element. Poprawność pracy ocenia sąsiad przy biurku i ocenia, jak poprawnie została wykonana praca.

Linia (zamknięta, otwarta, z samoprzecięciem, bez samoprzecięcia) jest ułożona z koronki tego samego koloru na pulpicie.

Zadanie 5 (praca w grupach 5 min).

– Wizualnie określ oś symetrii i względem niej uzupełnij drugą część koronką w innym kolorze.

Poprawność wykonanej pracy oceniają sami studenci.

Elementy rysunków prezentowane są studentom

Zadanie 6 (2 minuty).

– Znajdź symetryczne części tych rysunków.

Dla utrwalenia przerobionego materiału proponuję następujące zadania zaplanowane na 15 minut:

Nazwij wszystkie równe elementy trójkąta KOR i KOM. Jakiego rodzaju są to trójkąty?

2. Narysuj w swoim notatniku kilka trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie 6 cm.

3. Narysuj odcinek AB. Skonstruuj odcinek AB prostopadły i przechodzący przez jego środek. Zaznacz na nim punkty C i D tak, aby czworokąt ACBD był symetryczny względem prostej AB.

- Nasz wstępne zgłoszenia forma sięga bardzo odległej epoki starożytnej epoki kamienia - paleolitu. Przez setki tysięcy lat tego okresu ludzie żyli w jaskiniach, w warunkach niewiele różniących się od życia zwierząt. Ludzie wytwarzali narzędzia służące do łowiectwa i rybołówstwa, rozwinęli język umożliwiający wzajemną komunikację, a w epoce późnego paleolitu upiększyli swoje istnienie, tworząc dzieła sztuki, figurki i rysunki, które odznaczały się niezwykłym wyczuciem formy.
Kiedy nastąpiło przejście od prostego gromadzenia żywności do jej aktywnej produkcji, od łowiectwa i rybołówstwa do rolnictwa, ludzkość wkroczyła w nową epokę kamienia, neolit.
Człowiek neolityczny miał doskonałe wyczucie form geometrycznych. Wypalanie i malowanie naczyń glinianych, wytwarzanie mat z trzciny, koszy, tkanin, a później obróbka metalu rozwinęła idee figur planarnych i przestrzennych. Ozdoby neolityczne cieszyły oko, podkreślały równość i symetrię.
– Gdzie w przyrodzie występuje symetria?

Sugerowana odpowiedź: skrzydła motyli, chrząszczy, liście drzew...

– Symetrię można zaobserwować także w architekturze. Budując budynki, budowniczowie ściśle przestrzegają symetrii.

Dlatego budynki okazują się takie piękne. Przykładem symetrii są także ludzie i zwierzęta.

Praca domowa:

1. Wymyśl własną ozdobę, narysuj ją na kartce formatu A4 (możesz narysować ją w formie dywanu).
2. Narysuj motyle, zwróć uwagę, gdzie występują elementy symetrii.

Życie ludzi jest wypełnione symetrią. Jest wygodnie, pięknie i nie trzeba wymyślać nowych standardów. Ale czym tak naprawdę jest i czy jest tak piękny w naturze, jak się powszechnie uważa?

Symetria

Od czasów starożytnych ludzie starali się organizować otaczający ich świat. Dlatego niektóre rzeczy są uważane za piękne, a niektóre nie. Z estetycznego punktu widzenia za atrakcyjne uważa się proporcje złota i srebra, a także oczywiście symetrię. Termin ten ma Pochodzenie greckie i dosłownie oznacza „proporcjonalność”. Oczywiście mówimy nie tylko o zbiegu okoliczności na tej podstawie, ale także na innych. W sensie ogólnym symetria jest właściwością obiektu, gdy w wyniku pewnych formacji wynik jest równy pierwotnym danym. Występuje zarówno w przyrodzie żywej, jak i nieożywionej, a także w przedmiotach wytworzonych przez człowieka.

Przede wszystkim termin „symetria” jest używany w geometrii, ale znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, a jego znaczenie pozostaje w zasadzie niezmienione. Zjawisko to występuje dość często i jest uważane za interesujące, ponieważ różni się kilka jego typów, a także elementów. Zastosowanie symetrii jest również interesujące, ponieważ występuje nie tylko w naturze, ale także we wzorach na tkaninach, obramowaniach budynków i wielu innych przedmiotach stworzonych przez człowieka. Warto przyjrzeć się temu zjawisku bliżej, gdyż jest ono niezwykle fascynujące.

Użycie terminu w innych dziedzinach nauki

W dalszej części symetria zostanie rozważona z geometrycznego punktu widzenia, ale warto o tym wspomnieć dane słowo stosowane nie tylko tutaj. Biologia, wirusologia, chemia, fizyka, krystalografia - wszystko to jest niepełną listą dziedzin, w których zjawisko to jest badane pod różnymi kątami i w różnych warunkach. Na przykład klasyfikacja zależy od nauki, do której odnosi się ten termin. Zatem podział na typy jest bardzo zróżnicowany, choć być może niektóre podstawowe pozostają niezmienione przez cały czas.

Klasyfikacja

Istnieje kilka głównych typów symetrii, z których trzy są najczęstsze:

Ponadto w geometrii wyróżnia się również następujące typy; są one znacznie mniej powszechne, ale nie mniej interesujące:

• przesuwny;
• rotacyjny;
• punkt;
• progresywny;
• śruba;
• fraktal;
• itp.

W biologii wszystkie gatunki nazywane są nieco inaczej, choć w istocie mogą być takie same. Podział na określone grupy następuje na podstawie obecności lub nieobecności, a także ilości określonych elementów, takich jak środki, płaszczyzny i osie symetrii. Należy je rozpatrywać osobno i bardziej szczegółowo.

Podstawowe elementy

Zjawisko ma pewne cechy, z których jedna jest koniecznie obecna. Do tak zwanych elementów podstawowych zalicza się płaszczyzny, środki i osie symetrii. Rodzaj określa się na podstawie ich obecności, nieobecności i ilości.

Środek symetrii to punkt wewnątrz figury lub kryształu, w którym zbiegają się linie łączące parami wszystkie boki równoległe do siebie. Oczywiście nie zawsze istnieje. Jeśli istnieją boki, do których nie ma pary równoległej, wówczas nie można znaleźć takiego punktu, ponieważ nie istnieje. Zgodnie z definicją jest oczywiste, że środkiem symetrii jest ten, przez który figura może odbijać się na sobie. Przykładem może być na przykład okrąg i punkt w jego środku. Ten element jest zwykle oznaczony jako C.

Płaszczyzna symetrii jest oczywiście wyimaginowana, ale to właśnie ona dzieli figurę na dwie równe części. Może przechodzić przez jeden lub więcej boków, być do niego równoległy lub je dzielić. Dla tej samej figury może istnieć kilka płaszczyzn jednocześnie. Elementy te są zwykle oznaczone jako P.

Ale być może najbardziej powszechną jest tak zwana „oś symetrii”. Jest to zjawisko powszechne, które można zaobserwować zarówno w geometrii, jak i w przyrodzie. I jest to warte osobnego rozważenia.

Osie

Często elementem, w stosunku do którego figurę można nazwać symetryczną, jest

Przykłady obejmują równoramienne i W pierwszym przypadku będzie Oś pionowa symetria, po obu stronach której znajdują się równe ściany, a w drugiej linie przecinają każdy kąt i pokrywają się ze wszystkimi dwusiecznymi, środkowymi i wysokościami. Zwykłe trójkąty tego nie mają.

Nawiasem mówiąc, całość wszystkich powyższych elementów w krystalografii i stereometrii nazywa się stopniem symetrii. Wskaźnik ten zależy od liczby osi, płaszczyzn i środków.

Przykłady z geometrii

Konwencjonalnie cały zbiór obiektów badań matematyków możemy podzielić na figury posiadające oś symetrii i takie, które jej nie mają. Wszystkie koła, owale, a także niektóre szczególne przypadki automatycznie zaliczają się do pierwszej kategorii, a pozostałe do drugiej grupy.

Podobnie jak w przypadku, gdy mówiliśmy o osi symetrii trójkąta, element ten nie zawsze istnieje dla czworoboku. W przypadku kwadratu, prostokąta, rombu lub równoległoboku tak, ale w przypadku figury nieregularnej odpowiednio nie. W przypadku okręgu oś symetrii to zbiór prostych przechodzących przez jego środek.

Ponadto z tego punktu widzenia interesujące jest rozważenie figur trójwymiarowych. Oprócz wszystkich regularnych wielokątów i kuli, niektóre stożki, a także piramidy, równoległoboki i inne będą miały co najmniej jedną oś symetrii. Każdy przypadek należy rozpatrywać osobno.

Przykłady w przyrodzie

W życiu nazywa się to obustronnym, występuje najczęściej
często. Każdy człowiek i wiele zwierząt jest tego przykładem. Osiowy nazywa się promieniowym i z reguły występuje znacznie rzadziej w świecie roślin. A jednak istnieją. Warto na przykład zastanowić się, ile osi symetrii ma gwiazda i czy w ogóle je ma? Oczywiście mówimy o życiu morskim, a nie o przedmiocie badań astronomów. A prawidłowa odpowiedź brzmiałaby: zależy to od liczby promieni gwiazdy, na przykład pięciu, jeśli jest pięcioramienna.

Ponadto symetrię promieniową obserwuje się w wielu kwiatach: stokrotkach, chabrach, słonecznikach itp. Istnieje ogromna liczba przykładów, są dosłownie wszędzie.

Niemiarowość

Termin ten przede wszystkim przypomina najbardziej medycynę i kardiologię, choć początkowo ma nieco inne znaczenie. W tym przypadku synonimem będzie „asymetria”, to znaczy brak lub naruszenie prawidłowości w takiej czy innej formie. Można to uznać za przypadek, a czasem może stać się cudowną techniką, na przykład w ubiorze czy architekturze. Przecież budynków symetrycznych jest sporo, ale ten słynny jest lekko pochylony i choć nie jedyny, to najbardziej słynny przykład. Wiadomo, że stało się to przez przypadek, ale ma to swój urok.

Ponadto oczywiste jest, że twarze i ciała ludzi i zwierząt również nie są całkowicie symetryczne. Przeprowadzono nawet badania, które wykazały, że „prawidłowe” twarze są oceniane jako pozbawione życia lub po prostu nieatrakcyjne. Mimo to postrzeganie symetrii i samo to zjawisko są niesamowite i nie zostały jeszcze w pełni zbadane, a zatem są niezwykle interesujące.

I . Symetria w matematyce :

Podstawowe pojęcia i definicje.

Symetria osiowa (definicje, plan konstrukcyjny, przykłady)

Symetria centralna (definicje, plan budowy, kiedyśrodki)

Tabela podsumowująca (wszystkie właściwości, cechy)

II . Zastosowania symetrii:

1) w matematyce

2) w chemii

3) z biologii, botaniki i zoologii

4) w sztuce, literaturze i architekturze

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/indeks.html

1. Podstawowe pojęcia symetrii i jej rodzaje.

Pojęcie symetrii R sięga całej historii ludzkości. Można ją znaleźć już u początków wiedzy ludzkiej. Powstał w związku z badaniem żywego organizmu, a mianowicie człowieka. I był używany przez rzeźbiarzy już w V wieku p.n.e. mi. Słowo „symetria” pochodzi z języka greckiego i oznacza „proporcjonalność, proporcjonalność, identyczność układu części”. Jest szeroko stosowany we wszystkich obszarach współczesnej nauki bez wyjątku. Wiele wspaniałych osób myślało o tym wzorze. Na przykład L.N. Tołstoj powiedział: „Stojąc przed czarną tablicą i rysując na niej kredą różne figury, nagle uderzyła mnie myśl: dlaczego symetria jest wyraźna dla oka? Co to jest symetria? To wrodzone uczucie, odpowiedziałem sobie. Na czym to bazuje?" Symetria jest naprawdę przyjemna dla oka. Któż nie zachwycał się symetrią stworzeń natury: liści, kwiatów, ptaków, zwierząt; czyli wytwory człowieka: budynki, technologia, wszystko, co nas otacza od dzieciństwa, wszystko, co dąży do piękna i harmonii. Hermann Weyl powiedział: „Symetria to idea, dzięki której człowiek na przestrzeni wieków próbował zrozumieć i stworzyć porządek, piękno i doskonałość”. Hermann Weyl jest niemieckim matematykiem. Jego działalność obejmuje pierwszą połowę XX wieku. To on sformułował definicję symetrii, ustalającą, według jakich kryteriów można określić obecność lub odwrotnie brak symetrii w danym przypadku. Zatem matematycznie rygorystyczna koncepcja powstała stosunkowo niedawno - na początku XX wieku. To dość skomplikowane. Odwróćmy się i jeszcze raz przypomnijmy sobie definicje, które podano nam w podręczniku.

2. Symetria osiowa.

2.1 Podstawowe definicje

Definicja. Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem linii a, jeśli linia ta przechodzi przez środek odcinka AA 1 i jest do niego prostopadła. Każdy punkt linii a jest uważany za symetryczny względem siebie.

Definicja. Mówi się, że figura jest symetryczna względem linii prostej A, jeżeli dla każdego punktu figury istnieje punkt symetryczny względem prostej A również należy do tej postaci. Prosty A zwaną osią symetrii figury. Mówi się również, że figura ma symetrię osiową.

2.2 Plan budowy

I tak, aby skonstruować figurę symetryczną względem prostej, z każdego punktu rysujemy prostopadłą do tej prostej i rozciągamy ją na tę samą odległość, zaznaczamy wynikowy punkt. Robimy to z każdym punktem i otrzymujemy symetryczne wierzchołki nowej figury. Następnie łączymy je szeregowo i otrzymujemy figurę symetryczną danej osi względnej.

2.3 Przykłady figur o symetrii osiowej.

3. Symetria centralna

3.1 Podstawowe definicje

Definicja. Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem punktu O, jeśli O jest środkiem odcinka AA 1. Punkt O jest uważany za symetryczny względem siebie.

Definicja. Figurę nazywamy symetryczną względem punktu O, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem punktu O.

3.2 Plan budowy

Konstrukcja trójkąta symetrycznego do danego względem środka O.

Aby skonstruować punkt symetryczny do punktu A względem punktu O, wystarczy narysować linię prostą OA(ryc. 46 ) i po drugiej stronie punktu O odłóż odcinek równy temu segmentowi OA. Innymi słowy , punkty A i ; W I ; C i symetryczny względem pewnego punktu O. Na ryc. 46 skonstruowany jest trójkąt symetryczny do trójkąta ABC względem punktu O. Te trójkąty są równe.

Budowa punktów symetrycznych względem środka.

Na rysunku punkty M i M 1, N i N 1 są symetryczne względem punktu O, natomiast punkty P i Q nie są symetryczne względem tego punktu.

Ogólnie rzecz biorąc, figury symetryczne względem pewnego punktu są równe .

3.3 Przykłady

Podajmy przykłady figur, które mają centralną symetrię. Najprostsze figury o symetrii centralnej to okrąg i równoległobok.

Punkt O nazywany jest środkiem symetrii figury. W takich przypadkach figura ma centralną symetrię. Środek symetrii okręgu jest środkiem okręgu, a środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia jego przekątnych.

Linia prosta również ma symetrię środkową, ale w przeciwieństwie do koła i równoległoboku, które mają tylko jeden środek symetrii (punkt O na rysunku), linia prosta ma ich nieskończoną liczbę - jej środkiem jest dowolny punkt na prostej symetrii.

Zdjęcia przedstawiają kąt symetryczny względem wierzchołka, odcinek symetryczny do innego odcinka względem środka A oraz czworobok symetryczny względem wierzchołka M.

Przykładem figury, która nie ma środka symetrii, jest trójkąt.

4. Podsumowanie lekcji

Podsumujmy zdobytą wiedzę. Dzisiaj na zajęciach poznaliśmy dwa główne typy symetrii: centralną i osiową. Spójrzmy na ekran i usystematyzujmy zdobytą wiedzę.

Tabela podsumowań

	Symetria osiowa	Centralna symetria
Osobliwość	Wszystkie punkty figury muszą być symetryczne względem jakiejś linii prostej.	Wszystkie punkty figury muszą być symetryczne względem punktu wybranego jako środek symetrii.
Nieruchomości	1. Punkty symetryczne leżą na prostopadłych do prostej. 3. Proste linie zamieniają się w linie proste, kąty w równe kąty. 4. Zachowano rozmiary i kształty figur.	1. Punkty symetryczne leżą na prostej przechodzącej przez środek i dany punkt figury. 2. Odległość punktu od prostej jest równa odległości od prostej do punktu symetrycznego. 3. Zachowano rozmiary i kształty figur.

II. Zastosowanie symetrii

© Elena Władimirowna Sukhacheva, 2008-2009.