Թվերի մոդուլայս թիվն ինքնին կոչվում է, եթե այն ոչ բացասական է, կամ նույն թիվը հակառակ նշանով, եթե այն բացասական է:

Օրինակ՝ 6 թվի մոդուլը 6 է, իսկ -6 թվի մոդուլը նույնպես 6 է։

Այսինքն՝ թվի մոդուլը հասկացվում է որպես բացարձակ արժեք, այս թվի բացարձակ արժեք՝ առանց դրա նշանը հաշվի առնելու։

Նշանակված է հետևյալ կերպ՝ |6|, | X|, |Ա| և այլն:

(Մանրամասն՝ «Թիվ մոդուլ» բաժնում):

Մոդուլով հավասարումներ.

Օրինակ 1 . Լուծե՛ք հավասարումը|10 X - 5| = 15.

Լուծում.

Ըստ կանոնի՝ հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների համակցությանը.

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Մենք որոշում ենք.

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Պատասխանել: X 1 = 2, X 2 = -1.

Օրինակ 2 . Լուծե՛ք հավասարումը|2 X + 1| = X + 2.

Լուծում.

Քանի որ մոդուլը ոչ բացասական թիվ է, ուրեմն X+ 2 ≥ 0. Համապատասխանաբար.

X ≥ -2.

Կազմենք երկու հավասարում.

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Մենք որոշում ենք.

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Երկու թվերն էլ մեծ են -2-ից: Այսպիսով, երկուսն էլ հավասարման արմատներն են:

Պատասխանել: X 1 = -1, X 2 = 1.

Օրինակ 3 . Լուծե՛ք հավասարումը

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Լուծում.

Հավասարումը իմաստ ունի, եթե հայտարարը զրո չէ, նշանակում է, եթե X≠ 1. Հաշվի առնենք այս պայմանը. Մեր առաջին գործողությունը պարզ է. մենք ոչ միայն ազատվում ենք կոտորակից, այլ այն ձևափոխում ենք, որպեսզի մոդուլը ստանանք իր մաքուր ձևով.

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Այժմ մենք ունենք միայն արտահայտություն հավասարման ձախ կողմում գտնվող մոդուլի տակ: Շարունակիր.
Թվի մոդուլը ոչ բացասական թիվ է, այսինքն՝ այն պետք է լինի զրոյից մեծ կամ հավասար զրոյի։ Ըստ այդմ, մենք լուծում ենք անհավասարությունը.

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Այսպիսով, մենք ունենք երկրորդ պայմանը` հավասարման արմատը պետք է լինի առնվազն 3/4:

Կանոնի համաձայն, մենք կազմում ենք երկու հավասարումների հավաքածու և լուծում դրանք.

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Ստացանք երկու պատասխան. Եկեք ստուգենք, թե արդյոք դրանք սկզբնական հավասարման արմատներ են:

Մենք ունեինք երկու պայման՝ հավասարման արմատը չի կարող հավասար լինել 1-ի, և այն պետք է լինի առնվազն 3/4։ Այն է X ≠ 1, X≥ 3/4. Այս երկու պայմաններն էլ համապատասխանում են ստացված երկու պատասխաններից միայն մեկին՝ 2 թվին։ Սա նշանակում է, որ միայն սա է սկզբնական հավասարման արմատը։

Պատասխանել: X = 2.

Անհավասարություններ մոդուլով.

Օրինակ 1 . Լուծել անհավասարությունը| X - 3| < 4

Լուծում.

Մոդուլի կանոնը նշում է.

|Ա| = Ա, Եթե Ա ≥ 0.

|Ա| = -Ա, Եթե Ա < 0.

Մոդուլը կարող է ունենալ ինչպես ոչ բացասական, այնպես էլ բացասական թվեր։ Այսպիսով, մենք պետք է հաշվի առնենք երկու դեպքերը. X- 3 ≥ 0 և X - 3 < 0.

1) Երբ X- 3 ≥ 0 մեր սկզբնական անհավասարությունը մնում է այնպիսին, ինչպիսին կա, միայն առանց մոդուլի նշանի.
X - 3 < 4.

2) Երբ X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք.

-X + 3 < 4.

Այսպիսով, այս երկու պայմաններից մենք հասանք անհավասարությունների երկու համակարգերի միավորմանը.

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Եկեք լուծենք դրանք.

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Այսպիսով, մեր պատասխանը երկու բազմությունների միավորումն է.

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Որոշեք ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները: Դրանք են -1 և 7. Ընդ որում X-1-ից մեծ, բայց 7-ից փոքր:
Բացի այդ, X≥ 3. Սա նշանակում է, որ անհավասարության լուծումը -1-ից մինչև 7 թվերի ամբողջ բազմությունն է՝ չհաշված այս ծայրահեղ թվերը:

Պատասխանել: -1 < X < 7.

Կամ: X ∈ (-1; 7).

Հավելումներ.

1) Մեր անհավասարությունը լուծելու ավելի պարզ և կարճ ճանապարհ կա՝ գրաֆիկական: Դա անելու համար հարկավոր է հորիզոնական առանցք գծել (նկ. 1):

Արտահայտություն | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-րդ կետը չորս միավորից պակաս է: Մենք առանցքի վրա նշում ենք 3 թիվը և հաշվում ենք 4 բաժանում նրանից աջ և ձախ։ Ձախից կգանք -1 կետին, աջից՝ 7-րդ կետին: Այսպիսով, կետերը Xմենք ուղղակի տեսանք դրանք առանց հաշվարկելու։

Ընդ որում, ըստ անհավասարության պայմանի՝ -1-ը և 7-ն իրենք ներառված չեն լուծումների շարքում։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք պատասխանը.

1 < X < 7.

2) Բայց կա ևս մեկ լուծում, որն ավելի պարզ է նույնիսկ գրաֆիկական մեթոդից: Դա անելու համար մեր անհավասարությունը պետք է ներկայացվի հետևյալ ձևով.

4 < X - 3 < 4.

Չէ՞ որ մոդուլի կանոնի համաձայն այդպես է. Ոչ բացասական 4 թիվը և նույնանման բացասական թիվը -4 անհավասարության լուծման սահմաններն են։

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Օրինակ 2 . Լուծել անհավասարությունը| X - 2| ≥ 5

Լուծում.

Այս օրինակը զգալիորեն տարբերվում է նախորդից։ Ձախ կողմը մեծ է 5-ից կամ հավասար է 5-ի: Երկրաչափական տեսանկյունից անհավասարության լուծումը բոլոր այն թվերն են, որոնք գտնվում են 2-րդ կետից 5 միավոր կամ ավելի հեռավորության վրա (նկ. 2): Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ սրանք բոլոր թվերն են, որոնք փոքր են կամ հավասար են -3-ին և մեծ են կամ հավասար են 7-ին: Սա նշանակում է, որ մենք արդեն ստացել ենք պատասխանը:

Պատասխանել: -3 ≥ X ≥ 7.

Ճանապարհին մենք լուծում ենք նույն անհավասարությունը՝ հակառակ նշանով ազատ անդամը վերադասավորելով ձախ և աջ.

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Պատասխանը նույնն է՝ -3 ≥ X ≥ 7.

Կամ: X ∈ [-3; 7]

Օրինակը լուծված է.

Օրինակ 3 . Լուծել անհավասարությունը 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Լուծում.

Թիվ Xկարող է լինել դրական թիվ, բացասական թիվ կամ զրո: Ուստի պետք է հաշվի առնել բոլոր երեք հանգամանքները։ Ինչպես գիտեք, դրանք հաշվի են առնվում երկու անհավասարություններով. X≥ 0 և X < 0. При X≥ 0 մենք պարզապես վերագրում ենք մեր սկզբնական անհավասարությունը, ինչպես կա, միայն առանց մոդուլի նշանի.

6 x 2 - X - 2 ≤ 0.

Հիմա երկրորդ դեպքի մասին՝ եթե X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Ընդլայնելով փակագծերը.

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Այսպիսով, մենք ստացանք հավասարումների երկու համակարգ.

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Մենք պետք է լուծենք անհավասարությունները համակարգերում, և դա նշանակում է, որ մենք պետք է գտնենք երկու քառակուսի հավասարումների արմատները: Դա անելու համար անհավասարությունների ձախ կողմերը հավասարեցնում ենք զրոյի:

Սկսենք առաջինից.

6X 2 - X - 2 = 0.

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումը - տե՛ս «Քառակուսի հավասարում» բաժինը: Պատասխանն անմիջապես կանվանենք.

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3:

Անհավասարումների առաջին համակարգից մենք ստանում ենք, որ սկզբնական անհավասարության լուծումը -1/2-ից մինչև 2/3 թվերի ամբողջությունն է: Մենք գրում ենք լուծումների միավորումը ժամը X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Այժմ լուծենք երկրորդ քառակուսի հավասարումը.

6X 2 + X - 2 = 0.

Դրա արմատները.

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Եզրակացություն՝ երբ X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Համատեղենք երկու պատասխանները և ստանանք վերջնական պատասխանը. լուծումը -2/3-ից մինչև 2/3 թվերի ամբողջությունն է՝ ներառյալ այս ծայրահեղ թվերը:

Պատասխանել: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Կամ: X ∈ [-2/3; 2/3].

Այս առցանց մաթեմատիկական հաշվիչը կօգնի ձեզ լուծել հավասարում կամ անհավասարություն մոդուլներով. Ծրագիր համար մոդուլներով հավասարումների և անհավասարությունների լուծումոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այն տանում է մանրամասն լուծում՝ բացատրություններով, այսինքն. ցուցադրում է արդյունքի ստացման գործընթացը.

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել հանրակրթական դպրոցների ավագ դպրոցի աշակերտներին՝ թեստերին և քննություններին նախապատրաստվելիս, մինչև միասնական պետական ​​քննությունը գիտելիքները ստուգելիս, և ծնողների համար՝ վերահսկելու մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել հնարավորինս արագ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկայի՞ն, թե՞ հանրահաշիվին։ Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ վերապատրաստումը ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի համար, մինչդեռ բարձրանում է կրթության մակարդակը խնդիրների լուծման ոլորտում:

Մուտքագրեք մոդուլներով հավասարում կամ անհավասարություն

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Որովհետեւ Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր հարցումը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...

Եթե ​​դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի փոքր տեսություն.

Հավասարումներ և անհավասարություններ մոդուլներով

Հիմնական դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում դուք կարող եք հանդիպել մոդուլներով ամենապարզ հավասարումների և անհավասարություններին: Դրանք լուծելու համար դուք կարող եք օգտագործել երկրաչափական մեթոդ, որը հիմնված է այն փաստի վրա, որ \(|x-a| \)-ը թվային գծի հեռավորությունն է x և a կետերի միջև. \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Օրինակ, \(|x-3|=2\) հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է թվային ուղղի վրա գտնել կետեր, որոնք գտնվում են 3-րդ կետից 2 հեռավորության վրա։ Նման երկու կետ կա՝ \(x_1=1։ \) և \(x_2=5\) .

Անհավասարության լուծում \(|2x+7|

Բայց մոդուլներով հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելու հիմնական միջոցը կապված է այսպես կոչված «մոդուլի բացահայտման» հետ.
եթե \(a \geq 0 \), ապա \(|a|=a \);
եթե \(a Որպես կանոն, մոդուլներով հավասարումը (անհավասարությունը) կրճատվում է մոդուլի նշան չպարունակող հավասարումների (անհավասարումների) բազմության։

Բացի վերը նշված սահմանումից, օգտագործվում են հետևյալ հայտարարությունները.
1) Եթե \(c > 0\), ապա \(|f(x)|=c \) հավասարումը համարժեք է հավասարումների բազմությանը. \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \վերջ (զանգված)\աջ: \)
2) Եթե \(c > 0 \), ապա անհավասարությունը \(|f(x)| 3) Եթե \(c \geq 0 \), ապա անհավասարությունը \(|f(x)| > c \) է. համարժեք է մի շարք անհավասարությունների.
4) Եթե \(f(x) անհավասարության երկու կողմերն էլ. ՕՐԻՆԱԿ 1. Լուծե՛ք \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) հավասարումը:

Եթե ​​\(x-1 \geq 0\), ապա \(|x-1| = x-1\) և տրված հավասարումըվերցնում է ձևը
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Աջ սլաք x^2 +2x -8 = 0 \):
Եթե ​​\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Աջ սլաք x^2 -2x -4 = 0 \):
Այսպիսով, նշված հավասարումը պետք է առանձին դիտարկել նշված երկու դեպքերից յուրաքանչյուրում:
1) Թող \(x-1 \geq 0 \), այսինքն. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) հավասարումից գտնում ենք \(x_1=2, \; x_2=-4\): \(x \geq 1 \) պայմանը բավարարվում է միայն \(x_1=2\) արժեքով։
2) Թող \(x-1 Պատասխան. \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ՕՐԻՆԱԿ 2. Լուծե՛ք \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\ հավասարումը:

Առաջին ճանապարհը(Մոդուլի ընդլայնում ըստ սահմանման):
Պատճառաբանելով օրինակ 1-ում, մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ տրված հավասարումը պետք է դիտարկել առանձին, եթե բավարարված են երկու պայման՝ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) կամ \(x^2-6x+7:

1) Եթե \(x^2-6x+7 \geq 0 \), ապա \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) և տրված հավասարումը ստանում է \(x) ձևը. ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Աջ սլաք 3x^2-23x+30=0 \): Այս քառակուսային հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք՝ \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \):
Եկեք պարզենք, արդյոք \(x_1=6\) արժեքը բավարարում է \(x^2-6x+7 \geq 0\) պայմանին: Դա անելու համար նշված արժեքը փոխարինեք քառակուսային անհավասարությամբ: Ստանում ենք՝ \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), այսինքն. \(7 \geq 0 \) իսկական անհավասարություն է։ Սա նշանակում է, որ \(x_1=6\) տրված հավասարման արմատն է։
Եկեք պարզենք, արդյոք \(x_2=\frac(5)(3)\) արժեքը բավարարում է \(x^2-6x+7 \geq 0\) պայմանը։ Դա անելու համար նշված արժեքը փոխարինեք քառակուսային անհավասարությամբ: Ստանում ենք՝ \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), այսինքն. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) սխալ անհավասարություն է։ Սա նշանակում է, որ \(x_2=\frac(5)(3)\) տրված հավասարման արմատը չէ։

2) Եթե \(x^2-6x+7 արժեքը \(x_3=3\) բավարարում է պայմանը \(x^2-6x+7 Արժեքը \(x_4=\frac(4)(3) \) չի բավարարում պայմանը \ (x^2-6x+7 Այսպիսով, տրված հավասարումն ունի երկու արմատ՝ \(x=6, \; x=3 \):

Երկրորդ ճանապարհ.Եթե ​​տրված է \(|f(x)| = h(x) \) հավասարումը, ապա \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \վերջ (զանգված)\աջ: \)
Այս երկու հավասարումները լուծվել են վերևում (օգտագործելով տրված հավասարումը լուծելու առաջին մեթոդը), դրանց արմատները հետևյալն են՝ \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; )(3)\). Այս չորս արժեքների \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) պայմանը բավարարվում է միայն երկուսով՝ 6 և 3։ Սա նշանակում է, որ տվյալ հավասարումն ունի երկու արմատ՝ \(x=6։ , \; x=3 \ ):

Երրորդ ճանապարհ(գրաֆիկական):
1) Կառուցենք \(y = |x^2-6x+7| \) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նախ, եկեք կառուցենք պարաբոլա \(y = x^2-6x+7\): Մենք ունենք \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \): \(y = (x-3)^2-2\) ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ \(y = x^2\) ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ այն 3 սանդղակի միավորով աջ տեղափոխելով (երկայնքով: x-առանցք) և 2 սանդղակի միավոր ներքև (y առանցքի երկայնքով): x=3 ուղիղը մեզ հետաքրքրող պարաբոլայի առանցքն է։ Որպես հսկիչ կետեր ավելի ճշգրիտ գծագրման համար հարմար է վերցնել կետը (3; -2) - պարաբոլայի գագաթը, կետը (0; 7) և կետը (6; 7) սիմետրիկ դրա նկատմամբ պարաբոլայի առանցքի նկատմամբ: .
Այժմ \(y = |x^2-6x+7| \) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է անփոփոխ թողնել կառուցված պարաբոլայի այն մասերը, որոնք գտնվում են x-առանցքից ոչ ցած, և արտացոլել այդ հատվածը: պարաբոլա, որը գտնվում է x առանցքի տակ x առանցքի նկատմամբ:
2) Եկեք կառուցենք գրաֆիկ գծային ֆունկցիա\(y = \frac(5x-9)(3)\): Որպես հսկիչ կետեր հարմար է վերցնել (0; –3) և (3; 2) կետերը:

Կարևոր է, որ աբսցիսային առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետը x = 1,8 գտնվում է պարաբոլայի աբսցիսային առանցքի հետ հատման ձախ կետից աջ, սա \(x=3-\) կետն է: sqrt(2) \) (քանի որ \(3-\sqrt(2) 3) Դատելով գծագրից՝ գրաֆիկները հատվում են երկու կետով՝ A(3; 2) և B(6; 7): Փոխարինելով դրանց աբսցիսները. x = 3 և x = 6 կետերը տրված հավասարման մեջ, մենք համոզված ենք, որ երկուսն էլ մեկ այլ արժեքով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն: Սա նշանակում է, որ մեր վարկածը հաստատվել է. հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x = 3 և x = 6: Պատասխան՝ 3; 6.

Մեկնաբանություն. Գրաֆիկական մեթոդը, չնայած իր նրբագեղությանը, այնքան էլ հուսալի չէ: Դիտարկված օրինակում այն ​​աշխատեց միայն այն պատճառով, որ հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Լուծե՛ք \(|2x-4|+|x+3| = 8\) հավասարումը

Առաջին ճանապարհը
2x–4 արտահայտությունը x = 2 կետում դառնում է 0, իսկ x = –3 կետում x + 3 արտահայտությունը դառնում է 0։ Այս երկու կետերը թվային տողը բաժանում են երեք միջակայքի՝ \(x

Դիտարկենք առաջին միջակայքը՝ \((-\infty; \; -3) \):
Եթե ​​x Դիտարկենք երկրորդ միջակայքը՝ \([-3; \; 2) \):
Եթե ​​\(-3 \leq x Դիտարկենք երրորդ միջակայքը՝ \(

Ելույթ ունենալով պարզ լեզվով, մոդուլը «թիվ է առանց մինուսի»։ Եվ հենց այս երկակիության մեջ է (որոշ տեղերում պետք չէ որևէ բան անել սկզբնական համարի հետ, բայց որոշ տեղերում պետք է հեռացնել ինչ-որ մինուս), որտեղ սկսնակ ուսանողների համար ամբողջ դժվարությունն է:

Էլի կա՞ երկրաչափական սահմանում. Օգտակար է նաև իմանալ, բայց դրան կանդրադառնանք միայն բարդ և որոշ հատուկ դեպքերում, որտեղ երկրաչափական մոտեցումն ավելի հարմար է, քան հանրահաշվականը (սպոյլերը՝ ոչ այսօր):

Սահմանում. Թող $a$ կետը նշվի թվային տողի վրա։ Այնուհետև մոդուլը $\left| x-a \right|$-ն այս տողի $x$ կետից մինչև $a$ կետ հեռավորությունն է:

Եթե ​​նկար նկարեք, կստանաք այսպիսի բան.

Այսպես թե այնպես, մոդուլի սահմանումից անմիջապես հետևում է նրա հիմնական հատկությունը. թվի մոդուլը միշտ ոչ բացասական մեծություն է. Այս փաստը կդառնա կարմիր թել, որը կանցնի այսօրվա մեր ողջ պատմվածքի միջով:

Անհավասարությունների լուծում. Ինտերվալ մեթոդ

Հիմա եկեք նայենք անհավասարություններին: Դրանցից շատերը կան, բայց մեր խնդիրն այժմ այն ​​է, որ կարողանանք լուծել դրանցից գոնե ամենապարզը։ Նրանք, ովքեր իջնում ​​են գծային անհավասարություններ, ինչպես նաև միջակայքի մեթոդին։

Ես ունեմ երկու մեծ դաս այս թեմայով (ի դեպ, շատ, ՇԱՏ օգտակար, խորհուրդ եմ տալիս ուսումնասիրել դրանք).

1. Անհավասարությունների միջակայքային մեթոդ (հատկապես դիտեք տեսանյութը);
2. Կոտորակի ռացիոնալ անհավասարությունները շատ ծավալուն դաս են, բայց դրանից հետո ընդհանրապես հարցեր չեք ունենա:

Եթե ​​դուք գիտեք այս ամենը, եթե «եկեք անցնենք անհավասարությունից հավասարման» արտահայտությունը ձեզ պատին հարվածելու աղոտ ցանկություն չի առաջացնում, ապա դուք պատրաստ եք. բարի գալուստ դժոխք դասի հիմնական թեմային: :)

1. «Մոդուլը փոքր է ֆունկցիայից» ձևի անհավասարություններ.

Սա մոդուլների հետ կապված ամենատարածված խնդիրներից մեկն է: Ձևի անհավասարությունը լուծելու համար պահանջվում է.

\[\ձախ| f\աջ| \ltg\]

$f$ և $g$ ֆունկցիաները կարող են լինել ցանկացած բան, բայց սովորաբար դրանք բազմանդամներ են: Նման անհավասարությունների օրինակներ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7; \\ & \ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0; \\ & \ձախ| ((x)^(2))-2\ձախ| x \աջ|-3 \իրավունք| \lt 2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դրանք բոլորը կարող են լուծվել բառացիորեն մեկ տողում հետևյալ սխեմայի համաձայն.

\[\ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \ ձախ (\Rightarrow \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ.\ճիշտ)\]

Հեշտ է տեսնել, որ մենք ազատվում ենք մոդուլից, բայց դրա դիմաց ստանում ենք կրկնակի անհավասարություն (կամ, որը նույնն է՝ երկու անհավասարությունների համակարգ)։ Բայց այս անցումը հաշվի է առնում բացարձակապես ամեն ինչ հնարավոր խնդիրներԵթե ​​մոդուլի տակ գտնվող թիվը դրական է, մեթոդն աշխատում է. եթե բացասական է, այն դեռ աշխատում է; և նույնիսկ եթե $f$ կամ $g$-ի փոխարեն ամենաանադեկվատ ֆունկցիան լինի, մեթոդը դեռ կաշխատի:

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ մի՞թե ավելի պարզ չէր։ Ցավոք, դա հնարավոր չէ: Սա է մոդուլի ամբողջ իմաստը:

Այնուամենայնիվ, բավական է փիլիսոփայությունը: Եկեք լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7\]

Լուծում. Այսպիսով, մենք մեր առջև ունենք «մոդուլն ավելի քիչ» ձևի դասական անհավասարություն. նույնիսկ փոխակերպելու բան չկա: Մենք աշխատում ենք ըստ ալգորիթմի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7\Աջ սլաք -\ձախ(x+7 \աջ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մի շտապեք բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «մինուսը». միանգամայն հնարավոր է, որ ձեր շտապողականության պատճառով վիրավորական սխալ թույլ տաք։

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Խնդիրը հասցվել է երկու տարրական անհավասարության։ Նկատենք դրանց լուծումները զուգահեռ թվային ուղիղների վրա.

Շատերի խաչմերուկ

Այս հավաքածուների խաչմերուկը կլինի պատասխանը:

Պատասխան՝ $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0\]

Լուծում. Այս առաջադրանքը մի փոքր ավելի բարդ է։ Նախ, եկեք մեկուսացնենք մոդուլը՝ երկրորդ տերմինը տեղափոխելով աջ.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \lt -3\ձախ(x+1 \աջ)\]

Ակնհայտ է, որ մենք կրկին ունենք «մոդուլն ավելի փոքր է» ձևի անհավասարություն, ուստի մենք ազատվում ենք մոդուլից՝ օգտագործելով արդեն հայտնի ալգորիթմը.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \lt -3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \]

Հիմա ուշադրություն. մեկը կասի, որ ես մի քիչ այլասերված եմ այս բոլոր փակագծերով։ Բայց ևս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ մեր առանցքային նպատակն է ճիշտ լուծել անհավասարությունը և ստանալ պատասխանը. Հետագայում, երբ դուք հիանալի տիրապետում եք այս դասում նկարագրված ամեն ինչին, կարող եք ինքներդ այլասերել այն, ինչպես ցանկանում եք՝ բացեք փակագծերը, ավելացրեք մինուսներ և այլն։

Սկզբից մենք պարզապես կազատվենք ձախ կողմում գտնվող կրկնակի մինուսից.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) = \ ձախ (-1 \ աջ) \ cdot \ ձախ (-3 \ աջ) \ cdot \ ձախ (x + 1 \ աջ) =3\ձախ (x+1 \աջ)\]

Այժմ բացենք բոլոր փակագծերը կրկնակի անհավասարության մեջ.

Անցնենք կրկնակի անհավասարությանը. Այս անգամ հաշվարկներն ավելի լուրջ են լինելու.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \վերջ( հավասարեցնել)\աջ։\]

Երկու անհավասարություններն էլ քառակուսի են և կարող են լուծվել միջակայքի մեթոդով (այդ իսկ պատճառով ես ասում եմ. եթե չգիտեք, թե ինչ է սա, ավելի լավ է դեռ մոդուլներ չվերցնեք): Անցնենք առաջին անհավասարության հավասարմանը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ ձախ (x+5 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ելքը թերի քառակուսի հավասարում է, որը կարելի է լուծել տարրական եղանակով։ Այժմ դիտարկենք համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։ Այնտեղ դուք պետք է կիրառեք Վիետայի թեորեմը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (x+2 \աջ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ստացված թվերը նշում ենք երկու զուգահեռ ուղիղների վրա (առաջին անհավասարության համար առանձնացված և երկրորդի համար առանձին).

Կրկին, քանի որ մենք լուծում ենք անհավասարությունների համակարգ, մեզ հետաքրքրում է ստվերավորված բազմությունների խաչմերուկը՝ $x\in \left(-5;-2 \right)$։ Սա է պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-5;-2 \աջ)$

Կարծում եմ, որ այս օրինակներից հետո լուծման սխեման չափազանց պարզ է.

1. Մեկուսացրեք մոդուլը՝ բոլոր մյուս տերմինները տեղափոխելով անհավասարության հակառակ կողմ: Այսպիսով մենք ստանում ենք $\left| ձևի անհավասարություն f\աջ| \ltg$.
2. Լուծեք այս անհավասարությունը՝ ազատվելով մոդուլից՝ համաձայն վերը նկարագրված սխեմայի։ Ինչ-որ պահի անհրաժեշտ կլինի կրկնակի անհավասարությունից անցնել երկու անկախ արտահայտությունների համակարգի, որոնցից յուրաքանչյուրն արդեն կարելի է առանձին լուծել։
3. Վերջապես, մնում է հատել այս երկու անկախ արտահայտությունների լուծումները, և վերջ, մենք կստանանք վերջնական պատասխանը:

Նմանատիպ ալգորիթմ գոյություն ունի հետևյալ տիպի անհավասարությունների համար, երբ մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից։ Այնուամենայնիվ, կան մի քանի լուրջ «բայց». Մենք հիմա կխոսենք այս «բայցերի» մասին:

2. «Մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից» ձևի անհավասարություններ.

Նրանք այսպիսի տեսք ունեն.

\[\ձախ| f\աջ| \gtg\]

Նմա՞ն է նախորդին. Թվում է. Եվ այնուամենայնիվ նման խնդիրները լուծվում են բոլորովին այլ կերպ։ Ֆորմալ կերպով սխեման հետևյալն է.

\[\ձախ| f\աջ| \gt g\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Այլ կերպ ասած, մենք դիտարկում ենք երկու դեպք.

1. Նախ, մենք պարզապես անտեսում ենք մոդուլը և լուծում սովորական անհավասարությունը.
2. Այնուհետև, ըստ էության, մենք ընդլայնում ենք մոդուլը մինուս նշանով, իսկ հետո անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկում ենք −1-ով, մինչդեռ ես ունեմ նշանը։

Այս դեպքում տարբերակները համակցված են քառակուսի փակագծով, այսինքն. Մեր առջեւ դրված է երկու պահանջների համադրություն.

Խնդրում եմ ևս մեկ անգամ նկատի ունենալ. հետևաբար սա համակարգ չէ, այլ ամբողջություն Պատասխանում բազմությունները համակցված են, քան հատվում. Սա հիմնարար տարբերություն է նախորդ կետից:

Ընդհանուր առմամբ, շատ ուսանողներ ամբողջովին շփոթված են արհմիությունների և խաչմերուկների հետ, ուստի եկեք մեկընդմիշտ կարգավորենք այս հարցը.

• «∪»-ը միության նշան է։ Ըստ էության, սա ոճավորված «U» տառ է, որը եկել է մեզ Անգլերենև «Union»-ի հապավումն է, այսինքն. «Ասոցիացիաներ».
• «∩»-ը հատման նշանն է։ Այս հիմարությունը ոչ մի տեղից չէր գալիս, այլ պարզապես հայտնվեց որպես «∪»-ի հակապատկեր:

Որպեսզի հիշելն էլ ավելի հեշտ լինի, ակնոցներ պատրաստելու համար պարզապես ոտքերը քաշեք դեպի այս նշանները (ուղղակի մի մեղադրեք ինձ թմրամոլության և ալկոհոլիզմի խթանման մեջ. եթե լրջորեն ուսումնասիրում եք այս դասը, ուրեմն արդեն թմրամոլ եք).

Ռուսերեն թարգմանված՝ սա նշանակում է հետևյալը. բայց խաչմերուկը (համակարգը) ներառում է միայն այն տարրերը, որոնք միաժամանակ կան և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավաքածուներում։ Հետևաբար, բազմությունների խաչմերուկը երբեք ավելի մեծ չէ, քան աղբյուրի հավաքածուները:

Այսպիսով, ավելի պարզ դարձավ. Հոյակապ է. Անցնենք պրակտիկային։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\]

Լուծում. Մենք գործում ենք ըստ սխեմայի.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\ձախ (5-4x \աջ) \\\վերջ (հավասարեցնել) \ ճիշտ.\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր անհավասարություն բնակչության մեջ.

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Ստացված յուրաքանչյուր բազմություն նշում ենք թվային տողի վրա, այնուհետև միավորում ենք դրանք.

Կոմպլեկտների միություն

Ակնհայտ է, որ պատասխանը կլինի $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Պատասխան՝ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gt x\]

Լուծում. Լավ? Ոչինչ - ամեն ինչ նույնն է: Մենք մոդուլով անհավասարությունից անցնում ենք երկու անհավասարությունների բազմության.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gt x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր անհավասարություն։ Ցավոք, այնտեղ արմատները այնքան էլ լավ չեն լինի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Երկրորդ անհավասարությունը նույնպես մի փոքր վայրի է.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ դուք պետք է նշեք այս թվերը երկու առանցքների վրա՝ մեկ առանցք յուրաքանչյուր անհավասարության համար: Այնուամենայնիվ, դուք պետք է նշեք կետերը ճիշտ հերթականությամբ. որքան մեծ է թիվը, այնքան կետը շարժվում է դեպի աջ:

Եվ ահա մեզ սպասվում է կարգավորում: Եթե ​​ամեն ինչ պարզ է $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (առաջինի համարիչի պայմանները. Կոտորակը փոքր է երկրորդի համարիչի անդամներից, ուստի գումարը նույնպես փոքր է, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt թվերով: (21))(2)$ նույնպես դժվարություններ չեն լինի (դրական թիվն ակնհայտորեն ավելի բացասական է), ապա վերջին զույգի հետ ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ։ Ո՞րն է ավելի մեծ՝ $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ կամ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$: Թվային տողերի վրա կետերի տեղադրումը և, ըստ էության, պատասխանը կախված կլինի այս հարցի պատասխանից։

Այսպիսով, եկեք համեմատենք.

\[\ Սկիզբ (մատրիցան) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end (matrix)\]

Մենք մեկուսացրինք արմատը, ստացանք ոչ բացասական թվեր անհավասարության երկու կողմերում, ուստի իրավունք ունենք երկու կողմերն էլ քառակուսի դնել.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) ((\ ձախ (2+\ sqrt (13) \աջ)) ^ (2)) \ vee ((\ ձախ (\ sqrt (21) \ աջ)) ^ (2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\վերջ (մատրիցան)\]

Կարծում եմ, անիմաստ է, որ $4\sqrt(13) \gt 3$, այնպես որ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, առանցքների վրա վերջնական կետերը կտեղադրվեն այսպես.

Տգեղ արմատների դեպք

Հիշեցնեմ, որ մենք լուծում ենք բազմություն, ուստի պատասխանը կլինի միացում, ոչ թե ստվերային բազմությունների հատում:

Պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Ինչպես տեսնում եք, մեր սխեման հիանալի է աշխատում ինչպես պարզ, այնպես էլ շատ դժվար խնդիրների դեպքում: Այս մոտեցման միակ «թույլ կետն» այն է, որ դուք պետք է ճիշտ համեմատեք իռացիոնալ թվերը (և հավատացեք ինձ, դրանք միայն արմատներ չեն): Բայց առանձին (և շատ լուրջ) դաս կնվիրվի համեմատության խնդիրներին։ Եվ մենք առաջ ենք շարժվում:

3. Անհավասարություններ ոչ բացասական «պոչերով»

Այժմ մենք անցնում ենք ամենահետաքրքիր հատվածին: Սրանք ձևի անհավասարություններ են.

\[\ձախ| f\աջ| \gt\ձախ| g\աջ|\]

Ընդհանուր առմամբ, այն ալգորիթմը, որի մասին մենք հիմա կխոսենք, ճիշտ է միայն մոդուլի համար։ Այն աշխատում է բոլոր անհավասարություններում, որտեղ աջ և ձախ կողմում կան երաշխավորված ոչ բացասական արտահայտություններ.

Ի՞նչ անել այս առաջադրանքների հետ: Պարզապես հիշեք.

Ոչ բացասական «պոչերով» անհավասարությունների դեպքում երկու կողմերն էլ կարող են բարձրացվել ցանկացած բնական ուժի: Լրացուցիչ սահմանափակումներ չեն լինի։

Նախևառաջ, մեզ կհետաքրքրի քառակուսիացումը. այն այրում է մոդուլները և արմատները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| f \աջ| \աջ))^(2))=((զ)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \աջ))^(2))=f. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզապես մի շփոթեք սա քառակուսու արմատ վերցնելու հետ.

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ձախ| f \աջ|\ne f\]

Անհամար սխալներ են թույլ տրվել, երբ ուսանողը մոռացել է տեղադրել մոդուլը: Բայց սա բոլորովին այլ պատմություն է (սրանք, կարծես, իռացիոնալ հավասարումներ են), ուստի մենք հիմա չենք խորանա սրա մեջ: Եկեք ավելի լավ լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ|\ge \ձախ| 1-2x \աջ|\]

Լուծում. Անմիջապես նկատենք երկու բան.

1. Սա խիստ անհավասարություն չէ։ Թվային գծի կետերը կծակվեն:
2. Անհավասարության երկու կողմերն էլ ակնհայտորեն ոչ բացասական են (սա մոդուլի հատկությունն է՝ $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$):

Հետևաբար, մենք կարող ենք քառակուսի դնել անհավասարության երկու կողմերը՝ մոդուլից ազատվելու և խնդիրը լուծելու համար՝ օգտագործելով սովորական միջակայքի մեթոդը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| x+2 \աջ| \աջ))^(2))\ge ((\ձախ(\ձախ| 1-2x \աջ| \աջ) )^(2)); \\ & ((\ ձախ (x+2 \աջ)) ^ (2))\ge ((\ ձախ (2x-1 \աջ)) ^ (2)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին քայլում ես մի փոքր խաբեցի. ես փոխեցի տերմինների հաջորդականությունը՝ օգտվելով մոդուլի հավասարությունից (փաստորեն, $1-2x$ արտահայտությունը բազմապատկեցի −1-ով)։

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2x-1 \աջ))^(2))-((\ ձախ (x+2 \աջ))^(2))\le 0; \\ & \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) - \ ձախ (x + 2 \ աջ) \ աջ) \ cdot \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) + \ ձախ (x + 2 \ աջ)\աջ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \աջ)\le 0; \\ & \ձախ (x-3 \աջ)\cdot \ձախ (3x+1 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք լուծում ենք միջակայքի մեթոդով: Անհավասարությունից անցնենք հավասարման.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (3x+1 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Գտնված արմատները նշում ենք թվային տողի վրա։ Եվս մեկ անգամ. բոլոր կետերը ստվերված են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ չէ:

Ազատվել մոդուլի նշանից

Հատկապես համառների համար հիշեցնեմ՝ նշանները վերցնում ենք վերջին անհավասարությունից, որը գրվել է նախքան հավասարմանը անցնելը։ Եվ մենք ներկում ենք նույն անհավասարության մեջ պահանջվող տարածքները: Մեր դեպքում դա $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ է։

Լավ, հիմա ամեն ինչ ավարտված է: Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ|\le \ձախ| ((x)^(2))+3x+4 \աջ|\]

Լուծում. Մենք ամեն ինչ նույնն ենք անում։ Չեմ մեկնաբանի, միայն տեսեք գործողությունների հաջորդականությունը։

Քառակուսի այն:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ| \աջ))^(2))\le ((\ձախ(\ձախ | ((x)^(2))+3x+4 \աջ| \աջ))^(2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))\le ((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \աջ)) ^ (2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))-((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \ աջ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \աջ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \աջ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինտերվալ մեթոդ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (-2x-3 \աջ)\ձախ (2((x)^(2))+4x+5 \աջ)=0 \\ & -2x-3=0\ Աջ սլաք x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Թվային տողի վրա կա միայն մեկ արմատ.

Պատասխանը մի ամբողջ ընդմիջում է

Պատասխան՝ $x\in \ձախ[ -1.5;+\infty \աջ)$:

Մի փոքրիկ նշում վերջին առաջադրանքի մասին. Ինչպես ճշգրիտ նշեց իմ ուսանողներից մեկը, այս անհավասարության երկու ենթամոդուլային արտահայտություններն էլ ակնհայտորեն դրական են, ուստի մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել առանց առողջությանը վնաս պատճառելու:

Բայց սա բոլորովին այլ մտածողության մակարդակ է և այլ մոտեցում՝ պայմանականորեն կարելի է անվանել հետևանքների մեթոդ։ Դրա մասին - առանձին դասում: Այժմ եկեք անցնենք այսօրվա դասի վերջին մասին և նայենք ունիվերսալ ալգորիթմին, որը միշտ աշխատում է: Նույնիսկ այն ժամանակ, երբ նախորդ բոլոր մոտեցումներն անզոր էին: :)

4. Ընտրանքների թվարկման մեթոդ

Իսկ եթե այս բոլոր տեխնիկան չօգնե՞ն: Եթե ​​անհավասարությունը չի կարող կրճատվել ոչ բացասական պոչերի, եթե հնարավոր չէ մեկուսացնել մոդուլը, եթե ընդհանուր առմամբ կա ցավ, տխրություն, մելամաղձություն:

Այնուհետև ասպարեզ է դուրս գալիս բոլոր մաթեմատիկայի «ծանր հրետանին»՝ բիրտ ուժի մեթոդը: Ինչ վերաբերում է մոդուլով անհավասարություններին, ապա դա հետևյալն է.

1. Դուրս գրեք բոլոր ենթամոդուլային արտահայտությունները և հավասարեցրեք դրանք զրոյի;
2. Լուծե՛ք ստացված հավասարումները և նշե՛ք մեկ թվային տողի վրա հայտնաբերված արմատները.
3. Ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի հատվածների, որոնցում յուրաքանչյուր մոդուլ ունի ֆիքսված նշան և, հետևաբար, եզակիորեն բացահայտվում է.
4. Լուծեք անհավասարությունը յուրաքանչյուր այդպիսի հատվածի վրա (հուսալիության համար կարող եք առանձին դիտարկել 2-րդ քայլում ստացված արմատ-սահմանները): Միավորեք արդյունքները, սա կլինի պատասխանը: :)

Այնպես, ինչպես? Թույլ? Հեշտությամբ! Միայն երկար ժամանակ։ Եկեք տեսնենք գործնականում.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-\frac(3)(2)\]

Լուծում. Այս հիմարությունը չի հանգում այնպիսի անհավասարությունների, ինչպիսին $\left|-ն է f\աջ| \lt g$, $\ձախ| f\աջ| \gt g$ կամ $\ ձախ| f\աջ| \lt \ձախ| g \right|$, ուստի մենք գործում ենք առաջ:

Մենք դուրս ենք գրում ենթամոդուլային արտահայտությունները, դրանք հավասարեցնում ենք զրոյի և գտնում ենք արմատները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2=0\Աջ սլաք x=-2; \\ & x-1=0\Աջ սլաք x=1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ընդհանուր առմամբ, մենք ունենք երկու արմատ, որոնք թվային գիծը բաժանում են երեք հատվածի, որոնցում յուրաքանչյուր մոդուլ բացահայտվում է եզակի.

Թվային տողի բաժանում ենթամոդուլային ֆունկցիաների զրոներով

Եկեք նայենք յուրաքանչյուր բաժին առանձին:

1. Թող $x \lt -2$: Այնուհետև երկու ենթամոդուլային արտահայտությունները բացասական են, և սկզբնական անհավասարությունը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -\ ձախ (x+2 \աջ) \lt -\ ձախ (x-1 \աջ)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացել ենք բավականին պարզ սահմանափակում. Եկեք այն հատենք նախնական ենթադրությամբ, որ $x \lt -2$:

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Ակնհայտ է, որ $x$ փոփոխականը չի կարող միաժամանակ լինել −2-ից փոքր և 1,5-ից մեծ: Այս ոլորտում լուծումներ չկան։

1.1. Եկեք առանձին դիտարկենք սահմանային դեպքը՝ $x=-2$: Պարզապես այս թիվը փոխարինենք սկզբնական անհավասարությամբ և ստուգենք՝ ճի՞շտ է:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1.5 \աջ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \ձախ| -3\աջ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ակնհայտ է, որ հաշվարկների շղթան մեզ հանգեցրել է ոչ ճիշտ անհավասարության։ Հետևաբար, սկզբնական անհավասարությունը նույնպես սխալ է, և $x=-2$-ը ներառված չէ պատասխանի մեջ։

2. Հիմա թող $-2 \lt x \lt 1$: Ձախ մոդուլն արդեն կբացվի «պլյուսով», բայց աջը դեռ կբացվի «մինուսով»: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt -\ձախ (x-1 \աջ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին մենք հատվում ենք սկզբնական պահանջի հետ.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Եվ կրկին, լուծումների բազմությունը դատարկ է, քանի որ չկան թվեր, որոնք և՛ −2,5-ից փոքր են, և՛ −2-ից մեծ։

2.1. Եվ կրկին հատուկ դեպք՝ $x=1$։ Մենք փոխարինում ենք սկզբնական անհավասարության մեջ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1.5 \աջ|)_(x=1)) \\ & \ձախ| 3\աջ| \lt \ձախ| 0\աջ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Նախորդ «հատուկ դեպքի» նման, $x=1$ թիվը ակնհայտորեն ներառված չէ պատասխանի մեջ։

3. Գծի վերջին հատվածը՝ $x \gt 1$։ Այստեղ բոլոր մոդուլները բացվում են գումարած նշանով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Եվ նորից գտնված բազմությունը հատում ենք սկզբնական սահմանափակումով.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \ձախ (4.5;+\infty \աջ)\ ]

Վերջապես! Մենք գտել ենք մի ընդմիջում, որը կլինի պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \ձախ(4,5;+\infty \աջ)$

Վերջապես, մեկ դիտողություն, որը կարող է փրկել ձեզ իրական խնդիրներ լուծելիս հիմար սխալներից.

Մոդուլներով անհավասարությունների լուծումները սովորաբար ներկայացնում են թվային տողի շարունակական բազմություններ՝ ընդմիջումներ և հատվածներ: Մեկուսացված կետերը շատ ավելի քիչ են տարածված: Եվ նույնիսկ ավելի հազվադեպ է պատահում, որ լուծման սահմանը (հատվածի վերջը) համընկնում է դիտարկվող միջակայքի սահմանի հետ:

Հետևաբար, եթե սահմանները (նույն «հատուկ դեպքերը») ներառված չեն պատասխանում, ապա այդ սահմաններից աջ և ձախ հատվածները գրեթե անկասկած չեն ներառվի պատասխանում։ Եվ հակառակը՝ սահմանը մտավ պատասխանի մեջ, ինչը նշանակում է, որ դրա շուրջ որոշ հատվածներ նույնպես կլինեն պատասխաններ։

Հիշեք սա ձեր լուծումները վերանայելիս:

Մաթեմատիկա գիտության իմաստության խորհրդանիշն է,

գիտական ​​խստության և պարզության մոդել,

գիտության մեջ գերազանցության և գեղեցկության չափանիշը:

Ռուս փիլիսոփա, պրոֆեսոր Ա.Վ. Վոլոշինովը

Անհավասարություններ մոդուլով

Դպրոցական մաթեմատիկայի ամենադժվար լուծելի խնդիրները անհավասարություններն են, մոդուլի նշանի տակ փոփոխականներ պարունակող: Համար հաջող լուծումՆման անհավասարությունները պահանջում են լավ իմացություն մոդուլի հատկությունների և դրանք օգտագործելու հմտությունների մասին:

Հիմնական հասկացություններ և հատկություններ

Իրական թվի մոդուլ (բացարձակ արժեք):նշվում է և սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Մոդուլի պարզ հատկությունները ներառում են հետևյալ հարաբերությունները.

ԵՎ .

Նշում, որ վերջին երկու հատկությունները վավեր են ցանկացած զույգ աստիճանի համար։

Ընդ որում, եթե, որտեղ, ապա և

Մոդուլի ավելի բարդ հատկություններ, որոնք կարող են արդյունավետորեն օգտագործվել մոդուլներով հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս, ձևակերպվում են հետևյալ թեորեմների միջոցով.

Թեորեմ 1.Ցանկացած վերլուծական գործառույթի համարԵվ անհավասարությունը ճիշտ է.

Թեորեմ 2.Հավասարություն հավասարազոր է անհավասարության.

Թեորեմ 3.Հավասարություն հավասարազոր է անհավասարության.

Դպրոցական մաթեմատիկայի ամենատարածված անհավասարությունները, մոդուլի նշանի տակ անհայտ փոփոխականներ պարունակող, ձևի անհավասարություններ ենեւ որտեղ որոշ դրական հաստատուն:

Թեորեմ 4.Անհավասարություն համարժեք է կրկնակի անհավասարության, և անհավասարության լուծումընվազեցնում է մի շարք անհավասարությունների լուծումԵվ .

Այս թեորեմը 6-րդ և 7-րդ թեորեմների հատուկ դեպքն է:

Ավելի բարդ անհավասարություններ, մոդուլ պարունակող ձևի անհավասարություններ են, Եվ .

Նման անհավասարությունների լուծման մեթոդները կարելի է ձևակերպել՝ օգտագործելով հետևյալ երեք թեորեմները.

Թեորեմ 5.Անհավասարություն համարժեք է անհավասարությունների երկու համակարգերի համակցությանը

Ես (1)

Ապացույց.Այդ ժամանակվանից

Սա ենթադրում է (1) վավերականությունը:

Թեորեմ 6.Անհավասարություն համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

Ապացույց.Որովհետեւ , ապա անհավասարությունիցհետևում է դրան . Այս պայմանով անհավասարությունըև այս դեպքում անհավասարությունների երկրորդ համակարգը (1) կստացվի անհամապատասխան։

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 7.Անհավասարություն համարժեք է մեկ անհավասարության և երկու անհավասարությունների համակարգերի համակցությանը

Ես (3)

Ապացույց.Քանի որ , ապա անհավասարությունը միշտ մահապատժի ենթարկված, Եթե .

Թող, ապա անհավասարությունհամարժեք կլինի անհավասարության, որից բխում է երկու անհավասարությունների բազմությունԵվ .

Թեորեմն ապացուցված է.

Դիտարկենք խնդիրների լուծման բնորոշ օրինակներ «Անհավասարություններ, մոդուլի նշանի տակ գտնվող փոփոխականներ»:

Անհավասարությունների լուծում մոդուլով

Մեծ մասը պարզ մեթոդՄոդուլով անհավասարությունների լուծումը մեթոդ է, հիմնված մոդուլի ընդլայնման վրա: Այս մեթոդը ունիվերսալ է, սակայն, ընդհանուր դեպքում, դրա օգտագործումը կարող է հանգեցնել շատ ծանր հաշվարկների։ Ուստի ուսանողները պետք է իմանան նման անհավասարությունների լուծման այլ (ավելի արդյունավետ) մեթոդներ և մեթոդներ: Մասնավորապես, անհրաժեշտ է թեորեմների կիրառման հմտություններ ունենալ, տրված այս հոդվածում:

Օրինակ 1.Լուծել անհավասարությունը

. (4)

Լուծում.Անհավասարությունը (4) կլուծենք «դասական» մեթոդով՝ մոդուլների բացահայտման մեթոդով։ Այդ նպատակով մենք բաժանում ենք թվային առանցքըկետեր և ընդմիջումներով և դիտարկել երեք դեպք:

1. Եթե , ապա , , , իսկ անհավասարությունը (4) ընդունում է ձևըկամ .

Քանի որ դեպքը դիտարկվում է այստեղ, դա անհավասարության լուծում է (4):

2. Եթե, այնուհետև (4) անհավասարությունից ստանում ենքկամ . Քանի որ ինտերվալների խաչմերուկըԵվ դատարկ է, ապա քննարկվող լուծումների միջակայքում անհավասարություն չկա (4):

3. Եթե, ապա անհավասարությունը (4) ձև է ստանումկամ . Ակնհայտ է, որ նաև անհավասարության լուծում է (4):

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 2.Լուծել անհավասարությունը.

Լուծում.Ենթադրենք, որ. Որովհետեւ , ապա տրված անհավասարությունը ձև է ստանումկամ . Այդ ժամանակվանից և այստեղից հետևում էկամ .

Այնուամենայնիվ, հետևաբար կամ.

Օրինակ 3.Լուծել անհավասարությունը

. (5)

Լուծում.Որովհետեւ , ապա անհավասարությունը (5) համարժեք է անհավասարություններինկամ . Այստեղից, համաձայն թեորեմ 4-ի, մենք ունենք մի շարք անհավասարություններԵվ .

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 4.Լուծել անհավասարությունը

. (6)

Լուծում.Նշենք. Այնուհետև (6) անհավասարությունից ստանում ենք , կամ .

Այստեղից, օգտագործելով միջակայքի մեթոդը, ստանում ենք. Որովհետեւ , ապա այստեղ մենք ունենք անհավասարությունների համակարգ

Համակարգի (7) առաջին անհավասարության լուծումը երկու ինտերվալների միավորումն էԵվ, իսկ երկրորդ անհավասարության լուծումը կրկնակի անհավասարությունն է. Սա ենթադրում է, որ անհավասարությունների համակարգի լուծումը (7) երկու ինտերվալների միավորումն էԵվ .

Պատասխան՝

Օրինակ 5.Լուծել անհավասարությունը

. (8)

Լուծում. Փոխակերպենք անհավասարությունը (8) հետևյալ կերպ.

Կամ .

Օգտագործելով միջակայքի մեթոդը, մենք ստանում ենք անհավասարության լուծում (8):

Պատասխան.

Նշում. Եթե ​​դնենք և 5-րդ թեորեմի պայմաններում, կստանանք .

Օրինակ 6.Լուծել անհավասարությունը

. (9)

Լուծում. Անհավասարությունից (9) հետևում է. Փոխակերպենք անհավասարությունը (9) հետևյալ կերպ.

Կամ

Այդ ժամանակվանից կամ .

Պատասխան.

Օրինակ 7.Լուծել անհավասարությունը

. (10)

Լուծում.Քանի որ և , ապա կամ .

Այս առումով իսկ անհավասարությունը (10) ստանում է ձև

Կամ

. (11)

Հետևում է, որ կամ. Քանի որ , ուրեմն անհավասարությունը (11) ենթադրում է նաև կամ .

Պատասխան.

Նշում. Եթե ​​1-ին թեորեմը կիրառենք անհավասարության ձախ կողմում (10), ապա մենք ստանում ենք . Սրանից և անհավասարությունից (10) հետևում է, ինչ կամ . Որովհետեւ , ապա անհավասարությունը (10) ձև է ստանումկամ .

Օրինակ 8.Լուծել անհավասարությունը

. (12)

Լուծում.Այդ ժամանակվանից իսկ անհավասարությունից (12) հետևում էկամ . Այնուամենայնիվ, հետևաբար կամ. Այստեղից մենք ստանում ենք կամ.

Պատասխան.

Օրինակ 9.Լուծել անհավասարությունը

. (13)

Լուծում.Համաձայն 7-րդ թեորեմի՝ անհավասարության (13) լուծումը կամ .

Թող հիմա լինի: Այս դեպքում իսկ անհավասարությունը (13) ընդունում է ձևըկամ .

Եթե ​​դուք համատեղում եք միջակայքերըԵվ, ապա ստանում ենք ձևի (13) անհավասարության լուծումը.

Օրինակ 10.Լուծել անհավասարությունը

. (14)

Լուծում.Եկեք վերագրենք անհավասարությունը (14) համարժեք ձևով. Եթե ​​1-ին թեորեմը կիրառենք այս անհավասարության ձախ կողմում, ապա կստանանք անհավասարությունը:

Այստեղից և թեորեմ 1-ից հետևում է, այդ անհավասարությունը (14) բավարարված է ցանկացած արժեքի համար.

Պատասխան՝ ցանկացած թիվ:

Օրինակ 11.Լուծել անհավասարությունը

. (15)

Լուծում. Թեորեմ 1-ի կիրառումը անհավասարության ձախ կողմում (15), ստանում ենք . Սա և անհավասարությունը (15) տալիս են հավասարումը, որն ունի ձևը.

Համաձայն 3 թեորեմի, հավասարումը հավասարազոր է անհավասարության. Այստեղից մենք ստանում ենք.

Օրինակ 12.Լուծել անհավասարությունը

. (16)

Լուծում. Անհավասարությունից (16), համաձայն թեորեմ 4-ի, մենք ստանում ենք անհավասարությունների համակարգ

Անհավասարությունը լուծելիսԵկեք օգտագործենք 6-րդ թեորեմը և ձեռք բերենք անհավասարությունների համակարգորից բխում է.

Դիտարկենք անհավասարությունը. Համաձայն 7 թեորեմի, մենք ստանում ենք անհավասարությունների մի շարքԵվ . Բնակչության երկրորդ անհավասարությունը վավեր է ցանկացած իրականի համար.

Հետևաբար, անհավասարության լուծումը (16) է.

Օրինակ 13.Լուծել անհավասարությունը

. (17)

Լուծում.Համաձայն թեորեմ 1-ի՝ մենք կարող ենք գրել

(18)

Հաշվի առնելով անհավասարությունը (17)՝ եզրակացնում ենք, որ երկու անհավասարություններն էլ (18) վերածվում են հավասարության, այսինքն. գոյություն ունի հավասարումների համակարգ

Թեորեմ 3-ի համաձայն՝ հավասարումների այս համակարգը համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

կամ

Օրինակ 14.Լուծել անհավասարությունը

. (19)

Լուծում.Այդ ժամանակվանից. Եկեք բազմապատկենք անհավասարության երկու կողմերը (19) արտահայտությամբ, որը ընդունում է միայն դրական արժեքներ ցանկացած արժեքի համար: Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի անհավասարություն, որը համարժեք է անհավասարությանը (19):

Այստեղից մենք ստանում ենք կամ, որտեղ: Քանի որ և ապա անհավասարության լուծումը (19) էԵվ .

Պատասխան՝ , .

Մոդուլով անհավասարությունների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար խորհուրդ ենք տալիս դիմել դասագրքերի, տրված է առաջարկվող գրականության ցանկում:

1. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Խաղաղություն և կրթություն, 2013. – 608 էջ.

2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. անհավասարությունների լուծման և ապացուցման մեթոդներ. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 էջ.

3. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. խնդիրների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդներ. – M.: CD «Librocom» / URSS, 2017. – 296 էջ.

Դեռ ունե՞ք հարցեր:

Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Մոդուլների հետ անհավասարությունների բացահայտման մեթոդները (կանոնները) բաղկացած են մոդուլների հաջորդական բացահայտումից՝ օգտագործելով ենթամոդուլային ֆունկցիաների հաստատուն նշանի միջակայքերը: Վերջնական տարբերակում ստացվում են մի քանի անհավասարություններ, որոնցից հայտնաբերվում են խնդրի պայմանները բավարարող ինտերվալներ կամ ընդմիջումներ։

Անցնենք գործնականում սովորական օրինակների լուծմանը։

Գծային անհավասարություններ մոդուլներով

Գծային ասելով հասկանում ենք հավասարումներ, որոնցում փոփոխականը գծային կերպով մտնում է հավասարման մեջ:

Օրինակ 1. Գտեք անհավասարության լուծում

Լուծում:
Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ մոդուլները x=-1 և x=-2-ում դառնում են զրոյի։ Այս կետերը թվային գիծը բաժանում են ընդմիջումների

Այս ինտերվալներից յուրաքանչյուրում լուծում ենք տրված անհավասարությունը։ Դա անելու համար, առաջին հերթին, մենք կազմում ենք ենթամոդուլային ֆունկցիաների մշտական ​​նշանի տարածքների գրաֆիկական գծագրեր: Դրանք պատկերված են որպես գործառույթներից յուրաքանչյուրի նշաններով տարածքներ

կամ բոլոր գործառույթների նշաններով ընդմիջումներ:

Առաջին ընդմիջումով մենք ընդլայնում ենք մոդուլները

Մենք երկու կողմերը բազմապատկում ենք մինուս մեկով, և անհավասարության նշանը կփոխվի հակառակի։ Եթե ​​այս կանոնին ընտելանալը ձեզ համար դժվար է, ապա մինուսից ազատվելու համար կարող եք տեղափոխել նշանի հետևում գտնվող մասերից յուրաքանչյուրը։ Ի վերջո, դուք կստանաք

x>-3 բազմության հատումը տարածքի հետ, որի վրա լուծվել են հավասարումները, կլինի (-3;-2) միջակայքը: Նրանց համար, ովքեր ավելի հեշտ են լուծումներ գտնելը, կարող եք գրաֆիկորեն նկարել այս տարածքների խաչմերուկը

Տարածքների ընդհանուր խաչմերուկը կլինի լուծումը։ Եթե ​​խիստ անհավասար է, եզրերը ներառված չեն: Եթե ​​խիստ չէ, ստուգեք փոխարինման միջոցով:

Երկրորդ ինտերվալում մենք ստանում ենք

Խաչաձեւ հատվածը կլինի միջակայքը (-2;-5/3): Գրաֆիկորեն լուծումը նման կլինի

Երրորդ միջակայքում մենք ստանում ենք

Այս պայմանը լուծումներ չի տալիս ցանկալի տարածաշրջանում։

Քանի որ գտնված երկու լուծումները (-3;-2) և (-2;-5/3) սահմանակից են x=-2 կետին, մենք էլ ստուգում ենք այն:

Այսպիսով, x=-2 կետը լուծումն է: Սա հաշվի առնելով ընդհանուր լուծումը կունենա (-3;5/3):

Օրինակ 2. Գտեք անհավասարության լուծում
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Լուծում:
Ենթամոդուլային ֆունկցիաների զրոները կլինեն x=2, x=3, x=4 կետերը։ Այս կետերից փոքր արգումենտ արժեքների համար ենթամոդուլային ֆունկցիաները բացասական են, իսկ ավելի մեծ արժեքների դեպքում՝ դրական։

Կետերը իրական առանցքը բաժանում են չորս միջակայքի: Մենք ընդլայնում ենք մոդուլները՝ ըստ հաստատուն նշանի միջակայքերի և լուծում անհավասարությունները։

1) Առաջին ինտերվալում բոլոր ենթամոդուլային ֆունկցիաները բացասական են, ուստի մոդուլները ընդլայնելիս նշանը փոխում ենք հակառակի։

Գտնված x արժեքների հատումը դիտարկվող միջակայքի հետ կլինի կետերի մի շարք

2) x=2 և x=3 կետերի միջակայքում առաջին ենթամոդուլային ֆունկցիան դրական է, երկրորդը և երրորդը՝ բացասական: Ընդլայնելով մոդուլները, մենք ստանում ենք

անհավասարություն, որը հատվելով այն միջակայքի հետ, որի վրա մենք լուծում ենք, տալիս է մեկ լուծում՝ x=3:

3) x=3 և x=4 կետերի միջակայքում առաջին և երկրորդ ենթամոդուլային ֆունկցիաները դրական են, իսկ երրորդը՝ բացասական: Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք

Այս պայմանը ցույց է տալիս, որ ամբողջ միջակայքը կբավարարի մոդուլների անհավասարությունը:

4) x>4 արժեքների համար բոլոր գործառույթներն ունեն դրական նշաններ: Մոդուլները ընդլայնելիս մենք չենք փոխում դրանց նշանը:

Գտնված պայմանը միջակայքի հետ հատման կետում տալիս է լուծումների հետևյալ շարքը

Քանի որ անհավասարությունը լուծվում է բոլոր ընդմիջումներով, մնում է գտնել x-ի բոլոր գտնված արժեքների ընդհանուր արժեքը: Լուծումը կլինի երկու ընդմիջումով

Սա ավարտում է օրինակը.

Օրինակ 3. Գտեք անհավասարության լուծում
||x-1|-5|>3-2x

Լուծում:
Մոդուլի հետ անհավասարություն ունենք մոդուլից: Նման անհավասարությունները բացահայտվում են, երբ մոդուլները տեղադրվում են, սկսած նրանցից, որոնք գտնվում են ավելի խորը:

Ենթամոդուլային x-1 ֆունկցիան x=1-ում վերածվում է զրոյի: 1-ից ավելի փոքր արժեքների համար այն բացասական է և դրական x>1-ի համար: Դրա հիման վրա մենք ընդլայնում ենք ներքին մոդուլը և դիտարկում ենք անհավասարությունը յուրաքանչյուր ինտերվալում:

Նախ հաշվի առեք մինուս անսահմանությունից մինչև մեկ միջակայքը

Ենթամոդուլային ֆունկցիան զրոյական է x=-4-ում: Փոքր արժեքների դեպքում այն ​​դրական է, ավելի մեծ արժեքներով՝ բացասական։ Եկեք ընդլայնենք մոդուլը x-ի համար<-4:

Այն տարածքի հետ խաչմերուկում, որտեղ մենք դիտարկում ենք, մենք լուծումների մի շարք ենք ստանում

Հաջորդ քայլը մոդուլի ընդլայնումն է (-4;1) միջակայքում:

Հաշվի առնելով մոդուլի ընդլայնման տարածքը, մենք ստանում ենք լուծման միջակայքը

ՀԻՇԵՔ. եթե մոդուլների հետ նման անկանոնությունների դեպքում դուք ստանում եք ընդհանուր կետին սահմանակից երկու ընդմիջում, ապա, որպես կանոն, սա նույնպես լուծում է:

Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ստուգել.

Այս դեպքում փոխարինում ենք x=-4 կետը։

Այսպիսով, x=-4 լուծումն է:
Եկեք ընդլայնենք ներքին մոդուլը x>1-ի համար

Ենթամոդուլային ֆունկցիան բացասական x-ի համար<6.
Ընդլայնելով մոդուլը, մենք ստանում ենք

Այս պայմանը (1;6) միջակայքով հատվածում տալիս է լուծումների դատարկ հավաքածու։

x>6-ի համար մենք ստանում ենք անհավասարություն

Նաև լուծելիս ստացանք դատարկ հավաքածու:
Հաշվի առնելով վերը նշված բոլորը՝ մոդուլների հետ անհավասարության միակ լուծումը կլինի հետևյալ միջակայքը.

Անհավասարումներ քառակուսի հավասարումներ պարունակող մոդուլներով

Օրինակ 4. Գտեք անհավասարության լուծում
|x^2+3x|>=2-x^2

Լուծում:
Ենթամոդուլային ֆունկցիան անհետանում է x=0, x=-3 կետերում։ Պարզ փոխարինում մինուս մեկ

մենք հաստատում ենք, որ այն զրոյից փոքր է (-3;0) միջակայքում և դրական է դրանից դուրս:
Եկեք ընդլայնենք մոդուլը այն տարածքներում, որտեղ ենթամոդուլային ֆունկցիան դրական է

Մնում է որոշել այն շրջանները, որտեղ քառակուսի ֆունկցիան դրական է: Դա անելու համար մենք որոշում ենք քառակուսի հավասարման արմատները

Հարմարության համար փոխարինում ենք x=0 կետը, որը պատկանում է (-2;1/2) միջակայքին։ Ֆունկցիան բացասական է այս միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ լուծումը կլինի հետևյալ x բազմությունները

Այստեղ լուծույթներով տարածքների եզրերը նշվում են փակագծերով, դա արվել է միտումնավոր՝ հաշվի առնելով հետևյալ կանոնը.

ՀԻՇԵՔ. Եթե մոդուլներով անհավասարությունը կամ պարզ անհավասարությունը խիստ է, ապա գտնված տարածքների եզրերը լուծումներ չեն, իսկ եթե անհավասարությունները խիստ չեն (), ապա եզրերը լուծումներ են (նշվում են քառակուսի փակագծերով):

Այս կանոնը կիրառվում է շատ ուսուցիչների կողմից. եթե խիստ անհավասարություն տրվի, և հաշվարկների ժամանակ դուք լուծման մեջ գրեք քառակուսի փակագիծ ([,]), նրանք ինքնաբերաբար սա կհամարեն սխալ պատասխան։ Նաև փորձարկման ժամանակ, եթե տրված է մոդուլների հետ ոչ խիստ անհավասարություն, ապա լուծումների մեջ փնտրեք քառակուսի փակագծերով տարածքներ:

(-3;0) ինտերվալի վրա, ընդլայնելով մոդուլը, ֆունկցիայի նշանը փոխում ենք հակառակի

Հաշվի առնելով անհավասարության բացահայտման տարածքը, լուծումը կունենա ձև

Նախորդ տարածքի հետ միասին դա կտա երկու կիսամյակային ընդմիջում

Օրինակ 5. Գտեք անհավասարության լուծում
9x^2-|x-3|>=9x-2

Լուծում:
Տրված է ոչ խիստ անհավասարություն, որի ենթամոդուլային ֆունկցիան x=3 կետում հավասար է զրոյի։ Փոքր արժեքների համար այն բացասական է, ավելի մեծ արժեքների համար՝ դրական։ Ընդլայնել մոդուլը x միջակայքում<3.

Գտնելով հավասարման դիսկրիմինանտը

և արմատները

Փոխարինելով զրոյական կետը՝ պարզում ենք, որ [-1/9;1] միջակայքում քառակուսի ֆունկցիան բացասական է, հետևաբար միջակայքը լուծում է։ Հաջորդը մենք ընդլայնում ենք մոդուլը x>3-ում