Esej dokončila studentka 8. třídy gymnázia MOU č. 9 Vyushina Veronika

Jekatěrinburg

1. Úvod. Podíl zlatého řezu. F a φ.

"Geometrie má dva velké poklady. Prvním je Pythagorova věta, druhým je rozdělení segmentu v extrémním a průměrném poměru."

Johannes Kepler

Pravidelné mnohoúhelníky přitahovaly pozornost starověkých řeckých vědců dávno před Archimédem. Pythagorejci, kteří si zvolili pentagram - pěticípou hvězdu jako znak svého svazku, přikládali velký význam problému rozdělení kruhu na stejné části, tedy sestavení pravidelného vepsaného mnohoúhelníku. Albrecht Durer (1471-1527), který se stal zosobněním renesance v Německu, uvádí teoreticky přesnou metodu pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku, vypůjčenou z Ptolemaiova velkého díla „Almagest“.

Durerův zájem o stavbu pravidelných mnohoúhelníků odráží jejich použití ve středověku v arabských a gotických ornamentech a po vynálezu střelných zbraní v uspořádání pevností.

Středověké metody konstrukce pravidelných mnohoúhelníků byly přibližné, ale byly (nebo nemohly být) jednoduché: dávaly se přednost metodám konstrukce, které ani nevyžadovaly změnu řešení kružítka. Leonardo da Vinci také hodně psal o mnohoúhelnících, ale byl to Dürer, nikoli Leonardo, kdo předal středověké stavební metody potomkům. Dürer samozřejmě znal Euklidovy „Principy“, ale ve svém „Průvodci měřením“ (o stavbách s kružlem a pravítkem) nepředložil Euklidem navrženou metodu pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku, teoreticky přesnou, jako všechny euklidovské stavby. Euklides se nepokouší rozdělit daný kruhový oblouk na tři stejné části a Dürer věděl, ačkoliv důkaz byl nalezen až v 19. století, že tento problém je neřešitelný.

Euklidem navržená stavba pravidelného pětiúhelníku zahrnuje rozdělení úsečky ve středním a krajním poměru, které bylo později nazýváno zlatým řezem a přitahovalo pozornost umělců a architektů po několik století.

Bod B rozděluje segment ABE ve středním a krajním poměru nebo tvoří zlatý řez, pokud je poměr větší části segmentu k menšímu roven poměru celého segmentu k větší části.

Zlatý řez, psaný jako rovnost poměrů, má tvar

AB/BE = AB/AE

Pokud dáme AB=a a BE=a/F tak, aby se zlatý řez rovnal AB/BE=F, dostaneme poměr

To znamená, že F splňuje rovnici

Tato rovnice má jeden kladný kořen

Ф=(√5+1)/2=1,618034….

Všimněte si, že 1/Ф = (√5 -1)/2, protože (√5-1)(√5+1) =5-1=4. Je obvyklé považovat φ=0,618034… za 1/Ф.

Ф a φ - velká a malá písmena řeckého písmene "phi".

Toto označení bylo přijato na počest starověkého řeckého sochaře Phidias (5. století př. n. l.) Phidias dohlížel na stavbu chrámu Parthenon v Aténách. V proporcích tohoto chrámu je opakovaně přítomno číslo φ.

2.Historie zlatého řezu

Obecně se uznává, že koncept zlatého dělení zavedl do vědeckého použití Pythagoras, starověký řecký filozof a matematik (VI. století před naším letopočtem). Existuje předpoklad, že Pythagoras si vypůjčil své znalosti o zlatém dělení od Egypťanů a Babyloňanů. Proporce Cheopsovy pyramidy, chrámů, basreliéfů, domácích potřeb a dekorací z hrobky Tutanchamona skutečně naznačují, že egyptští řemeslníci při jejich vytváření používali poměry zlatého dělení. Francouzský architekt Le Corbusier zjistil, že na reliéfu z chrámu faraona Setiho I. v Abydu a na reliéfu zobrazujícím faraona Ramesse odpovídají proporce postav hodnotám zlatého rozdělení. Architekt Khesira vyobrazený na reliéfu dřevěná deska z hrobu jeho jména, drží v rukou měřicí nástroje, ve kterém jsou pevně dané proporce zlatého dělení.

O zlatém dělení věděl i Platón (427...347 př. n. l.). Jeho dialog „Timaeus“ je věnován matematickým a estetickým názorům Pythagorovy školy a zejména otázkám zlatého dělení.

Parthenon má 8 sloupů na krátkých stranách a 17 na dlouhých. Poměr výšky budovy k její délce je 0,618. Pokud Parthenon rozdělíme podle „zlatého řezu“, získáme určité výstupky fasády. Při jeho vykopávkách byly nalezeny kompasy, které používali architekti a sochaři antického světa. Pompejský kompas (Muzeum v Neapoli) obsahuje i proporce zlatého dělení.

V tom, co k nám sestoupilo starověká literatura zlatá divize je poprvé zmíněna v Euklidových prvcích. Ve 2. knize "Počátky" je uvedena geometrická konstrukce zlatého dělení. Po Euklidovi studovali zlaté dělení Hypsikles (2. století př. n. l.), Pappus (3. století n. l.) a další. středověká Evropa seznámili se zlatým dělením z arabských překladů „Počátků“ Euklida. K překladu se vyjádřil překladatel J. Campano z Navarry (3. stol.). Tajemství zlaté divize byla žárlivě střežena, držena v přísném utajení. Znali je pouze zasvěcení.

V období renesance vzrostl zájem o zlaté dělení mezi vědci a umělci v souvislosti s jeho využitím jak v geometrii, tak v umění, zejména v architektuře. Leonardo da Vinci, umělec a vědec, viděl, že v italských umělcích existuje velká empirická zkušenost, ale nedostatek znalostí. Otěhotněl a začal psát knihu o geometrii, ale v té době se objevila kniha mnicha Lucy Pacioliho a Leonardo svůj nápad opustil. Podle současníků a historiků vědy byl Luca Pacioli skutečným světcem, největším matematikem v Itálii mezi Fibonaccim a Galileem.

Luca Pacioli si byl dobře vědom důležitosti vědy pro umění. V roce 1496 přijel na pozvání vévody z Moreau do Milána, kde přednášel matematiku. Leonardo da Vinci v té době také působil na dvoře Moro v Miláně. V roce 1509 byla v Benátkách publikována Božská proporce Lucy Pacioliho s brilantně provedenými ilustracemi, a proto se má za to, že je vytvořil Leonardo da Vinci. Kniha byla nadšeným chvalozpěvem na zlatý řez. Mezi mnoha přednostmi zlatého řezu mnich Luca Pacioli neopomněl pojmenovat jeho „božskou podstatu“ jako výraz božské trojice: Bůh Syn, Bůh Otec a Bůh Duch svatý (rozumělo se, že malý segment je zosobněním Boha Syna, větší segment - bůh ducha svatého).

Leonardo da Vinci také věnoval velkou pozornost studiu zlaté divize. Vytvořil řezy stereometrického tělesa tvořeného pravidelnými pětiúhelníky a pokaždé získal obdélníky s poměry stran ve zlatém dělení. Proto dal této divizi název zlatý řez. Je tedy stále nejoblíbenější.

Ve stejné době v severní Evropě, v Německu, pracoval Albrecht Dürer na stejných problémech. Načrtává úvod k prvnímu návrhu pojednání o proporcích. Dürer píše: "Je nutné, aby ten, kdo něco umí, to naučil ostatní, kteří to potřebují. To je to, co jsem si předsevzal."

Soudě podle jednoho z Dürerových dopisů se během svého pobytu v Itálii setkal s Lucou Paciolim. Albrecht Dürer podrobně rozvíjí teorii proporcí lidského těla. Dürer přidělil důležité místo ve svém systému poměrů zlatému řezu. Výška osoby je ve zlatých proporcích rozdělena linií opasku, stejně jako linií procházející špičkami prostředních prstů spuštěných rukou, spodní částí obličeje - ústy atd. Známý proporcionální kompas Dürer.

Konstrukce řady segmentů zlatého řezu může být provedena jak ve směru nárůstu (rostoucí řada), tak ve směru poklesu (sestupná řada).

Tato harmonie je pozoruhodná svým rozsahem...

Dobrý den, přátelé!

Slyšeli jste něco o Divine Harmony nebo Zlatém řezu? Přemýšleli jste někdy o tom, proč se nám něco zdá dokonalé a krásné, ale něco odpuzuje?

Pokud ne, tak jste úspěšně zakotvili u tohoto článku, protože v něm probereme zlatý řez, zjistíme, co to je, jak to vypadá v přírodě a u člověka. Povíme si o jejích principech, zjistíme, co je řada Fibonacci a mnoho dalšího, včetně konceptu zlatého obdélníku a zlaté spirály.

Ano, v článku je spousta obrázků, vzorců, ostatně zlatý řez je také matematika. Vše je ale dostatečně popsáno prostá řeč, jasně. A také se na konci článku dozvíte, proč všichni tak milují kočky =)

Co je to zlatý řez?

Jednoduše řečeno, zlatý řez je určité pravidlo proporce, která vytváří harmonii?. To znamená, že pokud neporušíme pravidla těchto proporcí, získáme velmi harmonickou kompozici.

Nejobsáhlejší definice zlatého řezu říká, že menší část souvisí s větší, stejně jako větší s celkem.

Ale kromě toho je zlatý řez matematika: má specifický vzorec a konkrétní číslo. Mnozí matematici to obecně považují za vzorec božské harmonie a nazývají to „asymetrická symetrie“.

Zlatý řez se od té doby dostal k našim současníkům Starověké Řecko existuje však názor, že zlatý řez u Egypťanů už špehovali sami Řekové. Protože mnoho uměleckých děl starověkého Egypta je jasně postaveno podle kánonů tohoto poměru.

Předpokládá se, že Pythagoras byl první, kdo představil koncept zlatého řezu. Euklidova díla se dochovala dodnes (stavěl pravidelné pětiúhelníky pomocí zlatého řezu, proto se takový pětiúhelník nazývá „zlatý“) a číslo zlatého řezu je pojmenováno po starořeckém architektovi Phidiasovi. To znamená, že toto je naše číslo „phi“ (označené řeckým písmenem φ) a rovná se 1,6180339887498948482 ... Tato hodnota je přirozeně zaokrouhlena: φ \u003d 1,618 nebo φ \u003d 1,62 a v procentech , zlatý řez vypadá na 62 % a 38 %.

V čem spočívá jedinečnost tohoto podílu (a věřte, že existuje)? Pokusme se nejprve pochopit příklad segmentu. Vezmeme tedy segment a rozdělíme ho na nestejné části tak, že jeho menší část souvisí s větší, jako větší s celkem. Chápu, zatím není příliš jasné, co je co, pokusím se to jasněji ilustrovat na příkladu segmentů:

Vezmeme tedy úsečku a rozdělíme ji na dvě další, takže menší úsečka a odkazuje na větší úsečku b, stejně jako úsečka b odkazuje na celek, tedy na celou úsečku (a + b). Matematicky to vypadá takto:

Toto pravidlo funguje donekonečna, segmenty můžete dělit na jak dlouho chcete. A uvidíte, jak je to snadné. Hlavní je jednou pochopit a je to.

Ale teď se na to pojďme podívat blíže složitý příklad, který se vyskytuje velmi často, protože zlatý řez je také reprezentován jako zlatý obdélník (jehož poměr stran je φ \u003d 1,62). Jedná se o velmi zajímavý obdélník: pokud z něj „odřízneme“ čtverec, dostaneme opět zlatý obdélník. A tak nekonečně mnohokrát. Vidět:

Ale matematika by nebyla matematikou, kdyby v ní nebyly žádné vzorce. Tak přátelé, teď to bude trochu „bolestné“. Řešení zlatého řezu jsem schoval pod spoiler, vzorců je spousta, ale nechci článek nechat bez nich.

Fibonacciho řada a zlatý řez

Pokračujeme ve tvoření a pozorování kouzla matematiky a zlatého řezu. Ve středověku byl takový přítel - Fibonacci (nebo Fibonacci, všude píšou jinak). Miloval matematiku a úlohy, také měl zajímavý problém s rozmnožováním králíků =) Ale o to nejde. Objevil číselnou řadu, čísla v ní se nazývají „Fibonacciho čísla“.

Samotná sekvence vypadá takto:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... a tak dále do nekonečna.

Slovy, Fibonacciho posloupnost je taková posloupnost čísel, kde každé následující číslo je rovno součtu dvou předchozích.

A co zlatý řez? Nyní uvidíte.

Fibonacciho spirála

Abyste viděli a cítili celou souvislost mezi Fibonacciho číselnou řadou a zlatým řezem, musíte se znovu podívat na vzorce.

Jinými slovy, od 9. člena Fibonacciho sekvence začínáme získávat hodnoty zlatého řezu. A pokud si celý tento obrázek představíme, uvidíme, jak Fibonacciho posloupnost vytváří obdélníky blíže a blíže zlatému obdélníku. Tady je takové spojení.

Nyní si povíme něco o Fibonacciho spirále, říká se jí také „zlatá spirála“.

Zlatá spirála je logaritmická spirála, jejíž růstový faktor je φ4, kde φ je zlatý řez.

Obecně platí, že z hlediska matematiky je zlatý řez ideální poměr. Tím ale její zázraky teprve začínají. Téměř celý svět podléhá zásadám zlatého řezu, tento podíl vytvořila sama příroda. I esoterici, a ti, v tom vidí numerickou sílu. O tom se ale v tomto článku rozhodně bavit nebudeme, proto, aby vám nic neuniklo, můžete se přihlásit k odběru aktualizací webu.

Zlatý řez v přírodě, člověku, umění

Než začneme, rád bych objasnil řadu nepřesností. Za prvé, samotná definice zlatého řezu v tomto kontextu není zcela správná. Faktem je, že samotný pojem „úsek“ je geometrický pojem, který vždy označuje rovinu, nikoli však posloupnost Fibonacciho čísel.

A za druhé, číselná řada a poměr jednoho k druhému se samozřejmě proměnily v jakousi šablonu, kterou lze použít na vše, co se zdá podezřelé, a být velmi rád, když existují náhody, ale přesto by zdravý rozum neměl být ztracen.

Ovšem „v našem království se všechno pomíchalo“ a jedno se stalo synonymem pro druhé. Obecně se tedy význam tohoto neztratil. A teď k podnikání.

Budete se divit, ale zlatý řez, respektive proporce mu co nejblíže, je vidět téměř všude, dokonce i v zrcadle. nevěříš? Začněme tímto.

Víte, když jsem se učil kreslit, vysvětlovali nám, jak snadné je postavit člověku obličej, jeho tělo a tak dále. Všechno se musí počítat relativně k něčemu jinému.

Všechno, úplně všechno je úměrné: kosti, naše prsty, dlaně, vzdálenosti na obličeji, vzdálenost natažených paží vzhledem k tělu a tak dále. Ale ani to není vše, vnitřní stavba našeho těla, dokonce i ona, se rovná nebo téměř rovná vzorci zlatého řezu. Zde jsou vzdálenosti a proporce:

od ramen k temeni k velikosti hlavy = 1:1,618

od pupku ke koruně k segmentu od ramen ke koruně = 1: 1,618

od pupku ke kolenům a od kolen k chodidlům = 1:1,618

od brady ke krajnímu bodu horního rtu a od něj k nosu = 1:1,618

Není to úžasné!? Harmonie v čistá forma uvnitř i venku. A to je důvod, proč se nám na určité podvědomé úrovni někteří lidé nezdají krásní, i když mají silné tónované tělo, sametovou pleť, krásné vlasy, oči a tak dále a tak dále. Ale každopádně sebemenší porušení proporcí těla a vzhled již mírně „řezává oči“.

Zkrátka čím krásnější se nám člověk zdá, tím se jeho proporce blíží ideálu. A to, mimochodem, lze přičíst nejen lidskému tělu.

Zlatý řez v přírodě a její jevy

Klasickým příkladem zlatého řezu v přírodě je schránka měkkýše Nautilus pompilius a amonit. Ale to není vše, příkladů je mnohem více:

v kadeřích lidského ucha můžeme vidět zlatou spirálu;

jeho vlastní (nebo blízko něj) ve spirálách, podél kterých se točí galaxie;

a v molekule DNA;

střed slunečnice je uspořádán podél Fibonacciho řady, rostou šišky, střed květů, ananas a mnoho dalších plodů.

Přátelé, příkladů je tolik, že zde video nechám (je trochu níže), abych článek nezahltil textem. Protože když projdete toto téma, můžete se ponořit do takové džungle: i staří Řekové dokázali, že vesmír a obecně celý vesmír byl plánován podle principu zlatého řezu.

Budete se divit, ale tato pravidla lze nalézt i ve zvuku. Vidět:

Nejvyšší bod zvuku, který způsobuje bolest a nepohodlí v našich uších, je 130 decibelů.

Vydělíme podílem 130 zlatým řezem φ = 1,62 a dostaneme 80 decibelů - zvuk lidského výkřiku.

Pokračujeme v dělení proporcionálně a dostaneme, řekněme, normální hlasitost lidské řeči: 80 / φ = 50 decibelů.

No a poslední zvuk, který díky vzorci získáme, je příjemný zvuk šepotu = 2,618.

Podle tohoto principu je možné určit optimálně-pohodlné, minimální a maximální číslo teploty, tlaku, vlhkosti. Nekontroloval jsem a nevím, jak pravdivá je tato teorie, ale vidíte, zní to působivě.

Absolutně ve všem živém i neživém lze číst nejvyšší krásu a harmonii.

Hlavní je nenechat se tím strhnout, protože když v něčem chceme něco vidět, tak to uvidíme, i když to tam není. Například jsem věnoval pozornost designu PS4 a viděl jsem tam zlatý řez =) Tato konzole je však tak skvělá, že bych se nedivil, kdyby na ni byl designér opravdu chytrý.

Zlatý řez v umění

Je to také velmi rozsáhlé a rozsáhlé téma, které je třeba posuzovat samostatně. Zde jen zdůrazním několik základních bodů. Nejpozoruhodnější je, že mnoho uměleckých děl a architektonických mistrovských děl starověku (a nejen) je vyrobeno podle zásad zlatého řezu.

Egyptské a mayské pyramidy, Notre Dame de Paris, řecký Parthenon a tak dále.

V hudebních dílech Mozarta, Chopina, Schuberta, Bacha a dalších.

V malbě (je to tam jasně vidět): všechny nejslavnější obrazy slavných umělců jsou vyrobeny s ohledem na pravidla zlatého řezu.

Tyto principy lze nalézt v Puškinových básních a v bustě krásné Nefertiti.

Už nyní se pravidla zlatého řezu používají například ve fotografii. No, samozřejmě, ve všech ostatních uměních, včetně kinematografie a designu.

Fibonacciho zlaté kočky

A konečně o kočkách! Přemýšleli jste někdy, proč všichni tak milují kočky? Ovládli internet! Kočky jsou všude a je to úžasné =)

A jde o to, že kočky jsou dokonalé! nevěříš? Teď vám to matematicky dokáži!

Vidět? Tajemství je odhaleno! Koťátka jsou perfektní z hlediska matematiky, přírody a vesmíru =)

*Dělám si srandu, samozřejmě. Ne, kočky jsou opravdu ideální) Ale matematicky je asi nikdo nezměřil.

V tomto, obecně, všechno, přátelé! Uvidíme se v dalších článcích. Hodně štěstí!

P.S. Obrázky převzaty z medium.com.

Geometrie je exaktní a poměrně složitá věda, která je s tím vším druhem umění. Linie, roviny, proporce – to vše pomáhá vytvořit spoustu opravdu krásných věcí. A kupodivu je to založeno na geometrii v jejích nejrozmanitějších podobách. V tomto článku se podíváme na jednu velmi neobvyklou věc, která s tím přímo souvisí. Zlatý řez je přesně ten geometrický přístup, o kterém bude řeč.

Tvar předmětu a jeho vnímání

Lidé se nejčastěji zaměřují na tvar předmětu, aby jej rozpoznali mezi miliony dalších. Podle formy určujeme, co před námi leží nebo stojí daleko. Lidi poznáváme především podle tvaru těla a obličeje. Proto můžeme s jistotou říci, že samotná forma, její velikost a vzhled je jednou z nejdůležitějších věcí v lidském vnímání.

Pro lidi je forma čehokoli zajímavá ze dvou hlavních důvodů: buď je diktována životní nutností, nebo je způsobena estetickým potěšením z krásy. Nejlepší zrakový vjem a pocit harmonie a krásy se nejčastěji dostaví, když člověk pozoruje formu, při jejíž konstrukci byla použita symetrie a zvláštní poměr, kterému se říká zlatý řez.

Koncept zlatého řezu

Zlatý řez je tedy zlatý řez, což je také harmonické dělení. Abychom to vysvětlili jasněji, zvažte některé funkce formuláře. Totiž: forma je něco celku, ale celek se zase vždy skládá z nějakých částí. Tyto díly mají s největší pravděpodobností přinejmenším odlišné vlastnosti různé velikosti. No, takové rozměry jsou vždy v určitém poměru jak mezi sebou, tak ve vztahu k celku.

Jinými slovy tedy můžeme říci, že zlatý řez je poměr dvou veličin, který má svůj vlastní vzorec. Použití tohoto poměru při vytváření formy pomáhá, aby byla pro lidské oko co nejkrásnější a harmonická.

Z dávné historie zlatého řezu

Zlatý řez se právě teď často používá v různých oblastech života. Ale historie tohoto konceptu sahá do starověku, kdy takové vědy jako matematika a filozofie teprve vznikaly. Jak vědecký koncept Zlatý řez se začal používat v době Pythagora, konkrétně v šestém století před naším letopočtem. Ale ještě předtím se znalost takového poměru využívala v praxi v Starověký Egypt a Babylon. Nápadným důkazem toho jsou pyramidy, na jejichž stavbu použili právě takový zlatý řez.

nové období

Renesance byla novým dechem pro harmonické dělení, zejména díky Leonardu da Vinci. Tento poměr se stále více používá jak v geometrii, tak v umění. Vědci a umělci začali hlouběji zkoumat zlatý řez a vytvářet knihy, které se touto problematikou zabývají.

Jedním z nejvýznamnějších historických děl souvisejících se zlatým řezem je kniha Lucy Pancioliho nazvaná Božská proporce. Historici mají podezření, že ilustrace této knihy vytvořil sám Leonardo pre-Vinci.

Zlatý řez

Matematika dává velmi jasnou definici proporce, která říká, že jde o rovnost dvou poměrů. Matematicky to lze vyjádřit následující rovností: a: b \u003d c: d, kde a, b, c, d jsou některé konkrétní hodnoty.

Pokud vezmeme v úvahu podíl segmentu rozděleného na dvě části, pak se můžeme setkat pouze s několika situacemi:

• Segment je rozdělen na dvě absolutně stejné části, což znamená, že AB: AC \u003d AB: BC, pokud AB je přesný začátek a konec segmentu a C je bod, který rozděluje segment na dvě stejné části.
• Segment je rozdělen na dvě nestejné části, které mohou být umístěny v jiný poměr mezi sebou, což znamená, že zde jsou absolutně nepřiměřené.
• Segment je rozdělen tak, že AB:AC = AC:BC.

Co se týče zlatého řezu, jedná se o takové proporční rozdělení segmentu na nestejné části, kdy celý segment odkazuje na větší část, stejně jako samotná větší část odkazuje na tu menší. Existuje další formulace: menší segment se vztahuje k většímu, stejně jako větší k celému segmentu. Matematicky to vypadá takto: a:b = b:c nebo c:b = b:a. Toto je forma vzorce zlatého řezu.

Zlatý řez v přírodě

Zlatý řez, jehož příklady se nyní budeme zabývat, se týká neuvěřitelných jevů v přírodě. Toto je velmi krásné příkladyže matematika nejsou jen čísla a vzorce, ale věda, která má víc než jen skutečný odraz v přírodě a našem životě vůbec.

Pro živé organismy je jedním z hlavních životních úkolů růst. Tato touha zaujmout své místo ve vesmíru se ve skutečnosti provádí v několika formách - vzestupný růst, téměř horizontální šíření na zemi nebo spirála na nějakém druhu podpory. A jakkoli je to neuvěřitelné, mnoho rostlin roste podle zlatého řezu.

Dalším téměř neuvěřitelným faktem jsou poměry v těle ještěrek. Jejich tělo působí lidskému oku dostatečně příjemně a je to možné díky stejnému zlatému řezu. Přesněji řečeno, délka jejich ocasu souvisí s délkou celého těla jako 62:38.

Zajímavosti o pravidlech zlatého řezu

Zlatý řez je skutečně neuvěřitelný pojem, což znamená, že v průběhu historie se můžeme setkat opravdu se spoustou zajímavosti o tomto poměru. Představujeme vám některé z nich:

Zlatý řez v lidském těle

V této části je třeba zmínit velmi významnou osobnost, a to S. Zeisinga. Jedná se o německého výzkumníka, který odvedl skvělou práci v oblasti studia zlatého řezu. Vydal práci s názvem Estetický výzkum. Zlatý řez ve svém díle představil jako absolutní pojem, který je univerzální pro všechny jevy, jak v přírodě, tak v umění. Zde si můžeme připomenout zlatý řez pyramidy spolu s harmonickým poměrem lidského těla a tak dále.

Byl to Zeising, kdo byl schopen dokázat, že zlatý řez je ve skutečnosti průměrným statistickým zákonem pro lidské tělo. To se ukázalo v praxi, protože při své práci musel změřit spoustu lidských těl. Historici se domnívají, že se tohoto zážitku zúčastnilo více než dva tisíce lidí. Podle Zeisingových výzkumů je hlavním ukazatelem zlatého řezu rozdělení těla podle pupku. Mužské tělo s průměrným poměrem 13:8 je tedy o něco blíže zlatému řezu než tělo ženské, kde je zlatý řez 8:5. Zlatý řez lze pozorovat i na jiných částech těla, jako je například ruka.

O stavbě zlatého řezu

Ve skutečnosti je stavba zlatého řezu jednoduchá záležitost. Jak vidíme, i starověcí lidé se s tím docela snadno vyrovnali. Co můžeme říci o moderních znalostech a technologiích lidstva. V tomto článku si neukážeme, jak to lze udělat jednoduše na papíře a s tužkou v ruce, ale s jistotou prohlásíme, že je to ve skutečnosti možné. Navíc to lze provést více než jedním způsobem.

Vzhledem k tomu, že se jedná o poměrně jednoduchou geometrii, je zlatý řez docela jednoduchý na konstrukci i ve škole. Informace o tom lze proto snadno najít ve specializovaných knihách. Studiem zlatého řezu je 6. ročník plně schopen porozumět principům jeho konstrukce, což znamená, že i děti jsou dostatečně chytré, aby takový úkol zvládly.

Zlatý řez v matematice

První seznámení se zlatým řezem v praxi začíná jednoduchým rozdělením úsečky přímky, vše ve stejných proporcích. Nejčastěji se to provádí pomocí pravítka, kružítka a samozřejmě tužky.

Segmenty zlatého řezu jsou vyjádřeny jako nekonečný iracionální zlomek AE \u003d 0,618 ..., pokud je AB brána jako jednotka, BE \u003d 0,382 ... Aby byly tyto výpočty praktičtější, velmi často nepoužívají přesné , ale přibližné hodnoty, a to - 0 ,62 a 0,38. Pokud je segment AB brán jako 100 dílů, jeho větší část se bude rovnat 62 a menší - 38 dílům.

Hlavní vlastnost zlatého řezu lze vyjádřit rovnicí: x 2 -x-1=0. Při řešení dostaneme tyto kořeny: x 1,2 =. Matematika je sice exaktní a rigorózní věda, stejně jako její sekce - geometrie, ale právě takové vlastnosti, jako jsou zákony zlatého řezu, vnášejí do tohoto tématu záhadu.

Harmonie v umění prostřednictvím zlatého řezu

Abychom to shrnuli, pojďme se krátce zamyslet nad tím, co již bylo řečeno.

V podstatě mnoho uměleckých děl spadá pod pravidlo zlatého řezu, kde se poměr blíží 3/8 a 5/8. Toto je hrubý vzorec pro zlatý řez. O příkladech použití sekce již bylo v článku zmíněno mnohé, ale my se na to podíváme opět prizmatem antického a moderního umění. Takže nejvýraznější příklady ze starověku:

Pokud jde o již vědomé používání proporce, od dob Leonarda da Vinciho se začala používat téměř ve všech oblastech života – od vědy po umění. I biologie a medicína prokázaly, že zlatý řez funguje i v živých systémech a organismech.

20.05.2017

Zlatý řez je něco, o čem by měl vědět každý designér. Vysvětlíme, co to je a jak to můžete použít.

V přírodě existuje společný matematický vztah, který lze použít v designu k vytvoření příjemných, přirozeně vypadajících kompozic. Říká se tomu zlatý řez nebo řecké písmeno „phi“. Pokud jste ilustrátor, umělecký ředitel nebo grafik, rozhodně byste měli zlatý řez používat v každém projektu.

V tomto článku vám vysvětlíme, jak jej používat, a také se podělíme o skvělé nástroje pro další inspiraci a učení.

Zlatý řez, který úzce souvisí s Fibonacciho sekvencí, kterou si možná pamatujete z hodin matematiky nebo Šifra mistra Leonarda Dana Browna, popisuje dokonale symetrický vztah mezi dvěma proporcemi.

Zlatý poměr, který se přibližně rovná poměru 1:1,61, lze znázornit jako zlatý obdélník: velký obdélník obsahující čtverec (ve kterém se strany rovnají délce nejkratší strany obdélníku) a menší obdélník.

Pokud čtverec z obdélníku odstraníte, vznikne další, malý zlatý obdélník. Tento proces může pokračovat donekonečna, stejně jako Fibonacciho čísla, která fungují obráceně. (Přidáním čtverce se stranami rovnými délce nejdelší strany obdélníku se přiblížíte ke zlatému obdélníku a zlatému poměru.)

Zlatý řez v akci

Předpokládá se, že zlatá střední cesta se v umění a designu používá asi 4000 let. Mnoho lidí se však shoduje, že tento princip byl použit i při stavbě egyptských pyramid.

Ve více moderní doba toto pravidlo můžeme vidět v hudbě, umění a designu kolem nás. Použitím podobné pracovní metodiky můžete do své práce vnést stejné konstrukční prvky. Pojďme se podívat na některé inspirativní příklady.

Řecká architektura

Ve starověké řecké architektuře se zlatý poměr používal k určení příjemných prostorových vztahů mezi šířkou budovy a její výškou, velikostí sloupoví a dokonce i polohou sloupů, které stavbu podpírají.

Výsledkem je dokonale proporcionální struktura. Tyto principy využívalo i hnutí neoklasické architektury.

Poslední večeře

Leonardo Da Vinci, stejně jako mnoho dalších umělců v minulosti, často používal zlatou střední cestu k vytváření příjemných skladeb.

V Poslední večeři jsou postavy umístěny ve spodních dvou třetinách (největší ze dvou částí Zlatého řezu) a Ježíš je dokonale načrtnutý mezi zlatými obdélníky.

Zlatý řez v přírodě

V přírodě je mnoho příkladů zlaté střední cesty – najdete je kolem sebe. Květiny, mořské mušle, ananas a dokonce i plástve vykazují stejný poměr.

Jak vypočítat zlatý poměr

Výpočet zlatého poměru je poměrně jednoduchý a začíná jednoduchým čtvercem:

01. Nakreslete čtverec

Tvoří délku krátké strany obdélníku.

02. Rozdělte čtverec

Čtverec rozdělte na polovinu pomocí svislé čáry a vytvořte dva obdélníky.

03. Nakreslete úhlopříčku

V jednom z obdélníků nakreslete čáru z jednoho rohu do opačného.

04. Otočte

Otočte tuto čáru tak, aby byla vodorovně s prvním obdélníkem.

05. Vytvořte nový obdélník

Vytvořte obdélník pomocí nové vodorovné čáry a prvního obdélníku.

Jak používat zlatý řez

Použití tohoto principu je jednodušší, než si myslíte. Existuje několik rychlých triků, které můžete použít ve svých maketách, nebo strávit trochu více času a plně rozvinout koncept.

Rychlá cesta

Pokud jste se někdy setkali s „pravidlem třetin“, pak budete obeznámeni s myšlenkou rozdělování prostoru na stejné třetiny vertikálně a horizontálně, kde se čáry protínají a vytvářejí přirozené body pro objekty.

Fotograf umístí klíčový objekt na jednu z těchto protínajících se čar, aby vytvořil příjemnou kompozici. Tento princip lze také použít při rozvržení stránky a návrzích plakátů.

Pravidlo třetin lze aplikovat na jakýkoli tvar, ale pokud jej aplikujete na obdélník s poměry zhruba 1:1,6, dostanete se velmi blízko zlatému obdélníku, díky čemuž bude kompozice příjemnější pro oči.

Plná implementace

Pokud chcete do svého návrhu plně implementovat Zlatý poměr, jednoduše umístěte hlavní obsah a postranní panel (ve webdesignu) do poměru 1:1,61.

Hodnoty můžete zaokrouhlit nahoru nebo dolů: pokud je oblast obsahu 640 pixelů a postranní panel je 400 pixelů, pak je toto označení docela vhodné pro zlatý poměr.

Samozřejmě můžete také oddělit obsah a oblasti postranního panelu do stejného vztahu a vztah mezi názvem webové stránky, oblastí obsahu, zápatím a navigací lze také navrhnout pomocí stejného principu.

Užitečné nástroje

Zde je několik nástrojů, které vám pomohou používat zlatý poměr v designu a vytvářet proporcionální návrhy.

GoldenRATIO je aplikace pro tvorbu návrhů webových stránek, rozhraní a šablon vhodných pro Zlatý poměr. Dostupné z Mac App Store za 2,99 $. Zahrnuje vizuální kalkulačka Zlatý řez.

Aplikace má také funkci „Oblíbené“, která ukládá nastavení pro opakující se úkoly, a režim „Click-thru“, který vám umožní minimalizovat aplikaci ve Photoshopu.

Tato kalkulačka zlatého poměru od Pearsonified vám pomůže vytvořit perfektní typografii pro váš web. Do pole zadejte velikost písma, šířku kontejneru a klikněte na tlačítko Nastavte můj typ! Pokud potřebujete optimalizovat počet písmen na řádek, můžete volitelně zadat hodnotu CPL.

Je to jednoduché, užitečné a bezplatná aplikace k dispozici pro Mac a PC. Zadejte libovolné číslo a aplikace vypočítá druhou číslici podle zlatého řezu.

Tato aplikace vám umožňuje navrhovat se zlatými proporcemi, což vám ušetří spoustu času na výpočty.

Můžete měnit tvary a velikosti, abyste se mohli soustředit na práci na svém projektu. Trvalá licence stojí 49 dolarů, ale bezplatnou verzi si můžete stáhnout na měsíc.

Učení zlatého řezu

Zde je několik užitečných tutoriálů Golden Ratio (anglicky):

V tomto tutoriálu pro digitální umění vám Roberto Marras ukáže, jak používat zlatý poměr ve své kresbě.

Tutoriál od Tuts+ o tom, jak používat zlaté principy v projektech webdesignu.

Návod od Smashing Magazine o proporcích a pravidle třetin.

Zlatý řez je univerzálním projevem strukturální harmonie. Nachází se v přírodě, vědě, umění – ve všem, s čím může člověk přijít do styku. Jakmile se lidstvo seznámilo se zlatým pravidlem, už ho nepodvádělo.

DEFINICE

Nejobsáhlejší definice zlatého řezu říká, že menší část odkazuje na větší část, zatímco větší část odkazuje na celek. Jeho přibližná hodnota je 1,6180339887. V zaokrouhleném procentu budou podíly částí celku korelovat jako 62 % o 38 %. Tento poměr působí ve formách prostoru a času.

Staří lidé viděli zlatý řez jako odraz kosmického řádu a Johannes Kepler jej nazval jedním z pokladů geometrie. Moderní věda považuje zlatý řez za „asymetrickou symetrii“ a nazývá ji široký smysl univerzální pravidlo, které odráží strukturu a řád našeho světového řádu.

PŘÍBĚH

Staří Egypťané měli představu o zlatých proporcích, věděli o nich i v Rusku, ale poprvé vědecky vysvětlil zlatý řez mnich Luca Pacioli v knize The Divine Proportion (1509), která byla údajně ilustrována Leonardo da Vinci. Pacioli viděl ve zlatém řezu božská trojice: malý úsek zosobňoval Syna, velký - Otce a celek - Ducha svatého.

Jméno italského matematika Leonarda Fibonacciho je přímo spojeno s pravidlem zlatého řezu. V důsledku vyřešení jednoho z problémů přišel vědec s posloupností čísel, nyní známou jako Fibonacciho řada: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 atd. Kepler upozornil na vztah této posloupnosti ke zlatému řezu: „Je uspořádán tak, že dva nižší členy této nekonečné proporce se sčítají ke třetímu členu a jakékoli dva poslední členy, pokud se sečtou dohromady, dávají další funkční období a stejný podíl zůstane na dobu neurčitou." Nyní je Fibonacciho řada aritmetickým základem pro výpočet proporcí zlatého řezu ve všech jeho projevech.

Leonardo da Vinci také věnoval spoustu času studiu vlastností zlatého řezu, s největší pravděpodobností mu tento termín patří. Jeho kresby stereometrického tělesa tvořeného pravidelnými pětiúhelníky dokazují, že každý z obdélníků získaných řezem udává poměr stran ve zlatém dělení.

Postupem času se pravidlo zlatého řezu změnilo v akademickou rutinu a až filozof Adolf Zeising jej v roce 1855 vrátil k životu. Dovedl proporce zlatého řezu do absolutna, čímž je učinil univerzálními pro všechny jevy okolního světa. Jeho „matematický estetismus“ však vyvolal mnoho kritiky.

PŘÍRODA

Zlatý řez lze v přírodě snadno najít i bez zabíhání do výpočtů. Takže poměr ocasu a těla ještěrky, vzdálenost mezi listy na větvi spadá pod něj, je zde zlatý řez a ve tvaru vejce, pokud je přes jeho nejširší část nakreslena podmíněná čára.

Běloruský vědec Eduard Soroko, který studoval formy zlatých dělení v přírodě, poznamenal, že vše, co roste a usiluje o své místo ve vesmíru, je obdařeno proporcemi zlatého řezu. Jednou z nejzajímavějších forem je podle jeho názoru spirála.

Dokonce i Archimedes, dávajíc pozor na spirálu, odvodil na základě jejího tvaru rovnici, která se dodnes v technice používá. Později si Goethe všiml přitažlivosti přírody ke spirálovitým formám a nazval spirálu „křivkou života“. Moderní vědci zjistili, že takové projevy spirálových forem v přírodě, jako je ulita šneka, uspořádání slunečnicových semen, vzory sítí, pohyb hurikánu, struktura DNA a dokonce i struktura galaxií, obsahují Fibonacciho řadu. .

ČLOVĚK

Módní návrháři a oděvní návrháři provádějí všechny výpočty na základě proporcí zlatého řezu. Člověk je univerzální forma pro testování zákonitostí zlatého řezu. Samozřejmě, od přírody ne všichni lidé mají ideální proporce, což vytváří určité potíže s výběrem oblečení.

V deníku Leonarda da Vinciho je kresba nahého muže vepsaná do kruhu ve dvou polohách na sobě položených. Na základě studií římského architekta Vitruvia se Leonardo podobně pokusil stanovit proporce lidského těla. Později francouzský architekt Le Corbusier s využitím Leonardova Vitruviánského muže vytvořil vlastní stupnici „harmonických proporcí“, která ovlivnila estetiku architektury 20. století.

Adolf Zeising, zkoumající proporcionalitu člověka, odvedl obrovskou práci. Změřil asi dva tisíce lidských těl a také mnoho antických soch a odvodil, že zlatý řez vyjadřuje průměrný zákon. U člověka jsou mu podřízeny téměř všechny části těla, ale hlavním ukazatelem zlatého řezu je rozdělení těla podle pupku.
Výsledkem měření výzkumník zjistil, že proporce mužského těla 13:8 jsou blíže zlatému řezu než proporce ženského těla – 8:5.

UMĚNÍ PROSTOROVÝCH FOREM

Umělec Vasilij Surikov řekl, že „v kompozici existuje neměnný zákon, kdy nelze do obrázku nic odebrat ani přidat, ani bod navíc, to je skutečná matematika“. Na dlouhou dobu umělci se tímto zákonem intuitivně řídili, ale po Leonardu da Vincim se proces tvorby obrazu již neobejde bez řešení geometrických problémů. Například Albrecht Dürer použil jím vynalezený proporcionální kompas k určení bodů zlatého řezu.

Historik umění F.V. Kovalev, který podrobně prostudoval obraz Nikolaje Ge „Alexander Sergejevič Puškin ve vesnici Michajlovský“, poznamenává, že každý detail plátna, ať už je to krb, knihovna, křeslo nebo básník sám, je přísně vepsána ve zlatých proporcích.

Badatelé zlatého řezu neúnavně studují a měří mistrovská díla architektury a tvrdí, že se jimi stala, protože byla vytvořena podle zlatých kánonů: jejich seznam zahrnuje Velké pyramidy v Gíze, katedrálu Notre Dame, katedrálu Vasila Blaženého, ​​Parthenon .

A dnes se v jakémkoli umění prostorových forem snaží dodržet proporce zlatého řezu, protože podle historiků umění usnadňují vnímání díla a tvoří v divákovi estetický vjem.

SLOVO, ZVUK A FILM

Formy dočasného umění nám svým způsobem demonstrují princip zlatého dělení. Literární kritici si například všimli, že nejoblíbenější počet řádků v básních pozdního období Puškinovy ​​tvorby odpovídá sérii Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Pravidlo zlatého řezu platí i v jednotlivých dílech ruského klasika. Vrcholem Pikové dámy je tedy dramatická scéna Hermana a hraběnky, která končí smrtí druhé jmenované. V příběhu je 853 řádků a vyvrcholení padá na řádek 535 (853:535=1,6) – to je bod zlatého řezu.

Sovětský muzikolog E.K. Rozenov si všímá nápadné přesnosti poměrů zlatého řezu v přísných a volných formách děl Johanna Sebastiana Bacha, což odpovídá promyšlenému, soustředěnému, technicky ověřenému stylu mistra. To platí i o vynikajících dílech jiných skladatelů, kde bod zlatého řezu obvykle představuje nejvýraznější nebo nečekané hudební řešení.

Filmový režisér Sergej Ejzenštejn záměrně sladil scénář svého filmu "Bitevní loď Potěmkin" s pravidlem zlatého řezu a pásek rozdělil do pěti částí. V prvních třech částech se akce odehrává na lodi a v posledních dvou - v Oděse. Přechod do kulis ve městě je zlatou střední cestou filmu.