Schopnost najít vzdálenost mezi různými geometrickými objekty je důležitá při výpočtu plochy figur a jejich objemů. V tomto článku se budeme zabývat otázkou, jak najít vzdálenost od bodu k přímce v prostoru a v rovině.

Matematický popis přímky

Abyste pochopili, jak najít vzdálenost od bodu k přímce, měli byste se zabývat otázkou matematické specifikace těchto geometrických objektů.

Vše je jednoduché s bodem, popisuje to množina souřadnic, jejichž počet odpovídá rozměru prostoru. Například v rovině jsou to dvě souřadnice, v trojrozměrném prostoru - tři.

Pokud jde o jednorozměrný objekt - přímku, k popisu se používá několik typů rovnic. Uvažujme pouze dva z nich.

První typ se nazývá vektorová rovnice. Níže jsou uvedeny výrazy pro čáry v trojrozměrném a dvourozměrném prostoru:

(x; y; z) = (xo; yo; zo) + a x (a; b; c);

(x; y) = (x 0; y 0) + α × (a; b)

V těchto výrazech souřadnice s nulovými indexy popisují bod, kterým daná přímka prochází, množina souřadnic (a; b; c) a (a; b) jsou tzv. směrové vektory pro odpovídající přímku, α je a parametr, který může nabývat jakékoli skutečné hodnoty.

Vektorová rovnice je výhodná v tom smyslu, že explicitně obsahuje směrový vektor přímky, jejíž souřadnice lze použít při řešení úloh rovnoběžnosti nebo kolmosti různých geometrických objektů, například dvou přímek.

Druhý typ rovnic, který budeme uvažovat pro přímku, se nazývá obecný. V prostoru je tento tvar dán obecnými rovnicemi dvou rovin. V letadle má následující podobu:

A × x + B × y + C = 0

Když se provádí vykreslování, často se zapisuje jako závislost na x / y, to znamená:

y = -A / B × x + (-C / B)

Zde volný člen -C / B odpovídá souřadnici průsečíku přímky s osou y a koeficient -A / B souvisí s úhlem přímky k ose x.

Pojem vzdálenosti mezi přímkou ​​a bodem

Po vypořádání se s rovnicemi můžete přímo přejít k odpovědi na otázku, jak najít vzdálenost od bodu k přímce. V 7. ročníku školy začínají tuto problematiku zvažovat stanovením vhodné hodnoty.

Vzdálenost mezi úsečkou a bodem je délka segmentu kolmého k této přímce, který je z uvažovaného bodu vynechán. Obrázek níže ukazuje přímku r a bod A. Modrá čára znázorňuje úsečku kolmou k přímce r. Jeho délka je požadovaná vzdálenost.

Zde je však 2D případ tato definice vzdálenost platí i pro trojrozměrný problém.

Požadované vzorce

Podle toho, v jakém tvaru je rovnice přímky zapsána a v jakém prostoru je úloha řešena, lze dát dva základní vzorce, které odpovídají na otázku, jak zjistit vzdálenost mezi přímkou ​​a bodem.

Známý bod označíme symbolem P 2 . Pokud je rovnice přímky dána ve vektorovém tvaru, pak pro vzdálenost d mezi uvažovanými objekty platí vzorec:

d = || / |v¯|

To znamená, že pro určení d je třeba vypočítat modul vektorového součinu přímého vektoru v¯ a vektoru P 1 P 2 ¯, jejichž začátek leží v libovolném bodě P 1 na přímce a konec je v bodě P 2 pak tento modul vydělte délkou v ¯. Tento vzorec je univerzální pro plochý a trojrozměrný prostor.

Pokud je problém uvažován v rovině v souřadnicovém systému xy a rovnice přímky je dána v obecném tvaru, pak následující vzorec umožňuje zjistit vzdálenost od přímky k bodu následovně:

Přímka: A × x + B × y + C = 0;

Bod: P2 (x 2; y2; z 2);

Vzdálenost: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Výše uvedený vzorec je poměrně jednoduchý, ale jeho použití je omezeno výše uvedenými podmínkami.

Souřadnice průmětu bodu na přímku a vzdálenost

Na otázku, jak zjistit vzdálenost od bodu k přímce, můžete odpovědět také jiným způsobem, který nezahrnuje zapamatování výše uvedených vzorců. Tato metoda spočívá v určení bodu na přímce, která je průmětem původního bodu.

Předpokládejme, že existuje bod M a přímka r. Průmět bodu M na r odpovídá nějakému bodu M 1 . Vzdálenost od M do r je rovna délce vektoru MM 1 ¯.

Jak zjistit souřadnice M 1 ? Velmi jednoduché. Stačí si připomenout, že přímkový vektor v bude kolmý na MM 1 ¯, to znamená, že jejich skalární součin se musí rovnat nule. Připočteme-li k této podmínce skutečnost, že souřadnice M 1 musí splňovat rovnici přímky r, získáme soustavu jednoduchých lineárních rovnic. Výsledkem jeho řešení jsou souřadnice průmětu bodu M na r.

Metoda popsaná v tomto odstavci pro zjištění vzdálenosti od přímky k bodu může být použita pro rovinu a pro prostor, ale její aplikace vyžaduje znalost vektorové rovnice pro přímku.

Úkol v letadle

Nyní je na čase ukázat, jak využít prezentovaný matematický aparát k řešení skutečných problémů. Předpokládejme, že na rovině je dán bod M(-4; 5). Je nutné najít vzdálenost od bodu M k přímce, která je popsána obecnou rovnicí:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

To znamená, že M neleží na čáře.

Protože rovnice přímky není dána v obecném tvaru, redukujeme ji na takovou, abychom mohli použít odpovídající vzorec, máme:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Nyní můžete do vzorce pro d dosadit známá čísla:

d = |A × x 2 + B × y2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Úkol ve vesmíru

Nyní zvažte případ ve vesmíru. Nechť je přímka popsána následující rovnicí:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Jaká je vzdálenost od něj k bodu M(0; 2; -3)?

Stejně jako v předchozím případě zkontrolujeme, zda M patří k danému řádku. Za tímto účelem dosadíme souřadnice do rovnice a explicitně ji přepíšeme:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Protože jsou získány různé parametry α, pak M neleží na této přímce. Nyní vypočítáme vzdálenost od ní k přímce.

Chcete-li použít vzorec pro d, vezměte libovolný bod na přímce, například P(1; -1; 0), pak:

Vypočítejme křížový součin mezi PM¯ a směrovým vektorem přímky v¯. Dostaneme:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Nyní dosadíme moduly nalezeného vektoru a vektoru v¯ do vzorce pro d, dostaneme:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Tuto odpověď lze získat pomocí výše popsané metody, která zahrnuje řešení soustavy lineárních rovnic. V tomto a předchozích problémech jsou vypočtené hodnoty vzdálenosti od čáry k bodu uvedeny v jednotkách odpovídajícího souřadnicového systému.

Tento článek hovoří o tématu « vzdálenost od bodu k řádku », definice vzdálenosti od bodu k přímce jsou uvažovány s ilustrovanými příklady metodou souřadnic. Každý blok teorie na konci ukázal příklady řešení podobných problémů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vzdálenost od bodu k přímce se zjistí určením vzdálenosti od bodu k bodu. Podívejme se podrobněji.

Nechť existuje přímka a a bod M 1 nepatřící do dané přímky. Nakreslete skrz něj čáru umístěnou kolmo na čáru a. Vezměte průsečík čar jako H 1. Dostaneme, že M 1 H 1 je kolmice, která byla spuštěna z bodu M 1 k přímce a.

Definice 1

Vzdálenost od bodu M 1 k přímce a nazýváme vzdálenost mezi body M 1 a H 1 .

Existují záznamy o definici s údajem o délce kolmice.

Definice 2

Vzdálenost od bodu k řádku je délka kolmice vedené z daného bodu k dané přímce.

Definice jsou ekvivalentní. Zvažte obrázek níže.

Je známo, že vzdálenost od bodu k přímce je nejmenší ze všech možných. Podívejme se na to na příkladu.

Vezmeme-li bod Q ležící na přímce a, který se neshoduje s bodem M 1, pak dostaneme, že úsečka M 1 Q se nazývá šikmá, snížená z M 1 na přímku a. Je třeba uvést, že kolmice z bodu M 1 je menší než jakákoli jiná šikmá čára vedená z bodu k přímce.

Abychom to dokázali, uvažujme trojúhelník M 1 Q 1 H 1 , kde M 1 Q 1 je přepona. Je známo, že jeho délka je vždy větší než délka kterékoli z nohou. Máme tedy M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Výchozí data pro nalezení z bodu do přímky umožňují použití několika metod řešení: prostřednictvím Pythagorovy věty, definice sinu, kosinu, tečny úhlu a dalších. Většina úloh tohoto typu se řeší ve škole v hodinách geometrie.

Když je při zjišťování vzdálenosti od bodu k přímce možné zadat pravoúhlý souřadnicový systém, pak se použije souřadnicová metoda. V tomto odstavci se budeme zabývat dvěma hlavními metodami pro nalezení požadované vzdálenosti od daného bodu.

První metoda zahrnuje zjištění vzdálenosti jako kolmice vedené z M 1 k přímce a. Druhá metoda používá normální rovnici přímky a k nalezení požadované vzdálenosti.

Pokud je v rovině bod se souřadnicemi M 1 (x 1, y 1) umístěný v pravoúhlém souřadnicovém systému, přímce a, a potřebujete zjistit vzdálenost M 1 H 1, můžete počítat dvěma způsoby. Zvažme je.

První způsob

Pokud jsou souřadnice bodu H 1 rovné x 2, y 2, pak se vzdálenost od bodu k přímce vypočítá ze souřadnic ze vzorce M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Nyní přejdeme k nalezení souřadnic bodu H 1.

Je známo, že přímka v O x y odpovídá rovnici přímky v rovině. Vezměme si způsob, jak definovat přímku a prostřednictvím napsání obecné rovnice přímky nebo rovnice se sklonem. Sestavíme rovnici přímky, která prochází bodem M 1 kolmým k dané přímce a. Čáru označme bukem b . H 1 je průsečík přímek a a b, takže pro určení souřadnic musíte použít článek, který se zabývá souřadnicemi průsečíků dvou přímek.

Je vidět, že algoritmus pro zjištění vzdálenosti od daného bodu M 1 (x 1, y 1) k přímce a se provádí podle bodů:

Definice 3

• nalezení obecné rovnice přímky a, která má tvar A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, nebo rovnice s koeficientem sklonu, která má tvar y \u003d k 1 x + b 1;
• získání obecné rovnice přímky b, která má tvar A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 nebo rovnice se sklonem y \u003d k 2 x + b 2, pokud přímka b protíná bod M 1 a je kolmá k dané přímce a;
• určení souřadnic x 2, y 2 bodu H 1, který je průsečíkem a a b, k tomu se vyřeší soustava lineárních rovnic A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B2y + C2 = 0 nebo y = ki x + bi y = k2 x + b2;
• výpočet požadované vzdálenosti od bodu k přímce pomocí vzorce M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Druhý způsob

Věta může pomoci odpovědět na otázku zjištění vzdálenosti od daného bodu k dané přímce v rovině.

Teorém

Pravoúhlá soustava souřadnic má O x y má bod M 1 (x 1, y 1), ze kterého je vedena přímka a do roviny, daná normálovou rovnicí roviny, ve tvaru cos α x + cos β y - p \u003d 0, rovno modulo hodnotě získané na levé straně rovnice normální přímky, vypočtené jako x = x 1, y = y 1, znamená, že M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Důkaz

Přímka a odpovídá normálové rovnici roviny, která má tvar cos α x + cos β y - p = 0, pak n → = (cos α , cos β) je považován za normálový vektor přímky a v bodě a vzdálenost od počátku k přímce a s jednotkami p . Je nutné znázornit všechna data na obrázku, přidat bod se souřadnicemi M 1 (x 1, y 1) , kde je poloměrový vektor bodu M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Z bodu do přímky je třeba vést přímku, kterou budeme označovat M 1 H 1 . Je potřeba znázornit průměty M 2 a H 2 bodů M 1 a H 2 na přímku procházející bodem O s usměrňovacím vektorem tvaru n → = (cos α , cos β) , a číselnou projekci vektoru budeme označovat jako O M 1 → = (x 1 , y 1) do směru n → = (cos α , cos β) jako n p n → O M 1 → .

Variace závisí na umístění samotného bodu M 1. Zvažte obrázek níže.

Výsledky zafixujeme pomocí vzorce M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Potom přivedeme rovnost do tohoto tvaru M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, abychom dostali n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Výsledkem skalárního součinu vektorů je transformovaný vzorec ve tvaru n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , což je součin v souřadnicovém tvaru forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dostaneme tedy, že n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Z toho vyplývá, že M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Věta byla prokázána.

Dostaneme, že k nalezení vzdálenosti od bodu M 1 (x 1, y 1) k přímce a v rovině je třeba provést několik akcí:

Definice 4

• získání normální rovnice přímky a cos α · x + cos β · y - p = 0, pokud to není v úloze;
• výpočet výrazu cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kde výsledná hodnota nabývá M 1 H 1 .

Aplikujme tyto metody na řešení problémů s nalezením vzdálenosti od bodu k rovině.

Příklad 1

Najděte vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 (- 1 , 2) k přímce 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Řešení

K řešení použijeme první metodu.

K tomu je potřeba najít obecnou rovnici přímky b, která prochází daným bodem M 1 (- 1 , 2) kolmo k přímce 4 x - 3 y + 35 = 0 . Je to vidět z podmínky, že přímka b je kolmá k přímce a, pak její směrový vektor má souřadnice rovné (4, - 3) . Máme tedy možnost zapsat kanonickou rovnici přímky b na rovinu, protože tam jsou souřadnice bodu M 1, patří k přímce b. Určíme souřadnice směrového vektoru přímky b . Dostaneme, že x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Výsledná kanonická rovnice musí být převedena na obecnou. Pak to dostaneme

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Najdeme souřadnice průsečíků přímek, které budeme brát jako označení H 1. Transformace vypadají takto:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Z výše uvedeného máme, že souřadnice bodu H 1 jsou (- 5; 5) .

Je nutné vypočítat vzdálenost od bodu M 1 k přímce a. Máme, že souřadnice bodů M 1 (- 1, 2) a H 1 (- 5, 5), pak dosadíme do vzorce pro zjištění vzdálenosti a dostaneme, že

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Druhé řešení.

Aby bylo možné řešit jiným způsobem, je nutné získat normální rovnici přímky. Vypočteme hodnotu normalizačního faktoru a vynásobíme obě strany rovnice 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odtud dostaneme, že normalizační faktor je - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 a normální rovnice bude ve tvaru - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Podle výpočtového algoritmu je nutné získat normální rovnici přímky a vypočítat ji s hodnotami x = - 1, y = 2. Pak to dostaneme

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odtud dostaneme, že vzdálenost od bodu M 1 (- 1 , 2) k dané přímce 4 x - 3 y + 35 = 0 má hodnotu - 5 = 5 .

Odpovědět: 5 .

Je vidět, že v tato metoda je důležité použít normální rovnici přímky, protože tato metoda je nejkratší. Ale první metoda je vhodná v tom, že je konzistentní a logická, i když má více výpočtových bodů.

Příklad 2

Na rovině je pravoúhlý souřadný systém O x y s bodem M 1 (8, 0) a přímkou ​​y = 1 2 x + 1. Najděte vzdálenost od daného bodu k přímce.

Řešení

Řešení prvním způsobem implikuje redukci dané rovnice se sklonovým koeficientem na obecnou rovnici. Pro zjednodušení to můžete udělat jinak.

Je-li součin sklonů kolmých přímek -1, pak sklon přímky kolmé k danému y = 1 2 x + 1 je 2 . Nyní dostaneme rovnici přímky procházející bodem se souřadnicemi M 1 (8, 0) . Máme, že y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Pokračujeme k nalezení souřadnic bodu H 1, to znamená průsečíků y \u003d - 2 x + 16 a y \u003d 1 2 x + 1. Sestavíme soustavu rovnic a dostaneme:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Z toho vyplývá, že vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 (8 , 0) k přímce y = 1 2 x + 1 je rovna vzdálenosti od počátečního a koncového bodu se souřadnicemi M 1 (8 , 0) a H 1 (6, 4). Počítejme a dostaneme, že M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Řešením druhým způsobem je přechod z rovnice s koeficientem do jejího normálního tvaru. To znamená, že dostaneme y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, pak hodnota normalizačního faktoru bude - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Z toho vyplývá, že normální rovnice přímky má tvar - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Počítejme z bodu M 1 8 , 0 do přímky ve tvaru - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dostaneme:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Odpovědět: 2 5 .

Příklad 3

Je nutné vypočítat vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 (- 2 , 4) k přímkám 2 x - 3 = 0 a y + 1 = 0 .

Řešení

Dostaneme rovnici normálního tvaru přímky 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Poté přistoupíme k výpočtu vzdálenosti od bodu M 1 - 2, 4 k přímce x - 3 2 = 0. Dostaneme:

M1H1 = -2-32 = 312

Rovnice přímky y + 1 = 0 má normalizační faktor s hodnotou -1. To znamená , že rovnice bude mít tvar - y - 1 = 0 . Přistoupíme k výpočtu vzdálenosti od bodu M 1 (- 2 , 4) k přímce - y - 1 = 0 . Dostaneme, že se rovná - 4 - 1 = 5.

Odpovědět: 312 a 5.

Podívejme se podrobně na určení vzdálenosti od daného bodu roviny k souřadnicovým osám O x a O y.

V pravoúhlém souřadnicovém systému má osa Oy rovnici přímky, která je neúplná a má tvar x \u003d 0 a O x - y \u003d 0. Rovnice jsou normální pro souřadnicové osy, pak je nutné zjistit vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 x 1 , y 1 k přímkám. To se provádí na základě vzorců M 1 H 1 = x 1 a M 1 H 1 = y 1 . Zvažte obrázek níže.

Příklad 4

Najděte vzdálenost od bodu M 1 (6, - 7) k souřadnicovým přímkám umístěným v rovině O x y.

Řešení

Protože rovnice y \u003d 0 odkazuje na přímku O x, můžete pomocí vzorce najít vzdálenost od M 1 s danými souřadnicemi k této přímce. Dostaneme, že 6 = 6.

Protože rovnice x \u003d 0 odkazuje na přímku O y, můžete najít vzdálenost od M 1 k této přímce pomocí vzorce. Pak dostaneme, že - 7 = 7 .

Odpovědět: vzdálenost od M 1 k O x má hodnotu 6 a od M 1 k O y má hodnotu 7.

Když máme v trojrozměrném prostoru bod se souřadnicemi M 1 (x 1, y 1, z 1), je nutné zjistit vzdálenost od bodu A k přímce a.

Zvažte dva způsoby, které vám umožní vypočítat vzdálenost od bodu k přímce a umístěné v prostoru. První případ uvažuje vzdálenost od bodu M 1 k přímce, kde bod na přímce se nazývá H 1 a je základnou kolmice vedené z bodu M 1 k přímce a. Druhý případ naznačuje, že body této roviny je třeba hledat jako výšku rovnoběžníku.

První způsob

Z definice máme, že vzdálenost od bodu M 1 umístěného na přímce a je délkou kolmice M 1 H 1, pak dostaneme, že s nalezenými souřadnicemi bodu H 1 pak najdeme vzdálenost mezi M 1 (x 1, y 1, z 1) a H 1 (x 1, y 1, z 1) na základě vzorce M 1H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dostaneme, že celé řešení směřuje k nalezení souřadnic základny kolmice vedené z M 1 k přímce a. To se provádí následovně: H 1 je bod, kde se přímka a protíná s rovinou, která daným bodem prochází.

To znamená, že algoritmus pro určení vzdálenosti od bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) k přímce a prostoru zahrnuje několik bodů:

Definice 5

• sestavení rovnice roviny χ jako rovnice roviny procházející daným bodem kolmým k přímce;
• určení souřadnic (x 2 , y 2 , z 2) náležejících bodu H 1, který je průsečíkem přímky a a roviny χ ;
• výpočet vzdálenosti od bodu k přímce pomocí vzorce M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Druhý způsob

Z podmínky máme přímku a, pak můžeme určit směrový vektor a → = a x, a y, a z se souřadnicemi x 3, y 3, z 3 a určitým bodem M 3 patřícím k přímce a. Vzhledem k souřadnicím bodů M 1 (x 1 , y 1) a M 3 x 3 , y 3 , z 3, M 3 M 1 → lze vypočítat:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Je nutné odložit vektory a → \u003d a x, a y, az a M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 z bodu M 3, spojit a získat obrazec rovnoběžníku. M 1 H 1 je výška rovnoběžníku.

Zvažte obrázek níže.

Máme, že výška M 1 H 1 je požadovaná vzdálenost, pak ji musíte najít pomocí vzorce. To znamená, že hledáme M 1 H 1 .

Plochu rovnoběžníku označíme písmenem S, zjistíme pomocí vzorce pomocí vektoru a → = (a x, ay, az) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y1-y3, z1-z3. Plošný vzorec má tvar S = a → × M 3 M 1 → . Také plocha obrázku se rovná součinu délek jeho stran a výšky, dostaneme, že S \u003d a → M 1 H 1 s → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, což je délka vektoru a → \u003d (a x, a y, a z), který se rovná straně rovnoběžníku. M 1 H 1 je tedy vzdálenost od bodu k přímce. Vyskytuje se podle vzorce M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Chcete-li zjistit vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 (x 1, y 1, z 1) k přímce a v prostoru, musíte provést několik bodů algoritmu:

Definice 6

• určení směrového vektoru přímky a - a → = (a x , a y , a z) ;
• výpočet délky směrového vektoru a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• získání souřadnic x 3 , y 3 , z 3 náležejících bodu M 3 ležícímu na přímce a;
• výpočet souřadnic vektoru M 3 M 1 → ;
• nalezení křížového součinu vektorů a → (a x, a y, a z) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 jako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pro získání délky podle vzorce a → × M 3 M 1 → ;
• výpočet vzdálenosti od bodu k přímce M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Řešení úloh při hledání vzdálenosti od daného bodu k dané přímce v prostoru

Najděte vzdálenost od bodu se souřadnicemi M 1 2 , - 4 , - 1 k přímce x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Řešení

První metoda začíná zápisem rovnice roviny χ procházející M 1 a kolmé k danému bodu. Dostaneme výraz jako:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Je potřeba najít souřadnice bodu H 1, který je průsečíkem s rovinou χ k přímce dané podmínkou. Je nutné přejít od kanonické formy k průnikové. Pak dostaneme soustavu rovnic ve tvaru:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Je nutné vypočítat soustavu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovou metodou, pak dostaneme, že:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = = ∆ z ∆ 60 = 0

Máme tedy H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Druhá metoda musí být zahájena hledáním souřadnic v kanonické rovnici. Chcete-li to provést, věnujte pozornost jmenovatelům zlomku. Pak a → = 2 , - 1 , 5 je směrový vektor přímky x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Délku je nutné vypočítat pomocí vzorce a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Je jasné, že přímka x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 protíná bod M 3 (- 1 , 0 , - 5), takže vektor s počátkem M 3 (- 1 , 0 , - 5) a jeho konec v bodě M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Najděte vektorový součin a → = (2, - 1, 5) a M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dostaneme výraz tvaru a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dostaneme, že délka křížového součinu je a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Máme všechna data, abychom mohli použít vzorec pro výpočet vzdálenosti od bodu pro přímku, takže je použijeme a dostaneme:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Odpovědět: 11 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

První úroveň

Souřadnice a vektory. Komplexní průvodce (2019)

V tomto článku vy a já zahájíme diskusi o jedné „kouzelné hůlce“, která vám umožní zredukovat mnoho problémů v geometrii na jednoduchou aritmetiku. Tato „hůlka“ vám může výrazně usnadnit život, zvláště když se cítíte nejistě při stavbě prostorových obrazců, řezů atd. To vše vyžaduje určitou představivost a praktické dovednosti. Metoda, kterou zde začneme uvažovat, vám umožní téměř úplně abstrahovat od všech druhů geometrických konstrukcí a úvah. Metoda se nazývá "souřadnicová metoda". V tomto článku se budeme zabývat následujícími otázkami:

1. Souřadnicová rovina
2. Body a vektory v rovině
3. Sestavení vektoru ze dvou bodů
4. Délka vektoru (vzdálenost mezi dvěma body).
5. Středové souřadnice
6. Bodový součin vektorů
7. Úhel mezi dvěma vektory

Myslím, že jste již uhodli, proč se tak souřadnicová metoda nazývá? Je pravda, že dostal takový název, protože neoperuje s geometrickými objekty, ale s jejich číselnými charakteristikami (souřadnicemi). A samotná transformace, která umožňuje přejít od geometrie k algebře, spočívá v zavedení souřadnicového systému. Pokud byl původní obrazec plochý, pak jsou souřadnice dvourozměrné, a pokud je obrazec trojrozměrný, pak jsou souřadnice trojrozměrné. V tomto článku se budeme zabývat pouze dvourozměrným případem. A hlavním účelem článku je naučit vás používat některé základní techniky souřadnicové metody (ty se někdy ukáží jako užitečné při řešení úloh z planimetrie v části B Jednotné státní zkoušky). Následující dvě části na toto téma jsou věnovány diskusi o metodách řešení problémů C2 (problém stereometrie).

Kde by bylo logické začít diskutovat o metodě souřadnic? Pravděpodobně s konceptem souřadnicového systému. Vzpomeňte si, kdy jste ji poprvé potkali. Zdá se mi, že v 7. tř., když jste se dozvěděl o existenci lineární funkce, Například. Dovolte mi připomenout, že jste to postavili bod po bodu. Pamatuješ si? Zvolili jste libovolné číslo, dosadili jej do vzorce a vypočítali jste tímto způsobem. Například if, then, if, then atd. Co jste jako výsledek dostali? A dostali jste body se souřadnicemi: a. Dále jste si nakreslili „kříž“ (souřadnicový systém), zvolili na něm měřítko (kolik buněk budete mít jako jeden segment) a označili body, které jste na něm obdrželi, které jste pak spojili přímkou, výsledný čára je graf funkce.

Existuje několik věcí, které je třeba vysvětlit trochu podrobněji:

1. Vyberete si jeden segment z důvodu pohodlí, aby vše pěkně a kompaktně zapadalo do obrázku

2. Předpokládá se, že osa jde zleva doprava a osa jde zdola nahoru

3. Protínají se v pravém úhlu a jejich průsečík se nazývá počátek. Označuje se písmenem.

4. V záznamu souřadnice bodu např. vlevo v závorce je souřadnice bodu podél osy a vpravo podél osy. Zejména jednoduše znamená, že bod

5. Abyste mohli nastavit libovolný bod na souřadnicové ose, musíte zadat jeho souřadnice (2 čísla)

6. Pro jakýkoli bod ležící na ose,

7. Pro jakýkoli bod ležící na ose,

8. Osa se nazývá osa x

9. Osa se nazývá osa y

Nyní s vámi provedeme další krok: označte dva body. Spojte tyto dva body úsečkou. A položme šipku, jako bychom kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasměrujeme!

Pamatujete si, jaký je jiný název pro řízený segment? Přesně tak, říká se tomu vektor!

Pokud tedy spojíme tečku s tečkou, a začátek bude bod A a konec bude bod B, pak dostaneme vektor. Tuhle stavbu jste v 8. třídě také dělal, pamatujete?

Ukazuje se, že vektory, stejně jako body, mohou být označeny dvěma čísly: tato čísla se nazývají souřadnice vektoru. Otázka: myslíte, že nám stačí znát souřadnice začátku a konce vektoru, abychom našli jeho souřadnice? Ukazuje se, že ano! A je to velmi snadné:

Protože ve vektoru je bod začátkem a koncem, vektor má následující souřadnice:

Například pokud, pak souřadnice vektoru

Nyní udělejme opak, najdeme souřadnice vektoru. Co k tomu musíme změnit? Ano, musíte prohodit začátek a konec: nyní bude začátek vektoru v bodě a konec v bodě. Pak:

Podívejte se pozorně, jaký je rozdíl mezi vektory a? Jejich jediným rozdílem jsou znaky v souřadnicích. Jsou opačné. Tato skutečnost je napsána takto:

Někdy, pokud není konkrétně uvedeno, který bod je začátek vektoru a který konec, pak se vektory neoznačují dvěma velkými písmeny, ale jedním malým písmenem, například: atd.

Teď trochu praxe a najděte souřadnice následujících vektorů:

Zkouška:

Nyní vyřešte problém trochu obtížněji:

Vektorový torus s na-cha-scrap v bodě má co-or-di-on-you. Najděte-di-te abs-cis-su body.

Všechno stejné je docela prozaické: Nechť jsou souřadnice bodu. Pak

Sestavil jsem systém tak, že jsem určil, jaké jsou souřadnice vektoru. Potom má bod souřadnice. Zajímá nás úsečka. Pak

Odpovědět:

Co dalšího můžete s vektory dělat? Ano, téměř vše je stejné jako u běžných čísel (až na to, že nemůžete dělit, ale můžete násobit dvěma způsoby, z nichž jeden zde probereme o něco později)

1. Vektory lze naskládat na sebe
2. Vektory lze od sebe odečítat
3. Vektory lze násobit (nebo dělit) libovolným nenulovým číslem
4. Vektory lze mezi sebou násobit

Všechny tyto operace mají zcela vizuální geometrickou reprezentaci. Například pravidlo trojúhelníku (nebo rovnoběžníku) pro sčítání a odčítání:

Vektor se při vynásobení nebo dělení číslem natáhne, zmenší nebo změní směr:

Zde nás však bude zajímat otázka, co se stane se souřadnicemi.

1. Při sčítání (odečítání) dvou vektorů sčítáme (odečítáme) jejich souřadnice prvek po prvku. to je:

2. Při násobení (dělení) vektoru číslem se všechny jeho souřadnice vynásobí (vydělí) tímto číslem:

Například:

· Najít-di-součet ko-nebo-di-nat století-k-ra.

Nejprve najdeme souřadnice každého z vektorů. Oba mají stejný počátek - počáteční bod. Jejich konce jsou různé. Pak, . Nyní vypočítáme souřadnice vektoru Pak se součet souřadnic výsledného vektoru rovná.

Odpovědět:

Nyní vyřešte následující problém sami:

· Najděte součet souřadnic vektoru

Kontrolujeme:

Podívejme se nyní na následující problém: na souřadnicové rovině máme dva body. Jak zjistit vzdálenost mezi nimi? Nechť je první bod a druhý. Označme vzdálenost mezi nimi jako . Pro názornost udělejme následující nákres:

Co jsem udělal? Nejprve jsem se připojil body a, a také nakreslil čáru rovnoběžnou s osou z bodu a nakreslil čáru rovnoběžnou s osou z bodu. Protínaly se v určitém bodě a vytvořily nádhernou postavu? Proč je úžasná? Ano, vy i já víme o pravoúhlém trojúhelníku téměř vše. No, Pythagorova věta určitě. Požadovaný segment je přepona tohoto trojúhelníku a segmenty jsou nohy. Jaké jsou souřadnice bodu? Ano, lze je snadno najít z obrázku: Vzhledem k tomu, že segmenty jsou rovnoběžné s osami, respektive jejich délky lze snadno najít: označíme-li délky segmentů, resp.

Nyní použijeme Pythagorovu větu. Známe délky nohou, najdeme přeponu:

Vzdálenost mezi dvěma body je tedy základní součet čtverců rozdílů od souřadnic. Nebo - vzdálenost mezi dvěma body je délka segmentu, který je spojuje. Je snadné vidět, že vzdálenost mezi body nezávisí na směru. Pak:

Z toho vyvozujeme tři závěry:

Pojďme si trochu procvičit výpočet vzdálenosti mezi dvěma body:

Například if, pak vzdálenost mezi a je

Nebo pojďme jinak: najděte souřadnice vektoru

A zjistěte délku vektoru:

Jak vidíte, je to stejné!

Nyní si trochu procvičte sami:

Úkol: zjistěte vzdálenost mezi danými body:

Kontrolujeme:

Zde je několik dalších problémů pro stejný vzorec, i když znějí trochu jinak:

1. Najděte-di-te druhou mocninu délky očního víčka k-ra.

2. Nai-di-te čtverec délky očního víčka-to-ra

Hádám, že je snadno zvládnete? Kontrolujeme:

1. A to je pro pozornost) Souřadnice vektorů jsme již našli dříve: . Pak má vektor souřadnice. Druhá mocnina její délky bude:

2. Najděte souřadnice vektoru

Pak je čtverec jeho délky

Nic složitého, že? Jednoduchá aritmetika, nic víc.

Následující hádanky nelze jednoznačně zařadit, jsou spíše pro všeobecnou erudici a schopnost kreslit jednoduché obrázky.

1. Najděte-di-ty sinus úhlu na-klo-na-od-řezu, spojte-jeden-n-tý bod s osou úsečky.

A

Jak to tady uděláme? Musíte najít sinus úhlu mezi a osou. A kde můžeme hledat sinus? Přesně tak, v pravoúhlém trojúhelníku. Co tedy musíme udělat? Postavte tento trojúhelník!

Vzhledem k tomu, že souřadnice bodu a, pak se segment rovná, a segment. Musíme najít sinus úhlu. Dovolte mi připomenout, že sinus je poměr opačné větve k přeponě

Co nám zbývá dělat? Najděte přeponu. Můžete to udělat dvěma způsoby: pomocí Pythagorovy věty (nohy jsou známé!) nebo pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body (ve skutečnosti stejně jako první metoda!). Půjdu druhou cestou:

Odpovědět:

Další úkol se vám bude zdát ještě jednodušší. Ona - na souřadnicích bodu.

Úkol 2. Z bodu se pero-pero-di-ku-lar spustí na abs-ciss osu. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Udělejme nákres:

Základna kolmice je bod, ve kterém protíná osu x (osu) pro mě je to bod. Obrázek ukazuje, že má souřadnice: . Nás zajímá abscisa – tedy složka „X“. Je rovnocenná.

Odpovědět: .

Úkol 3. Za podmínek předchozí úlohy najděte součet vzdáleností od bodu k souřadnicovým osám.

Úloha je obecně elementární, pokud víte, jaká je vzdálenost od bodu k osám. Víš? Doufám, ale přesto připomínám:

Takže na své kresbě, umístěné o něco výše, jsem již jednu takovou kolmici znázornil? Jaká je to osa? k ose. A jaká je tedy jeho délka? Je rovnocenná. Nyní si sami nakreslete kolmici k ose a zjistěte její délku. Bude to rovné, ne? Pak se jejich součet rovná.

Odpovědět: .

Úkol 4. V podmínkách úlohy 2 najděte pořadnici bodu souměrného k bodu kolem osy x.

Myslím, že intuitivně chápete, co je symetrie? Má to velmi mnoho objektů: mnoho budov, stolů, letadel, mnoho geometrické obrazce: koule, válec, čtverec, kosočtverec atd. Zhruba řečeno lze symetrii chápat takto: obrazec se skládá ze dvou (nebo více) stejných polovin. Tato symetrie se nazývá axiální. Co je tedy osa? To je přesně ta čára, po které lze obrazec relativně vzato „rozřezat“ na stejné poloviny (na tomto obrázku je osa symetrie přímá):

Nyní se vraťme k našemu úkolu. Víme, že hledáme bod, který je symetrický podle osy. Pak je tato osa osou symetrie. Potřebujeme tedy označit bod tak, aby osa rozdělila segment na dvě stejné části. Zkuste si takový bod sami označit. Nyní porovnejte s mým řešením:

Udělal jsi to samé? Pokuta! V nalezeném bodě nás zajímá ordináta. Je rovnocenná

Odpovědět:

Nyní mi po chvíli přemýšlení řekněte, jaká bude úsečka bodu symetrického k bodu A podle osy y? Jaká je tvá odpověď? Správná odpověď: .

Obecně lze pravidlo napsat takto:

Bod symetrický k bodu kolem osy x má souřadnice:

Bod symetrický k bodu kolem osy y má souřadnice:

No, teď je to opravdu děsivé. úkol: Najděte souřadnice bodu, který je symetrický k bodu vzhledem k počátku. Nejprve přemýšlejte o sobě a pak se podívejte na můj výkres!

Odpovědět:

Nyní Problém s paralelogramem:

Úkol 5: Body jsou ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Najděte body-dee-te nebo-dee-on-tu.

Tento problém můžete vyřešit dvěma způsoby: logikou a souřadnicovou metodou. Nejprve použiji souřadnicovou metodu a poté vám řeknu, jak se můžete rozhodnout jinak.

Je zcela jasné, že úsečka bodu je rovna. (leží na kolmici vedené od bodu k ose x). Musíme najít pořadnici. Využijme toho, že náš obrazec je rovnoběžník, což znamená. Najděte délku segmentu pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body:

Spustíme kolmici spojující bod s osou. Průsečík je označen písmenem.

Délka segmentu je stejná. (najděte si problém sami, kde jsme tento moment probírali), pak najdeme délku segmentu pomocí Pythagorovy věty:

Délka segmentu je přesně stejná jako jeho pořadnice.

Odpovědět: .

Jiné řešení (poskytnu pouze obrázek, který to ilustruje)

Průběh řešení:

1. Utrácet

2. Najděte souřadnice bodu a délku

3. Dokažte to.

Další problém s délkou řezu:

Body jsou-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Najděte délku jeho střední čáry, par-ral-lel-noy.

Pamatujete si, co je střední čára trojúhelníku? Pak je pro vás tento úkol základní. Pokud si nepamatujete, pak vám připomenu: střední čára trojúhelníku je čára, která spojuje středy protilehlých stran. Je rovnoběžná se základnou a rovná se její polovině.

Základem je segment. Její délku jsme museli hledat dříve, je rovná. Pak je délka střední čáry poloviční a stejná.

Odpovědět: .

Komentář: Tento problém lze vyřešit i jiným způsobem, kterému se budeme věnovat o něco později.

Mezitím je tu pro vás několik úkolů, procvičte si je, jsou docela jednoduché, ale pomohou vám „naplnit ruku“ pomocí souřadnicové metody!

1. Body se objeví-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Najděte délku jeho střední čáry.

2. Body a yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Najděte body-dee-te nebo-dee-on-tu.

3. Zjistěte délku z řezu, připojte druhý bod a

4. Najděte-di-te oblast pro-the-red-shen-noy fi-gu-ry na rovině ko-or-di-nat-noy.

5. Kružnice se středem v na-cha-le ko-or-di-nat prochází bodem. Najděte-de-te její ra-di-knír.

6. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, popiš-san-noy v blízkosti pravého úhlu-no-ka, vrcholy-shi-ny něčeho-ro-go mají co-nebo - di-na-you co-od-odpovědět-ale

Řešení:

1. Je známo, že střední čára lichoběžníku se rovná polovině součtu jeho základen. Základ je stejný, ale základ. Pak

Odpovědět:

2. Nejjednodušší způsob, jak vyřešit tento problém, je všimnout si toho (pravidlo rovnoběžnosti). Vypočítat souřadnice vektorů a není obtížné: . Při přidávání vektorů se přidávají souřadnice. Pak má souřadnice. Bod má stejné souřadnice, protože začátek vektoru je bod se souřadnicemi. Zajímá nás ordinát. Je rovnocenná.

Odpovědět:

3. Okamžitě jednáme podle vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body:

Odpovědět:

4. Podívejte se na obrázek a řekněte, mezi kterými dvěma postavami je „vmáčknutá“ šrafovaná oblast? Je sevřený mezi dvěma čtverci. Potom se plocha požadovaného obrázku rovná ploše velkého čtverce mínus plocha malého. Boční malé náměstí je úsečka, která spojuje body a její délka je

Pak je plocha malého náměstí

Totéž uděláme s velkým čtvercem: jeho strana je úsečkou spojující body a jeho délka je rovna

Pak je plocha velkého náměstí

Oblast požadovaného obrázku se zjistí podle vzorce:

Odpovědět:

5. Pokud má kružnice počátek jako svůj střed a prochází bodem, pak bude její poloměr přesně stejný jako délka úsečky (nakreslete a pochopíte, proč je to zřejmé). Najděte délku tohoto segmentu:

Odpovědět:

6. Je známo, že poloměr kružnice opsané obdélníku se rovná polovině jeho úhlopříčky. Najděte délku kterékoli ze dvou úhlopříček (koneckonců v obdélníku jsou stejné!)

Odpovědět:

No, zvládli jste všechno? Nebylo tak těžké na to přijít, že? Platí zde jediné pravidlo – umět si udělat vizuální obrázek a všechna data z něj jednoduše „přečíst“.

Zbývá nám velmi málo. Jsou zde doslova dva další body, které bych rád probral.

Pokusme se vyřešit tento jednoduchý problém. Nechť dva body a jsou dány. Najděte souřadnice středu segmentu. Řešení tohoto problému je následující: nechť je bod požadovaný střed, pak má souřadnice:

to je: souřadnice středu segmentu = aritmetický průměr odpovídajících souřadnic konců segmentu.

Toto pravidlo je velmi jednoduché a studentům obvykle nezpůsobuje potíže. Podívejme se, v jakých problémech a jak se používá:

1. Najděte-di-te nebo-di-na-tu se-re-di-us z-cut, connect-nya-yu-th-th-th point and

2. Body jsou yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Najděte-di-te nebo-di-na-tu body re-re-se-che-niya jeho dia-go-on-lei.

3. Najděte-di-te abs-cis-su středu kruhu, popište-san-noy blízko obdélníku-no-ka, vrcholy-shi-máme něco-ro-go co-nebo-di- na-ty spolu-od-veterinář-stvenno-ale.

Řešení:

1. První úkol je prostě klasika. Okamžitě jednáme určením středu segmentu. Má souřadnice. Ordináta je rovna.

Odpovědět:

2. Je dobře vidět, že daný čtyřúhelník je rovnoběžník (i kosočtverec!). Sami to můžete dokázat výpočtem délek stran a jejich vzájemným porovnáním. Co vím o rovnoběžníku? Jeho úhlopříčky jsou půleny průsečíkem! Aha! Jaký je tedy průsečík úhlopříček? Toto je střed kterékoli z úhlopříček! Vyberu si zejména úhlopříčku. Pak má bod souřadnice.Pořadnice bodu je rovna.

Odpovědět:

3. Jaký je střed kružnice opsané obdélníku? Shoduje se s průsečíkem jejích úhlopříček. Co víte o úhlopříčkách obdélníku? Jsou stejné a průsečík je rozdělen na polovinu. Úkol byl zredukován na předchozí. Vezměte si například úhlopříčku. Pak jestliže je střed opsané kružnice, pak je střed. Hledám souřadnice: Úsečka se rovná.

Odpovědět:

Nyní si procvičte trochu sami, na každý problém uvedu pouze odpovědi, abyste se mohli sami zkontrolovat.

1. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, popiš-san-noy poblíž trojúhelníku-no-ka, vrcholy někoho-ro-go mají ko-or-di -no misters

2. Najděte-di-te nebo-di-na-tu střed kruhu, popište san-noy poblíž trojúhelníku-no-ka, vrcholy-shi-máme něco-ro-go souřadnice

3. Jaký druh ra-di-y-sa by měla být kružnice se středem v bodě, aby se dotýkala osy abs-ciss?

4. Najděte-di-te nebo-di-on-to bod re-re-se-che-ing osy a od-cut, connect-nya-yu-th-th-th point and

Odpovědi:

Povedlo se všechno? Opravdu v to doufám! Nyní - poslední tlak. Nyní buďte obzvláště opatrní. Materiál, který nyní vysvětlím, není relevantní pouze pro jednoduché úlohy souřadnicové metody v části B, ale nachází se také v problému C2.

Které ze svých slibů jsem ještě nedodržel? Pamatujete si, jaké operace s vektory jsem slíbil zavést a které jsem nakonec zavedl? Jsem si jistý, že jsem na nic nezapomněl? Zapomněl jsem! Zapomněl jsem vysvětlit, co znamená násobení vektorů.

Existují dva způsoby, jak vynásobit vektor vektorem. V závislosti na zvolené metodě získáme objekty různé povahy:

Vektorový produkt je poměrně složitý. Jak na to a proč je to potřeba, to s vámi probereme v dalším článku. A v tomto se zaměříme na skalární součin.

Již existují dva způsoby, jak jej vypočítat:

Jak jste uhodli, výsledek by měl být stejný! Pojďme se tedy nejprve podívat na první způsob:

Bod produktu přes souřadnice

Najděte: - běžný zápis pro bodový součin

Vzorec pro výpočet je následující:

Tedy tečkový součin = součet součinů souřadnic vektorů!

Příklad:

Najít-dee-te

Řešení:

Najděte souřadnice každého z vektorů:

Skalární součin vypočítáme podle vzorce:

Odpovědět:

Vidíte, absolutně nic složitého!

No a teď to zkuste sami:

Najděte-di-te skalární-noe pro-od-ve-de-nie století-k-příkopu a

Zvládli jste to? Možná si všiml malého triku? Pojďme zkontrolovat:

Vektorové souřadnice, jako v předchozím úkolu! Odpovědět: .

Kromě souřadnic existuje další způsob, jak vypočítat skalární součin, a to přes délky vektorů a kosinus úhlu mezi nimi:

Označuje úhel mezi vektory a.

To znamená, že skalární součin je roven součinu délek vektorů a kosinu úhlu mezi nimi.

Proč potřebujeme tento druhý vzorec, když máme ten první, který je mnohem jednodušší, alespoň v něm nejsou žádné kosinusy. A potřebujeme to, abychom z prvního a druhého vzorce odvodili, jak zjistit úhel mezi vektory!

Let Pak si zapamatujte vzorec pro délku vektoru!

Když pak tato data zapojím do vzorce tečkového produktu, dostanu:

Ale jinak:

Takže co máme? Nyní máme vzorec pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory! Někdy se pro stručnost píše také takto:

To znamená, že algoritmus pro výpočet úhlu mezi vektory je následující:

1. Skalární součin vypočítáme přes souřadnice
2. Najděte délky vektorů a vynásobte je
3. Vydělte výsledek z bodu 1 výsledkem z bodu 2

Pojďme si to procvičit na příkladech:

1. Najděte úhel mezi víčky a ra-mi a. Uveďte svou odpověď ve stupních.

2. Za podmínek předchozí úlohy najděte kosinus mezi vektory

Udělejme toto: Pomohu vám vyřešit první problém a druhý zkuste vyřešit sami! Souhlasit? Tak začněme!

1. Tyto vektory jsou naši staří přátelé. Už jsme zvažovali jejich skalární součin a byl rovný. Jejich souřadnice jsou: , . Pak zjistíme jejich délky:

Pak hledáme kosinus mezi vektory:

Jaký je kosinus úhlu? Tohle je roh.

Odpovědět:

No a teď si vyřešte druhý problém sami, a pak porovnejte! Dám jen velmi krátké řešení:

2. má souřadnice, má souřadnice.

Nechť je úhel mezi vektory a, potom

Odpovědět:

Nutno podotknout, že úlohy přímo na vektory a metoda souřadnic v části B zkouškového papíru jsou poměrně vzácné. Naprostou většinu problémů C2 však lze snadno vyřešit zavedením souřadnicového systému. Tento článek tedy můžete považovat za základ, na jehož základě uděláme docela ošemetné konstrukce, které potřebujeme vyřešit náročné úkoly.

SOUŘADNICE A VEKTORY. STŘEDNÍ ÚROVEŇ

Vy a já pokračujeme ve studiu metody souřadnic. V poslední části jsme odvodili řadu důležitých vzorců, které umožňují:

1. Najděte vektorové souřadnice
2. Najděte délku vektoru (alternativně: vzdálenost mezi dvěma body)
3. Sčítat, odečítat vektory. Vynásobte je reálným číslem
4. Najděte střed segmentu
5. Vypočítejte bodový součin vektorů
6. Najděte úhel mezi vektory

Do těchto 6 bodů se samozřejmě celá metoda souřadnic nevejde. Je základem vědy jako je analytická geometrie, se kterou se seznámíte na univerzitě. Chci jen vybudovat základ, který vám umožní řešit problémy v jediném státě. zkouška. Na úkoly části B jsme přišli v Nyní je čas přejít ke kvalitě nová úroveň! Tento článek bude věnován metodě řešení těch problémů C2, ve kterých by bylo rozumné přejít na souřadnicovou metodu. Tato přiměřenost je určena tím, co je třeba v problému najít a jaký údaj je uveden. Použil bych tedy metodu souřadnic, pokud jsou otázky:

1. Najděte úhel mezi dvěma rovinami
2. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou
3. Najděte úhel mezi dvěma čarami
4. Najděte vzdálenost od bodu k rovině
5. Najděte vzdálenost od bodu k přímce
6. Najděte vzdálenost od přímky k rovině
7. Najděte vzdálenost mezi dvěma čarami

Pokud je údaj uvedený v podmínce úlohy rotačním tělesem (koule, válec, kužel ...)

Vhodné obrázky pro souřadnicovou metodu jsou:

1. kvádr
2. Pyramida (trojúhelníková, čtyřúhelníková, šestihranná)

Také podle mých zkušeností je nevhodné používat souřadnicovou metodu pro:

1. Hledání oblastí sekcí
2. Výpočty objemů těles

Ihned je však třeba poznamenat, že tři „nepříznivé“ situace pro souřadnicovou metodu jsou v praxi poměrně vzácné. Ve většině úkolů se může stát vaším zachráncem, zvláště pokud nejste příliš silní v trojrozměrných konstrukcích (které jsou někdy dost složité).

Jaká jsou všechna čísla, která jsem uvedl výše? Už nejsou ploché, jako čtverec, trojúhelník, kruh, ale objemné! V souladu s tím musíme uvažovat ne dvourozměrný, ale trojrozměrný souřadnicový systém. Staví se celkem jednoduše: jen kromě úsečky a ordinát zavedeme další osu, aplikační osu. Obrázek schematicky ukazuje jejich vzájemnou polohu:

Všechny jsou vzájemně kolmé, protínají se v jednom bodě, kterému budeme říkat počátek. Osa úsečky bude stejně jako dříve označena, osa pořadnice - a zavedená aplikační osa - .

Jestliže dříve byl každý bod v rovině charakterizován dvěma čísly - úsečkou a pořadnicí, pak je každý bod v prostoru již popsán třemi čísly - úsečka, úsečka, aplikace. Například:

V souladu s tím je úsečka bodu rovna, pořadnice je , a aplikace je .

Někdy se úsečka bodu také nazývá průmět bodu na osu úsečky, pořadnice je průmět bodu na souřadnici a aplikace je průmět bodu na přikládací ose. Pokud je tedy dán bod, pak bod se souřadnicemi:

se nazývá průmět bodu do roviny

se nazývá průmět bodu do roviny

Nabízí se přirozená otázka: jsou všechny vzorce odvozené pro dvourozměrný případ platné v prostoru? Odpověď je ano, jsou prostě a mají stejný vzhled. Pro malý detail. Myslím, že už tušíte, který. Ve všech vzorcích budeme muset přidat ještě jeden termín zodpovědný za aplikační osu. A to.

1. Pokud jsou dány dva body: , pak:

• Souřadnice vektoru:
• Vzdálenost mezi dvěma body (nebo délka vektoru)
• Střed segmentu má souřadnice

2. Jsou-li dány dva vektory: a, pak:

• Jejich bodový produkt je:
• Kosinus úhlu mezi vektory je:

Prostor však není tak jednoduchý. Jak jste pochopili, přidání jedné další souřadnice zavádí významnou rozmanitost ve spektru postav „žijících“ v tomto prostoru. A pro další vyprávění musím uvést nějaké, zhruba řečeno, „zobecnění“ přímky. Toto „zobecnění“ bude rovina. Co víš o letadle? Zkuste si odpovědět na otázku, co je to letadlo? To je velmi těžké říct. Všichni si však intuitivně představujeme, jak to vypadá:

Zhruba řečeno, jde o jakýsi nekonečný „list“ vržený do vesmíru. "Nekonečno" by mělo být chápáno tak, že rovina se rozprostírá ve všech směrech, to znamená, že její plocha je rovna nekonečnu. Toto vysvětlení „na prstech“ však nedává sebemenší představu o struktuře letadla. A nás to bude zajímat.

Připomeňme si jeden ze základních axiomů geometrie:

• Přímka prochází dvěma různými body v rovině, navíc pouze jedním:

Nebo jeho analog ve vesmíru:

Samozřejmě si pamatujete, jak odvodit rovnici přímky ze dvou daných bodů, není to vůbec obtížné: pokud má první bod souřadnice: a druhý, pak rovnice přímky bude následující:

Prošel jsi tím v 7. třídě. V prostoru vypadá rovnice přímky takto: mějme dva body se souřadnicemi: , pak rovnice přímky, která jimi prochází, má tvar:

Například přímka prochází body:

Jak by to mělo být chápáno? To by mělo být chápáno následovně: bod leží na přímce, pokud jeho souřadnice splňují následující systém:

Rovnice přímky nás moc zajímat nebude, ale je potřeba si dát pozor na velmi důležitý pojem směrovacího vektoru přímky. - libovolný nenulový vektor ležící na dané přímce nebo rovnoběžně s ní.

Například oba vektory jsou směrové vektory přímky. Nechť je bod ležící na přímce a je jeho směrovacím vektorem. Potom lze rovnici přímky zapsat v následujícím tvaru:

Ještě jednou, rovnice přímky mě moc zajímat nebude, ale opravdu potřebuji, abyste si zapamatovali, co je směrový vektor! Znovu: je to JAKÝKOLI nenulový vektor ležící na přímce nebo rovnoběžně s ní.

Ustoupit tříbodová rovnice roviny již není tak triviální a obvykle se s touto problematikou v kurzu nepočítá střední škola. Ale marně! Tato technika je zásadní, když se při řešení složitých problémů uchýlíme k metodě souřadnic. Předpokládám však, že jste plní touhy naučit se něco nového? Navíc budete moci udělat dojem na svého učitele na univerzitě, když se ukáže, že již umíte používat techniku, která se obvykle studuje v kurzu analytické geometrie. Pojďme tedy začít.

Rovnice roviny se příliš neliší od rovnice přímky v rovině, konkrétně má tvar:

některá čísla (ne všechna se rovna nule), ale proměnné, například: atd. Jak vidíte, rovnice roviny se příliš neliší od rovnice přímky (lineární funkce). Pamatujete si však, o čem jsme se s vámi hádali? Řekli jsme, že pokud máme tři body, které neleží na jedné přímce, pak se z nich jednoznačně obnoví rovnice roviny. Ale jak? Pokusím se ti to vysvětlit.

Protože rovinná rovnice je:

A body patří do této roviny, pak při dosazení souřadnic každého bodu do rovnice roviny bychom měli dostat správnou identitu:

Je tedy potřeba řešit tři rovnice již s neznámými! Dilema! Vždy však můžeme předpokládat, že (k tomu musíme dělit). Dostaneme tedy tři rovnice se třemi neznámými:

Takový systém však nevyřešíme, ale vypíšeme si z něj vyplývající kryptický výraz:

Rovnice roviny procházející třemi danými body

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \right| = 0\]

Stop! co je ještě tohle? Nějaký velmi neobvyklý modul! Objekt, který vidíte před sebou, však nemá s modulem nic společného. Tento objekt se nazývá determinant třetího řádu. Když se odteď zabýváte metodou souřadnic v rovině, často se setkáte právě s těmito determinanty. Co je determinant třetího řádu? Kupodivu je to jen číslo. Zbývá pochopit, jaké konkrétní číslo s determinantem porovnáme.

Nejprve zapišme determinant třetího řádu v obecnější podobě:

Kde jsou nějaká čísla. Navíc prvním indexem rozumíme číslo řádku a indexem číslo sloupce. Například to znamená, že dané číslo je na průsečíku druhého řádku a třetího sloupce. Položme si následující otázku: jak přesně takový determinant vypočítáme? Tedy s jakým konkrétním číslem to budeme porovnávat? Pro determinant přesně třetího řádu existuje heuristické (vizuální) trojúhelníkové pravidlo, vypadá takto:

1. Součin prvků hlavní úhlopříčky (shora zleva doprava dolů) součin prvků tvořících první trojúhelník "kolmý" k hlavní úhlopříčce součin prvků tvořících druhý trojúhelník "kolmý" k hlavní úhlopříčka
2. Součin prvků vedlejší úhlopříčky (od pravého horního rohu k levému dolnímu) součin prvků tvořících první trojúhelník "kolmice" vedlejší úhlopříčky součin prvků tvořících druhý trojúhelník "kolmice" sekundární úhlopříčky
3. Potom se determinant rovná rozdílu mezi hodnotami získanými v kroku a

Pokud to vše napíšeme v číslech, dostaneme následující výraz:

V této podobě si však metodu výpočtu nemusíte pamatovat, stačí si ponechat trojúhelníky v hlavě a samotnou myšlenku toho, co se k čemu přidává a co se od čeho odečítá).

Ukažme si trojúhelníkovou metodu na příkladu:

1. Vypočítejte determinant:

Pojďme zjistit, co přidáme a co odečteme:

Výrazy, které se dodávají se „plusem“:

Toto je hlavní úhlopříčka: součin prvků je

První trojúhelník, „kolmý k hlavní diagonále: součin prvků je

Druhý trojúhelník, „kolmý k hlavní diagonále: součin prvků je

Přidáme tři čísla:

Termíny označené "minusem"

Toto je boční úhlopříčka: součin prvků je

První trojúhelník, „kolmý k sekundární úhlopříčce: součin prvků je

Druhý trojúhelník, „kolmý k sekundární úhlopříčce: součin prvků je

Přidáme tři čísla:

Vše, co zbývá udělat, je odečíst od součtu plusových členů součet mínusových členů:

Tím pádem,

Jak vidíte, ve výpočtu determinantů třetího řádu není nic složitého a nadpřirozeného. Jednoduše je důležité pamatovat na trojúhelníky a nedělat aritmetické chyby. Nyní si zkuste sami spočítat:

Kontrolujeme:

1. První trojúhelník kolmý na hlavní úhlopříčku:
2. Druhý trojúhelník kolmý na hlavní úhlopříčku:
3. Součet plusových výrazů:
4. První trojúhelník kolmý na boční úhlopříčku:
5. Druhý trojúhelník, kolmý na boční úhlopříčku:
6. Součet termínů se mínusem:
7. Součet plusových výrazů mínus součet mínusových výrazů:

Zde je pro vás několik dalších determinantů, spočítejte si jejich hodnoty sami a porovnejte s odpověďmi:

Odpovědi:

Dobře, odpovídalo všechno? Skvělé, pak můžete pokračovat! Pokud se vyskytnou potíže, pak moje rada je tato: na internetu existuje spousta programů pro výpočet determinantu online. Vše, co potřebujete, je přijít s vlastním determinantem, spočítat si ho a poté porovnat s tím, co program vypočítá. A tak dále, dokud se výsledky nezačnou shodovat. Jsem si jistý, že tato chvíle na sebe nenechá dlouho čekat!

Nyní se vraťme k determinantu, který jsem napsal, když jsem mluvil o rovnici roviny procházející třemi danými body:

Stačí jen vypočítat jeho hodnotu přímo (metodou trojúhelníku) a výsledek nastavit na nulu. Přirozeně, protože jsou to proměnné, dostanete nějaký výraz, který na nich závisí. Právě tento výraz bude rovnicí roviny procházející třemi danými body, které neleží na jedné přímce!

Ukažme si to na jednoduchém příkladu:

1. Sestrojte rovnici roviny procházející body

Skládáme determinant pro tyto tři body:

Zjednodušení:

Nyní to vypočítáme přímo podle pravidla trojúhelníků:

\[(\left| (\začátek(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\konec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Rovnice roviny procházející body je tedy:

Nyní zkuste vyřešit jeden problém sami a pak o něm budeme diskutovat:

2. Najděte rovnici roviny procházející body

No, pojďme diskutovat o řešení nyní:

Uděláme determinant:

A vypočítejte jeho hodnotu:

Pak má rovnice roviny tvar:

Nebo po zmenšení dostaneme:

Nyní dva úkoly pro sebeovládání:

1. Sestrojte rovnici roviny procházející třemi body:

Odpovědi:

Shodovalo se vše? Opět, pokud existují určité potíže, pak moje rada je tato: vezměte si z hlavy tři body (s vysokou mírou pravděpodobnosti nebudou ležet na jedné přímce), postavte na ně rovinu. A pak se ověřte online. Například na webu:

Pomocí determinantů však sestrojíme nejen rovnici roviny. Pamatujte, řekl jsem vám, že pro vektory není definován pouze bodový součin. Existuje také vektor a také smíšený produkt. A pokud skalárním součinem dvou vektorů bude číslo, pak vektorovým součinem dvou vektorů bude vektor a tento vektor bude kolmý na dané vektory:

Navíc se jeho modul bude rovnat ploše rovnoběžníku postaveného na vektorech a. Tento vektor budeme potřebovat k výpočtu vzdálenosti od bodu k přímce. Jak můžeme vypočítat křížový součin vektorů a pokud jsou uvedeny jejich souřadnice? Na pomoc nám opět přichází determinant třetího řádu. Než však přejdu k algoritmu pro výpočet křížového součinu, musím udělat malou lyrickou odbočku.

Tato odbočka se týká základních vektorů.

Schematicky jsou znázorněny na obrázku:

Proč si myslíte, že se jim říká základní? Faktem je, že:

Nebo na obrázku:

Platnost tohoto vzorce je zřejmá, protože:

vektorový produkt

Nyní mohu začít představovat křížový produkt:

Vektorový součin dvou vektorů je vektor, který se vypočítá podle následujícího pravidla:

Nyní uveďme několik příkladů výpočtu křížového součinu:

Příklad 1: Najděte křížový součin vektorů:

Řešení: Udělám determinant:

A počítám to:

Nyní se od zápisu přes základní vektory vrátím k obvyklému vektorovému zápisu:

Tím pádem:

Teď to zkuste.

Připraveni? Kontrolujeme:

A tradičně dva úkoly ke kontrole:

1. Najděte křížový součin následujících vektorů:
2. Najděte křížový součin následujících vektorů:

Odpovědi:

Smíšený součin tří vektorů

Poslední konstrukce, kterou potřebuji, je smíšený součin tří vektorů. Je to jako skalár číslo. Existují dva způsoby, jak to vypočítat. - prostřednictvím determinantu, - prostřednictvím smíšeného produktu.

Konkrétně řekněme, že máme tři vektory:

Potom smíšený součin tří vektorů, označený jako, lze vypočítat jako:

1. - to znamená, že smíšený součin je skalární součin vektoru a vektorový součin dvou dalších vektorů

Například smíšený produkt tří vektorů je:

Zkuste si to spočítat sami pomocí vektorového součinu a ujistěte se, že výsledky souhlasí!

Opět dva příklady nezávislé řešení:

Odpovědi:

Volba souřadnicového systému

Nyní máme všechny nezbytné základy znalostí k řešení složitých stereometrických problémů v geometrii. Než však přistoupíme přímo k příkladům a algoritmům pro jejich řešení, věřím, že bude užitečné pozastavit se nad následující otázkou: jak přesně vyberte souřadnicový systém pro konkrétní postavu. Ostatně právě volba vzájemné polohy souřadnicového systému a obrazce v prostoru nakonec určí, jak těžkopádné budou výpočty.

Připomínám, že v této části uvažujeme o následujících tvarech:

1. kvádr
2. Přímý hranol (trojúhelníkový, šestihranný…)
3. Pyramida (trojúhelníková, čtyřúhelníková)
4. Tetrahedron (stejný jako trojúhelníková pyramida)

Pro kvádr nebo krychli doporučuji následující konstrukci:

To znamená, že postavím „do rohu“. Kostka a krabice jsou velmi dobré figurky. U nich vždy snadno najdete souřadnice jeho vrcholů. Například, pokud (jak je znázorněno na obrázku)

pak souřadnice vrcholu jsou:

Samozřejmě si to nemusíte pamatovat, ale je žádoucí pamatovat si, jak nejlépe umístit krychli nebo obdélníkovou krabici.

rovný hranol

Hranol je škodlivější postava. V prostoru ho můžete uspořádat různými způsoby. Nicméně považuji za nejlepší možnost následující:

Trojúhelníkový hranol:

To znamená, že jednu ze stran trojúhelníku položíme zcela na osu a jeden z vrcholů se shoduje s počátkem.

Šestihranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholů se shoduje s počátkem a jedna ze stran leží na ose.

Čtyřúhelníkový a šestihranný jehlan:

Situace podobná krychli: spojíme dvě strany základny se souřadnicovými osami, jeden z vrcholů spojíme s počátkem. Jediným malým problémem bude vypočítat souřadnice bodu.

U šestibokého jehlanu - to samé jako u šestibokého hranolu. Hlavní úkol bude opět v nalezení souřadnic vrcholu.

Tetrahedron (trojúhelníková pyramida)

Situace je velmi podobná té, kterou jsem uvedl pro trojúhelníkový hranol: jeden vrchol se shoduje s počátkem, jedna strana leží na souřadnicové ose.

No, teď jsme konečně blízko k tomu, abychom začali řešit problémy. Z toho, co jsem řekl na samém začátku článku, můžete vyvodit následující závěr: většina problémů C2 spadá do 2 kategorií: problémy s úhlem a problémy se vzdáleností. Nejprve zvážíme problémy pro nalezení úhlu. Ty jsou zase rozděleny do následujících kategorií (jak se zvyšuje složitost):

Problémy s hledáním rohů

1. Nalezení úhlu mezi dvěma čarami
2. Zjištění úhlu mezi dvěma rovinami

Zvažme tyto problémy postupně: začněme nalezením úhlu mezi dvěma přímkami. No tak, pamatujte, řešili jsme už ty a já podobné příklady? Pamatujete si, protože jsme už něco podobného měli... Hledali jsme úhel mezi dvěma vektory. Připomínám, že pokud jsou dány dva vektory: a, úhel mezi nimi se zjistí ze vztahu:

Nyní máme cíl - najít úhel mezi dvěma přímkami. Pojďme k „plochému obrázku“:

Kolik úhlů získáme, když se protnou dvě přímky? Už věci. Je pravda, že pouze dva z nich nejsou stejné, zatímco jiné jsou k nim vertikální (a tudíž se s nimi shodují). Jaký úhel bychom tedy měli považovat za úhel mezi dvěma přímkami: nebo? Zde platí pravidlo: úhel mezi dvěma přímkami není vždy větší než stupňů. To znamená, že ze dvou úhlů vybereme vždy úhel s nejmenší mírou stupně. To znamená, že na tomto obrázku je úhel mezi dvěma čarami stejný. Abyste se nemuseli obtěžovat pokaždé hledáním nejmenšího ze dvou úhlů, mazaní matematici navrhli použít modul. Úhel mezi dvěma přímkami je tedy určen vzorcem:

Vy, jako pozorný čtenář, jste si měli položit otázku: kde vlastně bereme právě tato čísla, která potřebujeme k výpočtu kosinusu úhlu? Odpověď: vezmeme je ze směrových vektorů čar! Algoritmus pro nalezení úhlu mezi dvěma čarami je tedy následující:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Nebo podrobněji:

1. Hledáme souřadnice směrového vektoru první přímky
2. Hledáme souřadnice směrového vektoru druhého řádku
3. Vypočítejte modul jejich skalárního součinu
4. Hledáme délku prvního vektoru
5. Hledáme délku druhého vektoru
6. Vynásobte výsledky bodu 4 výsledky bodu 5
7. Výsledek bodu 3 vydělíme výsledkem bodu 6. Dostaneme kosinus úhlu mezi úsečkami
8. Pokud nám tento výsledek umožňuje přesně vypočítat úhel, hledáme jej
9. Jinak píšeme přes arkosinus

No a teď je čas přejít k úkolům: řešení prvních dvou předvedu podrobně, řešení dalšího představím v souhrn, a na poslední dva problémy dám pouze odpovědi, všechny výpočty pro ně musíte provést sami.

úkoly:

1. V pravém tet-ra-ed-re najděte-di-te úhel mezi vámi-tak-že tet-ra-ed-ra a stranou me-di-a-noy bo-ko-how.

2. V pravém dopředném šest-uhlí-pi-ra-mi-de jsou sto-ro-na-os-no-va-niya nějak rovny a boční žebra jsou stejná, najděte úhel mezi přímým linky a.

3. Délky všech hran pravotočivých čtyř-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy se navzájem rovnají. Najděte úhel mezi přímkami a pokud z-re-zok - vy-tak-to dané pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jejím bo-ko-th žebru

4. Na hraně krychle od-me-che-do bodu tak, aby Najdi-di-te úhel mezi přímkami a

5. Bod - se-re-di-na hranách krychle Nai-di-te úhel mezi přímkami a.

Není náhoda, že jsem úkoly umístil v tomto pořadí. I když jste ještě neměli čas začít procházet souřadnicovou metodou, já sám analyzuji „nejproblematičtější“ obrazce a nechám vás, abyste se vypořádali s nejjednodušší kostkou! Postupně se musíte naučit pracovat se všemi figurkami, budu zvyšovat náročnost úkolů téma od tématu.

Začněme řešit problémy:

1. Nakreslete čtyřstěn, umístěte jej do souřadnicového systému, jak jsem navrhl dříve. Protože je čtyřstěn pravidelný, jsou všechny jeho plochy (včetně základny) pravidelné trojúhelníky. Vzhledem k tomu, že nám není dána délka strany, mohu ji brát stejně. Myslím, že chápete, že úhel nebude ve skutečnosti záviset na tom, jak moc bude náš čtyřstěn "natažený"?. Nakreslím také výšku a medián v čtyřstěnu. Po cestě nakreslím jeho základ (taky se nám bude hodit).

Potřebuji najít úhel mezi a. co my víme? Známe pouze souřadnici bodu. Potřebujeme tedy najít více souřadnic bodů. Nyní si myslíme: bod je průsečík výšek (nebo os nebo mediánů) trojúhelníku. Tečka je vyvýšený bod. Bod je středem segmentu. Pak konečně potřebujeme najít: souřadnice bodů: .

Začněme tím nejjednodušším: souřadnicemi bodů. Podívejte se na obrázek: Je jasné, že aplikace bodu je rovna nule (bod leží v rovině). Jeho pořadnice je rovna (protože je to medián). Je obtížnější najít její úsečku. To však lze snadno provést na základě Pythagorovy věty: Uvažujme trojúhelník. Jeho přepona je stejná a jedna z větví je stejná Pak:

Nakonec máme:

Nyní najdeme souřadnice bodu. Je jasné, že jeho aplikace je opět rovna nule a jeho pořadnice je stejná jako pořadnice bodu, tzn. Najdeme její úsečku. To se dělá docela triviálně, pokud si to člověk pamatuje výšky rovnostranného trojúhelníku jsou děleny průsečíkem v poměru počítání shora. Protože:, pak požadovaná úsečka bodu, rovna délce úsečky, je rovna:. Souřadnice bodu jsou tedy:

Najdeme souřadnice bodu. Je zřejmé, že jeho úsečka a pořadnice se shodují s úsečkou a pořadnicí bodu. A nášivka se rovná délce segmentu. - toto je jedna z nohou trojúhelníku. Přepona trojúhelníku je segment - noha. Hledá se podle důvodů, které jsem zvýraznil tučně:

Bod je středem segmentu. Pak si musíme zapamatovat vzorec pro souřadnice středu segmentu:

To je vše, nyní můžeme hledat souřadnice směrových vektorů:

Vše je připraveno: všechna data dosadíme do vzorce:

Tím pádem,

Odpovědět:

Neměli byste se bát takových "strašných" odpovědí: u problémů C2 je to běžná praxe. Spíš bych se nechal překvapit "krásnou" odpovědí v této části. Také, jak jste poznamenal, jsem se prakticky neuchýlil k ničemu jinému než k Pythagorově větě a vlastnosti výšek rovnostranného trojúhelníku. To znamená, že k vyřešení stereometrického problému jsem použil naprosté minimum stereometrie. Zisk v tomto je částečně "uhašen" poměrně těžkopádnými výpočty. Ale jsou docela algoritmické!

2. Nakreslete pravidelný šestiboký jehlan spolu se souřadnicovým systémem a také jeho základnou:

Musíme najít úhel mezi čarami a. Náš úkol se tedy redukuje na hledání souřadnic bodů: . Z malého výkresu najdeme souřadnice posledních tří a souřadnici vrcholu najdeme přes souřadnici bodu. Hodně práce, ale musíte začít!

a) Souřadnice: je jasné, že její aplikace a pořadnice jsou nulové. Najdeme úsečku. Chcete-li to provést, zvažte pravoúhlý trojúhelník. Bohužel v něm známe pouze přeponu, která se rovná. Zkusíme najít nohu (protože je jasné, že dvojnásobek délky nohy nám dá úsečku bodu). Jak to můžeme hledat? Připomeňme si, jakou postavu máme na základně pyramidy? Toto je pravidelný šestiúhelník. Co to znamená? To znamená, že všechny strany a všechny úhly jsou stejné. Musíme najít jeden takový kout. Nějaké nápady? Existuje mnoho nápadů, ale existuje vzorec:

Součet úhlů pravidelného n-úhelníku je .

Tedy součet úhlů pravidelného šestiúhelníku je stupňů. Pak je každý z úhlů roven:

Podívejme se znovu na obrázek. Je jasné, že úsečka je osou úhlu. Potom je úhel ve stupních. Pak:

Pak kde.

Má tedy souřadnice

b) Nyní již snadno zjistíme souřadnici bodu: .

c) Najděte souřadnice bodu. Protože její úsečka se shoduje s délkou segmentu, je rovna. Najít souřadnici také není příliš obtížné: pokud spojíme body a a označíme průsečík přímky, řekněme pro. (udělej si sám jednoduchou konstrukci). Potom je tedy pořadnice bodu B rovna součtu délek úseček. Podívejme se znovu na trojúhelník. Pak

Potom od Potom má bod souřadnice

d) Nyní najděte souřadnice bodu. Zvažte obdélník a dokažte, že Souřadnice bodu jsou tedy:

e) Zbývá najít souřadnice vrcholu. Je zřejmé, že jeho úsečka a pořadnice se shodují s úsečkou a pořadnicí bodu. Pojďme najít aplikaci. Od té doby. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník. Podle stavu problému, boční okraj. Toto je přepona mého trojúhelníku. Pak je výška pyramidy noha.

Pak má bod souřadnice:

To je vše, mám souřadnice všech bodů zájmu. Hledám souřadnice směrovacích vektorů přímek:

Hledáme úhel mezi těmito vektory:

Odpovědět:

Opět jsem při řešení tohoto problému nepoužil žádné sofistikované triky, kromě vzorce pro součet úhlů pravidelného n-úhelníku, stejně jako definici kosinu a sinu pravoúhlého trojúhelníku.

3. Protože nám opět nejsou dány délky hran v jehlanu, budu je považovat za rovné jedné. Protože jsou si tedy VŠECHNY hrany, a nejen ty boční, navzájem rovny, pak na základně pyramidy a já leží čtverec a boční plochy jsou pravidelné trojúhelníky. Znázorněme takovou pyramidu, stejně jako její základnu na rovině, a označme všechna data uvedená v textu problému:

Hledáme úhel mezi a. Když budu hledat souřadnice bodů, udělám velmi stručné výpočty. Budete je muset "dešifrovat":

b) - střed segmentu. Její souřadnice:

c) Délku úsečky zjistím pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku. Najdu podle Pythagorovy věty v trojúhelníku.

Souřadnice:

d) - střed segmentu. Jeho souřadnice jsou

e) Souřadnice vektoru

f) Souřadnice vektoru

g) Hledám úhel:

Kostka je nejjednodušší obrázek. Jsem si jistý, že na to přijdeš sám. Odpovědi na problémy 4 a 5 jsou následující:

Zjištění úhlu mezi přímkou ​​a rovinou

No, čas jednoduchých hádanek je u konce! Nyní budou příklady ještě obtížnější. Abychom našli úhel mezi přímkou ​​a rovinou, budeme postupovat takto:

1. Pomocí tří bodů sestavíme rovnici roviny
   ,
   pomocí determinantu třetího řádu.
2. Ve dvou bodech hledáme souřadnice směrového vektoru přímky:
3. Pro výpočet úhlu mezi přímkou ​​a rovinou použijeme vzorec:

Jak vidíte, tento vzorec je velmi podobný tomu, který jsme použili k nalezení úhlů mezi dvěma čarami. Struktura pravé strany je úplně stejná a na levé nyní hledáme sinus, a ne kosinus, jako dříve. No a jedna ošklivá akce byla přidána - hledání rovnice letadla.

Neodkládejme řešení příkladů:

1. Os-no-va-ni-em straight-moje cena-jsme-la-et-xia si rovni-ale-chudáci-ren-ny trojúhelník-nick you-s-tou cenou-jsme si rovni. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou

2. V obdélníkovém par-ral-le-le-pi-pe-de ze západu Nai-di-te úhel mezi přímkou ​​a rovinou

3. V pravotočivém šestiuhlovém hranolu jsou všechny hrany stejné. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou.

4. V pravém trojúhelníkovém pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em od západu žebra Nai-di-te úhel, ob-ra-zo-van -ny rovina os. -no-va-niya a straight-my, procházející se-re-di-na žeber a

5. Délky všech hran pravého čtyřúhelníku pi-ra-mi-dy s vrcholem jsou si navzájem rovné. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou, pokud je bod se-re-di-na bo-ko-in-té hraně pi-ra-mi-dy.

První dva problémy opět vyřeším podrobně, třetí - krátce a poslední dva nechám na vás, abyste si je vyřešili sami. Navíc jste se už museli vypořádat s trojúhelníkovými a čtyřbokými jehlany, ale s hranoly ještě ne.

Řešení:

1. Nakreslete hranol a také jeho základnu. Zkombinujme to se souřadnicovým systémem a označme všechna data, která jsou uvedena v prohlášení o problému:

Omlouvám se za určité nedodržení proporcí, ale pro vyřešení problému to ve skutečnosti není tak důležité. Letadlo je jen "zadní stěna" mého hranolu. Stačí jednoduše uhodnout, že rovnice takové roviny má tvar:

To však lze také zobrazit přímo:

Vybereme libovolné tři body na této rovině: například .

Udělejme rovnici roviny:

Cvičení pro vás: vypočítejte si tento determinant sami. Povedlo se vám to? Pak má rovnice roviny tvar:

Nebo jednoduše

Tím pádem,

K vyřešení příkladu potřebuji najít souřadnice směrového vektoru přímky. Protože se bod shodoval s počátkem, souřadnice vektoru se budou jednoduše shodovat se souřadnicemi bodu. K tomu nejprve najdeme souřadnice bodu.

Chcete-li to provést, zvažte trojúhelník. Nakreslete výšku (je to také medián a osička) shora. Protože pak je ordináta bodu rovna. Abychom našli úsečku tohoto bodu, musíme vypočítat délku úsečky. Podle Pythagorovy věty máme:

Pak má bod souřadnice:

Tečka je "vyvýšený" na tečce:

Pak souřadnice vektoru:

Odpovědět:

Jak vidíte, při řešení takových problémů není nic zásadně obtížného. Ve skutečnosti „přímost“ figury, jako je hranol, proces ještě o něco zjednodušuje. Nyní přejdeme k dalšímu příkladu:

2. Nakreslíme rovnoběžnostěn, nakreslíme do něj rovinu a přímku a také samostatně nakreslíme jeho spodní základnu:

Nejprve najdeme rovnici roviny: Souřadnice tří bodů, které v ní leží:

(první dvě souřadnice jsou získány zřejmým způsobem a poslední souřadnici snadno najdete z obrázku z bodu). Potom sestavíme rovnici roviny:

Vypočítáme:

Hledáme souřadnice směrového vektoru: Je jasné, že jeho souřadnice se shodují se souřadnicemi bodu, ne? Jak zjistit souřadnice? Toto jsou souřadnice bodu, zvýšené podél osy aplikace o jednu! . Pak hledáme požadovaný úhel:

Odpovědět:

3. Nakreslete pravidelný šestiboký jehlan a pak do něj nakreslete rovinu a přímku.

Zde je dokonce problematické nakreslit rovinu, o řešení tohoto problému nemluvě, ale souřadnicové metodě je to jedno! Právě v jeho univerzálnosti je jeho hlavní přednost!

Rovina prochází třemi body: . Hledáme jejich souřadnice:

1). Sami si zobrazte souřadnice posledních dvou bodů. K tomu budete muset vyřešit problém s šestihrannou pyramidou!

2) Sestavíme rovnici roviny:

Hledáme souřadnice vektoru: . (Viz znovu problém s trojúhelníkovou pyramidou!)

3) Hledáme úhel:

Odpovědět:

Jak vidíte, v těchto úkolech není nic nadpřirozeně obtížného. Jen je potřeba dávat velký pozor na kořeny. Na poslední dva problémy uvedu pouze odpovědi:

Jak vidíte, technika řešení úloh je všude stejná: hlavním úkolem je najít souřadnice vrcholů a dosadit je do nějakých vzorců. Zbývá nám zvážit ještě jednu třídu problémů pro výpočet úhlů, a to:

Výpočet úhlů mezi dvěma rovinami

Algoritmus řešení bude následující:

1. Pro tři body hledáme rovnici první roviny:
2. Pro další tři body hledáme rovnici druhé roviny:
3. Aplikujeme vzorec:

Jak vidíte, vzorec je velmi podobný předchozím dvěma, s jejichž pomocí jsme hledali úhly mezi přímkami a mezi přímkou ​​a rovinou. Takže zapamatovat si tohle pro vás nebude těžké. Pojďme rovnou k problému:

1. Sto-ro-na základě pravého trojúhelníkového hranolu je stejné a úhlopříčka boční stěny je stejná. Najděte úhel mezi rovinou a rovinou základny ceny.

2. V pravém dopředu čtyři-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de jsou všechny hrany někoho stejné, najděte sinus úhlu mezi rovinou a rovinou Ko-Stu, procházející přes bod per-pen-di-ku-lyar-ale rovnou-my.

3. V pravidelném čtyřuhlovém hranolu jsou strany os-no-va-nia stejné a boční hrany jsou stejné. Na hraně od-me-che-k bodu tak, že. Najděte úhel mezi rovinami a

4. V pravém čtyřbokém hranolu jsou strany základen stejné a boční hrany jsou stejné. Na hraně od-me-che-do bodu tak, že Najděte úhel mezi rovinami a.

5. V krychli najděte ko-sinus úhlu mezi rovinami a

Řešení problémů:

1. Nakreslím pravidelný (na základně - rovnostranný trojúhelník) trojúhelníkový hranol a označím na něm roviny, které se objevují ve stavu úlohy:

Potřebujeme najít rovnice dvou rovin: Základní rovnice se získá triviálně: můžete vytvořit odpovídající determinant pro tři body, ale rovnici udělám hned:

Nyní najdeme rovnici Bod má souřadnice Bod - Protože - medián a výška trojúhelníku, lze jej snadno najít pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku. Pak má bod souřadnice: Najděte aplikaci bodu Chcete-li to provést, zvažte pravoúhlý trojúhelník

Pak dostaneme následující souřadnice: Sestavíme rovnici roviny.

Vypočítáme úhel mezi rovinami:

Odpovědět:

2. Vytvoření výkresu:

Nejtěžší je pochopit, o jakou tajemnou rovinu se jedná, procházející bodem kolmo. No, hlavní věc je, co to je? Hlavní věc je pozornost! Ve skutečnosti je čára kolmá. Čára je také kolmá. Potom bude rovina procházející těmito dvěma přímkami kolmá k přímce a mimochodem bude procházet bodem. Tato rovina také prochází vrcholem pyramidy. Pak požadovaná rovina - A rovina je nám již dána. Hledáme souřadnice bodů.

Přes bod najdeme souřadnici bodu. Z malého nákresu lze snadno odvodit, že souřadnice bodu budou následující: Co nyní zbývá najít, abychom našli souřadnice vrcholu pyramidy? Ještě je potřeba spočítat jeho výšku. To se provádí pomocí stejné Pythagorovy věty: nejprve to dokažte (triviálně z malých trojúhelníků tvořících čtverec na základně). Protože podle podmínek máme:

Nyní je vše připraveno: souřadnice vrcholu:

Sestavíme rovnici roviny:

Jste již odborníkem na výpočet determinantů. Snadno obdržíte:

Nebo jinak (pokud obě části vynásobíme odmocninou ze dvou)

Nyní najdeme rovnici roviny:

(Nezapomněli jste, jak dostáváme rovnici roviny, že? Pokud nechápete, kde se vzala tato mínus, vraťte se k definici roviny! Vždycky se ukázalo, že moje letadlo patřilo původu!)

Vypočítáme determinant:

(Můžete si všimnout, že rovnice roviny se shodovala s rovnicí přímky procházející body a! Přemýšlejte proč!)

Nyní vypočítáme úhel:

Musíme najít sinus:

Odpovědět:

3. Záludná otázka: co je pravoúhlý hranol, co myslíte? Je to pro vás jen dobře známý rovnoběžnostěn! Okamžitě kreslení! Základ nelze ani samostatně znázornit, zde je to málo užitečné:

Rovina, jak jsme již dříve poznamenali, je zapsána jako rovnice:

Teď uděláme letadlo

Okamžitě sestavíme rovnici roviny:

Hledá se úhel

Nyní odpovědi na poslední dva problémy:

No, teď je čas dát si pauzu, protože ty a já jsme skvělí a odvedli jsme skvělou práci!

Souřadnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vámi probereme další třídu problémů, které lze vyřešit pomocí souřadnicové metody: problémy se vzdáleností. Konkrétně budeme zvažovat následující případy:

1. Výpočet vzdálenosti mezi šikmými čarami.

Zadané úkoly jsem seřadil tak, jak se zvyšuje jejich složitost. Nejjednodušší je najít vzdálenost bodu od roviny a nejtěžší je najít vzdálenost mezi protínajícími se čarami. I když samozřejmě nic není nemožné! Neprotahujme a rovnou přistupme k úvahám o první třídě problémů:

Výpočet vzdálenosti od bodu k rovině

Co potřebujeme k vyřešení tohoto problému?

1. Souřadnice bodu

Jakmile tedy získáme všechna potřebná data, použijeme vzorec:

Už byste měli vědět, jak sestavujeme rovnici roviny z předchozích úloh, které jsem rozebral v minulém díle. Pojďme se hned pustit do práce. Schéma je následující: 1, 2 - pomůžu vám rozhodnout se a podrobně 3, 4 - pouze odpověď, rozhodnete se sami a porovnáte. Zahájeno!

úkoly:

1. Daná krychle. Délka hrany krychle je Najděte-di-te vzdálenost od se-re-di-ny od řezu po rovinu

2. Vzhledem k pravé-vil-naya čtyři-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe hrana sto-ro-on je os-no-va-nia rovná. Najděte-di-ty vzdálenosti od bodu k rovině, kde - se-re-di-na hranách.

3. V pravém trojúhelníkovém pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em je druhá hrana rovna a sto-ro-on os-no-vaniya se rovná. Najděte-di-ty vzdálenosti od vrcholu k rovině.

4. V pravotočivém šestiuhlovém hranolu jsou všechny hrany stejné. Najděte-di-ty vzdálenosti od bodu k rovině.

Řešení:

1. Nakreslete krychli s jednoduchými hranami, sestavte úsečku a rovinu, střed úsečky označte písmenem

.

Nejprve začněme jednoduchým: najděte souřadnice bodu. Od té doby (pamatujte si souřadnice středu segmentu!)

Nyní složíme rovnici roviny na třech bodech

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(pole)) \right| = 0\]

Nyní mohu začít hledat vzdálenost:

2. Začneme opět výkresem, na který si vyznačíme všechny údaje!

U pyramidy by bylo užitečné nakreslit její základnu samostatně.

Ani to, že kreslím jako slepičí tlapa, nám nezabrání tento problém snadno vyřešit!

Nyní je snadné najít souřadnice bodu

Od souřadnic bodu

2. Protože souřadnice bodu a jsou středem segmentu, pak

Souřadnice dalších dvou bodů na rovině snadno najdeme. Rovnici roviny sestavíme a zjednodušíme:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Protože bod má souřadnice: , vypočítáme vzdálenost:

Odpověď (velmi vzácná!):

Dobře, pochopili jste? Zdá se mi, že vše je zde stejně technické jako v příkladech, které jsme s vámi zvažovali v předchozí části. Jsem si tedy jistý, že pokud jste zvládli tento materiál, nebude pro vás obtížné vyřešit zbývající dva problémy. Dám vám jen odpovědi:

Výpočet vzdálenosti od přímky k rovině

Ve skutečnosti zde není nic nového. Jak mohou být přímka a rovina umístěny vůči sobě navzájem? Mají všechny možnosti: protínat se, nebo je přímka rovnoběžná s rovinou. Jaká je podle vás vzdálenost od přímky k rovině, se kterou se daná přímka protíná? Zdá se mi, že je jasné, že taková vzdálenost se rovná nule. Nezajímavý případ.

Druhý případ je složitější: zde je vzdálenost již nenulová. Protože je však přímka rovnoběžná s rovinou, pak je každý bod přímky od této roviny stejně vzdálen:

Tím pádem:

A to znamená, že můj úkol byl zredukován na předchozí: hledáme souřadnice libovolného bodu na přímce, hledáme rovnici roviny, počítáme vzdálenost od bodu k rovině. Ve skutečnosti jsou takové úkoly ve zkoušce extrémně vzácné. Podařilo se mi najít pouze jeden problém a údaje v něm byly takové, že souřadnicová metoda na něj nebyla příliš použitelná!

Nyní přejděme k další, mnohem důležitější třídě problémů:

Výpočet vzdálenosti bodu k přímce

co budeme potřebovat?

1. Souřadnice bodu, od kterého hledáme vzdálenost:

2. Souřadnice libovolného bodu ležícího na přímce

3. Souřadnice směrového vektoru přímky

Jaký vzorec používáme?

Co pro vás znamená jmenovatel tohoto zlomku, a tak by mělo být jasné: toto je délka směrového vektoru přímky. Zde je velmi složitý čitatel! Výraz znamená modul (délku) vektorového součinu vektorů a Jak vypočítat vektorový součin jsme studovali v předchozí části práce. Osvěžte si své znalosti, teď se nám to bude velmi hodit!

Algoritmus pro řešení problémů tedy bude následující:

1. Hledáme souřadnice bodu, od kterého hledáme vzdálenost:

2. Hledáme souřadnice libovolného bodu na přímce, ke kterému hledáme vzdálenost:

3. Sestavení vektoru

4. Sestrojíme směrový vektor přímky

5. Vypočítejte křížový součin

6. Hledáme délku výsledného vektoru:

7. Vypočítejte vzdálenost:

Máme hodně práce a příklady budou docela složité! Takže nyní soustřeďte veškerou svou pozornost!

1. Dana je pravotočivá trojúhelníková pi-ra-mi-da s vrcholem. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy se rovná, ty-so-ta se rovná. Najděte-di-ty vzdálenosti od se-re-di-ny bo-ko-té hrany k přímce, kde body a jsou se-re-di-ny žeber a co-od- vet. -stven-ale.

2. Délky žeber a pravý-úhel-no-para-ral-le-le-pi-pe-da jsou stejné a najdi-di-te vzdálenost od top-shi-ny k straight-my

3. V pravém šestiuhlovém hranolu jsou všechny hrany roje stejné, najdi ty vzdálenosti od bodu k přímce

Řešení:

1. Uděláme úhledný nákres, na kterém zaznačíme všechny údaje:

Máme pro vás spoustu práce! Nejprve bych chtěl slovy popsat, co budeme hledat a v jakém pořadí:

1. Souřadnice bodů a

2. Souřadnice bodu

3. Souřadnice bodů a

4. Souřadnice vektorů a

5. Jejich křížový součin

6. Délka vektoru

7. Délka vektorového součinu

8. Vzdálenost od do

No, máme hodně práce! Vyhrňme si rukávy!

1. Abychom našli souřadnice výšky jehlanu, potřebujeme znát souřadnice bodu, jehož aplikace je nula a pořadnice je rovna jeho úsečce. Nakonec jsme dostali souřadnice:

Souřadnice bodu

2. - střed segmentu

3. - střed segmentu

střed

4.Souřadnice

Vektorové souřadnice

5. Vypočítejte vektorový součin:

6. Délka vektoru: nejjednodušší je nahradit, že úsečka je prostřední čárou trojúhelníku, což znamená, že se rovná polovině základny. Tak.

7. Uvažujeme délku vektorového součinu:

8. Nakonec najděte vzdálenost:

Fuj, to je vše! Upřímně vám řeknu: řešení tohoto problému tradičními metodami (prostřednictvím konstrukcí) by bylo mnohem rychlejší. Ale tady jsem vše zredukoval na hotový algoritmus! Myslím, že je vám algoritmus řešení jasný? Proto vás požádám, abyste zbývající dva problémy vyřešili svépomocí. Porovnat odpovědi?

Znovu opakuji: je jednodušší (rychlejší) vyřešit tyto problémy pomocí konstrukcí, než se uchýlit k metodě souřadnic. Tento způsob řešení jsem předvedl jen proto, abych vám ukázal univerzální metodu, která vám umožní „nic nedokončit“.

Nakonec zvažte poslední třídu problémů:

Výpočet vzdálenosti mezi šikmými čarami

Zde bude algoritmus pro řešení problémů podobný předchozímu. Co máme:

3. Libovolný vektor spojující body prvního a druhého řádku:

Jak zjistíme vzdálenost mezi řádky?

Vzorec je:

Čitatel je modul smíšeného součinu (představili jsme jej v minulém díle) a jmenovatel je stejný jako v předchozím vzorci (modul vektorového součinu směrovacích vektorů čar, vzdálenost mezi kterými jsme hledají).

Připomenu vám to

Pak vzorec vzdálenosti lze přepsat jako:

Vydělte tento determinant determinantem! I když popravdě řečeno, tady na vtipy nemám náladu! Tento vzorec je ve skutečnosti velmi těžkopádný a vede k poměrně komplikovaným výpočtům. Být tebou, použil bych to jen jako poslední možnost!

Pokusme se vyřešit několik problémů pomocí výše uvedené metody:

1. V pravém trojbokém hranolu jsou všechny hrany nějak shodné, najděte vzdálenost mezi přímkami a.

2. Vzhledem k trojúhelníkovému hranolu ve tvaru pravého předního jsou všechny okraje os-no-va-niya někoho rovny Se-che-tion, procházející druhým žebrem a se-re-di-nu žebry jsou yav-la-et-sya square-ra-tom. Najděte-di-te dis-sto-I-nie mezi straight-we-mi a

Já rozhodnu o prvním a na základě toho se rozhodnete o druhém!

1. Nakreslím hranol a označím čáry a

Souřadnice bodu C: pak

Souřadnice bodu

Vektorové souřadnice

Souřadnice bodu

Vektorové souřadnice

Vektorové souřadnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začátek(pole)(*(20)(l))(\začátek(pole)(*(20)(c))0&1&0\konec(pole))\\(\začátek(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začátek(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(pole))\konec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Uvažujeme křížový součin mezi vektory a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začátek(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nyní zvážíme jeho délku:

Odpovědět:

Nyní se pokuste pečlivě dokončit druhý úkol. Odpověď na to bude:.

Souřadnice a vektory. Stručný popis a základní vzorce

Vektor je směrovaný segment. - začátek vektoru, - konec vektoru.
Vektor je označen nebo.

Absolutní hodnota vektor - délka segmentu představujícího vektor. Označeno jako.

Souřadnice vektoru:

,
kde jsou konce vektoru \displaystyle a .

Součet vektorů: .

Součin vektorů:

Bodový součin vektorů:

Vzdálenost od bodu k přímce je délka kolmice od bodu k přímce. V deskriptivní geometrii se určuje graficky podle níže uvedeného algoritmu.

Algoritmus

1. Přímka se přenese do polohy, ve které bude rovnoběžná s libovolnou promítací rovinou. K tomu použijte metody transformace ortogonálních projekcí.
2. Nakreslete kolmici z bodu na čáru. Tato konstrukce je založena na větě o pravoúhlém promítání.
3. Délka kolmice se určí převodem jejích průmětů nebo metodou pravoúhlého trojúhelníku.

Následující obrázek ukazuje komplexní nákres bodu M a přímky b definované úsečkou CD. Musíte najít vzdálenost mezi nimi.

Podle našeho algoritmu je první věcí, kterou musíte udělat, přesunout úsečku do polohy rovnoběžné s promítací rovinou. Je důležité pochopit, že po transformacích by se skutečná vzdálenost mezi bodem a přímkou ​​neměla změnit. Proto je zde vhodné použít metodu nahrazení roviny, která nezahrnuje pohyb postav v prostoru.

Výsledky první etapy výstavby jsou uvedeny níže. Obrázek ukazuje, jak je paralelně s b zavedena další čelní rovina P 4 . V nový systém(P 1, P 4) body C"" 1, D"" 1, M"" 1 jsou ve stejné vzdálenosti od osy X 1 jako C"", D"", M"" od osy X.

Při provádění druhé části algoritmu z M"" 1 snížíme kolmici M"" 1 N"" 1 na přímku b"" 1, protože pravý úhel MND mezi b a MN se promítá do roviny P 4 v plné velikosti. Určíme polohu bodu N" podél komunikační čáry a nakreslíme průmět M"N" úsečky MN.

V konečné fázi je nutné určit hodnotu segmentu MN jeho průměty M"N" a M"" 1 N"" 1 . K tomu postavíme pravoúhlý trojúhelník M"" 1 N"" 1 N 0, ve kterém se rameno N"" 1 N 0 rovná rozdílu (Y M 1 - Y N 1) odstranění bodů M. "a N" od osy X1. Délka přepony M"" 1 N 0 trojúhelníku M"" 1 N"" 1 N 0 odpovídá požadované vzdálenosti od M k b.

Druhý způsob řešení

• Paralelně s CD představujeme novou frontální rovinu П 4 . Protíná P 1 podél osy X 1 a X 1 ∥C"D". V souladu se způsobem nahrazování rovin určíme průměty bodů C "" 1, D"" 1 a M"" 1, jak je znázorněno na obrázku.
• Kolmo k C "" 1 D "" 1 postavíme další vodorovnou rovinu P 5, na kterou se přímka b promítá do bodu C" 2 \u003d b" 2.
• Vzdálenost mezi bodem M a přímkou ​​b je určena délkou úseku M "2 C" 2 označeného červeně.

Související úkoly:

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, jako byste si tu větu četli sami =) Nicméně pak pomůže relax, zvlášť když jsem si dnes koupila vhodné doplňky. Pokračujme proto k první části, doufám, že do konce článku si udržím veselou náladu.

Vzájemné uspořádání dvou přímek

Případ, kdy sál zpívá sborově. Dvě linky mohou:

1) zápas;

2) být paralelní: ;

3) nebo se protínají v jednom bodě: .

Pomoc pro figuríny : zapamatujte si prosím matematické znaménko křižovatky , vyskytuje se velmi často. Zadání znamená, že čára se protíná s čárou v bodě.

Jak určit vzájemnou polohu dvou čar?

Začněme prvním případem:

Dvě čáry se shodují právě tehdy, když jsou jejich příslušné koeficienty proporcionální, to znamená, že existuje takové číslo "lambda", že rovnost

Uvažujme přímky a sestavme z odpovídajících koeficientů tři rovnice: . Z každé rovnice vyplývá, že se tedy tyto přímky shodují.

Ve skutečnosti, pokud všechny koeficienty rovnice vynásobte -1 (změna znaménka) a všemi koeficienty rovnice snížit o 2, dostanete stejnou rovnici: .

Druhý případ, kdy jsou čáry rovnoběžné:

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když jsou jejich koeficienty v proměnných úměrné: , Ale.

Jako příklad uvažujme dvě přímky. Zkontrolujeme proporcionalitu odpovídajících koeficientů pro proměnné:

Je však jasné, že .

A třetí případ, kdy se čáry protínají:

Dvě přímky se protínají právě tehdy, když jejich koeficienty proměnných NEJSOU proporcionální, to znamená, že NENÍ taková hodnota "lambda", aby byly splněny rovnosti

Pro přímky tedy sestavíme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , a z druhé rovnice: , tedy, systém je nekonzistentní(žádná řešení). Koeficienty u proměnných tedy nejsou proporcionální.

Závěr: čáry se protínají

V praktických úlohách lze použít právě uvažované schéma řešení. Mimochodem, je to velmi podobné algoritmu pro kontrolu kolinearity vektorů, o kterém jsme uvažovali v lekci. Pojem lineární (ne)závislosti vektorů. Vektorový základ. Existuje však civilizovanější balíček:

Příklad 1

Zjistěte vzájemnou polohu čar:

Řešení na základě studia směrových vektorů přímek:

a) Z rovnic najdeme směrové vektory přímek: .

, takže vektory nejsou kolineární a čáry se protínají.

Pro každý případ položím na křižovatku kámen s ukazateli:

Zbytek přeskočí kámen a následuje přímo ke Kashchei the Deathless =)

b) Najděte směrové vektory čar:

Čáry mají stejný směrový vektor, což znamená, že jsou buď rovnoběžné, nebo stejné. Zde determinant není nutný.

Je zřejmé, že koeficienty neznámých jsou úměrné, zatímco .

Pojďme zjistit, zda je rovnost pravdivá:

Tím pádem,

c) Najděte směrové vektory čar:

Vypočítejme determinant, složený ze souřadnic těchto vektorů:
, proto jsou směrové vektory kolineární. Čáry jsou buď rovnoběžné nebo shodné.

Faktor proporcionality "lambda" je snadno vidět přímo z poměru kolineárních směrových vektorů. Lze jej však nalézt také prostřednictvím koeficientů samotných rovnic: .

Nyní pojďme zjistit, zda je rovnost pravdivá. Oba volné termíny jsou nulové, takže:

Výsledná hodnota splňuje tuto rovnici (obecně ji splňuje jakékoli číslo).

Čáry se tedy shodují.

Odpovědět:

Velmi brzy se naučíte (nebo dokonce už naučili) řešit uvažovaný problém slovně doslova během několika sekund. V tomto ohledu nevidím důvod nabízet něco pro nezávislé řešení, je lepší položit do geometrického základu ještě jednu důležitou cihlu:

Jak nakreslit přímku rovnoběžnou s danou?

Za neznalost tohoto nejjednoduššího úkolu slavík loupežník tvrdě trestá.

Příklad 2

Přímka je dána rovnicí . Napište rovnici pro rovnoběžku, která prochází bodem.

Řešení: Neznámý řádek označte písmenem . Co o tom říká podmínka? Přímka prochází bodem. A pokud jsou úsečky rovnoběžné, pak je zřejmé, že směrový vektor úsečky "ce" je vhodný i pro konstrukci úsečky "de".

Z rovnice vyjmeme směrový vektor:

Odpovědět:

Geometrie příkladu vypadá jednoduše:

Analytické ověření se skládá z následujících kroků:

1) Zkontrolujeme, že přímky mají stejný směrový vektor (pokud rovnice přímky není správně zjednodušená, pak budou vektory kolineární).

2) Zkontrolujte, zda bod vyhovuje výsledné rovnici.

Analytické ověření je ve většině případů snadné provést ústně. Podívejte se na dvě rovnice a mnozí z vás rychle zjistí, jak jsou čáry rovnoběžné, aniž by museli kreslit.

Příklady pro vlastní řešení dnes budou kreativní. Protože stále musíte soutěžit s Baba Yaga a ona, víte, je milovnicí všech druhů hádanek.

Příklad 3

Napište rovnici pro přímku procházející bodem rovnoběžným s přímkou ​​if

Existuje racionální a nepříliš racionální způsob řešení. Nejkratší cesta je na konci lekce.

Dali jsme si trochu práce s rovnoběžnými čarami a vrátíme se k nim později. Případ shodných čar je málo zajímavý, proto zvažte problém, který je vám dobře známý školní osnovy:

Jak najít průsečík dvou čar?

Pokud rovnou protínají v bodě , pak jsou řešením jeho souřadnice soustav lineárních rovnic

Jak najít průsečík čar? Vyřešte systém.

Tady je pro vás geometrický význam soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých jsou dvě protínající se (nejčastěji) přímky v rovině.

Příklad 4

Najděte průsečík čar

Řešení: Existují dva způsoby řešení - grafický a analytický.

Grafický způsob je jednoduše nakreslit dané čáry a zjistit průsečík přímo z výkresu:

Zde je náš bod: . Pro kontrolu byste měli do každé rovnice přímky dosadit její souřadnice, měly by sedět tam i tam. Jinými slovy, souřadnice bodu jsou řešením systému . Ve skutečnosti jsme zvažovali grafický způsob řešení soustav lineárních rovnic se dvěma rovnicemi, dvěma neznámými.

Grafická metoda samozřejmě není špatná, ale má znatelné nevýhody. Ne, nejde o to, že se takto rozhodují sedmáci, jde o to, že správný a PŘESNÝ nákres zabere čas. Některé čáry navíc není tak snadné sestrojit a samotný průsečík může být někde ve třicátém království mimo sešitový list.

Proto je vhodnější hledat průsečík analytickou metodou. Pojďme vyřešit systém:

K řešení soustavy byla použita metoda termického sčítání rovnic. Chcete-li rozvíjet příslušné dovednosti, navštivte lekci Jak vyřešit soustavu rovnic?

Odpovědět:

Ověření je triviální – souřadnice průsečíku musí splňovat každou rovnici soustavy.

Příklad 5

Najděte průsečík čar, pokud se protínají.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úkol lze pohodlně rozdělit do několika etap. Analýza stavu naznačuje, že je nutné:
1) Napište rovnici přímky.
2) Napište rovnici přímky.
3) Zjistěte vzájemnou polohu čar.
4) Pokud se čáry protínají, najděte průsečík.

Vývoj akčního algoritmu je typický pro mnoho geometrických problémů a budu se na to opakovaně zaměřovat.

Úplné řešení a odpověď na konci tutoriálu:

Pár bot ještě nebyl opotřebovaný, protože jsme se dostali ke druhé části lekce:

Kolmé čáry. Vzdálenost od bodu k přímce.
Úhel mezi čarami

Začněme typickým a velmi důležitým úkolem. V prvním díle jsme se naučili postavit přímku rovnoběžnou s danou a nyní se chýše na kuřecích stehýnkách otočí o 90 stupňů:

Jak nakreslit čáru kolmou k dané?

Příklad 6

Přímka je dána rovnicí . Napište rovnici pro kolmici procházející bodem.

Řešení: Je známo z předpokladu, že . Bylo by hezké najít směrový vektor přímky. Protože jsou čáry kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstraníme“ normálový vektor: , který bude směrovacím vektorem přímky.

Sestavíme rovnici přímky bodem a směrovacím vektorem:

Odpovědět:

Rozbalíme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové moře, oranžový velbloud.

Analytické ověření řešení:

1) Extrahujte směrové vektory z rovnic a s pomocí bodový součin vektorů dojdeme k závěru, že přímky jsou skutečně kolmé: .

Mimochodem, můžete použít normální vektory, je to ještě jednodušší.

2) Zkontrolujte, zda bod vyhovuje výsledné rovnici .

Ověření je opět snadné provést verbálně.

Příklad 7

Najděte průsečík kolmých přímek, je-li rovnice známa a tečka.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. V úloze je několik akcí, takže je vhodné uspořádat řešení bod po bodu.

Naše vzrušující cesta pokračuje:

Vzdálenost od bodu k řádku

Před námi je rovný pruh řeky a naším úkolem je se k němu dostat co nejkratší cestou. Nejsou zde žádné překážky a nejoptimálnější trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdálenost od bodu k přímce je délkou kolmého segmentu.

Vzdálenost v geometrii se tradičně označuje řeckým písmenem "ro", například: - vzdálenost od bodu "em" k přímce "de".

Vzdálenost od bodu k řádku se vyjadřuje vzorcem

Příklad 8

Najděte vzdálenost od bodu k přímce

Řešení: vše, co potřebujete, je pečlivě dosadit čísla do vzorce a provést výpočty:

Odpovědět:

Provedeme kresbu:

Zjištěná vzdálenost od bodu k přímce je přesně délkou červeného segmentu. Pokud uděláte kresbu na kostkovaný papír na stupnici 1 jednotka. \u003d 1 cm (2 buňky), pak lze vzdálenost měřit běžným pravítkem.

Zvažte další úkol podle stejného výkresu:

Úkolem je najít souřadnice bodu, který je symetrický k bodu vzhledem k přímce . Navrhuji provést akce sami, ale nastíním algoritmus řešení s průběžnými výsledky:

1) Najděte přímku, která je kolmá k přímce.

2) Najděte průsečík čar: .

Obě akce jsou podrobně popsány v této lekci.

3) Bod je středem segmentu. Známe souřadnice středu a jednoho z konců. Podle vzorce pro souřadnice středu segmentu najít .

Nebude zbytečné kontrolovat, že vzdálenost je také rovna 2,2 jednotkám.

Potíže zde mohou nastat při výpočtech, ale ve věži hodně pomáhá mikrokalkulačka, která vám umožní počítat běžné zlomky. Mnohokrát jsem radil a doporučím znovu.

Jak zjistit vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami?

Příklad 9

Najděte vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami

Toto je další příklad nezávislého řešení. Malá nápověda: způsobů řešení je nekonečně mnoho. Debriefing na konci lekce, ale raději si to zkuste hádat sami, myslím, že se vám podařilo dobře rozptýlit svou vynalézavost.

Úhel mezi dvěma čarami

Bez ohledu na roh, pak zárubeň:


V geometrii je úhel mezi dvěma přímkami brán jako MENŠÍ úhel, z čehož automaticky vyplývá, že nemůže být tupý. Na obrázku není úhel označený červeným obloukem považován za úhel mezi protínajícími se čarami. A jeho „zelený“ soused resp opačně orientované karmínový roh.

Jsou-li čáry kolmé, lze za úhel mezi nimi považovat kterýkoli ze 4 úhlů.

Jak se liší úhly? Orientace. Za prvé, směr „rolování“ rohu je zásadně důležitý. Za druhé, záporně orientovaný úhel se zapíše se znaménkem mínus, například pokud .

Proč jsem to řekl? Zdá se, že si vystačíte s obvyklou koncepcí úhlu. Faktem je, že ve vzorcích, podle kterých najdeme úhly, lze snadno získat negativní výsledek, což by vás nemělo překvapit. Úhel se znaménkem mínus není o nic horší a má velmi specifický geometrický význam. Na výkresu pro záporný úhel je bezpodmínečně nutné označit jeho orientaci (ve směru hodinových ručiček) šipkou.

Jak zjistit úhel mezi dvěma čarami? Existují dva pracovní vzorce:

Příklad 10

Najděte úhel mezi čarami

Řešení A Metoda jedna

Uvažujme dvě přímky dané rovnicemi v obecném tvaru:

Pokud rovnou ne kolmé, Že orientovanéúhel mezi nimi lze vypočítat pomocí vzorce:

Většina pozor obrátit se na jmenovatele - to je přesně skalární součin směrové vektory přímek:

Jestliže , pak jmenovatel vzorce zmizí a vektory budou ortogonální a čáry budou kolmé. Proto byla vznesena výhrada k nekolmosti čar ve formulaci.

Na základě výše uvedeného je řešení pohodlně formalizováno ve dvou krocích:

1) Vypočítejte skalární součin směrovacích vektorů přímek:
takže čáry nejsou kolmé.

2) Úhel mezi čarami najdeme podle vzorce:

Používáním inverzní funkce snadné najít samotný roh. V tomto případě použijeme lichost arkus tangens (viz obr. Grafy a vlastnosti elementárních funkcí):

Odpovědět:

V odpovědi uvedeme přesnou hodnotu a také přibližnou hodnotu (nejlépe ve stupních i v radiánech), vypočítanou pomocí kalkulačky.

No, mínus, takže mínus, to je v pořádku. Zde je geometrická ilustrace:

Není divu, že se úhel ukázal jako záporná orientace, protože ve stavu problému je první číslo přímka a „kroucení“ úhlu začalo přesně od ní.

Pokud opravdu chcete získat kladný úhel, musíte zaměnit přímky, to znamená vzít koeficienty z druhé rovnice a vezměte koeficienty z první rovnice. Stručně řečeno, musíte začít s přímým .